Вещественный метод интерполяции на парах банаховых решеток

Возникновение теории интерполяции линейных операторов связано, прежде всего, с теоремами М. Рисса (1926г.) и Ж. Марцинкевича (1939г.). Однако, эти результаты относились к пространствам Лебега Ьр и близким к ним. Проблема интерполяции линейных операторов тесно связана с задачей построения «промежуточных» пространств в которых линейный оператор будет непрерывным на основании информации о его поведении в «крайних» парах пространств. Общие интерполяционные теоремы для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств были получены в работах Ж.-Л. Лионса, Э. Гальярдо, А.П. Кальдеро-на, Я. Петре, С. Г. Крсйна. В последующие годы эта теория интенсивно развивалась и нашла глубокие, важные применения в теории функциональных пространств, уравнениях с частными производными, теории рядов Фурье, теории приближений. Основные результаты теории ин-териоляции были систематичеки изложены в книгах С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина, Е. М. Семенова [14], Й. Берга, Й. Лефстрема [12], X. Трибеля [39], К. Веннета, Р. Шарпли [22].

Среди разделов математики, испытывающих наиболее сильное влияние интерполяционных методов, с полным правом можно назвать теорию симметричных пространств (сокращенно СП). Эти пространства с предположением о полунепрерывности нормы, известные как «перестапобочно инвариантные пространства» (сокращенно ПИП) были введены Г. Лоренцем в 1953 году. Первые публикации, связанные с представлением СП без указанного предположения, принадлежат Е. М. Семенову [36].

В последнее время был достигнут значительный прогресс в изучении вещественного /С— метода интерполяции операторов, важного по общности и приложениям способа построения интерполяционных пространств. Определенные итоги этого были недавно подведены в вышедшей монографии Ю. А. Брудного, Н. Я. Кругляка [28].

Диссертационная работа продолжает ряд исследований, но теории интерполяции линейных операторов, относящихся к вещественному методу. Первая часть работы посвящена описанию одного класса точных /С-монотонных пар конечномерных пространств и вопросам, связанным с теорией интерполяции операторов слабого типа. Во второй части диссертации изучаются частные аспекты проблемы характеризации /Сподпар, то есть подпар банаховой пары, на которых вещественный метод интерполяции порождает нормы, эквивалентные тем, что он дает на самой паре, а также вопросы, касающиеся интерполяции пересечений «весовых «пространств Лебега с ядром интегрального функционала.

Основное содержание диссертации изложено в первой главе (второй и ч третий параграфы) и во второй главе. Им предпослан § 1 главы первой, в котором собраны основные обозначения и предварительные сведения, применяемые в работе.

Во втором параграфе первой главы изучаются вопросы интерполяции для одного класса конечномерных пространств Лоренца с точки зрения свойства К,—монотонности. Изучение этого свойства было стимулировано попытками обобщить теорему А. П. Кальдерона — B.C. Митягина [29, 30]. Поскольку любая пара конечномерных пространств К— монотонна, то представляет интерес лишь вопрос о точной /С— монотонности таких пар. В работе A.A. Седаева, Е. М. Семенова [31] был приведен пример нары пространств (X3(w), Iкоторая не является точной /С— монотонной. Здесь A3(u>) — трехмерное пространство Лоренца с нормой ||ж|| = xwi + x2w2 + Z3IU3, w = (wi, w2, w3), Wi > w2 > w3 > 0, x^ перестановка модулей координат вектора iGR3b убывающем порядке. Идея этого примера была использована при нахождении необходимого условия точной /С— монотонности пар вида (Xй (w), Z^), п е N.

Теорема 1.2.6 Если то для любых wi > W2 >. > wn > 0 и вектора хбЁ" tx*.

1).

0 5n.

Теорема 1.2.7 Если пара (Xn (w), lT⁰) является точной /С—монотонной, то wn > 0.

