Анализ разрешимости краевых задач для уравнений смесей жидкостей

Общие положения и обзор известных результатов.

Кроме классических уравнений гидродинамики при решении многих современных задач механики сплошных сред используются более сложные модели, точнее учитывающие неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов. Одним из примеров таких моделей служит модель многокомпонентных смесей сжимаемых теплопроводных жидкостей и газов. При построении замкнутой системы уравнений, описывающих движение многокомпонентной смеси, занимающей объем Q С (ограниченный или неограниченный), используются (см. [1−5]) уравнения неразрывности (баланса массы) + div (f>i!t®) = о, (z,*)G^x[0,T], 2 = (0.1) уравнения сохранения импульса div{pilt (i) % = divPd) + ^(0+ dt (0.2) x, t) х [0,T], i = l,., N, уравнения сохранения энергии divfaUiltW) = : — divt® + dt (0.3).

Г,-, {x, t) еПх [0,Т], г = 1,., N для составляющих смеси. Здесь х — радиус-вектор точки пространства Мп, [0,Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, Pi = Pi{x, t) — плотность, = ~it (lx, t) — вектор скорости, Ui =.

Ui (x, t) — удельная внутренняя энергия г-ой составляющей смеси, Р^ =.

P^(x, t) — тензор напряжений г-ой компоненты смеси, x, t) вектор массовых сил, = - вектор теплового потока г-ой компоненты смеси, x, t) — интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси ^^ =, Г- = t) — интенсивность обмена энергией между составляющими смеси + ¦ Tt^) = .

При изучении движения определенной сплошной среды уравнения (0.1)-(0.3) конкретизируются заданием вектора массовых сил для г-ой компоненты смеси и определяющих термодинамических и реологических соотношений, замыкающих систему уравнений (0.1)-(0.3).

Актуальность математических исследований уравнений механики сплошных сред и, в частности, моделей смесей вязких жидкостей и газов обусловлена многочисленными приложениями и стимулируется потребностями развития индустриальных технологий. Исследования корректности задач, относящихся к проблемам движения смесей вязких жидкостей и газов способствуют разработке вычислительных методов для их решения, значение чего в последнее время чрезвычайно возросло.

В настоящей работе рассматриваются задачи, относящиеся к проблемам движения двухкомпонентных смесей. Обобщение результатов для случая смесей из трех и более компонент принципиальных трудностей не вызывает.

Одним из вариантов реологических соотношений в многоскоростной модели смеси являются равенства [2].

P" = -Pi/ + <7W г = 1,2,.

2 (0.4) сг (0 = ^ (2mjD (ltW) + Лijdiv it^l), г = 1, 2, з=1 где pi — давление г-ой составляющей смеси, 0, (0.5) г=1 вытекающее из второго закона термодинамики. В случае (0.4) уравнения (0.1)-(0.3) описывают смесь ньютоновских жидкостей. Все прочие модели называются неньютоновскими, поскольку подразумевают нелинейную связь тензоров Р^ и D (см., например, [6−9]).

Принимая гипотезу локального равновесия каждой составляющей смеси [1], мы можем ввести в рассмотрение температуру 9f = гой компоненты смеси и, наряду с внутренней энергией Ui: использовать и другие термодинамические функции для каждой компоненты: энтропию Si, энтальпию ц и т. д. Составляющие компоненты смеси представляют собой двухпараметрические среды [4] (термодинамические функции компоненты зависят только от двух термодинамических параметров состояния), т. е.

Ui = Ui{pi, 6У, р{ = pi (pi, 0,-), Si = Si (pi, 9i), i = 1, 2, (0.6) причем справедливы соотношения Гиббса [1].

9id Si — d Ui + pid, i = 1,2. (0.7).

Из равенств (0.7), с учетом предположений (0.6), следуют соотношения.

В соответствии с обобщенным законом Фурье [1], зададим вектор теплового потока г-ой составляющей смеси г = 1,2, (0.9) где ki = ki (pi, Qi) — теплопроводность г-ой компоненты смеси.

Что касается выражений, определяющих интенсивность обмена импульсом и энергией Ггмежду составляющими смеси, то их обычно считают пропорциональными разности скоростей и температур [1, 5]:

0 = (l)i+iaf#(2) ^W), а = const > 0, i = 1, 2, (0.10).

