Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами

Актуальность темы

Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков. Причиной этому, по-видимому, является, с одной стороны, исключительная практическая важность параболических уравнений, а с другой — то. что их исследование связано с развитием различных разделов математики: теории рядов и интегралов, функционального анализа, теории приближений, теории вероятностей и случайных процессов.

К параболическим уравнениям и системам уравнений приводит математическое описание многих сложных явлений в современном естествознании, экономике и технике. Кроме классических задач теплопроводности и диффузии, параболические уравнения и системы встречаются, например, в теории теплои массопереноса при описании процессов сушки и охлаждения, в теории ядерных цепных реакций при изучении процесса замедления нейтронов, в теории сигналов при макроскопическом описании случайного процесса па выходе радиотехнического устройства, при изучении многих процессов в химической и биологической кинетике и в других задачах (об этом см. [72, 36] и приведенную там литературу).

Краевые задачи с негладкими коэффициентами для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа являются одним из классических объектов исследования. Теории таких задач посвящена, например, монография O.A. Ладыженской [67].

Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых специальных классов параболических уравнений с разрывными коэффициентами.

Краевые задачи для уравнений с разрывными коэффициентами были предметом исследований в работах O.A. Олейник [86, 87]. В указанных работах рассмотрены первая краевая задача и задача Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка и первая краевая задача и задача Ко-ши для общего параболического уравнения с разрывными: коэффициентами, причем поверхности разрывов коэффициентов параболического уравнения могут зависеть от времени. Решение этих задач для уравнений с разрывными коэффициентами получены как предел решений соответствующих задач для уравнений с гладкими коэффициентами, приближающимися к заданным разрывным.

Использование интегральных априорных оценок решений эллиптических и параболических уравнений и применение теорем вложения С. М. Никольского позволяют рассмотреть эти задачи в общем виде.

В дальнейшем, решению различных краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами были посвящены работы Я. А. Ройтберга, З. Г. Шефтеля [126, 147], H.H. Уралыдевой [139], А. Х. Гудиева [28], Ю.А. Ал-хутова, И. Т. Мамедова [4] и других. В работах [126, 147] изучались граничные задачи для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, доказаны теоремы существования и единственности при выполнении некоторых условий, налагаемых на правые части.

Из последних работ, посвященных исследованиям разрешимости краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, хотелось бы отметить работы И. Х. Керефовой [52], А. Р. Алиева [3], М. Ф. Чсреповой [141, 142], Э. А. Гасымова [26].

Ранее, в работах [154, 159, 161, 173, 56, 190, 134] были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида.

But = Lu + f, t G (0,Г), (Т< оо), (1) где В, L линейные операторы, действующие в комплексном гильбертовом пространстве Е со скалярным произведением (-,-). При исследовании вопросов разрешимости, единственности и устойчивости решений возникают ряд проблем, связанных в основном с тем фактом, что на данном временном интервале решение данной задачи не всегда существует. Как правило, оно существует (например, решение первой начально-краевой задачи), но на некотором малом временном промежутке, а далее может разрушиться в том смысле, что решение или его производные могут обратиться в оо. Примером может служить тот случай, когда коэффициенты уравнения на какой-то поверхности в области задания уравнения плохо себя ведут, например, обращаются в оо. Другими примерами, не очень хороших сингулярных параболических задач служат параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Это уравнения вида д (х, t) ut + L{x, i, Dx) u = f (x, i), (x, t) e Q = G x (О, T) (T < oo), (2) где L эллиптический оператор порядка 2m, определенный в некоторой области G С Rn и заданный некоторым дифференциальным выражением.

Ьиan (x, t) Dau а<2т и набором краевых условий вида.

BjUs =? М*, t) Daus, S — dG x (0, T). (3) q.

В большинстве работ рассматривались следующие краевые условия при i = 0 и i = Т: ut=o = u0(x) (xeG+(0)), ut=T = uT (x) (leG-®), (4) где G+(0) = {ж e G: g (x, 0) > 0}, G~{T) = {x E G: g{x, T) < 0}.

