Асимптотическое поведение решений псевдопараболических уравнений

В диссертации рассматривается псевдопараболическое уравнение вида.

Mut+Lu'fai), /1/ где.

— эллиптические операторы. Здесь и в дальнейшем предполагается суммирование по повторяющимся индексам от У до /г. Частным случаем /I/ является уравнение.

U?-yAUt-=AU /3/ с положительной константой, которое описывает такие процессы, как охлаждение сложных сред [I, 2], фильтрация однородных жидкостей в трещиноватых породах ГЗ], затвердевание глины [4], излучение в газах [5], движение неныотоновских жидкостей [6], влагопе-ренос в почвогрунтах [7, 8].

Одним из вопросов, рассматриваемых в диссертации, является вопрос о единственности решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для псевдопараболических уравнений в классах растущих функций.

Впервые задача Коши для общей системы линейных дифференциальных уравнений вида где X = CO*.) «М и — квадратичные матрицы с полиномиальными относительно операций j ^ коэффициентами, зависящими от /, была рассмотрена в [9] С.А.Гальпер-ном в классе функций, интегрируемых с квадратом по вместе с некоторым числом производных. В [10] для системы /4/ с постоянными коэффициентами А. Г. Костюченко и Г. И. Эскин построили классы единственности и корректности задачи Коши для случая растущих начальных данных и решений.

Исследование вопросов единственности и существования решений задачи Коши для уравнений /I/, /3/ и систем более общего вида в различных функциональных пространствах получило дальнейшее развитие в работах [11−17]. Так единственность решения задачи Коши в классах растущих функций была доказана В. Ранделлом и К. Коснером в [16] для уравнения.

M-])lf+Lu = o, где I — тождественный оператор, в двух случаях: I/ операторы /V иL — эллиптические вида /2/, причем, а коэффициенты допускают некоторый рост на бесконечности, 2//Y — эллиптический оператор вида /2/, Ц — произвольный дифференциальный оператор порядка не выше второго, а коэффициенты уравнения ограничены и не зависятот /. В случае I/ доказательство основано на использовании принципа максимума, который для псевдопараболических уравнений выполняется при наличии целого ряда ограничений [I], [18−20].

В диссертации теоремы единственности решений задачи Коши и первой начально-краевой задачи в неограниченных областях для уравнения /I/ с растущими коэффициентами доказаны в классах растущих функций, причем класс функций, в котором имеет место единственность решения первой начально-краевой задачи в неограниченной области, определяется геометрическими характеристиками области. Эти теоремы получены с помощью априорных оценок, аналогичных принципу Сен-Венана в теории упругости, которые выведены в диссертации методом весовых функций, предложенным О. А. Олейник и Г. А. Иосифьяном в [21]. Этим методом получены также априорные оценки решений задачи без начальных условий, из которых следует единственность решения данной задачи.

С помощью оценок, аналогичных принципу Сен-Венана, в диссертации доказаны теоремы о существовании обобщенных решений задачи Коши, первой начально-краевой задачи в неограниченной области и задачи без начальных условий на основе метода, разработанного О. А. Олейник и Г. А. Еосифьяном в Г25], а также исследовано поведение решений начально-краевых задач и их производных по 5С в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности с помощью метода, предложенного О. А. Олейник и Й. Копачеком в [281. Априорные оценки сен-венановского типа для псевдопараболического уравнения /3/ получены в [22, 23], а для уравнений более общего вида в [24].

Изучению асимптотического поведения решений задачи Коши и краевых задач в цилиндрических областях для псевдопараболических уравнений при / —посвящены работы [II], [12], [14], [27], [26].

В диссертации получены оценки, характеризующие поведение решений первой краевой задачи для уравнения /I/ при ^ в нецилиндрических областях, учитывающие геометрические характеристики этих областей.

Следует отметить, что теория псевдопараболических уравнений является в настоящее время активно развивающейся областью теории дифференциальных уравнений в частных производных и различным ее аспектам посвящены, кроме перечисленных ранее, работы [29,30], [34−48].

Перечислим коротко основные результаты диссертации. В главах I-II уравнение /I/ рассматривается в области где£> - область пространства с кус очно-гладкой границей, ^ .

Пусть функции /71У /7Г/ // ^ ^^дг измеримы и ограничены в любой конечной подобласти области (r п. Цгсть тfyxMJitfi, efx,*)90, mfx/j-jtrrix/zJ)? О, Ъ/Н. .,/1) для всех пусть существуют1 постоянтае^//^^.