Ti = (-l)i+lb{92 — 0i) + - «^(2)|2, г = 1,2, 6 = const > 0. (0.11).

Zi.

Таким образом, замкнутая модель для описания движения двухкомионентиых смесей жидкостей и газов может быть образована из уравнений (0.1)-(0.4), (0.6), (0.8)-(0.11), к которым нужно добавить выражения для ki, j и fiij, i, j = 1, 2.

Описанная выше многоскоростная модель смеси является обобщением классической модели Навье-Стокса и, естественно, немногочисленные работы о корректности многомерных моделей смесей сжимаемых жидкостей и газов появились после определенного прогресса, достигнутого для уравнений Навье-Стокса.

Начало нелокальной теории двухи трехмерных уравнений динамики вязкого газа было положено в работах [10−12], в которых была установлена слабая регулярность эффективного вязкого потока и доказана глобальная разрешимость основных краевых задач для уравнений Навье-Стокса сжимаемого баротропного газа для достаточно больших показателей адиабаты. Дальнейшее существенное продвижение в теории было проведено в работах [13−15], в которых показно, что слабая регулярность эффективного вязкого потока является следствием принципа компенсированной компактности и это позволило доказать разрешимость нестационарных краевых задач для показателя адиабаты из интервала В работе j 16] предложен подход к анализу уравнений.

Навье-Стокса, позволивший доказать существование ренормализованных решений стационарных уравнений динамики вязкого газа для показателя двухатомных газов.

Нелокальные результаты для многомерных моделей смесей вязких сжимаемых жидкостей на сегодняшний день получены только для системы Стокса без конвективных членов, т. е. рассматривалась система уравнений вида адиабаты из интервала и тем самым охватить важный случаи.

0.12) (0.13).

Одной из первых работ в этом направлении является работа [17], в которой доказана разрешимость задачи Коши в Ж3 для уравнений (0.12)-(0.13) в случае общей зависимости давления от плотностей составляющих смеси. В [18] получен результат о единственности слабых решений этой задачи Коши в предположении, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами смеси, равны нулю. В [19] доказано существование слабого обобщенного решения первой краевой задачи для уравнений (0.12)-(0.13) в ограниченной области пространства R3 с уравнениями состояния pi = рг-, г = 1,2. В работе [20] рассматривалась краевая задача для квази-стационарной системы уравнений смеси divfalt®) = 0, г = 1,2, (0.14).

— divP{i) = i = 1,2, (0.15) но со специальными граничными условиями.

-^(0 • it = 0, ~rt х rotlt^ = 0, г = 1,2, (0.16) оправданными только с математической точки зрения.

Модели, описывающие движения смесей вязких жидкостей с уравнениями состояния pi = pi (pi), г = 1, 2 в одномерном случае изучались в работах [21−26].

Данная работа посвящена вопросам разрешимости некоторых краевых задач для стационарных уравнений динамики смесей вязких сжимаемых жидкостей.

В первой главе проведен анализ глобальной разрешимости первой краевой задачи для стационарных уравнений (0.1)-(0.2) с уравнениями состояния pi = pj, i = 1,2, описывающих установившееся баротропиое движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых жидкостей в случае трех пространственных переменных. Опираясь и развивая подходы, ранее применявшиеся для уравнений Навье-Стокса вязких сжимаемых сред, доказывается теорема существования слабых обобщенных решений вышеупомянутой задачи для всех значений показателя адиабаты j из интервала (3,-|-оо).

Во второй главе исследуются стационарные уравнения вида (0.1)-(0.3), описывающие установившееся движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей в случае трех пространственных переменных и уравнений состояния pi{pi, 0i) = pi9i + pb, а = 1,2, (0.17).

7−1.

Ui{Pi, 9i) = 9i +, г = 1, 2. (0.18).

7−1.

Эти соотношения согласованны с (0.7), т. е. они удовлетворяют равенствам (0.8). Выражение для энтропии Si имеет следующий вид:

Si (pi, 0i) = In ^ + с,-, г = 1,2, (0.19) где Ci — постоянные. Заметим, чгго с учетом соотношений (0.17)-(0.18) уравнения (0.3) редуцируются к следующему виду: divert®) + div~t® =: Vlt®-dt (0.20).

