О приведенных регулярных непрерывных дробях

Одним из инструментов исследования в теории диофантовых приближений является аппарат непрерывных дробей. Статистические свойства разложения действительных чисел в непрерывные дроби исследовались еще Гауссом. В первой половине XX века этим вопросом занимались Кузьмин [7, 8], Хинчин [18, 19], Леви [30] и некоторые другие математики. Систематическое изложение теории цепных дробей есть, например, в книгах Перрона [34] и Хинчина [17].

Статистические свойства конечных цепных дробей исследовали Локс [31] и Хейльброн [27].

В последнее время к этим вопросам вновь проявился интерес. Здесь следует отметить ряд работ Быковского [4], Авдеевой [1, 3], Быковского и Авдеевой [2], Устинова [10, 11, 12, 13, 14].

Настоящая диссертация, в основном, посвящена исследованию статистических свойств конечных приведенных регулярных непрерывных дробей. Приведенной регулярной непрерывной дробью (ein reduziert-regalmaessiger Kettenbruch [34]) называется выражение следующего вида: t0]ti, t2,.. •. •) = ¿-о——> (1) 4 где все tn — целые, Ьп ^ 2 при п ^ 1. Всякое действительное число г единственным образом представляется в виде приведенной регулярной непрерывной дроби (¿-о- ¿-ь ?2,.,?-,¦••)> где ¿-о = ГГ1 (верхняя целая часть г), ¿-п > 2 при п ^ 1 (такие дроби рассматривались Перроном [34, Глава I], а также Финкелыпнейном [15]). Для рационального числа г представление в виде (1) конечно и однозначно определено. Пусть г = (¿-о- ?1, ?2, ¦ • • Длину I приведенной регулярной непрерывной дроби, представляющей рациональное число г, обозначим через 1(г).

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней доказываются простейшие свойства приведенных регулярных непрерывных дробей. Отметим, что множество подходящих дробей приведенной регулярной непрерывной дроби числа г совпадает со множеством всех подходящих и промежуточных дробей обычной непрерывной дроби числа г, не меньших этого числа (т. е. с множеством всех целых точек, лежащих на верхнем полигоне Клейна).

В первой главе также доказывается лемма, позволяющая свести задачу нахождения суммы длин всех приведенных регулярных непрерывных дробей чисел а/Ь, где а, 6? М, а ^ Ь ^ к нахождению числа решений системы неравенств.

Во второй главе диссертации получена трехчленная асимптотика со степенным понижением в остаточном члене для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби чисел а/Ь, где а, Ъ € М, а ^ Ъ ^ /2, Я — действительное число, большее 2.

Обозначим через N (11) сумму ^^ ^^ / (а/6) длин всех таких 5 2 ТУ Я ^ дробей, тогда Е (К) = Гр1/Гг>1, будет средней длиной. 1).

Длина обычной непрерывной дроби в (а/Ь) числа а/6 есть число шагов в классическом алгоритме Евклида, примененном к числам, а и Ъ. Этот алгоритм использует деление с остатком: а = + г, дбй, 0 ^ г < 6.

Аналогично можно рассматривать длину приведенной регулярной непрерывной дроби 1{а/Ь) числа а/Ъ как число шагов в алгоритме Евклида с «делением по избытку», т. е. а = Ьд + г, д € — Ь < г < 0.

Таким образом, величина Е (Я) является математическим ожиданием числа шагов алгоритма Евклида с «делением по избытку», примененного к числам, а и Ь, меняющимся в пределах.

Вопрос о поведении средней длины для обычных непрерывных дробей был впервые исследован Хейльбронном в работе [27]. Он выделил главный член асимптотики для средней длины, где усреднение ведется по числителям: щ? = 1оёа+° 0°ё41оё <0 ¦

Статистикам конечных непрерывных дробей посвящены также работы Локса [31], Кнута [29], Попова [9]. Позднее Портер [35] для того же среднего получил асимптотическую формулу с двумя значащими членами: с?<0 = 1 где е — любое положительное и число.

1 2 носит название константы Портера.

