§ I. Основные обозначения и определения.
1°. Пусть Л — произвольная Л/ -мерная область, быть может, совпадающая со всем А/ -мерным пространством. Рассмотрим полином по /? четного порядка /??=: ¿-¿-по' с коэффициентами из С (Л) ос/^/г).
В этом равенстве о (обозначает мультииндекс оС~ (оС±-, оС^ 7 где ' - компоненты вектора у? ? *. Положим далее.
Формальный дифференциальный оператор
4 ¿-г, 2)-= Г а^шзх.
1.2) оС1</гз называется эллиптическим оператором порядка /V, если для всех ССбЛ и У ¿-Я" при О.
Обозначим через С. 0 (Л-) пространство функций, бесконечно дифференцируемых в областиУ2. и имеющих компактный носитель в.
Л.
Обозначим через Д оператор, действующий в гильбертовом пространстве с областью определения по правилу, А и = А и (эс), ие С^СЛ).
Дифференциальный оператор (1.2) называется формально самосопряженным, если оператор /[ является сиг-метрическим, т. е. если для любых функций ¿-С и С/ из) выполняется равенство.
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что оператор (1.2) является формально самосопряжеиным. Предположим также, что оператор / является полуограниченным снизу, т. е. существует постоянная С такая, что для всех.
А и, и)С (и>и) .
По известной теореме К. О. Фридрихса оператор Д имеет, по Я крайней мере, одно самосопряженное расширение Д с той же нижней границей С .
В частности, будем говорить, что 4 существенно самосопряжен, если его замыкание / самосопряженное ладает разложением единицы 1 г и представляется в виде Я /.
А = 5 с.
2°. Оператор Д по спектральной теореме Да. фон Неймана об.
Л •.
Проекторы монотонно возрастают, непрерывны слева и по теореме Л. Гординга Сявляются интегральными операторами с ядром 0(Х, у,71):
Функция называется спектральной функцией оператора /, а выражение (1.3) — спектральным разложением элементаМ, отвечающим самосопряженному оператору, А. Отметим, л что если оператор / имеет дискретный спектр, то (1.3) совпала ет с рядом фурье функции по собственным юункциям оператора л л /.
Введем средние Рисса / спектрального разложения порядка? >/0: г*.
— о.
Оператор, так же как и, является интегральл '. -. -Л ным оператором, ядро которого имеет вид.
•6.
Мы будем изучать средние Рисса ¿-Е^ ^ функций из классов.
Лиувилля Ь (Л.). В случае, когда Л.^, этот класс совпадает с классом ¿-^(Я^), определение которого содержится в монографии Ш] С. М, Никольского. При класс определяется как замыкание множества С0 (Л) по.
7° ~ норме ¿-ц ¿-Г) .
Р А*.
Кроме того, мы будем изучать дробные степени /|, определение которых можно найти в книге Х.Трибелья.
1. Ш. А. Алимов. Равномерная сходимость и суммируемость спект-аральных разложений функций из L, p «Дифф.уравнения, 9:4 (1973), 669−681.
2. Ш. А. Алимов. О локализации спектральных разложений, Дифф. уравнения, 10:4 (1974), 744−746.
3. Ш. А. Алимов. О спектральных разложениях функций из, Матем. сборник, 101 (I43):II9 (1976), 3−20.
4. Ш. А. Алимов, Е. М. Никишин, В. А. Ильин. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. Успехи матем. наук, 31:6 (1976), 29−83.
5. Р. Р. Ашуров. Кандидатская диссертация., М., МГУ, 1979.
6. Г. Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т.2, М., Наука, 1974.
7. Л.Гординг. Разложения по собственным функциям, связанные с эллиптическими дифференциальными операторами, 12 COfl^/l. fflata. Scand. oCccnce ., (1953), 44−55 («Математика», сб. переводов 1:3 (1957), I07-II6).
8. Н. Данфорд, Дж.Т.Шварц. Линейные операторы, т.2, М., Мир, 1965.
9. В. А. Ильин. 0 равномерной сходимости разложений по собственным функциям при суммировании е порядке возрастания собственных чисел, ДАН СССР, 114:4 (1957), 698−701.