Параболические уравнения с меняющимся направлением времени и задачи вида (2)-(4) часто возникают в физике. Приведем ряд работ, где рассматривались различные физические процессы, описываемые этими уравнениями: теория переноса, рассеивание электронов [159, 181, 163, 177, 164], осцилляция плазмы [167], стационарные волны в плазме [205], кинетическая теория [170], диффузионные процессы и процессы переноса, уравнение Фоккера-Планка, Крамерса [158]—[162], [182], [204], теория вероятностей процессов ОЬгпзует-иЫепЬеск [191], перенос радиации [202], уравнения гидродинамики, теория фильтрации [21, 74, 75, 76, 77, 148, 70].

Первыми работами, посвященными уравнениям параболического типа с меняющимся направлением времени, по-видимому, были работы М. Жевре [173, 174]. Он рассматривал уравнение вида sgnaхрщ — а (х, &euro-)ихх + Ь (х, + с (гс, &euro-)и + /, где р > 0, а (х, Ь) > 5 > 0, показал, что при некоторых предположениях это уравнение есть каноническая форма параболического уравнения типа.

А{х, = а (х, £)ихх + Ь (х, &euro-)их + с (х, 1) и + /, где коэффициент А (х^) меняет знак, рассмотрел вопрос о единственности решений вышеприведенной краевой задачи (2)-(4) (принцип максимума) и свел вопрос о ее разрешимости к вопросу о разрешимости интегрального уравнения типа Абеля. В связи с этим отметим, что задача вида (2)-(4) в ряде работ была названа задачей Жевре.

После долгого перерыва наиболее интенсивно уравнения вида (2) начали исследоваться в 60−70 годы. В работе М. С. Бауэнди и П. Гривара [154] рассмотрено параболическое уравнение с меняющимся направлением времени д2ту.

ХЩ + = е (а' х < 0 < 6, с краевыми условиями дки 0, к = 0, т — 1,.

Vх х=а, Ь и (х, 0) = и.(){х) при х > 0, и (х, Т) = ит{х) при х < 0.

Применение вариационных методов (проекционной теоремы Лионса) позволило им доказать существование и единственность слабого решения.

С.Д. Пагани и Г. Таленти [190] исследовали уравнение sgn xut = ихх — ки + /, (x, t) е (-1,1) х (0, оо).

С помощью теории интегральных уравнений Вииера-Хопфа доказаны теоремы существования классического (регулярного) решения этого уравнения.

С.А. Терсеновым (80−90 годы) в ряде работ исследовалось, в частности, модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением времени sgnхщ = ихх, (x, t) е (-1,1) х (0,Т), и ряд других модельных уравнений которые с помощью теории потенциала редуцировались к системе сингулярных интегральных уравнений. Как известно, в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных данных без дополнительных условий полностью обеспечивает принадлежность решения пространствам Гельдера. Но, в случае уравнений с меняющимся направлением времени, гладкость начальных и граничных данных далеко не обеспечивает принадлежность решения этим пространствам. С. А. Терсеновым в простейших случаях получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в пространствах Нр/У2 при р > 2. При этом условия ортогональности, которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде.

Далее краевые задачи вида (1), (2) рассматривались в работах C.B. Попова [90j-[105], [195]—[200]. Его работы главным образом посвящены уравнениям вида дп (дпи К (х)щ\ xut —) + с (х>*)и = где функции h (x), k (x, t) знакоопределены. Исследовался вопрос о существовании решений краевой задачи (2)-(4) в пространствах Гельдера. Им также, как и С. А. Терсеновым, выписывались условия типа ортогональности, при выполнении которых с повышением гладкости данных задачи повышалась и гладкость решений. Отметим, что в одномерном случае число необходимых условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности (интегрального характера) бесконечно. По-видимому. впервые этот факт был отмечен в работах С. Г. Пяткова [117, 118]. В этих работах С. Г. Пятков исследовал параболическое уравнение с меняющимся направлением времени т Q т д{х)щ = ^ — (dij (ж, t) uXj) + ^ bi (x, t) uXi + с (х, t) u + /(ж, t), i, j = L 1 i=1 где x G П С Rm, t € (О, T) с краевыми условиями (4). Изучены свойства собственных функций соответствующей спектральной задачи, с помощью которых доказана разрешимость краевой задачи. Как упоминалось выше, в работах С. А. Терсенова в случае т = 1 при повышении гладкости данных задачи решение будет гладким при выполнении некоторого конечного числа условий ортогональности. С. Г. Пятковым показано, что в случае т > 1 число условий ортогональности бесконечно. Им доказаны теоремы о безусловном повышении гладкости решений с некоторым весом.

