Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием

В последующем в работах А. Ф. Леонтьева, его учеников и последователей разрабатывалась теория операторов обобщенного дифференцирования (обобщенного интегрирования, изучения разложения по обобщенным экспонентам, решения новых классов операторных уравнений и др.) Одновременно эта теория стимулировала развитие смежных областей (целых фукнций, локально выпуклых пространств и других), и естественно ожидать её использование в других областях чистой и прикладной математики.

14]).

Настоящая диссертация посвящена проблеме представления оператора обобщенного дифференцирования (ООД), оператора обобщенного интегрирования (ООИ) и диагонального оператора (ДО) в пространстве аналитических в односвязной области функций, и вопросу разрешимости линейных операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. Предлагаемое нами определение ООД является, по-видимому, новым и в некотором смысле аксиоматическим. Именно, выделяются два важных свойства классического оператора дифференцирования: его непрерывность в пространстве аналитических функций и характер действия на полную в этом пространстве систему степеней. Подобное определение, но для диагональных операторов, было дано ранее в работе Линчука [28]. Среди различных известных представлений ООД для наших целей наиболее подходящим оказалось представление, предложенное Ю. Ф. Коробейником в одном специальном случае [18]. Оказалось, что при таком представлении важную роль играет понятие мультипликатора пары множеств. Последнее является обобщением мультипликатора множества, введенного А. В. Братищевым [б].

Обозначим через H (G) пространство голоморфных в односвязной области G функций с топологией компактной сходимости. Под ООД (ООИ, ДО) будем понимать непрерывный линейный оператор из H (G) в #(&'), который на системе степеней {z11} в H (G) имеет соответственно вид :

Dzn = dn-.izn~ п е N, DI := О, 4.

Iz n zn+ n€NU{0}, dn^O, d, n.

Jzn = dnzn, neNU{0}, где {dn} С С.

Вопросом представления оператора обобщеного диффренцирования и родственных им диагональных операторов в разное время занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Ф. Коробейник, Н. И. Нагнибида, С. С. Линчук, А. В. Братищев и другие математики. Изначально ООД был определён А. О. Гельфондом и А. Ф. Леонтьевым [14] следующим образом. Пусть f (z) ~ oakZk — целая функция порядка р и типа, а Ф 0, оо, причем а% ф О, к > 0, и существует точный lim^oo к' Дак = (стер)К Пусть затем оо y (z) = Ylykzk.

Jfc=О произвольная функция, регулярная в круге D (0,R) := {z: z < R, 0 < R < оо}. Тогда оо.

Jfc=l ак-1 Jfe-1 -z.

1) называется обобщенной производной первого порядка функции y (z), порожденной функцией f (z). К. М. Фишман [45] и Н. И. Нагнибида [42] доказали, что для произвольной последовательности {ап} е С, ап ф О оператор, задаваемый в виде (1), непрерывен в Я (1)(0, Я)), R? (0, оо) тогда и только тогда, когда lim С к-* оо 1 1, а оператор (ООИ), задаваемый в виде [Iy](z) — YlkLoбудет непрерывным в Н (D (О, JS)), R € (О, оо) тогда и только тогда, когда.

Соответствующие результаты получены ими и в случае R = оо.

Ю. Ф. Коробейник [18] несколько иначе определяет ООД. Пусть у (х) Sfelo Укхк ~ аналитическая в начале координат функция. Тогда где {4} ~ некоторая последовательность из С. Нетрудно видеть, что Dzn — dn^znп е N, D1 = 0.

Отметим работу С. С. Линчука [28], в которой диагональный оператор (ДО) определяется как непрерывный линейный в H (G) оператор со следующим свойством: где — некоторая последовательность комплексных чисел.

Перейдем к вопросу представления. В работе [26] А. Ф. Леонтьев для случая dn = р (п +1), п? NU {0}, где р (х) — многочлен степени 5, р (0) = 0, получил такое представление ООД и доказал, что этот оператор применим к любой аналитической функции в каждой точке её аналитичности.

Интегральное представление вида оо.

Dy)(z] := Y^dk-VkXk.