В следующем параграфе первой главы рассматриваются вопросы, касающиеся теории интерполяции операторов слабого типа. В 1967 году Д. Бойд установил, что СП X интерполяционно относительно пары (LP, L (1), 1 < р < q < оо, если для индексов Бойда этого пространства выполняются следующие неравенства < < < где а (Х) = limlni" ffi-*, ?(X) = Шп нижний и верхний индексы Бойда (||0″ s||-c—Л" это норма оператора растяжения as (x (t)) = t 6 [0- 1] в пространстве X). Нетрудно показать, что в случае q = оо для справедливости данного утверждения достаточно убедиться в выполнении одностороннего неравенства для индексов Бойда.

X) < I.

В связи с этим, Е. М. Семенов поставил вопрос о том, что будет в случае если р — 1, а СП X является сепарабельным или обладает свойством Фату. Иначе говоря, следует ли из выполнения неравенства i < а (Х) интерполяционность пространства X относительно пары (L, Lq), l < q < оо? В более общих условиях на пространство X положительный ответ на этот вопрос получили C.B. Асташкин и JI. Малигранда [24]. В диссертации было доказано аналогичное утверждение для более общей ситуации: для пары (A (ip), Lp), где А (</?) — пространство Лоренца.

Теорема 1.3.7 Пусть 1 < р < оо, X—симметричное пространство на [0,1], А (ф)—пространство Лоренца с фундаментальной функцией '(t) является полумультипликативной на [0,1]. Если X— интерполяционное пространство между А (ф) и L^, для которого выполняется условие > i, тогда X является интерполяционным относительно пары (А (ф), Ьр).

Как следствие из предыдущей теоремы доказано, что утверждение остается верным, если вместо пространства Лоренца Л (<£>) взять СП Lr, u, l.

Теорема 1.3.8 Пусть l< г¿- < г, 1<�г/<�оо, для симметричного пространства X выполнено условие а (Х) > Если X является интерполяционным пространством относительно пары (ЬГ!и, Ьд>у), то оно будет интерполяционным между Ьг>и и Ьр.

Важной задачей теории интерполяции линейных операторов является проблема интерполяции подпространств, которая состоит в выяснении ответа на вопрос: когда интерполяционное пространство, построенное вещественным методом по паре подпространств исходной банаховой пары будет замкнутым подпространством интерполяционного пространства вещественного метода, построенного по данной паре? Оказывается это не всегда верно, известны многочисленные примеры невыполнения этого условия, приведенные в работах X. Трибеля [42], Р. Валлстена [1], Й. Лефстрема [2], Ж. Бозами [4]. Если же пара подпространств (Уо, У) является /С— замкнутой иодпарой банаховой пары (Хо, Х), то задача интерполяции подпространств имеет положительное решение, то есть нормы || • И^оДО,., и || • И^.уов, эквивалентны, где (Ло,^)^- пространство вещественного /Сметода интерполяции. В первом параграфе второй главы рассматриваются подпары пары (Хо, Х1) вида (Хо,!!), где Х С Хо, Х всюду плотно в Хо и У— подпространство пространства Х коразмерности 1. Задача о /С— замкнутости подпар такого вида сводится к вопросу об относительных пополнениях и это отражено в критерии, полученном С. В. Асташкиным в работе [9]. Далее введено понятие (К)*— свойства: если банахово пространство X обладает (К)*— свойством, то для него можно найти большее банахово пространство У, зависящее от выбора непрерывного функционала / € X*, такое, что (У, Кег$)вл будет замкнутым подпространством пространства (У, Х) д^. В диссертации сформулирована и доказана теорема 2.1.6 о том, что этим свойством обладают «весовые» пространства Лебега Ь (у).

В последних двух параграфах диссертационной работы рассматривается задача интерполяции пересечений, которая для данной тройки пространств (Хо, Х, А^) (где (Хо, Хх) — банахова пара, N— это ядро линейного функционала ср, а = Х{ П АГ, г = 0,1), заключается в нахождении условий на параметры в? [0−1],? [1- оо], при которых верно равенство с эквивалентностью норм.

Уо, У1) в, я = (х0,х1)в>дп^.