В работе [121] С. Г. Пятковым исследовалось уравнение в частных производных, называемое иногда ультрапараболическим уравнением т п q п.

Y^ ki (x, у) иу> = —(Oijix, y) uXj) + bi (x> + y) u + 2/)' i? j=i «1 ?—i где x 6 fi С R’Vi/ 6 ili С Шт. Это уравнение при m = 1 входит в класс рассматриваемых уравнений (1). Вариационными методами доказаны теоремы существования и единственности слабого решения. Также показано, что при повышении гладкости данных задачи повышается внутренняя гладкость решения.

Как было отмечено, уравнения вида (2) возникают в теории переноса [176, 167, 170]. Например, уравнение переноса нейтронов при определенных предположениях имеет вид уих (х, у) = а (у)и (х, у) — J К (у, v) u (x, u) du, (x, у) e {-a, a) x (-1,1).

— i.

Уравнения такого вида исследовались, например, в работах М. Мохтар-Харуби и X. Латрака [187]—[189]. В частности, они занимались спектральной теорией.

В. Гринберг [175] исследовал систему уравнений, описывающих многогрупповой перенос нейтронов 1 шх (х, у) = ?и (ж, у) — С J и (х, v) dv, (х, у) G (—а, а) х (—1,1),.

— 1 где и = (ui,., ип) т: Е — диагональная положительная матрица и С = \cij\i, j=Tin постоянная симметрическая матрица. Он рассматривал случай det{T, — С) ф 0. Используя функциональный подход, в частности, теорию пространств с индефинитной метрикой, он представил решение системы явно.

Также в теории переноса для описания процесса рассеивания электронов предлагается следующее уравнение ди д ди.

Это уравнение и связанная с ним спектральная задача рассматривалась, например, в работах Р. Билса [159], X. Капера, Г. Леккеркеркера, А. Зеттла [181]. Р. Билсом были доказаны теоремы об однозначной разрешимости краевых задач (4) для этого уравнения.

В работе М. Клауса, К.В.М. ван дер Ми и В. Протопопеску [183] даны два эквивалентных метода построения в явном виде решения краевой задачи д ди и{0,/л) = и+(у), если to {у) > 0, и (х>р)\ь2^а, ъ)=0(1) или 0(1) При X? оо и и (х, удовлетворяет самосопряженным краевым условиям оператора Lh = — {ph'y. Функция uj меняет знак на (о, Ъ) конечное число раз. В класс рассматриваемых ими уравнений входят уравнение рассеивания электронов, уравнение Фоккера-Планка [161]. Первый из предложенных методов основан на разложении по собственным функциям, а второй использует теорию интегральных уравнений типа Винера-Хопфа и факторизацию.

Среди других работ, посвященных исследованиям уравнений вида (2) отметим работы Н. В. Кислова [53]—[56], Х. Х. Ахмедова [11], И. Е. Егорова [29]-[35], Б. Спиглер [204], М. Клаус, К.В.М. ван дер Ми и В. Протопопеску [183], С. Г. Пяткова [114]—[125], [201] Н. Л. Абашеевой [1, 2], Пинигиной Н. Р. [89], Потаповой C.B. [106], Туласынова М.С.

Помимо начально-краевых задач в диссертации для параболических уравнений с разрывными коэффициентами будут рассматриваться нелокальные и обратные задачи.

Нелокальные краевые задачи — это задачи, в которых вместо задания значений решения или (и) его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же или иных функций на других внутренних или граничных многообразиях. Теория нелокальных краевых задач важна и сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными, важна она и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах.

В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, их важными приложениями.

Впервые внимание к задачам с нелокальными условиями для параболических и для гиперболических уравнений было привлечено в работах Дж. Кэннона [165] и Л. И. Камынина [50]. Впоследствии в работах ряда авторов эта проблема получила дальнейшее развитие.

В одномерном случае нелокальные задачи изучали еще А. Sommerfeld [203], Я. Д. Тамаркин [131], М. Picone [192] и др. В двумерном случае одна из первых работ, посвященных нелокальным задачам, принадлежит, по-видимому, Т. Carleman [166], который рассмотрел задачу о нахождении гармонической в ограниченной области функции, удовлетворяющей нелокальному краевому условию, связывающему значения искомой функции в различных точках границы. I.

