Безынерционные адаптивные алгоритмы для управления техническими объектами с ограниченной неопределенностью

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

Безынерционные адаптивные алгоритмы для управления техническими объектами с ограниченной неопределенностью

Н.Д. ПОЛЯХОВ, И.А. ПРИХОДЬКО, ХА АНЬ ТУАН

Аннотация. Методом функций Ляпунова синтезированы безынерционные адаптивные алгоритмы сигнального и параметрического типа для управления техническими объектами с ограниченной неопределенностью по схеме с настраиваемой моделью. Целесообразными с точки зрения реализации Эти алгоритмы не изменяют параметры и структуры регуляторов систем, а подключатся прямо ко входу штатных регуляторов, что немаловажно при их реализации. Кроме того, такие алгоритмы остаются грубыми (нечувствительными) к влияниям внешних возмущений, которые трудно измерить или учесть в модели технического объекта. Исследование моделированием в среде MatLab/Simulink выполнено на примере управления динамикой синхронного генератора.

The keywords: Adaptive control, inertia-free signal and parametric adaptation, synchronous generator.

Реальные процессы в динамических системах обладают разнообразными по физической природе источниками не-определенности. Характер (параметры) этих неопределенностей почти всегда точно неиз-вестны. Последнее обстоятельство приводит к необходимости адаптивного подхода в построении законов управления такими объектами. Именно адаптивное управление позволяет эффективно управлять и повышать каче-ство функционирования объектами с неопределенностью. К настоящему времени имеется определенный задел в разработке адаптивных систем раз-личного назначения [1−3]. Однако адаптивные разработки не приспособ-лены к реальным объектам, где практически отсутст-вует возможность в изменении структуры регулятора и остается только вари-ант введения дополнительных сигналов управления. Разработке адаптивных стратегий, как правило, сопутствует проблема получения полного вектора со-стояния управляемого объекта. В адаптивной постановке указанная проблема и построение законов управления возможно решать совместно, что и принято в работе.

Построение адаптивного управления техническими системами, как правило, основано на двух главных подходах: адаптивное управление по схеме с эталонной моделью (АСЭМ) и по схеме с настраиваемой (идентификационной) моделью (АСНМ). Однако, преимуществами по стабильности функционирования и реализации обладает адаптивная система типа АСНМ со структурой на рис. 1.

Рис. 1

Алгоритм безынерционной сигнальной адаптации

Управляемый объект задается в виде

(1)

гдемерный вектор состояния; -мерный вектор управления,; ограниченная функция возмущений; - матрицы с ограниченными элементами и в общем случае, зависящие от; является результатом линеаризации матриц в режимной точке. Все размерности согласованы.

Из уравнения (1) получаем уравнение (2)

где .

При управлении объектом (1) принят идентификационный подход в синтезе закона адаптивного управления на основе схемы с настраиваемой моделью. Уравнение настраиваемой модели имеет вид

(3)

гдемерный вектор состояния настраиваемой модели, матрица выбирается из условия гурвицевости матрицы, поскольку может содержать собственные значения с положительной вещественной частью, — адаптивный сигнал.

Введем ошибку (), тогда из выражений (2) и (3) получим дифференциальнное уравнение вида

(4)

Выберем квадратичную функцию Ляпунова в виде где постоянная матрица и является решением матричного уравнения Ляпунова: является заданной. Тогда. (5)

Закон управления выбирается из условия максимальной скорости убывания функции Ляпунова в виде .

В правой части дифференциального уравнения (5) для асимптотической устойчивости должно быть выполнено условие, которое обеспечивается при, если Однако это невозможно, так как функция имеет разрывный характер и для использования адаптивного закона в построении следует применить малоинерционный фильтр с описанием

(6)

где — непрерывная функция, являющаяся оценкой для достаточная малая величина.

Пусть. Из выражения (6) получаем:

. (7)

Примем, где адаптивный закон управления, — внешнее воздействие. Тогда уравнение системы (1) примет вид При выполнении условия согласованности, имеем. Оценим влияние введенного фильтра на устойчивость адаптивной системы. Введем функцию Ляпунова, полная производная по времени которой в силу (7) равна

.