Lzn = dnzn, n = 0,1,. впервые появилось в той же статье [18] и изучалось в [19]. Здесь y (t) — аналитическая функцияи (х) — функция, аналитическая в области z —1| > О, имеющая на бесконечности нуль не ниже второго порядкаcz — спрямляемая жорданова кривая, окружающая точку z и лежащая вместе со своей внутренностью в области аналитичности у. С помощью последнего представления в [18] описан класс ООД, применимых к любой аналитической функции в каждой точке её аналитичности. Проблема продолжения и представления ООД более общего вида посвящены работы В. В. Напалкова [38], [39]. Операторы такой общности в диссертации не рассматриваются.

Операторы обобщённого интегрирования рассматривались в работах Н. И. Нагнибиды, Ю. А. Кирютенко и других авторов. В частности, последним автором получены условия продолжимости из нуля ООИ во множество: а) всех областей, б) звёздных областей, в) класса односвязных областей. Там же предложено интегральное представление ООИ.

В случае, когда функция d (z) dnzn голоморфна в С {1}, в работе [21] Ю. Ф. Коробейника и Ю. Н. Донскова предложено представление ДО в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка оо.

Jy](z) = n=0 где {a"J и {dn} связаны системой равенств dn —.

— п п ак, пеШ{0}.

•к=0 (п-к)1.

Отметим представление ДО в виде где оо оо.

Ф) = y (Z) = Ук*к> к предложенное в работе [14]. Позже это же представление в более общей ситуации было использовано в [28].

Вопросам разрешимости операторных уравнений, порожденных 00Д и ДО посвящено много работ. Так, вопросами разрешимости операторных уравнений бесконечного порядка, порожденных 00Д занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Н. Фролов, Ю. Ф. Коробейник, И. X. Мусин, Т. И. Демченко (Коршикова) и другие математики (например, [27], [44], [19], [37] и другие их работы), но в диссертации эти уравнения и решаемые для них задачи не изучаются. Также отметим, что нас интересуют ДО в пространстве аналитических в области G функций, хотя операторы с таким названием изучались и в других пространствах, например, в пространствах последовательностей. К теме диссертации имеют отношение следующие результаты.

В монографии [42] установлено, что для разрешимости ООД Dy = / в H (D (О, R)) для каждой правой части из H (D (О, R)) необходимо и достаточно, чтобы liirin^oo y/dn = 1.

В работе [21] рассматривалось операторное уравнение вида L$y = /, где Ьэ — оператор Эйлера бесконечного порядка, являющийся ДО. В работе выясняется, когда уравнение L^y = / имеет аналитическое в области G решение для каждой правой части /? H (G).

В докладе А. В. Братищева [5] рассматривается ООД, порожденный последовательностью вида 1 — ап+1 dn= 1 B, fl€N, D1 := 0, а,.

1 СЬ&euro-[.

В частности, получено представление ООД, ООИ, а также явный вид резольвенты ООД D.

В заключение исторического обзора заметим, что в теореме Адамара об умножении особенностей, в вопросах разрешимости линейных операторных уравнений порожденных ООД и ДО, изучении обобщенных преобразований Бореля, описании областей сходимости ряда обобщенных экспонент и проблеме представления этих операторов возникает вспомогательная задача о перемножении множеств комплексной плоскости. Достаточно отметить работы [1], [21], [28], [2], [4], [б], [7]. Эта задача нуждается в систематическом исследовании.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Она состоит из трех глав.

В первой главе развивается теория перемножения множеств комплексной плоскости. При этом ключевую роль играет понятие мультипликатора пары множеств А, В С С. Так мы назовём множество.

M (A, B):={zeC:zACB}.

Здесь устанавливаются общие свойства мультипликатора, а также изучаются мультипликаторы конкретного вида.

Во второй главе изучается задача интегрального представления ООД в виде (2) для фиксированной односвязной области G и для некоторых важных классов областей, определяемых конкретными мультипликаторами. Там же устанавливается связь возможности такого представления с разрешимостью интерполяционной задачи с бесконечным числом узлов. Параллельно изучаются представления ООИ и ДО.

В третьей главе рассматриваются вопросы нахождения явного вида решения операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами, порожденные ООД. По существу эта проблема упирается в нахождение резольвенты ООД.