Задачи с нелокальными условиями для параболических уравнений активно изучаются в последнее время. Большую роль в развитии этого направления сыграли статьи A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [19] и A.A. Самарского [130], в которых были предложены новые постановки задач для уравнений в частных производных.

A.M. Нахушев [80]-[85] исследовал нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типа. В предположении обратимости объединенного оператора при неизвестных функциях в нелокальных условиях доказал существования единственного решения нелокальных краевых задач. Для уравнения теплопроводности нелокальные краевые задачи исследованы в работах Н. И. Ионкина [42, 43].

Подобные задачи в классах суммируемых функций с общими нелокальными по времени условиями были изучены в работах A.A. Керефова [51], J. Chabrowski [171, 172], B.B. Шелухина [145, 146], Г. М. Либермана [71], А. И. Кожанова [61]. В работах [172, 71] нелокальное условие имеет наиболее общий характерв этих работах, как и в работах [51, 171], доказывалось существование решений в классах гладких функций. В работе [61] исследовалась разрешимость краевых задач для параболических уравнений с общим нелокальным условием в классах суммируемых регулярных функций. В работах.

145, 146] изучалась разрешимость нелокальной по времени задачи в классах суммируемых функций, но в менее общей постановке, нежели в [51, 171].

В настоящей диссертации рассматривается вопрос разрешимости краевой задачи для линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами и с нелокальным начальным условием.

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения вместе с решением неизвестных коэффициентов дифференциальных уравнений, неизвестной правой части, неизвестных граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, геотомографии, диагностики плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, георадиолокации приводят к обратным задачам, что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики и современного математического моделирования.

Теория обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений. Публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине 20-го века. Они были связаны с физикой, геофзикой, астрономией и другими областями естествознания. Ж. Адамар в 1902 году [178] сформулировал понятие корректности постановки задач для дифференциальных уравнений. В 1943 году А. Н. Тихонов [132] указал на практическую важность подобных задач и возможность устойчивого их решения. В пятидесятых и шестидесятых годах появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привели к ней внимание многих математиков.

В настоящее время теория обратных задач математической физики активно развивается представителями целого ряда отечественных математических школ. Корректность обратных задач для параболических уравнений, а также краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении о независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственных переменных изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы Ю. Е. Аниконова [6]-[10], [149]—[153], Б. А. Бубнова [5, 22], Е. Г. Саватеева [127]-[129], А. И. Прилепко [ЮГ]—[113], В. В. Васина [23], А. И. Кожанова [59]—[65], [184]—[186], Ю. Я. Белова [13]-[18], [155]-[157], С. И. Кабанихина [45]-[49], Н. И. Иванчова [ЗТ]—[41], [180], И. А. Калиева, М. М. Сабитовой [44], В. Е. Федорова [140], Д. С. Ткаченко [137], С. Г. Пяткова [124], С. Г. Пяткова, Б. Н. Цыбикова [125] и других. Целый ряд результатов в изучении обратных задач получили в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и другие.

В настоящей диссертации рассматривается вопрос разрешимости обратной коэффициентной задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами. Ранее задачи в такой постановке не рассматривались.

Цель диссертационной работы — доказательство теорем существования и единственности в пространствах Гельдера для параболических уравнений 2п-го порядка с разрывными коэффициентамидоказательство разрешимости в пространствах Соболева нелокальной задачи дифракции, а также связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию систем интегральных уравнений. Для доказательства разрешимости нелокальных и обратных задач применен метод продолжения по параметру.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: поставлены и исследованы краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами с общими условиями склеивания, найдены и явно представлены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задачдоказана безусловная разрешимость исходной задачидоказана теорема единственности и существования решения краевой задачи для параболического уравнения 2п-го порядка с разрывными коэффициентамидоказана разрешимость нелокальной задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные в работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, в том числе и для уравнений с меняющимся направлением времени.

Краткое изложение содержания диссертации.

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава носит вспомогательный характер, состоит из трех параграфов. В первом параграфе даются определения и некоторые свойства гельдеровских и соболевских пространств, во втором параграфе приводятся некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений. Изложение в основном соответствует книге [79]. В третьем параграфе приведены основные теоремы и методы доказательства разрешимости нелокальных и обратных задач для уравнений с частными производными.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, доказываются теоремы существования и единственности решения краевых задач для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами.