— piQidiv^ + Г, вО, i = 1,2.

Доказывется теорема существования слабых обобщенных решений краевой задачи для стационарных уравнений (0.1), (0.2) и (0.20) с уравнениями состояния (0.17)-(0.18) при условии отсутствия эффектов, связанных с работой внутренних сил составляющих смеси. Модели, описывающие движения вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей с уравнениями состояния р (р, в) = ро (р)в +pi (p) рассматривались в работах [27−34].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих по три раздела каждая и списка литературы из 58 названий. Используется общая нумерация формул, определений, лемм, теорем и т. д. Нумерация констант обособлена внутри каждой из глав. Номера формул, определений, лемм, теорем и т. д. состоят из двух чисел: первое — номер главы, второе — порядковый номер внутри главы. Предпоследний раздел введения.

1. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987.

2. Rajagopal К. R., Tao L. Mechanics of mixtures. London: World Scientific Publishing, 1995.

3. Haupt P. Continuum mechanics and theory of materials. Berlin: Springer-Verlag, 2002.

4. Седов JI.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970.

5. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

6. Мамонтов А. Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. I // Сибирский математический журнал. Т. 40, № 2, 1999, с. 408−420.

7. Мамонтов А. Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. II // Сибирский математический журнал, Т. 40, № 3, 1999, с. 635−649.

8. Мамонтов А. Е. Оценки глобальной регулярности для многомерных уравнений сжимаемой неныотоновской жидкости // Математические заметки. Т. 68, выпуск 3, 2000, с. 360 376.

9. Мамонтов А. Е. Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и пространства Орлича // Сибирские электронные математические известия. Т. 6, 2009, с. 120−165. http://semr.math.nsc.ru/v6ru.html.

10. Lions P.-L. Existence globale de solutions pour les equations de Navier-Stokes compressible isentropiques // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1, 316, 1993, p. 1335−1340.

11. Lions P.-L. Compacticite des solutions des equations de Navier-Stokes compressible isentropiques // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1, № 317, 1993, p. 115−120.

12. Lions P.-L. Bornes sur la deniste pour les de Navier-Stokes compressible isentropiques avec conditions aux limits de Dirichlet // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1, № 328, 1999, p. 659−662.

13. Feireisl E., Matusu-Necasova S., Petzeltova H., Straskraba /. On the motion of a viscous compressible fluid driven by a time-periodic external force // Arch. Rational Mech. Anal. 149, 1999, p. 69−96.

14. Feireisl E. On compactness of solutions to the compressible isentropic Navier-Stokes equations when the denisty is not square integrable // Comment. Math. Univ. Carolinae. 42, 2001, p. 83−98.

15. Feireisl E., Novotny A., Petzeltova H. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations // J. of Math. Fluid Mech. 3, 2001, p. 358−392.

16. Плотников П. И., Соколовски Ж. Стационарные решения уравнений Навье-Стокса для двухатомных газов // Успехи математических наук. Т. 62, вып. 3 (375), 2007, с. 117−148.

17. Frehse J., Goj S.} Malek J. On a Stokes-like system for mixtures of fluids // SIAM J. Math. Anal. V. 36, № 4, 2005, p. 1259−1281.

18. Frehse J., Goj S., Malek J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum // Appl. Math. V. 50, № 6, 2005, p. 527−541.

19. Goj S. Analysis for mixtures of fluids. Dissertation. Universitat Bonn. Math. Inst., 2005. http://www. bib.math.uni-bonn.de/pdf2/BMS-375.pdf.

20. Frehse J., Weigant W. On quasi-stationary models of mixtures of compressible fluids // Appl. Math. V. 53, № 4, 2008, p. 319−345.

21. Кажихов А. В., Петров A.H. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси // Динамика сплошной среды. Выпуск 35, 1978, с. 61−73.

22. Злотник А. А. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси // Математические заметки. Т. 58, № 2, 1995, с. 307−312.

23. Папин А. А. Существование решения «в целом» уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. I. Постановка задачи и вспомогательные утверждения // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 9, № 2 (26), 2006, с. 116−136.

24. Папин А. А. Существование решения «в целом» уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. II. Результаты о разрешимости // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 9, № 3 (27), 2006, с. 111−123.

