Категорные и бурбаковские конструкции в теории управления

Содержание

• 7. 1. 1. Введение
• 7. 1. 2. Определения
• 7. 1. 3. Примеры
• 7. 2. Категории функторов
• 7. 3. Лемма Ионеды

Данная работа представляет собой сравнение некоторых конструкций теории категорий и исчисления родов структур Бурбаки применительно к теории управляемых динамических систем. Как теория категорий, так и исчисление родов структур используются как формализмы для описания и изучения совокупностей (типов) однородных математических объектов: алгебр, топологических пространств, дифф. многообразий, дифф. уравнений (с управлением) и т. п. Оба этих формализма конкретизируют общематематические понятия подобъекта, факторообъекта, произведения семейства объектов и т. д.

В то время как в классических примерах (группы, кольца, моноиды) эти конкретизации приводят к одинаковым результатам, достаточно легко строятся примеры, в которых категорные и бурбаковские версии определений неэквивалентны. Это естественным образом приводит к задаче &bdquo-сведения" т. е. определения того как и при каких условиях можно выразить категорные понятия через бурбаковские и/или наооборот.

Очевидным результатом разрешения таких задач является возможность переносить утверждения из одного формализма в другой, например, использовать такую категорную конструкцию как эпи-моно-разложение в теории переносимости, естественным образом формулируемой в рамках исчисления родов структур.

ГЛАВА 1. ПРЕДИСЛОВИЕ Автор выражает искренную благодарность Юрию Николаевичу Павлов скому без помощи которого эта работа была бы невозможна.

Текст подготовлен с использованием diagrams. tex П. Тейлора и шрифтов LH Cyrillic, созданных в Су г TUG.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований. Код проекта 99−01−18.

Глава 2

Введение

Описание методики. Происхождение теории категорий и бурба-ковских родов структур. Их место в (мета-)математике. Аналоги: (универсальные) алгебры, наброски (sketches) и т. д.

Теория категорий была создана Эйленбергом и Маклейном в конце 40-х годов как формализм для изучения гомологических конструкций над структурами более общими чем решетка открытых множеств топологического пространства. Несмотря на то, что с алгебраической точки зрения структура категории достаточно бедна (нет всюду определенного умножения, обратных элементов и т. д.), она оказалась черезвы-чайно удобной не только для решения задач алгебраической топологии и алгебраической геометрии, но и в целом ряде других областей математики: инструмент в алгебраической геометрии и топологии — изначальная область применения категорий ([6]).

Самостоятельная ветвь общей алгебры (т.е. изучение категорий так же как изучаются группы, кольца и т. д.).

Средство унификации построений в алгебре и математике вообще. Многие понятия, естественным образом возникающие в теории категорий (универсальные отображения, сопряженные функторы, мономорфизмы и эпиморфизмы, пределы функторов и т. д.),

ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ единообразным образом описывают понятия из разных ветвей математики, помогая обнаруживать скрытые соответствия. Отсюда берет начало традиция использования теории категорий для ха-рактеризации математических объектов в стандартных изложениях той или иной теории. Как один из наиболее ранних примеров такого подхода можно указать [2].

Инструмент в мат. логике и кибернетике. Классическая мат. логика рассматривает модели той или иной формальной теории. С точки зрения теории категорий, это модели &bdquo-в категории множеств", поэтому возникает естественное желание рассматривать модели в других категориях (например, категориях групп, топологических пространств, функторов и т. д.). Реализация этой идеи позволила получить аналоги многих классических результатов (например, теоремы Геделя о полноте) для неклассических логик: интуиционистских, когерентных, модальных и др. С другой стороны, декартовые замкнутые категории являются естественными моделями для А-исчислений, фундаментальных для кибернетики.

Формализм для оснований математики. Начиная с работы [10], где была предложена система элементарных аксиом, характеризующих категорию множеств, теория категорий стала восприниматься в работах по основаниям математики, как возможная альтернатива теории множеств. Дальнейшее развитие этой темы и ее пересечение с теорией пучков привело к возникновению и изучению понятия (элементарного) топоса ([8],[7]).

Теория категорий и исчисление родов структур предлагают различные модели для описания совокупностей &bdquo-однородных" математических объектов. В разное время для этой цели были предложены и другие формализмы, например, универсальные алгебры (см. [20]), наброски (sketches, библиографию см. в [14]) и Чу-пространства (Chu-spaces). Однако, между универсальными алгебрами и категориями с одной стороны и родами структур и набросками с другой есть существенное различие: первые больше подходят для изучения математических структур уже заданных при помощи средств, лежащих вне этих формализ

ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ мов и, соответственно, предоставлют минимальные средства для порождения новых типов объектов (по двум типам универсальных алгебр, можно построить «тип-произведение», по двум категориям — категорию функторов и т. д.), в то время как формализмы второй группы предоставляют средства для построения всех типов математических объектов (как множеств со структурой в случае родов структур или как функторов специального вида в случае набросков). Например, там где при использовании родов структур можно сказать &bdquo-определим род структуры группы как. в теории категорий говорится &bdquo-рассмотрим категорию групп. предполагая при этом, что определение группы и гомоморфизма групп известно заранее. Действительно, попытки определить категории &bdquo-похожие" на категорию множеств при помощи чисто категорных методов потребовали многолетних усилий множества математиков (см. [8]).

Наиболее очевидным отличием теории категорий от исчисления родов структур является, конечно, использование морфизмов, как едиствен-ного средства изучения объектов. Такое решение связывают обычно с течением в философии математики, известным как структурализм и противопоставляемым редукционизму (т.е., сведению всех математических структур к одной), примером которого являются построения Бурбаки (теоретико-множественный редукционизм). Не вдаваясь в эту обширную тему, сошлемся на [29],[26],[27] и [28].

Глава

Постановка задачи

Описание структуры документа, обозначения, ссылки