При усреднении по числителям и знаменателям вероятностными и эргодическими методами ряд результатов был получен Диксоном [22], Хенсли [23], Балле и Балади [41]. В 2000 году Балле [39] была доказана, асимптотическая формула для средней длины со степенным понижением в остаточном члене. Последний результат в этой области принадлежит Устинову [10], который получил асимптотическую формулу с лучшим, чем можно получить из результата Портера, понижением в остаточном члене:

Что же касается приведенных регулярных непрерывных дробей, то в 2003 году Балле, исследуя статистические свойства различных видов алгоритмов Евклида в работе [40], с использованием вероятностных и эргодических методов получила, в частности, главный член асимптотической формулы для математического ожидания числа шагов алгоритма Евклида с «делением по избытку», а следовательно, и для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби.

В настоящей диссертационной работе на основе подхода, предложенного Устиновым в работе [12], получен более сильный результат, чем у Балле [40, Теорема 5].? зШ = ^ 1о6 я+В + О (Л-11оЕ6 Я), где 7.

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 1. Для действительного Я —> сю справедлива следующая асимптотическая формула: дзета-функция Римапа, 7 — константа Эйлера. Можно также рассматривать сумму длин приведенных регулярных непрерывных дробей только по взаимно простым числам а, Ь, и, соответственно, среднюю длину таких дробей Е*(Я). Тогда каждая приведенная регулярная непрерывная дробь рационального числа, не превосходящего 1, со знаменателем, не превосходящим Я, будет учтена ровно один раз.

Е{В) = С21оё2 Я + Сг 1оё Я + С0 + О (Я'11оё5 Я) где 8.

Следствие 1. Для действительного R —" оо справедлива следующая асимптотическая формула:

Е*® = С2 log2 R + C1 log R + Cq + O (R~l log6 R), (2) где.

С — 1 Г — 1 (Vv 3 9С'(2Л.

Cl «02) I 7 «2 2 cWy ' с (2) I27 ~37+г2?й» 127 V ±?(2)-).

Третья глава диссертации посвящена исследованию предельной функции распределения последовательности множеств рациональных чисел, у которых сумма неполных частных приведенной регулярной непрерывной дроби не превосходит фиксированного числа, а также аналогичной функции, связанной с разложением в непрерывную дробь «с минимальными остатками».

Остановимся подробнее на сравнении различных видов алгоритмов Евклида. Обычный алгоритм Евклида, примененный к числам, а и Ь, приводит к разложению действительного числа х в непрерывную дробь классического вида: х = [а0- аь а2,.. ., а8,.] = а0 Ч——, (3) ах Н-а2 +.. + а, + ¦ • • где ао 6 Ъ, а, 6 N при Для ж 6 представление в виде (3) является конечным, и, для однозначности разложения рационального числа, будем считать, что последнее неполное частное а8 ^ 2. 9.

Если обозначить сумму ао + а +. + as неполных частных разложения (3) числа х через S^a (b) и.положить.

Тп ¦¦= {х е Q, ж 6 [0,1]: S[%г) < П + l}, то окажется, что множества Тп — это так называемые последовательности Штерна-Броко.

Назовем F{x) предельной функцией распределения последовательности Мп конечных подмножеств отрезка [0,1], если lim Fn (x) = F (x), п—"oo.

Предельная функция распределения последовательности JFn, совпадает с известной функцией Минковского введенной Г. Минковским [32]. Свойства функции ?(х) подробно исследуются в работах [21], [42], [43], а также [28].

Алгоритм Евклида с делением «по избытку» приводит к разложению действительного числа х в приведенную регулярную непрерывную дробь (1). Обозначим сумму clq + cliК. неполных частных разложения (1) рационального числа х через и введем множества.

Hn = [х е Q, Ж G [0,1]: SM (x) < п + 2}, аналогичные множествам Тп. Предельную функцию распределения последовательности множеств обозначим через .рШ (ж).

Наконец, алгоритм Евклида, в котором при делении выбирается минимальный по модулю остаток:

Ь ь, а — bq + г, ~2<г²' ^.

1U приводит к разложению в непрерывную дробь с минимальными остатками х.