Для более детального описания результатов первой главы введем несколько вспомогательных определений. Следуя [1] под произведением множеств А, В С С будем понимать множество АВ = Z1Z2 = {z • z2: zi e A, z2? В}. Положим A~l = :.z G А} и A! = {z € С: z A}. Обозначим через D (zq, R) — {z: z — zq < R} - кругD (oo, R) = {z € €: z > D (zq, R) — замыкание D (zo, R) — S (a, R) = {z: z — a = R}~ окружностьK (ar, i?) = {z: r < z—a < R} - кольцояп := ехр{^г}, n € Nft^j := {z G С {0}: a < argz < /3} - угол иРп — правильный n угольник с центром в нуле и вершиной в точке z = 1.

В теореме 1 первой главы рассматривается общие свойства М (Д В). Приведем некоторые из них.

Теорема 1.1.

2. М (А, В) = (АВ'-1)'~ 4. 0еМ (А, В)&0еВ.

7. Для того, чтобы В было звёздно относительно начала координат необходимо, а в случае М (А, В) А = В и достаточно, чтобы мультипликатор М (А, В) был звездным относительно нуля.

8. Если, А открыто, то М (А, В) U {0, оо} есть замкнутое множество, а множество АВ'~г {0, оо} открыто.

В теореме 1.2 выясняются свойства мультипликатора в случае, когда.

А = В С С. Теорема 1.2.

1. Если М (А) состоит из конечного числа точек, то либо М (А) = {1, хпу. К'1}, либо М (А) = {0,1,. К" 1} где хп. = ехр {^г}.

2. М (А) является коммутативным моноидом относительно операции умножения комплексных чисел.

5. Если. множество, А ограничено, то М (А) С D (0,1).

9. Мультипликатор М (А) не обязательно является связным множеством, даже в случае односвязности множества А.

Теорема 3 описывает мультипликаторы конкретного вида в случае, когда, А = В — G — область в С.

Теорема 1.3.

2. Для выпуклой ограниченной области G мультипликатор M (G) = Рп тогда и только тогда, когда G есть правильный выпуклый п—угольник с центром в нуле.

3. M (G) = D (0,1) тогда и только тогда, когда 3R > 0: G — D (О, R).

5. M (G) = 5(0,1) тогда и только тогда, когда 3 г, R € (0, -boo) G =.

6. M (G) = (0, +оо) тогда и только тогда, когда 30 < в — а < 2п G пвК.

K (0-r, R).

8. Пусть область G ограничена и 0 € ext.<7. Если существует луч, который пересекает область G по пустому множеству, то мультипликатор M (G) = {1}.

В теореме 1.4 собраны вспомогательные результаты, которые понадобятся в главе 2.

Задача представления ООД, ООИ и ДО в H (G), где G — односвязная область в С ставится следующим образом. Оператор задан на полной в H (G) системе степеней {zn}. Требуется по этому заданию установить, будет ли он расширяться до линейного непрерывного оператора на всём H (G). В теореме 2.1 она решается в общем виде. Метод доказательства теорем во второй главе опирается, в частности, на представление Кёте линейных непрерывных операторов и функционалов в пространстве H (G). Этот метод для получения представления специальных классов операторов использовал сам Кёте в своей статье, далее М. Ю. Царьков [43], Ю. Ф. Коробейник [22] и другие математики. Также используется теорема о монодромии функции двух переменных.

Теорема 2.1. Пусть область G С С и односвязна.

1. Оператор D, определенный на системе {zn} по правилу Dzn := dn-iz" -1, п е N, D1 0, {dn} С С, расширяется до ООД в H (G) тогда и только тогда, когда функция d{z) := dnzn голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N (1) < N (2) <. такая, что функциональный элемент двух переменных (f), z G D (zq, g) С G, t € D (oo, j) аналитически продолжается в каждую односвязную.

I область Сг#(п) х Gn С С х С, а в случае 0 ^ G d (z) аналитически продолжается в точку z — оо и имеет там нуль не ниже второго порядка.