Используя известную подстановку получаем

(8)

Решение уравнения (8) имеет вид

Переходя к оценке, = const, получаем, при. Полученная оценка по влиянию малоинерционного фильтра, указывает на диссипативную (экспоненциального типа) устойчивость, причем размер предельного множества регламентируется выбором значения самого параметра ф .

Теорема 1. Пусть существуют параметры Тогда алгоритм с фильтром обеспечивает адаптивность системы (2) при ограниченной неопределенности и регламентируемую параметром диссипативность процессов адаптации.

Из результатов моделирования процессов управления синхронного генератора с адаптивным регулятором следует, что адаптивный регулятор хорошо группирует формы процессов («близко к одному процессу») при изменении режимов работы сети с разными нагрузками и сопротивлениями линии электропередачи.

Алгоритм безынерционной параметрической адаптации. Объект управления задан в виде

(9)

где все обозначения такие же, как в уравнении (1); у матрицы все элементы точно известны, а элементы матрицыимеют параметрическую (интервальную) неопределенность в области , — номинальные значения, .

Уравнение настраиваемой модели аналогично (3) и имеет вид

(10)

гдемерный вектор сигналов адаптации модели, со стационарной правой частью, соответствующей желаемой динамике.

Введем ошибку, .

Из уравнений (9), (10) после несложных преобразований получаем дифференциальное уравнение ошибки

(11)

где входной сигнал.

Здесь. Из уравнения (11) следует уравнение адаптивного регулятора

(12)

Уравнение (9) представим в виде (13)

где

На основе уравнений (12), (13), а также с учетом того, что при t>?, получаем уравнение (9) в виде

как результат действия адаптивного регулятора (12).

Рассмотрим уравнение

(14)

Закон адаптации ищется таким, чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость решения уравнения (14).

Пусть структура регулятора задается в форме линейной обратной связи

(15)

где — матрица настраиваемых параметров.

Уравнение ошибки (14) тогда примет вид

(16)

где

Закон настройки элементов матрицы настраиваемых параметров должен обеспечивать асимптотическую устойчивость решения уравнения (14) с интервально неопределенной матрицей A.

Пусть функция Ляпунова выбрана как

Ее полная производная по времени имеет вид

Для обеспечения асимптотической устойчивости системы (14) достаточно, чтобы

С учетом уравнения (16) имеет место Обозначим:

Лемма. Существуют постоянные параметры и функции , при которых условие выполняется.

Действительно, примем диагональные элементы матрицы постоянными и отрицательными, т. е., тогда .

Теперь, найдем условия для выполнения неравенства

Используем подстановку. Тогда (17)

При выборе, .

Из выражения получаем матрицу настраиваемых параметров, которая, в случае и неособенности матрицы, имеет вид , а при — в виде

Так как матрица в уравнении (9) имеет параметрическую неопределенность, для вычисления матрицы используются «номинальные» значения .

Теорема 2. Система (9) обладает асимптотической устойчивостью с законом безынерционной параметрической адаптации , или

Результаты моделирования переходных процессов синхронного генератора с адаптивным регулятором и с тремя наборами элементов матриц (с номинальными значениями и уменьшением/ увеличением в 5 раз) в среде MATLAB/Simulink представлены на рис. 2., 3, где на рис. 2 — переходные процессы синхронного генератора без адаптации, на рис. 3 — переходные процессы синхронного генератора с адаптацией.

Рис. 2 ;

Рис. 3 ;

Из результатов моделирования следует, что переходные характеристики адаптивного синхронного генератора на рис. 3 локализованы в достаточно узкой окрестности кривых, (почти совпадение) при значительных вариациях его параметров, что можно обобщить как «адаптивное управление СГ с усиленной грубостью».

Литература

безынерционный адаптивный алгоритм

1. Борцов Ю. А., Поляхов Н. Д., Путов В. В. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением. Л: Энергоатомиздат, 1984 — 216 с.

2. Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы, 2003 — 279 с.

3. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука. 1977 — 400с.

4. Андерсон П., Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость. — М: Энергия, 1980 — 568 с.

5. Кожекова Г. А. Расчет адаптивной системы управления для синхронного генератора. Известия КГТУ им. И. Раззакова. 2010, — № 21- С. 158−162.