— ?I о- —5 ¦ • • 5 — 5 • • а щ а0 Ч—, (5) 2 ах Н-I а2 +. + щ +. где а0 е = ± 1 и а^ ^ 2, а^ + ?-,-+1 > 2 при ^ ^ 1. В этой дроби присутствуют как знаки «+», так и «-». Такие дроби имеются в книге О. Перрона [34], а также в работе Ригера [33]. Для х € (0? представление в виде (5) является конечным, и, для однозначности этого представления, в случае когда последнее неполное частное щ — 2 полагаем е/ = 1.

Устинов в работе [11] доказал следующие асимптотические формулы для средней длины дроби с минимальными остатками: о1б) = 1 где 1'{а/Ъ) — число неполных частных в разложении (5) числа а/Ь, <р = а Сз, С, а — некоторые указанные постоянные.

Сумму ао + а +. + а неполных частных дроби (5) рационального числа х обозначим через ¿-^(я) и рассмотрим последовательность множеств {х е О, х € [0,1]: 5[21(х) < п + 1} .

Предельную функцию распределения последовательности множеств 2п обозначим через.

В 1938 году Денжуа в работе [21] ввел в рассмотрение функции к (х, а), а 6 (0,1), х € [0, оо), обобщающие функцию Мин-ковского ?(х). А 1995 году, в работе [38] Тихий и Уитц рассмотрели однопараметрическое семейство сингулярных функций дх, А? (0,1), аналогичных функциям к (х, а) (определение функций к (х, о-), д приведено на с. 74). Для х е [0,1] функции к (х, а) и дх связаны соотношением к (х, а) = 1 — (1 — а) д^а (х).

Функция ?(х) является членом семейства дх (х) с, А = ½. Одним из основных результатов третьей главы диссертации является следующая теорема.

Теорема 3. Функция дт2, где г2 = т = совпадает с функцией распределения последовательности то есть хе [0,1].

Что же касается функции .р[21(.т), то она не является членом семейства дх{х), но обладает похожими свойствами. В главе 3 показано, что при х? [0,½] выполняется функциональное уравнение, а также доказаны следующие теоремы.

Теорема 4. Справедлива следующая формула, выраэюающая значение Е^{х) — х € [0,1], через неполные частные разложения (5) числа х:

12 где.

Ез = П (-*)> =.

Л — единственный действительный корень уравнения.

А3 — Л2 — Л — 1 = О, ас — 1 / (Л — 1). Для рациональных х сумма в выражении для будет конечной.

Теорема 5. Если в точке х € (0,1) у функции существует производная, то либо .РИ (х) — 0, либо (х) — оо.

Из теоремы 5 следует, что функция как и функции из семейства д, является сингулярной (т. е. (х) существует и равна 0 почти всюду в смысле меры Лебега).

Автор выражает благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н. А. В. Устинову и д.ф.-м.н., профессору Н. Г. Мо-щевитину за постановку задачи и помощь в работе. Автор выражает благодарность заведующему кафедрой теории чисел чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко и всему коллективу кафедры теории чисел. Автор благодарит к.ф.-м.н. И. Д. Кана за постоянное внимание к работе. Данная диссертационная работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09−01−371-а).

1. М. О. Авдеева. Распределение неполных частных в конечных цепных дробях. — Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 2000, с. 19.

2. М. О. Авдеева, В., А. Быковский. Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина. — Препринт ДВО РАН № 08, Дальнаука, Владивосток, 2002.

3. М. О. Авдеева. О статистиках неполных частных конечных цепных дробей. — Функц. анализ и его прил. т. 38, Я2 2, 2004, с. 1−11.

4. В. А. Быковский. Оценка дисперсии длин конечных непрерывных дробей. ФПМ, t. И, № 6, 2005, с. 15−26.

5. Галочкин А. П., Нестереико Ю. В., Шидловский А. Б.

Введение

в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

6. А. А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел. — М., Наука, 1983.

7. Р. О. Кузьмин. Об одной задаче Гаусса. ДАН ССР, 1928, с. 375−380.

8. Р. О. Кузьмин. К метрической теории непрерывных дробей. — Ученые записки ЛГУ, сер. матем. наук, вып. 15, 1948, с. 163−173.111.