Пусть С} = ?1 х (0,Т), где П = М, ^ = ^ х (0,Т), 0+ - ?1 П {х > 0} и = {х < 0}.

Пусть в уравнении (5) функция /(ж) — А, х? и /(ж) = В, х? где Л, В — положительные постоянные. Известно [69], что решение уравнения (5) в классе ограниченных функций будет единственным при выполнении начальных условий и (х, 0) = (рг (х), ^ и (х, 0) = (р2(х), х? и условий непрерывности производных до 1-го порядка.

Решение уравнения (5) ищется из пространства Гельдера Щ’р/2((д±), р = 0 < 7 < 1, которое удовлетворяет полной матрице условий склеивания: где ац — элементы невырожденной матрицы, I > 1 — целое число.

В § 2.1 поставлена и исследована следующая задача: в области найти функцию и (х,{) удовлетворяющую уравнению (5), для которой выполняются условия (6), (7).

В § 2.1 и § 2.2 исследована краевая задача для уравнения х) щ = ихх.

5).

Результатом настоящего параграфа является явное описание условий разрешимости краевой задачи (5)-(7). Условия разрешимости будут иметь вид:

Ls{ifi, ?2) = 0, (s = 1, 2,., 21), (8) где Ls — линейные интегральные операторы от .

Методом доказательства является метод параболических потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению систем интегральных уравнений. Этот метод, развитый в работах Е. Е. Леви, Е. Хольмгрена, М. Жевре, Г. М. Мюнтца, А. Н. Тихонова, В. П. Михайлова, Б. Пини, Л. Кат-табрига, O.A. Ладыженской, В. А. Солонникова и других, является одним из эффективных средств доказательства теоремы существования решения для параболических уравнений.

Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть 1рг (х) е <�р2(ж) € HP (Q~), р = 21 + 7,.

О < 7 < 1, ?>1- целое число, и выполнены следующие условия:

11²² — 012*221 ф О, «11 022 + 0−12(221 > О,.

9) аца21 > О, ®-12а22 > 0.

Тогда.

1) при а2 = 0, ац/А + а, 22^/~В ф О и выполнении 21 + 1 условий вида (8),.

2) при а2 ф 0 и выполнении 21 условий (8) существует единственное решение краевой задачи (5)-(7) из пространства n™t'2m.

Дифференциальные свойства решения рассмотренной задачи раскрывает следующая теорема 2.

Теорема 2. Пусть tpi{x) G #Pl (Q+), 2 (ж)? HP2(Q) и выполнены условия (9) при а2 = 0, all/A + <222у/~В ф 0. Тогда существует единственное н решение u (x, t) G Б (Q*) (р = min{pi, p2}) краевой задачи (5)-(7) при выполнении.

1) одного условия вида (8), если О < р < 1. При этом ux (x, t) <Е L2(Q), G Zq (Q);

2) двуж условий вида (8), ес/ш 1 < р < 2. При этом uxx (x, t), ut (x, t) € L2(Q)].

3) треж условий вида (8) если 2 < р < 3. При этом uxx{x, t), ut{x, t) Е Hl’hQ) (0 < 7 < ½).

Следствие 1. Пустьⁱ (x) G Я2(^+), </?г (®-) ^ Я2(^~) и выполнены условия теоремы 2. Тогда существует единственное решение u (x, t) G краевой задачи (5)-(7) при выполнении трех условий вида (8) и при этом uxx (x, t), ut{x, t) е C (Q).

§ 2.2 состоит из двух частей, в которых доказывается безусловная разрешимость исследуемой краевой задачи (5)-(7) в области Q. Путем расширения области решения достигается уменьшение количества условий разрешимости исходной задачи, также определяется область, в которой достигается безусловная разрешимость. Доказаны следующие две теоремы.

Теорема 3. Пусть (pi (x) € #1+7(f2+), ср2(х) в #1+7(П~) и выполнены условия (9) при ai2 ф 0. Тогда при выполнении двух условий вида (8) существует единственное решение краевой задачи (5)-(7) из пространства н1+1 ^(Q*) П С2'1^), 0 < 7 < 1.

Теорема 4. Пусть срг (х) G ср2(х) Е W2(TT), 0 < 7 < Тогда существует единственное решение краевой задачи (5)-(7) из пространства HlliQ^KC^Q*).

