Кубатурные формулы на развёртывающихся поверхностях

Задача о построении кубатурных формул для приближенного вычисления интегралов является одной из классических задач теории вычислений. Суть её состоит в следующем. Пусть Q — ограниченная или неограниченная измеримая область в пмерном евклидовом пространстве Е11. Кубатурной формулой называется выражение N j (x)f (x)dx ~ Z Cj f (xJ), CD Q где ~ весовая функция, f (x) — интегрируемая функция, xJузлы, Cj — коэффициенты, /I/, /V — число узлов.

Задача приближенного интегрирования состоит в том, чтобы сумму стоящую в правой части (1) подобрать с учётом выполнения тех или иных заранее заданных свойств кубатурной формулы (1).

Например, в классической постановке задачи, выбор узлов XJ и коэффициентов Cj ведётся таким образом, чтобы формула (1) была точна (обращалась в точное равенство) для всех функций некоторого множества при минимальном или фиксированном числе узлов N .

Обычно за множество Ф берётся множество алгебраических или тригонометрических многочленов, степени которых не превосходят некоторого фиксированного числа.

Пусть В — некоторое банахово пространство функций, вложенное в пространство непрерывных функций С. Погрешность кубатурной формулы (1).

— А/ f) = IZ Cjf-(JCJ) (2) Q является функционалом погрешности кубатурной формулы (1) в сопряженном пространстве • Ввиду того, что функционал (2) аддитивный, однородный, а в силу вложения В в С и ограниченный, то погрешность интегрирования оценивается неравенством 3 j, а исследование кубатурной формулы проводится с использованием оценки характеризующей, в некотором смысле, качество кубатурной формулы.

Например, можно выбирать узлы и коэффициенты Cj, чтобы достигался по всем удовлетворяющим некоторым требованиям.

При приближенном вычислении кратных интегралов любые задачи осложняются тем, что появляется новый по сравнению с одномерным случаем параметр «форма области интегрирования, Кроме того, внедрение полученных формул затрудняется быстрым ростом необходимых вычислительных операций при увеличении точности формул или кратности интеграла, как при построении формул, так и при их использовании.

Исследованиями формул приближенного вычисления кратных интегралов занимались многие авторы. Например, исследование куба-турных формул в классах функций проводилось в монографиях Бахвалова Н. С. [ 1 ], Никольского С. М. [ 26 ], Рамазанова М, Д. [47 ], Соболева С. Л. [55], а также Ермакова С. М. [ 12 ], Коробова Н, М. [ 19], Соболя И. М, [ 56]. Близкими в этом направлении к теме диссертации являются работа Блинова Н. И. [ 3 ] и совместно с Войтишек Л, В, [ 5 ], Васкевича В* Л, [ 7, 8], Войтишек Л, В, [ 9, 10], 1енсыкбаева А" А. [ 13 ], Корнейчука Н, П" [ 18 ], Половинкина В, И, [ 35 — 45] и совместно с Дидур Л, И. [ 46 ], Рамазанова М. Д" [ 48 ] и совместно с Умархановнм И, [ 50 ], Шойнжурова Ц, Б. [ 59 «63], а также обзорная работа [49]. Отметим ещё алгоритмн для внчисления кратных интегралов, использующие результаты этого направления [ 4, 58] •.

Большое число работ посвящено вычислению интегралов для об' ластей интегрирования, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, для областей, инвариантных относительно некоторых преобразований пространства Е^тлш разложимых в декартовое произведение областей меньшей размерности, Используя эти особенности удаётся построить формулы либо с меньшим числом узлов, либо с более простым способом вычисления коэффициентов, чем в случае произвольной области, Эти работы идут, как правило, в русле классической постановки задачи (см., например, монографии Мысовских И. П. [ 25], Крылова В, И. [ 20] и совместно с Шульгиной Л, Т. [21]'.

В данной диссертации построены и исследованы кубатурные формулы для многообразий типа «развёртывающихся» поверхностей. Исследование таких формул тем более необходимо, что существуют важные для приложений задачи, связанные с интегрированием функций, заданных на таких многообразиях. Эти функции можно рассматривать как функции, заданные на некоторых областях из, со специально подобранными граничными условиями.

Такой подход к построению кубатурных формул использовался неявно ранее Соболевым С. Л. [ 55 ] в связи с приближенным интег^ рированием периодических функций, которые можно считать функциями заданными на торе, а также в некоторых работах других авторов, например, [42]. Результаты, относящиеся ко второй главе, продолжают эти исследования,.

В настоящей диссертации исследуются кубатурные формулы на традиционных «развёртывающихся» поверхностях и близких к ним по строению многообразий, В наиболее общей постановке построение и исследование формул на этих поверхностях ведётся в главе 3,.

