Расположение подгрупп в группах автоморфизмов

Построение теории Галуа для двух частично упорядоченных множеств позволяет в ряде случаев серьезно облегчить задачу исследования свойств объектов одного из этих множеств. Так, с помощью классической теории 1 алуа полей оказывается возможным сводить многие вопросы теории полей к теоретико-групповым и успешно их решать. Например, разрешимость уравнения в радикалах напрямую зависит от свойств группы Галуа многочлена, определяющего это уравнение.

Классические результаты Галуа о соответствии между промежуточными подполями конечного расширения Галуа полей и подгруппами группы автоморфизмов этого расширения обобщались многими авторами на случай различных классов колец.

Под построением теории Галуа в некотором классе колец обычно понимается доказательство основной теоремы о соответствии Галуа между определенными типами конечных (или приведенно конечных) групп автоморфизмов кольца и определенными типами под-колец из данного класса (см. [31]).

Картаном [35] и Джекобсоном [41] была построена теория Галуа тел. Хохшильд [40] и Накаяма [44] обобщили эту теорию на класс простых артиновых колец. Дьедонне [37] построил теорию Галуа для вполне примитивных колец. Розенберг и Зелинский [46] распространили теорию Галуа на полные кольца непрерывных линейных преобразований. Некоммутативная теория Галуа получила дальнейшее развитие в работе Чейза, Харрисона и Розенберга [36]- В. К. Харченко [30] построил теорию Галуа в классе областей, первичных и полупервичных колец. Также заслуживают упоминания отдельные результаты других авторов [39,43]. Подробная библиографин по этому вопросу имеется в монографии [31].

Далеко идущим обобщением теории Галуа колец является построенная А. В. Яковлевым [32] теория Галуа для пучков множеств, на всех слоях которых задана теория Галуа.

Обычным контекстом для установления соответствия Галуа является следующий. Пусть, А — множество (как правило, снабженное некоторой структурой), (7 — подгруппа группы всех автоморфизмов А: Н — подгруппа С, В — подобъект А, состоящий из тех элементов, на которые все автоморфизмы из Н действуют тривиально. Тогда произвольной подгруппе группы С, содержащей Н, ставится в соответствие подобъект объекта ??, состоящий из тех элементов, на которые все автоморфизмы из этой подгруппы действуют тривиально, а подобъекту объекта В — подгруппу группы О, состоящую из автоморфизмов, действующих тривиально на все элементы этого под-объекта.

В первой главе диссертации строится соответствие Галуа для дедекиндовых структур и их групп автоморфизмов.

Пусть Ь — некоторая структура, О — подгруппа группы всех автоморфизмов структуры Ь. Для подгруппы^Р группы С и подструктуры М структуры Ь положим:

Ь (Р) — множество таких элементов I € что /(7) = I для всех в (М) — множество таких элементов д? (7, что д (т) = т для всех га € М.

Пусть Ьо — подструктура Ь] обозначим Н = 0{Ьо), Ь0 = Ь{Н). Тогда, применяя изложенные выше соображения, получим соответствие Галуа между множеством 9Л всех подструктур Ь0 и множеством 9? подгрупп 0: содержащих Н.

Некоторые результаты по исследованию этого соответствия Га-луа были получены в работе А. З. Симоняна [28]. Обобщению этих результатов посвящены две работы автора [25,27].

Общим во всех разобранных случаях оказывается то, что в каждой промежуточной подгруппе имеется наибольшая замкнутая (в смысле соответствия Галуа) подгруппа, являющаяся ее нормальным делителем.

Основным результатом главы 1 диссертации является следующая теорема.

Теорема. Пусть Ь — полная дедекиндов, а структура, Ьо — ее конечная подструктура, являющаяся булевой алгеброй, О — подгруппа группы всех автоморфизмов структуры Ь, Н = о). Тогда, если выполняется ряд ограничений на структуру (приведенных в §.

Кроме этого, в главе 1 проведено исследование замкнутых объектов и замыкания в смысле соответствия Галуа в множествах 9Л и 9?. В частности, оказалось возможным описать замкнутые подгруппы как те подгруппы группы С, которые действуют тривиально на соответствующих подструктурах структуры ?0, ассоциированных с некоторым конечным набором элементов ?0, названным «сетевым набором» по аналогии с понятием сети, введенным З. И. Боревичем. При этом полученное описание, с одной стороны, позволяет эффективно вычислять замкнутые объекты и замыкания, а, с другой стороны, с его помощью в основной результат вносится некоторое дополнение. Именно, оказывается, что хотя подструктура А", указанная в формулировке теоремы, в общем случае определена неоднозначно, но подгруппа О (К), являющаяся нормальной в определена уже однозначно.

Пользуясь основной теоремой главы 1 диссертации, легко получить описание подгрупп полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц.

Пусть К — полулокальное кольцо (то есть такое кольцо, фактор-кольцо которого по радикалу Джекобсона артиново), С — его центр (являющийся коммутативным полулокальным кольцом). Под полями вычетов кольца К будем понимать поля вычетов С по его максимальным идеалам. Имеет место следующая.