P^d*/ иуЗ>.

-/4 * г? Л- *4 ifu'/'dfa-im^), фр^^ЦфЦ в & при всех. В случае, когда? О в ^.

S. «положим и-0 .

Заметим, что полученные результаты можно распространить на более широкий класс уравнений, так как заменой ^ уравнение /I/ сводится к уравнению для функции V (xt {) .

Пусть задано начальное условие.

5/ и граничное условие и/п =0, /6/ 7.

— 7 где Х€у, C?

В главе I строятся классы единственности и существования решений задачи Коши и первой начально-краевой задачи в неограниченных областях для случая растущих начальных данных. Для этого предварительно выводятся энергетические оценки, аналогичные принципу Сен-Венана в теории упругости. В § I вводятся некоторые обозначения и понятия, формулируются определения функциональных пространств и для элементов этих пространств доказываются неравенства, аналогичные неравенству Фридрихе а. В § 2 доказывается теорема о существовании и единственности обобщенного решения первой начально-краевой задачи в ограниченном цилиндре. В § 3 сначала выводятся энергетические оценки типа Сен-Венана, а затем на основе этих оценок доказываются теоремы о существовании и единственности обобщенного решения задачи Коши в классах растущих функций..

Пусть СО — некоторая подобласть области Q. Обозначим хеа), C?</<Г}9 Од (т)=/х}1: Х? СО, 77..

Для любых целых неотрицательных чисел ^ и % через tytfOv^) обозначим пространство функций, полученное пополнением по норме iub % - (J 27^fdxdif м.

Q Ms множества бесконечно дифференцируемых в Q. функций Шя, ?) с компактным носителем в Q v 6*, где 6″ С $UСО (о). Положим H^ft (Q) -Щр Через Н<�£ (О) %) обозначим пространство функций, полученное пополнением по норме ггА-ЛТГ.

Т СО множества бесконечно дифференцируемых в СО функций V (x) с компактным носителем в СО 4, где fr^cdcd ..

Пусть для любого ограниченного цилиндра Q xijeLjQ), уМеН^^улди)..

Определение I. Функция С1(ОС,{) называется обобщенным решением задачи /I/, /5/, /6/ с Г^-Г в неограниченной области (г, если для любого ограниченного цилиндра QC G~ функция Uу ^ Hf1 [Q7 a) W (SO г)] и если при любой функции VCXjijGHfO (Q} S) выполнено интегральное тождество.

У +mcu. v + rnu, v + vx, + ?LUX V * guv) dxdi-Sfvdocdi. /8/ a.

В случае ]??-/$ ^ заДача /^У" /5/, /б/ является задачей Коши и изучается в § 3..

Обозначим ={сс: /к/<�А}7 = ty * Щ T) t S^ = дсО^Щ.

Еfau^mtUi ищ+Uxc + (т)ul.

Пусть m^J-^/ntf. Л? D {/X/) и пусть в случае, когда О в? , выполнено одно из условий: либо * либо /nVfcW-fi? к*, охот*для любых ¦ (%,?)& G", где /7?0(А) и /71ое>(&-) — (функции, измеримые и ограниченные снизу положительными числами на каждом конечном отрезке с[0}, положительная функция, измеримая и ограниченная на каждом отрезке [Ai} с ft ooj..

Лемма I. Пусть U (X?i) является обобщенным решением задачи Коши /I/, /5/. в слое &' СССJR%} и в, (ffx)S О в СОи. Тогда для любого справедлива оценка f ' J Л Га, AW//uJe^etxeU- /10/.

С Яс где Н, jlf/stfyлюбая непрерывная на Г Л о, функция, удовлетворяющая соотношению о<�Л&*1<�гшЛil^'^fl /п/ i-d ^ reWl/Spfa^f^dSjJ, где^Тс — множество бесконечно дифференцируемых в окрестности % функций, равных нулю в окрестности.

S^/lo)^ (о), dSэлемент /Iмерной поверхности <5^ ..

Оценка /10/ соответствует принципу Сен-Венана в теории упругости. С ее помощью доказывается следующая теорема о единственности обобщенного решения задачи Коши..

Теорема I. Пусть функция i) является обобщенным решением задачи Коши /I/, /5/ с^бО в @ и в.

IR^ и пусть при некотором Я (//} А) — непрерывная на Г (?,°о) функция, удовлетворяющая соотношению /II/ при А^О. Тогда, если для некоторой последовательности положительных чисел такой, что 4X7 при, выполнены соотношения $ £(/г? и) е.

