Об аппроксимативных свойствах классических средних и арифметических средних с пропусками тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных рядов

Настоящая работа посвящена изучению аппроксимативных свойств некоторых средних тригонометрического ряда Фурье в одномерном и многомерном случаях. Эти вопросы изучены в связи со свойствами гладкости функций.

Подобными вопросами занимались многие авторы и в этом направлении получен ряд важных результатов.

Пусть и ряд оо у- + 21 (Ч ^^Х А6П кху является ее тригонометрическим рядом Фурье. Обозначим через бЩ сопряженный к ряд рр

6[Д = (акмп кх-вк сс&кос).

В вопросах сходимости ряды и для различных функций ведут себя различно и не всегда обладают «хорошими» свойствами. Например, хорошо известно ([I], стр. 412−421), что существует интегрируемая функция со всюду расходящимся рядом Фурье.

Поэтому, оказалось целесообразным рассмотреть различные методы суммирования применительно к расходящимся рядам Фурье. Основные из этих методов — методы Чезаро и Абеля. Определения средних Чезаро и Абеля даны в § I первой главы настоящей работы.

Г. Алексич [24] и А. Зигмунд [32] исследовали вопрос о скорости стремления (X-^J к ^Х), где ^(рС) определена соотношением (1.1.12).

А.Д. Щербина в работе [23] указал необходимое и достаточное условие для того, чтобы $) ~ —О я при Ц—" ОО, где среднее Валле-Пуссена }^ определено соотношением (1.1.9), а ^ - соотношением (1.1.10).

Некоторые авторы занимались вопросами суммируемости подпоследовательностей частичных сумм рядов Фурье. В частности, З. Зальц-вассер [31] исследовал вопрос поведения выражений вида п Ы к в смысле сходимости почти всюду.

Д.Ньюмэн [26] и А. С. Байарстанова [2], [3] исследовали вопрос поведения выражений вида к-0 2 в смысле сходимости по норме пространств С и //.

В настоящей диссертации доказаны результаты, тесно связанные с вышеупомянутыми вопросами.

Приведем краткий обзор основных утверждений данной работы. Диссертация состоит из трех глав. Теоремы, следствия, леммы нумеруются внутри глав — номер главы, номер параграфа, номер теоремы (соответственно, следствия, леммы). Первые параграфы в каждой главе уделены предварительным замечаниям.

В первой главе исследуются некоторые аппроксимативные свойства средних ип и продифференцированного ряда ^ (за обозначениями см. § I первой главы). Они связаны с работами Г. Алексича [24], А.В.В$имова [б], А. Зигмунда [32], Л. В. Жижиашвили [7], П. Л. Ульянова [21], А. Д. Щербина [23].

Имеет место то.

Теорема 1.2.1. Пусть р'^ или /Э-+со (1%С]. а) Если множество! г, Гп£ N, О-^/п^Ь ограничено, р $) Если же £ип (П'Гп).

ОО, ТО.

До.

ТГт)^. казательство этой теоремы дано в § 2 первой главы. В § 3 первой главы доказана следующая теорема (уточняющая известный результат А. И. Пдесснера и И. И. Привалова (см., соответственно, [27] и [16])): Теорема 1.3.1. Если />?/7, + со], и является гладкой в к, то для г>хо>0.

1 ?(хНП (хН)-2Дх) с.

1Р а-г)я 1 м.

Из этой теоремы получается ряд следствий. Приведем некоторые из них.

Следствие 1.3.2. Если, то с.

Следствие 1.3.3. Цусть. Тогда.

В § 4 первой главы доказан результат, аналогичный теореме 1.3.1 для средних Чезаро. Именно, справедлива.

Теорема 1.4.1. Предположим, что является гладкой в. Тогда а) если, то.

I^Щ?3**1 л.

1 Ш | ЬУ (Н * П-" ] Л I — б) если же, о (е[з, то.

1р

Полученные оценки в определенном смысле окончательны. Из теоремы 1.4.1 получаются следствия, аналогичные следствиям теоремы 1.3.1.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам аппроксимативного поведения средних Чезаро и Абеля кратных тригонометрических радов.

Фурье.

Во втором параграфе этой главы доказана теорема, которая обобщает результат Л. В. Жижиашвшш [7] на случай многих переменных. Эта теорема уточняет другой результат Л. В. Жижиашвили ([6], стр. 185, теорема 35) и соответствующее утверждение М.А.Субханку-лова ([19], теорема 8.5.1).

Итак, в обозначениях второй главы (см. § I второй главы) справедлива.

Теорема 2.2.1. Если Щ*),^-, +оо].

Г П-1.

Д, / .Иг/ П’С.

П Ц>п1е, о<1(то. , 1ООь (4-р/и.

ХД ^К^е] + П ¦ J.

Из этой теоремы получаются некоторые следствия. Например, Следствие 2.2.1. Если V ьп/ при 50-^0(о= то ип.

ПгГоо 0,.

Возникает вопрос: насколько существенны требования (I), в смысле, нельзя ли заменить О через О в (I)? В £том направлении первый результат получил Дк.О.Бэзингер в [25] для случая двух переменных и метода (С, 4). Следующая теорема дает окончательный ответ на поставленный выше вопрос:

Теорема 2.2.2. Существует функция такая, что.

Ыпри.

Б—Ои.

ГП^~>оо /.

3 + оо.