2. Оператор /, определенный на системе функций {zn} по правилу Izn := ?zn+1, п? N U {0}, {dn} С с {0}, расширяется до ООИ в H (G) тогда и только тогда, когда функция d (z) := Y^Lq голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < iV (l) < N (2) <. такая, что функциональный элемент jdi (|), z е D (zo, e) С G, t Е D (oo, аналитически продолжается в каждую односвязную область (гщп) х Gn С С х €, а в случае 0 f G d (z) аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.

3. Оператор J, определенный на системе {zn} по правилу п? NU{0}, {dn} С С расширяется до ДО в H (G) тогда и только тогда, когда функция d (z) : — dnzn голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N (1) < N (2) <. такая, что функциональный элемент jd (f), z? D (zo, e) с G, t E D (00,7) аналитически продолжается в каждую односвязную область G’n^ xGn С С х С, а в случае О ^ G d (z) аналитически продолжается в точку 2 = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.

Так как f? G’N^Gn, то можно было бы ожидать, что d (z) аналитически продолжается до локально аналитической функции на множестве GG'~l. которое, как следует из главы 1, не обязательно является открытым или замкнутым. Далее приводится пример функции d (z), которая может оказаться многозначной при аналитическом продолжении в GG1'1. В связи с этим целесообразно искать классы областей G1 для которых соответствующая функция d (z) продолжается до локально аналитической на GG'~l. Удобно вводить классы таких областей в терминах мультипликатора, введенного в главе 1.

В теореме 2.2 расматриваются области, у которых ноль лежит на границе. В первой главе доказывается, что M (G) = (0,1] тогда и только тогда, когда 0 ^ G, G U {0}- звездное множество и G не совпадает с углом вида Для этого класса областей доказывается.

Теорема 2.2. Пусть G — односвязная область и M (G) — (0,1]. Следующие три условия равносильны :

1а) оператор D, заданный на множестве степеней по правилу Dzn — dn^izn~1, п € N, Di ~ 0, расширяется до оператора обобщенного дифференцирования в H (G);

16) степенной ряд У^о dnz11 сходится в окрестности начала координат, его сумма d (z) аналитически продолжается до голоморфной в С [1,М] функции, М > 1, и имеет нуль не ниже второго порядка в точке z — ос.

1 в) существует целая функция экспоненциального типа a (z) с индикаторной диаграммой в [—1пМ, 0], интерполирующая {<4} в узлах п = 1,2,. в следующем смысле: а (1) = 0, а (2) = do, а (3) = d,. .

При выполнении хотя бы одного из трех утверждений имеет место такое интегральное представление ООД: 2h / fdO' w где z E Gn. Следующие утверждения равносильны :

2 а) пусть дана последовательность {dn} С С, Vn > 0 dn ф 0. Оператор I, определяемый на полной в H (G) системе {zn} по правилу Izn = j-zn+1, та € N, расширяется до ООН на H (G);

2 б) ряд сходится в окрестности нуля, его сумма d{z) аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области С [1, М] и имеет нуль не ниже первого порядка в точке z = оо;

2 в) существует целая функция экспоненциального типа a (z) с индикаторной диаграммой в [— 1пМ, 0], которая является функцией коэффициентов для d (z) в следующем смысле: о (1) = а (2) — .

При выполнении одного из утверждений «)Ь (|) где z eGn.

Аналогичный критерий имеет место и для ДО.

В теореме 2.3 рассматриваются области, у которых ноль лежит во внешности или на границе их замыкания. Пусть каждый луч с началом в нуле пересекает односвязную область G по интервалу (из которых хотя бы один конечен и хотя бы один не начинается в нуле) или по пустому множеству. Тогда M (G) = {1}. Для этого класса областей доказывается.

Теорема 2.3. Следующие три утверждения равносильны.

1а) оператор D, определяемый на системе {z11} по правилу Dzn — d, nzn~l, п € N, D1 = 0, {dn} с С, расширяется до ООД на H (G);

16) ряд dnzn сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в односвязной области С{1} и имеет нуль не ниже второго порядка в точке z = оо.

1 в) существует целая функция не выше минимального типа первого порядка a (z), которая является функцией коэффициентов для d (z) в следующем смысле: а (1) = 0, а (2) = do, а (3) — d],. .