Теорема. Пусть И — полулокальное кольцо, все поля вычетов которого имеют не менее семи элементов, V = Нп — свободный Н-модуль ранга п, ё = (1, 0,., 0),., ёп = (0,., 0,1) — канонический базис V, = ., еп = ёпК. Обозначим через Ь = Ь{Т) структуру правых подмодулей модуля V, а через Ьо — подструктуру структуры Ь, порожденную., еп. Пусть О = ОЬ{п, В) и Н = С (Хо) = 0(п, П). Тогда для любой промежуточной подгруппы И, Н ^ Р ^ ОЬ (п, В), существует подструктура К структуры Ь0, для которой в{К) <

Вопросы расположения подгрупп в линейных группах оформились в последние годы как одно из актуальных направлений теории линейных групп над полями и кольцами.

В 1962 г. Тите [49] получил описание параболических подгрупп в полной линейной группе над произвольным полем.

В 1965 г. в работе Бореля и Титса [34] были исследованы замкнутые связные подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. Из доказанных ими результатов вытекало описание замкнутых подгрупп в ОЬ (п:к): содержащих группу диагональных матриц и{п, к).

В 1976 г. последний результат был значительно усилен З.И.Бо-ревичем [10]. Как оказалось, для любого поля к все промежуточные подгруппы F, D (n, k) ^ F ^ GL (n, k), являются группами &-рацио-нальных точек замкнутых подгрупп GL (n, k), содержащих группу D (n, k)] решетка Lat (D (n?k), GL (n, k)) конечна, и эта решетка не зависит от поля к, если ^ 7. Другое доказательство этих утверждений содержится в работе [51].

В дальнейшем благодаря усилиям З. И. Боревича, Н. А. Вавилова, Г. Зейтца и ряда других авторов было получено исчерпывающее описание решетки промежуточных подгрупп, содержащих группу рациональных точек максимального расщепимого тора, в классических линейных группах и группах Шевалле (а также их расширенных аналогов) над полями, а в ряде случаев эти результаты были обобщены и на некоторые классы колец (см. обзор [50]).

Отметим один из важных результатов в этом направлении. В работах З. И. Боревича и Н. А. Вавилова [11,16,17] было получено описание промежуточных подгрупп в полной линейной группе над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц.

Описание подгрупп, приведенное в [11], состоит в следующем. Пусть R — полулокальное кольцо, все поля вычетов которого содержат не менее семи элементов. Тогда для каждой промежуточной подгруппы F, D (n, R) ^ F ^ GL (n, R), однозначно определена D-сеть <т двусторонних идеалов в R порядка п такая, что G (a) ^ F ^ N (a)1 где N (a) — нормализатор G (a) в G.

В дальнейшем в работах [16,17] класс колец, для которых подобное описание имеет место, был несколько расширен.

В § 10 диссертации показано, как из полученного описания промежуточных подгрупп в терминах подструктур вытекает этот результат З. И. Боревича и Н. А. Вавилова.

В заключительном параграфе главы 1 диссертации предложен другой подход к доказательству основной теоремы, позволяющий придать одному важному ограничению на структуры Ь,?, о и группы автоморфизмов 0, Н форму, более удобную для проверки при получении следствий. Из доказанного в этом (и предыдущих) параграфах может быть получено описание промежуточных подгрупп в случае, когда И — полулокальное кольцо, такое, что в разложении Е/.1{Н) я М (пъТ!) е. Ф М (пт, Тт) все тела Тг отличны от Ж2, Ез, Е*,.

Таким образом, можно констатировать, что результаты З.И.Бо-ревича и Н. А. Вавилова о линейных группах могут быть обобщены на объекты, не имеющие ярко выраженного линейного характера.

Естественно поставить вопрос о строении решетки промежуточных подгрупп в линейных группах, содержащих группу рациональных точек других максимальных торов. В самой общей ситуации задача для нерасщепимого тора формулируется следующим образом.

Пусть 5 — ассоциативное кольцо с единицей ий — его унитальное подкольцо, содержащееся в центре кольца 5. Тогда (см. [13]) предлагается исследовать решетку промежуточных подгрупп.

ЬаЦАи^З), = {Н: Аи^в) < Я < ^¿-(д5)}.

В случае, когда 5 является левым свободным /¿—модулем ранга п, эта задача может быть переформулирована как вопрос о строении решетки матричных подгрупп.

Ьа^Т, ОЦп, П)) = {Н: Т < вЦп, К)}, где через Т = Т (5) обозначен образ 5* при вложении, переводящем элемент, а Е 5* в матрицу оператора умножения на этот элемент справа в выбранном базисе расширения колец.

Если R — коммутативное кольцо и 5 = Rn, то при диагональном вложении R в S мы получаем уже упоминавшуюся задачу описания подгрупп в GL (n, R), содержащих группу диагональных матриц D (n, R).