В § 2.3 исследована начально-краевая задача для уравнения теплопроводности 2п-го порядка: найти решение и (х, ?) уравнения.

Я2 п при выполнении условий склеивания.

Л^.Л^М, 0<4<Т (* = 0,1,., 2"-1) (И) охк охк и начальных условий и (х, 0) = (р (х), х 6 0) = жбО", (12) где ^1(^)5 (ж) — заданные функции.

Пусть функция /(ж) > 0 терпит разрыв первого рода при х = 0. Для простоты, возьмем f (x) = А при х? и /(ж) = В при х? О", где А, Вположительные постоянные.

Пусть выполнено условие на коэффициенты, А и В:

А2А)А2{В) + А¹(А)А1(В) ф 0, (13) где А2 — квадратные невырожденные матрицы п-го порядка, которые будут явно определены в ходе доказательства теоремы.

Методом параболических потенциалов простого слоя с неизвестными плотностями построенными при помощи фундаментального решения и элементарных решений Пини-Каттабрига [168, 169, 193, 194], поставленная задача сводится к решению системы 2п уравнений.

А1{А)-3(г)+А1{В)1!(1) = Ръ А2{А)-3{1)-А2(В)^{1) = Е2.

Если решение поставленной задачи разыскивать из пространства Гельде-ра Яя'^2^^), Р = + 7, 0 < 7 < 1, то для краевой задачи (10)—(12) справедлива теорема 5.

Теорема 5. Пусть ц>(х) Е Нр (0,+), (р2(х)? Нр (0,~) и выполнено условие (13). Тогда при выполнении 2п1 + 1 условий вида (8) существует единственное решение краевой задачи (10)—(12) из пространства (^±) •.

В § 2.4 исследована начально-краевая задача для параболического уравнения с меняющимся направлением времени щ — sgna- ¦ ихх = (14) при граничных условиях и (х, 0) = фо (х), х > 0, и (х, Т) = (рт (х), х<0, (15) и (+0,*) = и (-О^), их (+0,*) = «*(-(),*). (16).

Доказываются соответствующая теорема и следствие. Теорема 6. Пусть (р0(х) Е На (П+), срТ (х) Е Я^ГГ), р = тт{а, Д Е (1−2), € 1,2(0). Тогда при выполнении двух условий вида (8) существует единственное решение краевой задачи (14)—(16) и (х,?) Е Н²^" *1) при этом ихх (х^), щ (х,?) Е Ь2(С?)¦

Следствие 2. Пусть ср0(х) Е Я2(^+), <�рт (х) Е #2(Г2~), /(¡-М) = 0, то при выполнимости двух условий вида (8) существует единственное решение краевой задачи (14)—(16) и (х,€) Е С2,1^^, при этом ихх (х^), щ (х,?) Е С (О).

Третья глава посвящена исследованию нелокальной краевой задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами.

В § 3.1 рассматривается следующая нелокальная задача: найти функцию и (х, ?), являющуюся в прямоугольнике <5 — ^ х (0) Т), ?1 = (—1- 1) решением уравнения.

17) где щ — ¿-1ихх + С1(х, г) и, х < о, I Ь (х, г), х < о,.

Ьи = <5 /ОМ) = щ — (12ихх + с2(х, х > 0, ^ /2(ж, ?), X > 0, di, d2 > 0 — const, и такую, что для нее выполняются условия u (-l, t) = u (l, t) = 0, (18) u (-0,t) = u (+0,t), diux (~0,t) = d2ux (+0,t), u (x, 0) = a (x)u (x, T) + щ (х). (20).

С помощью метода продолжения по параметру и принципа неподвижной точки Шаудера [138] доказана теорема существования и единственности решения нелокальной задачи.

Определим пространства Vo и V\.

V0 = {v (x, t): v (x, t) G L2{0, T] П ?,",(0, TW vt{x, t) e L2(Q), d1vx (-0,t) = d2vx (+0,t)}.

Vi — {v{x, t): v{x, t) G Vq, vt (x, t) G V0}.

Теорема 7. Пусть выполняются условия ci (x, t) > ci > 0, ж G [-1,0], t G [0,Т], c2(x, i) > ?2 > 0, х G [0,1], t G [0,Г], (21) ci{x, t) G Loo (Q-), c2(x, t) G Loo (Q+) u пусть a (x)ewU^), a (x).

