Метод решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью формализации операций компьютера
Диссертация
В настоящей диссертационной работе разрабатывается новый метод для решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем. В данном подходе исключаются решения на промежуточных слоях в разностной схеме и тем самым можно получить явное представление решения. В результате значение искомой функции на последнем слое выражается через начальные условия (в задаче Коши). При этом используется… Читать ещё >
Содержание
- Глава 1. Проблемы построения методов решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем
- 1. 1. Различные подходы для получения аналитических и численных решений дифференциальных уравнений
- 1. 2. Численные методы решения задачи Коши, их достоинства и недостатки, разностный подход
- 1. 3. Проблема связи получения явного и численного решений на основе разностных схем
- 1. 4. Модельная задача для изучения свойств метода
- Глава 2. Представление решения в методе компьютерной аналогии
- 2. 1. Системы счисления и представление чисел в вычислительных устройствах
- 2. 2. т-система счисления
- 2. 3. Представление решения дифференциальных уравнений в виде ряда по степеням шага аргумента
- 2. 5. Операция переноса разрядов
- 2. 6. Оценка отбрасываемой части ряда при приведении решения к отрезку ряда фиксированной длины
- Глава 3. Стохастические свойства решений в методе компьютерной аналогии
- 3. 1. Случайные числа и генераторы случайных чисел. Методы оценки качества генераторов случайных чисел
- 3. 2. Стохастическое поведение коэффициентов в т-представлении решения
- 3. 3. Моделирование случайного и квазислучайного поведения коэффициентов
- 3. 5. Оценка свойств последовательностей чисел и использование получающихся случайных чисел в разрабатываемом методе
- 3. 6. Свойства самоподобия величин переноса
- Глава 4. Применение метода компьютерной аналогии для решения нелинейных дифференциальных уравнений
- 4. 1. Алгоритм построения решения методом компьютерной аналогии
- 4. 2. Построение неполного решения для задачи (1.5)
- 4. 3. Построение полного решения для задачи (1.5)
- 4. 4. Система нелинейных дифференциальных уравнений
- Глава 5. Задачи, не разрешимые в квадратурах или не имеющие решения в элементарных функциях. Выявление качественных свойств решения
- 5. 1. Примеры решения задача Коши для уравнений, неразрешимых в элементарных функциях
- 5. 2. Задача Коши для уравнения Риккати
- 5. 3. Получение явного решения методом компьютерной аналогии для системы нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющей известного аналитического решения
- 5. 4. Асимптотическое решение
- 5. 5. Осциллятор Ван дер Поля. Исследование поведения решения
Список литературы
- Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 472 с.
- Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. М.: Наука, 1967. — 656 с.
- Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981. — 381 с.
- Аристов В. В. Строганов А.В. Построение решений дифференциальных уравнений с помощью метода «компьютерной аналогии» // Доклады академии наук РАН, том. 434, N2, 2010, с. 151−157.
- Аристов В. В. Строганов А.В. Вероятностные аспекты метода «компьютерной аналогии» для решения дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование, 2009, Т. 1, N 1, с. 2131.
- Аристов В. В. Строганов А.В. Перспективы метода решения дифференциальных уравнений на основе компьютерной аналогии // Прикладная информатика, 2008, 6(18), с. 91−99.
- Aristov V.V., Stroganov A.V. A method of formalizing computer operations for solving nonlinear differential equations // Applied Mathematics and Computation, 2012, Vol. 218, p.8083−8098. doi:10.1016/ j.amc.2011.09.029.
- Аристов В.В., Строганов А. В. Метод решения дифференциальных уравнений на основе «компьютерной аналогии». Тезисы докладов международной конференции «Тихонов и современная математика». М.: МГУ. 2006 г. —с26−27 .
- Аристов B.B. Строганов A.B. Полуаналитический подход для решения дифференциальных уравнений // 54-я Научно-техническая конференция МИРЭА: Сб. тр. — М.: МИРЭА, 2005. — 4.2. — Физико-математические науки. — с.35−40.
- П.Аристов В. В. Строганов A.B. Развитие метода решения дифференциальных уравнений на основе «компьютерной аналогии» // 55-я Научно-техническая конференция МИРЭА: Сб. тр. — М.: МИРЭА, 2006. — 4.2. — Физико-математические науки. — с.92−95.
- Аристов В. В. Строганов A.B. Решение дифференциальных уравнений на основе метода компьютерной аналогии // 56-я Научно-техническая конференция МИРЭА: Сб. тр. — М.: МИРЭА, 2007. — 4.2. — Физико-математические науки. — с.51−56.
- Аристов В.В., Строганов A.B. Развитие метода «компьютерной аналогии» для решения дифференциальных уравнений. «Математика. Компьютер. Образование». Ред. Г. Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотич. динамика. 2008. вып.12, т.2. с. 110−120.
- Aristov V.V., Stroganov A.V. Intern. Conf. Infinite and Infinitesimal in Mathematics, Computing and Natural Sciences. Book of Abstracts. Cetraro. 2010.
- Э.Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М. Мир, 1990. 512 с.
- П.Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1973. -440 с.
- Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977. 656 с.
- Калиткин H.H. Численные методы. M.: Наука. 1978.
- Демидович Б.П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.
- Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 631 с.
- Бахвалов Н.С., Н.П.Жидков, Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2008. 630 с.
- Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов/В.М. Вержбицкий. 3-е изд., стер. — М.: Выел. Шк., 2009. — 840с.: ил.
- Абрамович В. Числа Бернулли // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10−14.
- Гашков С.Б. Системы счисления и их применение — М.: МЦНМО, 2004. 52 с.
- Фомин C.B. Системы счисления — М.: Наука, 1987. —48 с.
- Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. — 312 с.
- Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001. 575 с.
- Кнут Д. Искусство программирования. Получисленные методы. М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2007. Т.2. — 832 с.
- Бернштейн С.H. Теория вероятностей, M.: ГТТИ, 1946. 367 с.
- Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. М.: Наука, 1983. — 312 с.
- Султангазин У.М. Дискретные нелинейные модели уравнения Больцмана. Алма-Ата: Наука, 1985. — 192 с.
- Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент (Введение в нелинейную динамику). Изд. З, стереотипное 2002. 256 с.
- Aristov V.V. Direct Methods for Solving the Boltzmann Equation and Study of Nonequilibrium Flows. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.
- Аристов B.B. Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004, Т.44, N4. с.459−471.