Если в качестве R рассматривать поле к, а в качестве 5 — его конечное сепарабельное расширение К, то подгруппа Т будет группой^{-рациональных} точек максимального нерасщепимого тора в GL{n, k). В работах Дьоковича [38], В. П. Платонова [45], а также Кантора [42] и Зейтца [47] исследованы (качественно или количественно) случаи, когда к — поле вещественных чисел, локальное или конечное. Остальные результаты преимущественно относятся к квадратичным расширениям К ¡-к. В работах В. А. Койбаева и других авторов [12,13,19,21,23] исследованы различные классы таких расширений. В частности, полностью описана решетка промежуточных подгрупп для случая квадратичных расширений поля рациональных чисел (а также полей, обладающих некоторым определенным свойством).

Вместе с тем можно рассматривать и более общую задачу. Именно, пусть G ^ Aut (ftS). Тогда предлагается исследовать решетку подгрупп.

Lat (Aut (sS)nG', G') = {H': Aut{sS) П G < И < G}.

Конечно, вряд ли можно надеяться получить какие-то содержательные результаты для произвольной подгруппы G. Но такая постановка задачи имеет смысл, по крайней мере, для случая конечного расширения полей (или колец, близких по своим свойствам к полям) и классических групп G .

Поставленная задача решена при различных разумных ограничениях на группу G для поля вещественных чисел [38], локального.

45] и конечного [47] полей.

Во второй главе диссертации исследуются свойства подгрупп, в некотором смысле близких к группе АиЬ ($ 3) П О .

Пусть 5 — кольцо и Я — его целостное подкольцо, содержащееся в центре 5. Также пусть 5 является левым свободным 1?-модулем конечного ранга с базисом ,., ип.

Рассмотрим вложение кольца 5 в матричное кольцо М (п, П): каждому элементу, а = + .•+ апшп € 5 (где аг 6 Я) ставится в п соответствие матрица t (a) = где о^а = ^ tji (a)u^j. з = 1.

Обозначим образ 5* при этом вложении через Т. Пусть к — поле частных кольца К, а к — его алгебраическое замыкание. Обозначим Т = ффй 5)*).

Пусть О = О (Н) для некоторой замкнутой подгруппы О ^ ОЬ (п, к). Положим Т = Т С .

Основными результатами главы 2 диссертации являются следующие две теоремы.

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1) О — связная редуктивная группа;

2) Т П О — максимальный тор в.

3) группа Т плотна в Т П (7 в топологии Зарисского,.

Тогда нижняя гирлянда решетки совпадает с интервалом.

Теорема. Пусть кольцо 5 аддитивно порождается своими обратимыми элементами и группа Аи1(8/К) кольцевых автоморфизмов Б. постоянных на И. конечна. Пусть Т аддитивно порождается над к компонентой единицы Т'. Тогда нижняя гирлянда решетки Ьа1(Т, С) совпадает с интервалом ЬаЬ{Т, Л/" С/Т), причем нормализатор подгруппыТ в группе О совпадает с пересечением полупрямого произведения нормального делителя Т и группы с группой О .

Эти теоремы являются обобщениями результатов работ [1,2,22].

Пусть Я = к — бесконечное поле, 5 = К Ф. ф где К{/к — конечные расширения поля к. Тогда эти теоремы могут быть применены к случаю полной линейной группы и, если все расширения являются сепарабельными, к случаю специальной линейной группы.

В обзоре [50] отмечено, что решетки Ьа1(0о, 0) промежуточных подгрупп в линейных группах, содержащих группу рациональных точек максимального тора, имеют много общего, например, подгруппы £?о часто обладают свойством пара-, полиили пронормаль-ности (см. [3]), а также свойствами, вытекающими из перечисленных. Полученные в главах 1 и 2 диссертации результаты позволяют сделать вывод, что это так и в рассмотренных случаях.

Основные результаты.

1. Построено соответствие Галуа между определенным множеством подструктур некоторой структуры и определенным мнои у жеством подгрупп некоторой группы автоморфизмов этой структурыисследованы свойства этого соответствия Галуа, именно, показано, что любая подгруппа из упомянутой совокупности содержит замкнутую подгруппу в качестве нормального делителя конечного индекса, описаны замкнутые объекты и замыкания в смысле соответствия Галуа.

2. Из полученных результатов выведено описание промежуточных подгрупп полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц, в терминах сетей идеалов в этом кольце.

3. Предложен подход к доказательству основных утверждений об упомянутом выше соответствии Галуа, позволяющий придать одному важному ограничению на структуры и их группы автоморфизмов форму, допускающую его более эффективную проверку при получении следствий.

4. Проведено исследование решеток промежуточных подгрупп в линейных группах, содержащих некоторую группу, в частности, вычислен нормализатор этой группы и описана нижняя гирлянда этой решетки.

5. Из доказанного выводится описание нижней гирлянды решетки промежуточных подгрупп в полной и специальной линейных группах над некоторым классом колец, содержащих группу рациональных точек максимального нерасщепимого тора в соответствующей алгебраической группе.