Тогда для любой функции f (x, t) из пространства L2(Q) и любой функции о щ (х) из пространства W^ity* такой что щ (—1) — щ (1) = 0, = iio (+0) — dUox (—0) = d2U{)x (-1−0), краевая задача (17)—(20) имеет, единственное решение u (x, t), принадлежащее пространству Vo.

В § 3.2 установлено, что обратная коэффициентная задача: найти функции u (x, t), q{x) связанные в прямоугольнике Q уравнением ut — Liu + q (x)u = /(.т, I), (23).

25) где duxx, х < О, I f (x, t), x < О, f (x, t) = < di, d2 > 0 — const, d2uxx, x > 0, ж > О, при выполнении для функции и (ж, t) следующих условий: u{-l, t) = p (t), ti (l, i)=VW, (24) u (-0,i) = iz (+0,i), diux (-0,t) =.

0) = u0(®), (26).

M (a-, T)="i (a-) — (27) также имеет единственное решение в пространстве V. Теорема 8. Пусть выполнены условия.

1и1(ж)| > > 0, х Е О, а (ж)>а0>0, |/3(ж)|</30, Д, > 0, гбЙ, е^io (fi), ¿-(ж) G ^(fi), |а (ж)| <а0<1, х ей, ^ <1, Ri < 1, R0 < М0.

Тогда обратная задача (23)-(27) имеет решение {и{х, i), q (x)}, u{x, t) Е Vh g (x) E Loo (0) — для любых функций f (x, t), uq{x), u{x), tp (t) и ip{t) таких, что f (x, t) E L2(Q), ft (x, t) E L2(Q), tp (t) E W22([0,T]) — ф (г) E Mx) E W$(Q), щ (х) E Wi (Q), и0(-1) = ^(0), i*,(l) = ^(0), щ (-1) = tp (T), «i (l) = -ф{Т), u0{-0) = u0(+0), diMox (-O) =.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре «Уравнения переменного типа» профессора С. В. Попова (кафедра математического анализа ИМИ СВ.

ФУ), на семинаре «Дифференциальные уравнения с частными производными» профессора И. Е. Егорова (ФГНУ «НИИ математики при ЯГУ»), на научной конференции «Лаврентьевские чтения РС (Я)» (Якутск, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007), на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск, 2005, 2007), на IV и V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2007), на Всероссийском школе-семинаре «Математическое моделирование развития северных территорий» (Якутск, 2005, 2006, 2007, 2008), на XLIII и XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научнотехнический прогресс» (Новосибирск, 2005, 2006), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2007» (Москва, 2007), на ежегодных Аспирантских чтениях ЯГУ, на Молодежной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009), на Международной конференции по математическому моделированию «Mathematical modeling» (КНР, г. Линьи, 2010), на научном семинаре лаборатории обратных задач математической физики ИМ СО РАН под руководством профессора Ю. Е. Аниконова (Новосибирск, 2010), а также на научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики» ИМ СО РАН под руководством профессора А. И. Кожанова (Новосибирск, 2010).

Работа выполнена при финансовой поддержке следующих грантов:

• гранта ректора ЯГУ (2005 г.);

• гранта НП МО РФ «Университеты России» (2002;2005 гг.);

• гранта ИМИ ЯГУ для студентов и магистрантов (2006 г.);

• гранта ФЦНТП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002;2006 годы по мероприятию 1.9 «Проведение молодыми учеными научных исследований по приоритетным направлениям науки, высоких технологий и образования» (2006 г.);

• грантов ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009;2013 гг. по мероприятию 1.3.1 «Проведение научных исследований молодыми учеными-кандидатами наук» (2009;2010 гг.) и по лоту «Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области математики» мероприятия 1.1;

• гранта Президента РС (Я) (2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах: 8 статьях и 17 тезисах докладов [206]-[227].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 118 страниц. Список цитируемой литературы содержит 227 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены следующие основные результаты:

• поставлены и исследованы краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами с общими условиями склеивания, найдены и явно представлены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач;

• доказана безусловная разрешимость исходной задачи;

• доказана теорема единственности и существования решения краевой задачи для параболического уравнения 2п-го порядка с разрывными коэффициентами;

• доказана разрешимость нелокальной задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, в том числе и для уравнений с меняющимся направлением времени.