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

Заметим, что критерий применимости ООД к каждой аналитической функции в каждой точке её аналитичности в терминах разрешимости интерполяционной задачи впервые установлен в [18]. В случае, когда О G доказана следующая.

Теорема 2.4. Пусть G есть звёздная область и G ф С. Следующие три утверждения равносильны :

1а) оператор D, определяемый на системе {zn} по правилу Dzn = d^z71″ 1, п е N, D1 = 0, {dn} С С, расширяется до ООД на H (G).

1 б) ряд dnzn сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области GG'~l.

1 в) существует аналитическая и экспоненциального типа в полуплоскости Ее2 > 0 функция коэффициентов a (z): Vn G N, dn — a (n) такая, что её преобразование Лапласа будет аналитической и однозначной функцией в односвязной области^lnjVf (G)^, где In M{G) есть объединение точки оо = In 0 и всех точек из полосы — тг < Im < 7 Г, являющихся образами M (G) при отображении w = In z, —it < arg z.

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

В третьей главе ищутся решения операторных уравнений конечного порядка, порождённых ООД D. В первом параграфе вводится понятие обобщенной экспоненты e (z) := l + ]C2=i тт"-" • Такие функции в связи с ООД уже встречались ранее. В монографии [27], например, отмечено, что e (z) переходит в обычную экспоненту ez, когда dn — п + 1, n = О, 1, Доказывается такое свойство обобщенной экспоненты:

Лемма 3.1. Пусть О G G, D — ООД в H (G). Уравнение.

D — М) у = О для каждого Л € С имеет ненулевое решение у? H (G) тогда и только тогда, когда e (z) есть целая функция.

В предположении, что e (z) — целая функция, в серии лемм 3.2−3.4 и теореме 3.1 находится явный вид общего решения однородного операторного уравнения конечного порядка.

Теорема 3.1. Общее решение однородного операторного уравнения с постоянными коэффициентами.

Dny + aiD^y + • • • + ап = О имеет вид :

ТО «J — i.

1−1 к=О где qi: k — произвольные коэффициенты из С, Ai,., Ато — корни характеристического многочлена zn + a^z11'1 ¦ • • + а, п = 0 кратностей .Si,., sm соответственно.

Во втором параграфе рассматриваются простейшие неоднородные операторные уравнения Dy — / и J у = /. Имеет место.

Теорема 3.2. Пусть G — односвязная область, содержащая ноль и D — ООД в H (G). Уравнение Dy = / разрешимо для любой правой части f (z) Е H (G) тогда и только тогда, когда а) Vn € N U {0} dn ф 0- б) функция d{z) = YZ* TzU голоморфна в нулев) существует последовательность 1 < N (1) < N (2) <. такая, что функциональный элемент jdi (|), z Е D (zo, e), t Е D (оо, е) аналитически продолжается в каждую односвязную область G’n^ х Gn С € х С до голоморфной функции двух переменных;

Аналогичный критерий разрешимости имеет место для уравнения J у = /. Несмотря на внешнюю простоту данных уравнений, при конкретной реализации они могут иметь достаточно сложную структуру. Например, если.

О € G и ^(г) голоморфна в С {1}, то уравнение J у — f может бьтть записано в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка. В случае же 0 $ G, с помощью преобразования w — In z уравнение J у = / сводится к разрешимости уравнения комплексной свертки вида.

Третий параграф посвящён операторным уравнениям вида Dy—Xy = /. Нельзя ожидать достаточно простого решения этого операторного уравнения в общем случае. Поэтому мы ограничеваемся случаем, когда соответствующая функция d (z) — Y^=oP (n + гДе Р (п) ~ многочлен птой степени. В начале (теорема 3.4) находится явный вид резольвенты оператора D в случае, когда 0 6 G. Резольвента оператора D (D — А/)-1 ищется конструктивно. Заметим, что существует большая литература по теоремам существования правого обратного оператора (смотри, например, диссертацию С. Н. Мелихова [32] по этой теме и библиографию в ней).

Теорема 3.4. Пусть G — звёздная область. Тогда общее решение линейного уравнения с где y{z)J (z) е #(InG) (смотри [21], [2]).