-ytdxdi где Sfttxl^O при, то U^O в (г..

С помощью доказанных в § I неравенств, аналогичных неравенству Фридрихе а, оценивается и показывается, как можно выбрать jIпри различных условиях на коэффициенты. В частности, для уравнения ~0 в * (OtT) легко показать, что в качестве.

Л fa А) можно взять Решение данного уравнения с начальным условием 0 = О вида где е’со, 7]и а (о)=Ш=оч показывает, что условие /12/ в определенном смысле неулучшаемо..

Теорема 2. Предположим, что существует бесконечная последовательность ограниченных цилиндров ~C*)j х 0, f таких, что ф (/<2- - 0.

I/ в G/(+ / с С? t удовлетворяющим начальному условию W^q-O на, выполняется оценка? Си, nr) e'^dxdi & e4j? Cu, W^dzdt..

Пусть /71 в (г и выполнено условие /9/, а на рост и Cf (x) наложено следующее ограничение ri. Mf **/>{(*-*)/(} где постоянные^, at, ^ не зависят от /С и удовлетворяют неравенствам 0< 7 О ,.

SECurfe^dxM AfaG)* Щ -..

JWv (Q) 1 SЦ* е'^dTdt / ltrt6Htof", S) J Q.

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи Коши /I/, /5/, для которого имеет место оценка $ E^uuje^c/xdt * J/4 яхр где постоянные и не зависят от /С..

Аналогично для первой начально-краевой задачи в неограниченной области в § 4 сначала выводятся оценки типа Сен-Венана, учитывающие геометрические свойства области и затем с их помощью доказываются теоремы о существовании и единственности обобщенного решения. При этом рассматриваются области «й?, лежащие в полупространстве /сс: CCf>C>J, у которых пересечение с гиперплоскостью }f не пусто и ограничено, а также области &, имеющие конечное число ветвей, уходящих по различным направлениям в бесконечность..

1. Ц № А сж&'/гр /ytocess atccou^ta^ to thfp — /e/nfteta. -ture tAeoty cf dtat conduction, У. ftatt. Ала/..

2. Cicn truttm Af.f. % a /tieoiy of? eat condue-iion involving^uro fem/ieratures, 2. any ей/. fiat A. FAys., v. /9, А/У, jo..

3. Баренблат Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах, Приклад, матем. и мех., I960, т.24, в.5, стр. 852..

4. Та, у? ог Ъ. IV.^eseatcA on consolidation of CarngsUdpe, MI. Т. Press, fMt.5. fliine f.A. TAe diffusion of irn/irisoned radiaiion l-fateupA a ffas, У Load. tfaM. Sec.,.

5. Ting. T.W. Сег{а?п поп-steady ftozc/s of Second (ъсйг fluids, Arc A. rat. dec A. /W, ШЗ, * A/ly p. 1−26..

6. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв, M.: Наука, 1976..

7. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа, М.: Изд-во АН СССР, 1959..

8. Гальперн С. А. Задача Коши для систем линейных уравнений с частными производными, Тр. ММО, I960, т.9, с.401−423..

9. Костюченко А. Г., Эскин Г. И. Задача Коши для уравнений Соболева-Гальперна, Тр. ММО, 1961, т.10, с. 273−284..

10. Сувейка И. В. Смешанные задачи для одного нестационарного уравнения, Матем. исслед., 1980, в. 58, с.99−123..

11. Rao VP Пку 7! w. SduUons tf pseudo-Tieat equations In 7Ae ггг&еГе Sfiuce, АгсЛ. Pa7iena? died, and Ana?, 7971, к 99, /V/, />. 57−71.

12. Pao VP.&.f Ting. TW. Jndiaf-trafae fit eg ferns fa /ismdo-/iara?o7ic dt{fete/itia? equations, Indiana Univ. P7a77i. «7, /973, Л7Л, р.73Н53..

13. Cos пег C. PundeMW. Uniqueness classes fa joseu-dofta^caSodc equations шМ unfounded coe/fi/u'tnfy Com тип. Pazi ftiffe*. Pqua{ 70Ы, //. ^ /Vf, jo..

14. Леонтович B.M. Задача Коши и смешанная задача для сильно квазипараболических систем и систем квази-Шредингера, Докл. АН СССР, 1973, т.210, № 2, с.263−266..