10. В. А. Ильин. О равномерной сходимости разложений по собственным функциям нечетномерных областей, ДАН СССР, 145:4 (1957), 650−652.
11. В. А. Ильин. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Успехи матем. наук, 13:1 (1958), 87−180.
12. В. А. Илыш. Рады Фурье по собственным функциям многомерных областей, расходящиеся почти всюду, ДАН СССР, 170:2 (1986), проблемы локализации для ряда Фурье по фундаментальной системе функций оператора Лапласа, ДАН СССР, 477:2 (1967), 258−260.
13. В. А. Ильин. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальной системе функций оператора Лапласа, Успехи матем. наук, 23:2 (1968), 61−120.
14. В. А, Ильин. Условия сходимости спектральных разложений, 1У, Дифф. уравнения, 9:1 (1973), 49−73.
15. В. А. Ильин, Ш. А. Алимов. Условия сходимости спектральных разложений, отвечающих самосопряженным расширениям эллиптических операторов, I, П, Дифф. уравнения, 7:4 (1971), 670−710- 7:5 (1971), 851−882.
16. С. Качмаж, Г. Штейнгауз. Теория ортогональных рядов, М., Физматгиз, 1958.
17. Б. М. Левитан, 0 разложении по собственным функциям оператора Лапласа, ДАН СССР, 90 (1953), 133−135.
18. Б. М. Левитан. О суммируемости кратных рядов и интегралов Фурье, ДАН СССР, 402:6 (1955), 1073−1076.
19. Б. М. Левитан. О разложении по собственным функциям самосопряженного уравнения в частных производных, М., Труды НМО, 5 (1955), 269−298.
20. С. М. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., Наука, 1977.
21. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, ОШ.Маричев. Интегралы и ряды, М., Наука, 1981.257.260.
22. В. А. Ильин. Исчерпывающие в классахи? и с™решение-11 323. А. К. Пулатов. О локализаций спектральных разложений, связанных с однородными эллиптическими операторами, ДАН СССР, 238:4 (1978), 800−803.
23. М.Рид. Б.Саймон. Методы современной математической физики, т.2, М., Мир, 1978; т.4, М., Мир, 1982.
24. Э. Ч. Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2, М., ИЛ, 1981.
25. Х.Трибель. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, М., Мир, 1980.
26. Л.Хермандер. О средних Рисса спектральных функций эллиптических дифференциальных операторов и соответствующих спектральных разложениях, УеЬ&оа СОгс’аегм^, 1966, («Математика», сб. переводов 12:5 (1968), 91−130).
27. Л.Хермандер. Спектральная функция эллиптического оператора. Асба /77а£%, 121:3−4 (1968), 193−218 («Математика» сб. переводов, 13:6 (1989), 114−137).
28. Д.Шенк. Решение задачи Коши и асимптотика спектральной функции оператора Шредингера, ДАН СССР, 243:1, 1978.30. й.А.Шишмарев. Функциональный анализ и его применения, т.З. вып.4 (1969), 69−76.V/31. &, I,. О/г ¿-Л&- /??е^сС, 45 (1983), 5−18.
29. З. ЗЗ&сАпеъ, ?ссыъа&с^ъ /г?и??уэ& З&ссггт40 (1936), 175−207.33. СЯа^гоАесАагап. ^ ?Г.г?еап&,? 1952.
30. У. ЗЪ^ЪЯ, е?^П^оспс&о/г б.крап. —со^сОеп**.,. &-'сапа (., 15 (1964), 8392.
31. А. Р. Халмухамедов. Теорема о среднем для одного эллиптического уравнения.- Тезисы второй международной научной конференции студентов социалистических стран, Варшава, 1979.
32. А. Р. Халмухамедов, Разложения по собственным функциям одного сингулярного эллиптического оператора, — Рукопись деп. в ВИНИТИ 8 июля 1982 г., В 3638−82 Деп.
33. А. Р. Халмухамедов. Разложения по собственным функциям одного сингулярного эллиптического оператора, —копись деп. в ВИНИТИ 15 июня 1983 г., II 3998−83 Деп.
34. А. Р. Халмухамедов. Теорема о среднем для одного эллиптического уравнения, — Дифф. уравнения, 1983, Т 19, й 9.