9. В. Н. Попов. Асимптотика суммы сумм элементов непрерывных дробей чисел вида а/р. — Аналитическая теория чисел и теория функций. 2, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 91, Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л., 1979, с. 81−93.

10. А. В. Устинов. Асимптотическое поведение первого и второго м. оментов для числа шагов в алгоритме Евклида. — Известия РАН, т. 72, № 5, 2008, с. 86−216.

11. А. В. Устинов. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором минимального по модулю остатка. — Матем. заметки, т. 85, № 1, 2009, с. 153−156.

12. А. В. Устинов. О статистических свойствах конечных цепных дробей. — Труды по теории чисел, Зап. научн. сем. ПОМИ, 322, ПОМИ, СПб., 2005, с. 186−211.

13. А. В. Устинов. О статистиках Гаусса-Кузьмина для конечных цепных дробей. — Фунд. и прикл. математика, т. 11, 2005, с. 195−208.

14. А. В. Устинов. Вычисление дисперсии в одной задаче из теории цепных дробей. — Мат. сборник, т. 198, № 6, 2007, с. 139−158.

15. Ю. Ю. Финкелынтейн. Полигоны Клейна и приведенные регулярные непрерывные дроби. — Успехи мат. наук, 1993, т. 48, Вып. 3, с. 205−206.

16. А. Я. Хинчин. Избранные труды по теории чисел. — М., МЦНМО, 2006.

17. А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М., Наука, 1978.112.

18. A. H. Xhhhhh. Metrische Kettenbruechproblem. — Compos. Math. 1935, Bd. 1, pp. 361−382.

19. A. R. Xhhhhh. Zur metrischen Kettenbruechtheorie. — Compos. Math. 1936, Bd.3, № 2, pp. 276−285.

20. J.C.Alexander, D. B.Zagier. The entropy of certain infitely convolved Bernoulli measures. — J. London Math. Soc., v. 44, 1991, pp. 121−134.

21. A. Denjoy. Sur une fonction reele de Minkowski. — J. Math. Pures Appl. v. 17, 1938, pp. 105−151.

22. J. D. Dixon. The number of steps in the Euclidean algorithm. — J. Number Theory, v. 2, 1970, pp. 414−422.

23. D. Hensley. The Number of Steps in the Euclidean Algorithm. — J. of Number Theory, v. 49, 1994, pp. 142−182.

24. S. R. Finch. Mathematical constants. ~ Encyclopedia Math. Appl., 94, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.

25. J. P. Graber, P. Kirschenhofer, R. F. Tichy. Combinatorial and arithmetical properties of linear numeration systems. — Combinatorica v. 22, № 2, 2002, pp. 245−267.

26. G.H.Hardy, E.M.Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. — Oxford University Press, Oxford, 1980.

27. H. Heilbronn. On the average length of a class of finite continued fractions. — in Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, pp. 89−96.

28. B.Vallee. A unifying framework for the analysis of a class of Euclidean algorithms. — Proceedings of LATIN'2000, Lecture Notes in Computer Science 1776, Springer, pp. 343−354.

29. B. Vallee. Dynamical analysis of a class of Euclidean algorithms. — Theoretical computer science, v. 297, 2003, pp. 447−486.

30. B. Vallee, V. Baladi. Euclidean algorithms are gaussian. — J. Number Theory, v. 110, 2005, pp. 331−386.

31. P. Viader, J. Paradis, L. Bibiloni. A new light of Minkowski’s ?(x) function. — J. Number Theory., v. 73, 1998, pp. 212 -227.

32. P. Viader, J. Paradis, L. Bibiloni. The derivative of Minkowski’s ?(x) function. — J. Math. Anal, and Appl. v. 253, 2001, pp.107 125.Работы автора по теме диссертации:

33. Жабицкая Е. Н. Средняя длина приведенной регулярной непрерывной дроби. — Матем. сб., т. 200, № 8, 2009, с. 79−110.

34. Жабицкая Е. Н. On arithmetical nature of Tichy-Uitz's function. — Functiones et Approximate, Vol. 43.1 (2010), pp. 1−8.

35. Жабицкая E. H. О непрерывных дробях с минимальными остатками. — Депонирована в ВИНИТИ, № 47-В2010, 24 с.