Из вопросов, связанных с интегрированием функций по поверхностям, ранее основное внимание уделялось интегрированию по поверхности сферы с использованием инвариантных формул, введённых Соболевым С, Л" [ 54 ] • Исследованиям такого рода посвящены, на* прмер, работы Коняева С. И. [l5 — 17 ], Лебедева В, И, [ 22 — 24], Салихова Г, Н, [ 51 ] «Использование инвариантных кубатурных формул, развитых в этих и других работах, оказалось весьма полезным также при построении и изучении фор1*ул для периодических функций (см. главу 1).,.

В диссертации содержатся результаты, относящиеся кал к классической постановке задачи приближенного интегрирования, так и к исследованию кубатурных формул в классах функций. Причём в последнем случае на нормы последовательностей функционалов накладывается требование асимптотической оптимальности в пространствах типа L™, г.

Выбор пространств типа L™ диктуется тем, что, во-первых, это классические и хорошо изученные пространства анализа, исследования в которых для конечной области Q не связаны, как правило, с конкретным видом Q, кроме локальных требований на характер границы. Во-вторых, нормы вне меняются при ортогональных преобразованиях координат и являются степенями интегралов от однородных дифференциальных выражений. Строение нормы в L’p (Q) проще, чем в пространствах типа О) «Кубатурные формулы в пространствах W^(Q)изучались Шойнжуровым Ц. Б, например, в [59 — 63], Рамазановым М. Д* [47] и другими авторами. Дадим краткое изложение содержания диссертации, В § 2 введения даны обозначения и определения, используемые в диссертации. Кроме того обсуждаются условия выполнение которых будет в дальнейшем требоваться от границ рассматриваемых областей, а также возможность представления периодических функций как функций, заданных на некоторой поверхности,.

1. Бахвалов Н. С. Численные методы, т.1.-M.: Наука, 1975.-632с.

2. Бесов О. В. Межъячеичные усреднения и оценка ошибок кубатурных формул в пространствах С. Л. Соболева и их обобщения.-Труды Мат. ин-та АН СССР, 1977, г. 143, с.42−57.

3. Блинов Н. И. Приближенное интегрирование двойных интегралов. Аннот.сб.: Алгоритмы и программы, ВНТИцентр.-М., 1974, нз2,3.

4. Ван-дер-Варден Б. Л. Современная алгебра, Ч.1.-М.: ОГИЗ, 1947. 340 с.

5. Васкевич В. Л. О сходимости квадратурных формул Эйлера-Мак• лорена на одном классе гладких функций.- Докл. АН СССР, 1981, т.260, № 5, с.1040 1043.

6. Васкевич В. Л. О сходимости квадратурных формул Грегори.-Докл. АН СССР, 1981, т.261, й 5, с.1041−1043.

7. Войтишек Л. В. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем.- Журн.выч.мат. и матем. физ., 1969, г. 9, № 2, с.417−419.

8. Войтишек Л. В. Некоторые вопросы теории интегрирования функций нескольких переменных: Автореф.дис.. канд.физ.-маг. наук.-Новосибирск, 1971. 10 с.

9. Егорычев Г. П. Интегральные представления и вычисление комбинаторных сумм.-Новосибирск: Наука, 1977. 286с.

10. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.-М.: Наука, 1971, — 328с.

11. Женсыкбаев А. А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы.- УМН, 1981, т.36, вып.с.107−159.

12. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1. М.: Наука, I98I.-344c.

13. Коняев С. И. Инвариантные формулы интегрирования на сфере* М.,' 1975. 24с. (Препринт / ИАЭ: 2553).

14. Коняев С. И. Квадратурные формулы типа Гаусса для сферы инвариантные относительно группы икосаэдра с инверсией.-Мат. заметки, 1979, т.25, И, с.629 634.

15. Коняев С. И. Формулы численного интегрирования на сфере.- В кн.: Теоремы вложения и их приложения. Новосибирск: изд. Ин-та математ., 1982, й I, с.75−82.

16. Корнейчук Н. П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур. Добавление к кн. j26j.

17. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, — М.: Физматгиз, 1963. 224с.

18. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.- М.: Наука, 1967, — 500с.

19. Крылов В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному. интегрированию.- М.: Наука, 1966. 372 с.

20. Лебедев В. И, 0 квадратурах на сфере.-, Журн. выч.мат. и мат. физики, 1976, T. I6, № 2, с.293−306.

21. Лебедев В. И. Квадратурные формулы для сферы 25 29-го порядка точности, — Сиб.мат.журн., 1977, т.18, ffil, с.132−142,.

22. Лебедев В. И. Квадратурная формула 35-го порядка для сферыг В кн.:Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980, с. НО 114,.

23. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы.- М.: Наука, 1981, — ЗЗбс.

24. Никольский С. М, Квадратурные формулы.- М: Наука, 1974. 224с,.

25. Никольский С. М. Курс математического анализа, г. 2. М.: Наука, 1975, — 408с,.

26. Носков М. В. Кубатурные формулы на развертывающихся поверхностях.- В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: РИСО АН УзССР, 1978, вып.51, с.91−96.

27. Носков М. В. О декартовых произведениях кубатурных формул. В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980, с.114−116.