25. Папин А. А. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений движения двухфазной смеси. Барнаул: Издательство Алтайского государственного университета, 2007.

26. Папин А. А. Краевые задачи двухфазной фильтрации. Барнаул: Издательство Алтайского государственного университета, 2009.

27. Racke R., Zheng S. Global existence and asymptotic behaviour in nonlinear thermoviscoelasticity // J. of Diff. Eqns. 134, 1997, p. 46−67.

28. Hsiao L., Luo T. Large-time behaviour of solutions to the equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity // Quart. Appl. Math. 56, 1998, p. 201−219.

29. Shen W., Zheng S., Zhu P. Global existence and asymptotic behaviour of weak solutions to nonlinear thermoviscoelastic systems with clamped boundary conditions // Quart. Appl. Math. 57, 1999, p. 93−116.

30. Ducomet B. Global existence for a simplified model of nuclear fluid in one dimension // J. of Math. Fluid Mech. 2, 2000, p. 1−15.

31. Ducomet B. Global existence for a simplified model of nuclear fluid in one dimension: the T > 0 case // Appl. Math. 47, 2002, p. 45−75.

32. Ducomet В., Zlotnik A.A. Stabilization for equations of one-dimensional viscous compressible heat-conducting media with nonmonotone equation of state // J. of Diff. Eqns. 194, 2003, p. 51−81.

33. Mucha P., Рокоту M. On the steady compressible Navier-Stokes-Fourier system // Commun. in Math. Phys. V. 288, № 1, 2007, p. 349−377.

34. Mucha P., Рокоту M. Weak solutions to equations of steady compressible heat conducting fluids. Necas Center for Mathematical Modeling. Preprint no. 2009;04, 2009. http: / / ncmm.karlin.mff.cuni.cz/preprints /9 822 5413pr.pdf.

35. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

36. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

37. Lions P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. V. 1: Incompressible Models. New York: Oxford University Press, 1996.

38. Lions P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. V. 2: Compressible Models. New York: Oxford University Press, 1998.

39. Fcireisl E. Dynamics of Viscous Compressible Fluids. New York: Oxford University Press, 2004.

40. Боговский M.E. О решении некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad // Труды семинара C.JI. Соболева. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. Т. 1, 1980, с. 5−40.

41. Ладыотенская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

42. Ладыэюенская О. А., Уралъцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

43. Солонников В. А. Об общих краевых задачах, эллиптических в смысле А. Дуглиса J1. Ниренберга, I // Изв. АН СССР. Т. 28, № 3, 1964, с. 665−706.

44. Солоиников В. А. Об общих краевых задачах для систем эллиптических уравнений в смысле А. Дуглиса JL Ниренберга, II // Труды математического института им. В. А. Стеклова. Т. XCII, 1966, с. 233 297.

45. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

46. Agmon S., Doughs A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II // Comm. Pure Appl. Math. 17, 1964, p. 35−92.

47. Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

48. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989.

49. Никольский С. Л. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

50. Кучер Н. А., Проку дин Д. А. Об установившемся течении смеси вязких несжимаемых жидкостей // Вестник Кемеровского государственного университета. Выпуск 4 (32), 2007, с. 13−18.

51. Прокудин Д. А., Трофимова О. С. Стационарное движение смесей вязких несжимаемых жидкостей между двумя параллельными стенками // Вестник Кемеровского государственного университета. Выпуск 1 (37), 2009, с. 20−23.

52. Кучер Н. А., Прокудин Д. А. Стационарные решения уравнений смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей // Вестник Кемеровского государственного университета. Выпуск 1 (37), 2009, с. 9−19.

53. Кучер Н. А., Прокудин Д. А. Разрешимость уравнений баротропных течений смесей вязких сжимаемых жидкостей. Кемеровский гос. университет. Кемерово, 2009. Деп. в ВИНИТИ, № 339-В2009, 32 с.

54. Кучер Н. А., Прокудин Д. А. Корректность первой краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. Т. 9, вып. 3, 2009, с. 33−53.

55. Кучер Н. А., Прокудин Д. А. Стационарные решения уравнений смеси вязких сжимаемых жидкостей // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 12, № 3 (39), 2009, с. 52−65.