Dy-Xy = f первого порядка (относительно ООД D) в H (G) имеет вид :

4) ф) = aoe (Az) + -/-/ Е-Щ.о о fe=0 к.

•/(щ.usz)dui • • • оо где e (z) = J2 р ()1р (пу е (°) = h •- - корни уравнения p (z) = тг=0 clqz3 4- azs~l Н——-h as — 0, ао ф 0, Re ., Re vs <1, уо e € .

Предложенный в предыдущей теореме способ доказательства не удается перенести на случай, когда 0 G. В случае, когда 0 ф. G и порождающая оператор D функция d{z) есть многочлен второго порядка методом прямой подстановки доказывается.

Теорема 3.5. Пусть 0 4: G. Тогда общее решение линейного уравнения (4) имеет вид: 7 оо (Л (1 — (Z — Х2)) y (z) = yQe (Xz) + //? ——i)dxidx2,.

Z0 zo fe=0 где e (z) = J2n=о P (iylP{ny e (°) = г> v ~ коРень многочлена p (z) = z{z — v v ^ N. Интегрирование ведётся по кривым, лежащим в G.

Уже в случае s = 2 при подстановке y (z) в уравнение возникают большие сложности при его упрощении. Ещё большие сложности просматриваются при s > 2. Этим объясняется, почему общий случай s не рассмотрен.

В теореме 3.6 приведен алгоритм получения в явном виде решения неоднородного операторного уравнения конечного порядка.

Автор выражает благодарность научному руководителю диссертации за постановку задачи и участникам семинаров В. В. Напалкова, Ю. Ф. Коробейника и В. П. Кондакова за полезные обсуждения результатов диссертации.

1. Бибербах J1. Аналитическое продолжение. М.: — Наука, 1967. 240 с.

2. Братищев А. В. О линейных операторах, символ которых является функцией произведения своих аргументов. // Доклады АН. 1999. -Т. 365. — т. — С. 9−12.

3. Братищев А. В. О мультипликаторе области в комплексной плоскости // Материалы XVI международной научно-методической конференции. Петрозаводск, июнь, 2003. Санкт — Петербург: ПГУПС. — 2003. — С. 126−127.

4. Братищев А. В. Обобщенное преобразование Бореля и смежные задачи теории функций // International Conference Complex analysis and its applications. Abstracts, Lviv, may 26−29, 2003. Льв1в: LNU. — 2003. — C. 17−18.

5. Братищев А. В. Оператор обобщенного дифференцирования, порожденный функцией Гейне. Тезисы докладов 13 саратовской зимней школы. Саратов. Январь, 2006. — Саратов: научная книга. — 2006. — с. 36−37.

6. Братищев А. В. Описание обобщенных преобразований Бореля, сохраняющих теорему Пойя. // Вестник ДГТУ. 2001. — Т. 1. — Л*1. — С. 79−89.

7. Братищев А. В., Калиниченко JI. И. Описание области сходимости ряда обобщенных экспонент // Доклады РАН. 1993. — Т. 331. — № 6. — С. 666−667.

8. Братищев А. В., Моржаков А. В. О мультипликаторе пары множеств комплексной плоскости. // Вестник ДГТУ. 2004. — т.4. № 3 — С. 270 281.

9. А. В. Братищев, А. В. Моржаков. О резольвенте одного класса обобщенных дифференциальных уравнений. // Вестник ДГТУ. 2006. Т. 6 — ШС. 85−88.

10. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. Наука. — 1965. — 172 с.

11. Гельфонд А. О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. -1951. — Т. 38.

12. Гельфонд А. О. Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье. -Матем. сб. 1951. — Т. 29. — № 3. — С. 477−500.

13. Доброходов С. Ю., Маслов В. П. Многомерные ряды Дирихле в задачах об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических операторов. Современные проблемы мат-ки. — Т. 23. — М.: ВИНИТИ. — 1983. — С. 33−78.

14. Кейперс JI., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука. — 1985. — 408 с.

15. Кирютенко Ю. А. Об операторах обобщенного интегрирования, аналитически продолжимых из нуля. Известия ВУЗов. — № 7. — 1975 г.