28. Носков М. В. Кубатурные формулы на решетчатых поверхностях. -Красноярск, 1981. 13с, — Рукопись представлена Красноярским политехи. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 14 ноября 1981, № 5644- 81 Деп.

29. Носков М. В. Приближенное интегрирование функций, периодаческих по некоторым переменным.- В кн.: Теоремы вложения и их приложения. Новосибирск: изд. Ин-та матемаг. СО АН СССР, 1982, I, с.83 102,.

30. Носков М. В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций.- Красноярск, 1983. Юс.- Рукопись представлена Красноярским политехи. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 16 августа 1983,'№ 4528 83 Деп.

31. Носков М. В. Асимптотически оптимальные формулы на решетчатых поверхностях^ В кн.: Применение функционального анализа к уравнениям в частных производных. Новосибирск: изд. Ин-та магемаг. СО АН СССР, 1983, й 2, с. 103 112,.

32. Погорелов А. В. Лекции по дифференциальной геометрии.- Харьковского ГУ, 1967. 164с.

33. Половишшн В. И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случаев. Маг. заметки, 1968, т. З, К" 3, с.319−326.

34. Половинкин В. И. Некоторые оценки норм функционалов ошибок кубатурных формул.- Маг. заметки, 1969, т.5, № 3, с. 317−322.3 7. Половинкин В. И, Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул.- Сиб.мат.журн., 1971, т.12, tel, с.177−196.

35. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем.- Сиб.мат.журн., 1974, т.15, Ш, с.413−429.

36. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы в 'U^'(Q). -В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: РИСО АН УзССР, 1975, вып.32, с.99−104.

37. Половинкин В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетныхт. -Сиб.мат.журн., 1975, гД6. № 2, с.328 335.

38. Половинкин В. И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных формул. Сиб.мат.журн., 1975, г. 16, N26. с.1255−1262.

39. Половинкин В. И. Декартовые произведение формул прямоугольников и формул с регулярным пограничным слоем: Тез. докл. 5-е Совегско-чехослов.совещ.по применению функциональных методов. Новосибирск: Наука, 1978, с. 248 -250.

40. Половинкин В. И. Сходимость последовательностей-кубатурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях.- В кн.: Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978, с. I83-I9I.

41. Половинкин В. И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем.- Дис.. доктора физ.-мат.. наук.- Ленинград, 1979, — 240с.

42. Половинкин В. И. Последовательности кубатурных формул с периодическими системами узлов.- Сиб.мат.журн., 1981, т.2, ШЗ, с. 147 155.

43. Половинкин В. И., Дидур Л. И. О порядке сходимости кубатурных формул.- В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: РИСО АН УзССР, 1975, вып.34, с. 3−14.

44. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.-Уфа: изд. Башкирского ГУ, 1973. 176с.

45. Рамазанов М. Д. Порядок сходимости решетчатых кубатурных формул на пространствах с доминирующей производной.- Уфа, 1981. 16с.- Деп. в ВИНИТИ, № 5691 81 Деп.

46. Рамазанов М. Д. и др. Развитие теории кубатурных формул Соболева.- В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука,' 1980, сД 18−122.

47. Рамазанов М. Д., Умарханов И. Квадратурная формула с простой весовой функцией.- Докл. АН УзССР, 1982, № 5, с. 4 -7.

48. Салихов Г. Н. К теории кубатурных формул для многомерных сфер: Автореф.дис.. доктора физ-мат.- наук.- Новосибирск, 1978. 31с,.

49. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. Ш, ч.1, — М.: Наука, 1974. 324с.

50. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- Новосибирск: изд. СО АН СССР, 1962. 256 с.

51. Соболев С. Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы.-Сиб.мат.журн., 1962, т. З, L°5, с.769−791.

52. Соболев С.Л.

Введение

в теорию кубатурных формул.- М.:Наука, 1974, — 808с.

53. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаа-ра.-М.: Наука, 1969, — 214с.

54. Спрингер Т. Теория инвариантов.-М.: Мир, 1981. 192с.

55. Умарханов И. Процедура численного интегрирования многомерных интегралов, — В кн.: Алгоритмы. Ташкент: РЙСО АН УзССР, 1980, вып.41, с. 75 82.

56. Шойнжуров Ц. Б. Весовые кубатурные формулы в пространствахбатурных формул и приложения математического анализа к некоторым задачам математической физики (материалы школы-конференции в г. УланУдэ, август 1973). Новосибирск: Наука, 1973, с.41−45.

57. Шойнжуров Ц. Б. Об асимптотически оптимальных квадратурныхи кубатурных формулах в конечной области.- В кн.: Математи-тический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978, с. 319 329.

58. Шойнжуров Ц. Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы.- Новосибирск, 1979. 28с.- (.Препринт/ ЙН СО АН СССР).

59. Шойнжуров Ц. Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Авторефер.дис.. доктора физ.-мат.наук.-Улан-Удэ, 1981. 23с.С.Л.СоболеваТеория ку.