ОС"^,.,^], о^>0 = 0 = (0у", 0).

В § 3 второй главы для метода суммирования Абеля приведены результаты, аналогичные результатам § 2. Теорема 2.3.1 обобщает результат М. А. Субханкулова ([19], (8.5.5)) на случай многих переменных.

В третьей главе диссертации рассмотрены вопросы суммируемости подпоследовательностей простых и кратных рядов Фурье.

В § 2 этой главы доказана следующая.

Теорема 3.2.1. Пусть • Тогда у п.

5Н ре^у Пт со Р.

2Ч.-, 2т1 т обозначения см. § I третьей главы). Из этой теоремы вытекает следующее Следствие 3.2.1. Если при то У О при ¡-п-> оо •.

Здесь тоже возникает вопрос о существенности требований (2). Ответ на этот вопрос для ?&с (С-% ТГ) дает следующая.

Теорема 3.2.2. Существует функция ^ 6 С (['% V*], для которой У при.

ХбШ] и вместе И п. с тем ъм-т^о при /71-*¦ оо.

В одномерном случае утверждения следствия 3.2.1 и теоремы 3.2.2 были доказаны А. С. Байарстановой в работах [2], [3].

В конце второго параграфа приведен результат относительно т.н. «смешанных» средних (с индексами и ^), доказательство которого мало чем отличается от доказательства теоремы 3.2.1.

В § 3 третьей главы в многомерном случае исследован вопрос о поведении «средних Зальцвассера» для пространств С и I. Именно, доказана.

Теорема 3.3.1. Для У имеем biHM —о при т—* оо.

В конце этого параграфа приведена теорема 3.3.2, аналогичная теореме 3.3.1.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1214].

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, члену-корреспонденту АН ГССР, профессору Л.В.Жижиа-швили за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

1. Бари H.K., Тригонометрические ряды. Москва, 1961.

2. Байарстанова A.C., Суммирование подпоследовательностей частных сумм рядов Фурье. Сиб. мат. журн., XX, № 6, 1979, 11 851 197.

3. Байарстанова A.C., Суммирование подпоследовательностей рядов Фурье. Вестн. Моск. ун-та, сер. I, математика, механика, № I, 1980, 29−33.

4. Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. Москва, 1977.

5. Ефимов A.B., Приближение сопряженных функций суммами Фейера. УМН, 14, J6I, 1959, 183−188.

6. Жижиашвили Л. В., Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси, 1969.

7. Жижиашвили Л. В., Обобщение одного результата А.Зигмунда. Со-общ. АН ГССР, 102, № 3, 1981, 553−555.

8. Жижиашвили Л. В., Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси, 1983.

9. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. I. Москва, 1965.

10. Зитаунд А., Тригонометрические ряды, т. 2, Москва, 1965.

11. Лекишвили М. М., 0 приближении периодических функций средними СС, cxj. Мат. сб., 121 (163), № 4 (8), 1983, 499−509.

12. Леладзе Д. В., О сопряженных тригонометрических рядах. Сообщ. АН ГССР, 112, № 2, 1983, 241−243.

13. Леладзе Д. В., 0 сопряженных тригонометрических рядах. Сообщ. АН ГССР, 115, гё 3, 1984, 497−500.

14. Леладзе Д. В., О суммировании тригонометрических рядов Фурье. Сообщ. АН ГССР, 116,)(3 2, 1984,.

15. Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и те оремы вложения. Москва, 1977.

16. Привалов И. И., Интеграл Коши. Саратов, 1919, 61−104.

17. Степанец А. И., Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев, 1981.

18. Стечкин С. Б., 0 приближении периодических функций суммами Фейера. Труды ШАН, /ХП, 1%1, 48−60.

19. Субханкулов М. А., Тауберовы теоремы с остатком. Москва, 1976.

20. Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного. Москва, I960.

21. Ульянов П. Л., 0 приближении функций. Сиб. матем. ж., 5, 1964, 418−437.

22. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г., Неравенства. Москва, 1949.

23. Щербина А. Д., Об одном методе суммирования рядов, сопряженных рядам Фурье. Мат. сб., 27, № 2, 1950, 1957;1970.

24. Alexits G., Sur l’ordre de grandeur l’approximation d’une fonction par les moyennes de sa serie de Fourier, Mat. Fiz. Lapok, 48, 1941, 410−422.

25. Basinger J.O., Cesaro summability of the conjugate series and the double Hilbert transform. Proc. Amer. Math. Soc., 56, 1976, 177−182.

26. Newman D.J., Summability methods fail for the 2Kth partial sums of Fourier series. Proc. Amer. Math. Soc., 45, № 2, 1974, 300−502.

27. Plessner A.I., Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen. Mitt. Math. Seminar Universitat Glessen, 10, 1923, 1−36.

28. Biesz M., Sur la sommation des series de Fourier. Acta Sei.Math.(Szeged), 1, 1925, 104−113.

29. Salem R., On strong summability of Fourier series. AJM, 77, 1955″ 393−403.

30. Young W.H., On the mode of oscillation of a Fourier series and its allied series. Proc. Lond. Math. Soc., 12, 1913, 433−452./.

31. Zalcwasser Z., Sur la sommabilite des series de Fourier. Studia Mathematica, 6, 1936, 82−88.

32. Zygmund A., On the degree of approximation of functions by theil? Fejer means. Bull. Amer. Math. Soc., 51, 1945, 274−278.