15. SheAw. М., Pu/zdM IV Maximum fiti/tuples fa /iseudcpazaSo&'c /шгй'а? di/{eten7i'a? equations, У. Mad. Aaa? and 797% v. 57, /V/, p. HP-//S..

16. Pundent W.} SlecTiei № Tfe no/i/wsditrdtp So7u7ions 7о fiseudofza taSofc с equa7i.

17. Benedetto ?, Pietxe M Pn Ш maxi/пилг yivinccyife foi fiseudofia %aioAic e^aaAions, J/idcana Vhw АША. Zf m/, i/. 30, A/S,/>.m-fM..

18. Олейник O.A., Иосифьян Г. А. Прищип Сен-Венана в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармонического уравнения в неограниченных областях, Сиб. матем. журн., 1978, т.19, № 5, C. II54-II65..

19. SigCifato Vfi Fxfwaenh’a? decay pf funcde/iaAs of Solutions of a /tseudo/га ш io&'e e^aA'ons, Si AM / /%г//1 Ma А, /т, p W-ftr..

20. A/piyan ?.(?., WAieeAev A. 7! A s/ietu'aZ decay tshmate foz yzsmdoytaraioAi’e e^uadons, Ac tiers In AflpP. and fny/neeu'ny Sciences, Wt>} 1/.дг p. гзг-мв..

21. Намазов Г. К., йскендеров И. Т. Энергетическая оценка решения: г краевой задачи для псевдопараболического уравнения, 1981,974.81 ДЕП..

22. Ofu’nCc 0? А, Уosif tan £.А. Brnndat^ vaiut firoSAems fa, second oidei eAiiptic equations In unboundeddomains and Scan AVenant’s yiuncijoAe? A ft/А/A LI deAia SCI/OLA A/0 A A//} LA cAasse di m’ense, sezt’e /I/ и /К /• ^.

23. SAowaAtei A.E., Tiny A7 Id PseudofiataAo&e /шгАшАdtffeteadai efua&oa, SI AM 7. AlaAA. Ana A, mo, Y. a, p.</-jce..

24. S&owa?ter A. A, T/ng TW. Asymptotic АеАа^/огof solutions pf /iseudofiaxaSo&c. /гаг?са? dtf-fevenh'af equations, Ann. Mai. Рига. A/jpf. Set. ^ /Щ к 9o? pMt-tf*..

25. Копачек И., Олейник О. А. О поведении решений системы уравнений теории упругости в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности, Тр. ММО, 1981, т.43, с.260−274..

26. Тспр T.W. PataM’a and /iseuUo/uctaSo^e. funka-f dcffeteatca? equalce^ 7. See. Ja/tan^.

27. Cctflen Pfeudcfta e.^uah'c>/zs in одеSfiaee vauale, X Яс/f. №Лг v. /Л, f. 56f..

28. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений, УМН, 1976, т.31, в.6,с.142−166..

29. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными, Изд-во МГУ, 1976..

30. Иосида К. функциональный анализ, М.: Мир, 1967..

31. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса, Дифференц. уравнения, 1982, т.18, Р2, с.280−285..

32. Канчукоев В. З., Шхануков М. Х, Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения, ффференц. уравнения, 1979, т.15, PI, с.68−73..

33. Шхануков М. Х. 0 некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений, Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, PI, с.145−152..

34. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А. М. Нахушева, Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № 1, с. 163−166..

35. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах, Дифференц. уравнения, 1982, т.18, № 4, с.689−699..

36. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач для урав-, нений третьего порядка, Докл. АН СССР, 1982, т.265, № 6,с.1327−1330..

37. Сувейка И. В, 0 разрешимости смешанных задач для одного нестационарного уравнения, Матем. исслед., 1980, в.58,с.124−140..

38. Атаманов Э. Р. Теорема существования решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения с данными на оси времени, Исслед. по интегро-дифференц. уравн. /Фрунзе/, 1981, № 14, с.295−307..

39. Cotto/i %).?. Pa ana^tcc Мео^ ^ /гread?~ ^аш&е&'с equations, Ouatl Pzfitd.

40. XuadM iVt S/kc/m А/. /?€mavfc co/uetnibg Me su/ifiov/s 0/ Jp&ih'pns f/smdo/iawfa&c. e^ccah'p/is, Ptoc. /i/vet. Af/)M. See. </№, и 63,.

41. Ри/idef/ W Ttie S/e/an /it 06/em a udo Леа/ e^ua&'o/i, Indiana с/кгж А/а/A. X, /• /39-?/?c?..