16. Коробейник Ю. Ф. Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналитической функции. // ИАН СССР.- Сер. матем. 1964. т. 28. — т. — С. 833−854.

17. Коробейник Ю. Ф. Об одном интегральном операторе. // Литовский математический сборник. 1965. — Т. 5. № 1 — С. 97−115.

18. Коробейник Ю. Ф. Аналитические решения операторных уравнений бесконечного порядка. Докторская диссертация. Ростов-на-Дону. -1965 г.

19. Коробейник Ю. Ф. Донсков Ю. Н. Аналитические решения уравнения Эйлера бесконечного порядка // Изв. ВУЗов. 1969. — ЛШ.-С. 44−51.

20. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе линейных операторов // Годишник ВТУЗ, матем. Т. 9. кн. 3. — София. — 1973. — с. 23−32.

21. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968. — 564 с.

22. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1951. — Т. 39. — 216 с.

23. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды математического института им. В. А. Стеклова.- 1957 Т. 39.-С. 1−216.

24. Леонтьев А. Ф. Об области регулярности предельной функции одной последовательности аналитических функций. Матем. сб.. — Т. 39. -№ 4. — 1956. — С. 405−420.

25. Леонтьев А. Ф. Обобщенные ряды экспонент. М. Наука, 1981. — 320 с.

26. Линчук С. С. Диагональные операторы в пространствах аналитических функций и их приложения // Актуальные вопросы теории функций. Ростов-на-Дону: ИРУ. — 1987. — С. 118−121.

27. Мавроди Н. Н. Необходимые и достаточные условия аналитической продожимости степенного ряда / / Актуальные проблемы математического анализа. Сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону: ГинГо. — 2000. -С. 94−99.

28. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.1. -М.: Наука.1967. -488 с.

29. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.2. -М.: Наука.1968. -624 с.

30. Мелихов С. Н. Правые обратные к операторам представления рядами экспонент и свертки. Автореферат докт. диссер. Уфа 2003. — 240 с.

31. Моржаков А. В. О представлении оператора обобщенного дифференцирования функций, аналитических в круге.// Межвузовский сб. «Интегро-дифференциальные операторы и их свойства» .- Вып. 6. -Ростов-на-Дону: ДГТУ. 2004. — С. 40−42.

32. Моржаков А. В. Об одном классе операторов обобщенного дифференцирования // Современные проблемы теории функций и их приложения, тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов. Январь 2006 г. Саратов: Научн. книга. — 2006. — С. 122−123.

33. Моржаков А. В. Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе односвязных областей. 2 // Вестник ДГТУ. -2006. Т. 6 № (28).- с. 10−16.

34. Мусин И. X. О разрешимости одного неоднородного уравнения. Сб. «Исследование по теории функций». Уфа: БФАН СССР. — 1986. — С. 77−89.

35. Напалков В. В. О продолжаемости оператора обобщенного дифференцирования. Матем. сб. — Т. 78. — № 38. — 1969. — С. 397−407.

36. Напалков В. В. О расширении оператора обобщенного дифференцирования. Матем. заметки. — Т. 6. — № 4. — 1969. — С. 425−436.

37. Робертсон А. П., Роберстон В. Дж. Топологические векторные пространства.- М.: Мир. 1967. 260 с.

38. Савёлов А. А. Плоские кривые. М.: ГИФМЛ, 1960. — 296 с.

39. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1987. -280 с.

40. Царьков М. Ю. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочные со степенью оператора дифференцирования. Теория функций, функц. анализ и их приложения. — Республ. научн. сб. — 1970. — вып. 2. — с. 86−96.

41. Фролов Ю. Н. Об аппроксимации решений уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных посредством элементарных решений. Сб. «Исследования по теории аппроксимизации функций». -Уфа: БФАН СССР. — 1979. — С. 268−281.

42. Фишман К. М. К вопросу о линейном преобразовании аналитических пространств. ДАН ССР, 127, №, 1959, с. 40−43.

43. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. Т.2. Изд.2. -М: Наука. -1976. 400 с.

44. Янушаускас А. И. Аналитические и гармонические функции многих переменных.- Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1981. 184 с.

45. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie. //J. reine angew. math. -1953. Bd. 191. -S. 30−49.