В статье Н. Я. Кругляка, Л. Малигранды, Л.-Е. Перссона [10] была найдена связь между К—функционалами /С (£, х Ь^б) П АГ, ЬП Ы) и /С (£,£- Ь^в), где в качестве N рассматривалось ядро интегрального функционала оо р (х) — ! Х^йв. О.

На основе этого была решена задача интерполяции подпространств для тройки (Z, i (^), Z, i (i), iV).

В диссертации обобщаются результаты статьи [10]. В теореме 2.2.6 найдена эквивалентная формула, связывающая /C (i, х Li (s)nNg, Li (i)fl Ng) с /С— функционалом исходной пары, где оо.

Ng = {x (s) б Li (s) +Li (i): tp (x) = Jx (s)g (s)ds = 0}. о.

Как приложение, в теореме 2.3.1 для g (s) = sa, — 1 < о- < 1 описана связь между интерполяционными пространствами вещественного /Сметода (Ng Г) L2(s), Ng П и {Li (s), Li ())oti. В теореме 2.2.8 при определенных условиях на «весовые» функции^o (s) и wi (s) найдена зависимость между /С— функционалами Петре, построенными по парам (Lp (w0) П N, Lp (wi) П N) и (Lp (w0), Lp (wi)), 1 < p < оо, где oo.

N = {z (i) € Lp{w0) + Lp{w): Jx (t)dt = 0}. о.

И наконец, в теореме 2.3.2 решена задача интерполяции пересечений для тройки пространств (Lp (wo), Lp (wi), N).

Теорема 2.3.2 Если р>1иО<0<1, то (NDLp{w0), NnLp (Wl))e, p = NDCP где Ср{и)) — это совокупность измеримых на (0, оо) функций ¡-(в) с нормой.

Результаты диссертации опубликованы в работах [9], [11], [17], [25], [26], [35]. Из них [9], [11], [17] написаны в соавторстве с С. В. Асташкипым.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Сергею Владимировичу Асташкину за постоянную помощь и полезные советы при подготовке диссертации.

1. Wallsten R. Remarks on interpolation of subspaces/ Lect. Notes in Math. — 1988. — 1902. — P.410−419.

2. Lofstrom J. Interpolation of subspaces/ Technical report, Univ. of Goteborg 10. 1997. — R63.

3. Ivanov S., Kalton N. Interpolation of subspaces and applications to exponential bases/ Алгебра и анализ. 2001. — 13, No. 2. — P.93−115.

4. Beauzamy J. Espaces d’interpolation reels: Topologie et geometrie/ Lecture Notes in Math. 1978. — V.666.

5. Зигмунд A. Тригонометрические ряды, Т.1/ Москва: Мир. 1965.

6. Кисляков C.B., Куанхуа Шу Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы/ Алгебра и анализ. 1996. — 8, No.4. — С.75−109.

7. Pisier G. Interpolation between Нр spaces and non-commutative generalisations, I/ Pacific Journ. Math. 155. 1992.

8. Astashkin S.V. About interpolation of subspaces of rearrangement invariant spaces generated by Rademacher system/ Journal of Math, and Math. Sci. 2001. — 25, No. 7. — P.451−465.

9. Асташкин С. В., Узбеков РФ./Вестник Самарского государственного университета. 2002. — № 4(26). С. 5−12.

10. Krugljak N., Maligranda L., Persson L.-E. The failure of Hardy’s inequality and interpolation of intersections/ Ark. Mat. 1999. — 37. P. 323−344.

11. Асташкин C.B., Узбеков Р. Ф. О /С-функционале на паре пересечений/ Актуальные проблемы математики и механики: сб. тез. меж-дународн. конф. Казань, 2003 — С. 300.

12. Берг И., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства.

Введение

/ Москва: Мир. 1980. — С.261.

13. Holmstedt Т. Interpolation of quasi-normed spaces/ Math. Scand. -1970. 26. — P. 177−199.

14. Крейн С. Г., Петунин Ю. Н., Семенов E.M. Интерполяция линейных операторов/ Москва: Наука. 1978. — С.400.

15. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной/ Лань. -Санкт-Петербург. 1999. — С.560.

16. Канторович J1.B., Акилов Г. П. Функциональный анализ/ Москва: Наука. 1977. — С.741.

17. Асташкин С. В., Узбеков Р. Ф. Об интерполяции пересечений/ Воронежская зимняя математическая школа 2001. — Воронеж, 2001. — С. 299.

18. Sharpley R. Spaces Аа (Х) and interpolation/ J. Functional Analysis 11. 1972. P.479−513.

19. Boyd D.W. Spaces between a pair of reflexive Lebesgue spaces/ Proc. Amer. Math. Soc. 18. 1967.

20. Boyd D.W. Indices of function spaces and their relationship to interpolation/ Canad. J. Math. 21. 1969. — P. 1245−1254.

21. Lindenstrauss J. and Tzafriri L. Classical Banach Spaces, II/ Function Spaces, Springer-Verlag. Berlin-New York. — 1979.

22. Bennet C. and Sharpley R. Interpolation of Operators/ Academic Press.- Boston. 1988.

23. Maligranda L. A generalization of the Shimogaki theorem/ Studia Math. 71. 1981. — P.69−83.

24. Асташкин C.B., Малигранда JI. Об интерполяции в Ьр-пространствах/ Мат. заметки 2003. — Т.74, № 5.

25. Узбеков РФ. Интерполяция между пространством Лоренца и Lp, 1 < р < оо/ Воронежская зимняя математическая школа -2005. Воронеж, 2005. — С. 236.

26. Асташкин С. В., Узбеков Р. Ф. Интерполяция между Ьгл и Lp, 1 < г < р < оо, 1 < < оо/ Воронежская зимняя математическая школа 2004. — Воронеж, 2004. — С. 9−10.

27. Cwikel М. Monotonicity properties of interpolation spaces. II/ Arc. Mat.- 1981. V.19, № 1. — P. 123−136.

28. Брудный Ю. А., Кругляк Н. Я. Функторы вещественной интерполяции/ Докл. АН СССР. 1981. — Т.256, № 1. — С. 14−17.

29. Calderon А.Р. Spaces between Ll and L°° and the theorem of Marcinkiewicz/ Studia Math. 1966. — V. 26, № 3. — P.273−299.

30. Митягин B.C. Интерполяционная теорема для модулярных пространств/ Мат. сб. 1965. — Т.66, № 4. — С. 473−482.

31. Седаев A.A., Семенов Е. М. О возможности описания интерполяционных пространств в терминах /С-метода Питре/ Оптимизация: Тр. ин-та математики АН СССР. Сиб. отделение. 1971. — Вып. 4. — С.98−114.

32. Седаев A.A. Описание интерполяционных пространств парыи некоторые родственные вопросы/ Докл. АН СССР. -1973. Т. 209, № 4. — С.798−800.

33. Peetre J. Banach couples: Technical report/ Lund. 1971.

34. Sparr G. Interpolation of weighted Lv-spaces/ Studia Math. -1978. -V.62. p. 229−271.

35. Узбеков Р. Ф. /С-монотонные пары конечномерных пространств/ Вестник Самарского государственного университета. 2001. -№ 2(20). — С. 47−54.

36. Семенов Е. М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций/ Докл. АН СССР. 1964. — Т. 156, № 6.

37. Symmetric structures in Banach spaces/ Johnson W.B., Maurey В., Schechtman G., Tzafriri L.// Memoirs Amer. Math. Soc. 1979.

38. Красносельский M.A., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича/ Москва: Физматиз. 1958.

39. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы/ Москва: Мир. 1980. — С. 664.

40. Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces/ Notes de Math. -1968. V. 39. — P. 1−86.

41. Харди Г. П., Литтльвуд Д. Е., Полна Г. Неравенства/ Москва: Изд. иностран. литературы. 1948.

42. Triebel Н. Allgemeine Legendresche Differentialoperatoren/ Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 24. 1970. — P. 1−35.