Теоремы равносходимости для интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях

Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов. Спектральный анализ таких операторов включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций (СПФ), разложения произвольной функции в ряд по СПФ, вопросы полноты и базисности СПФ, равносходимости разложений по СПФ и по известным системам функций и т. д. Интерес к спектральной теории велик, а успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.

Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по СПФ для одного класса интегральных операторов и в обычный тригонометрический ряд Фурье.

Впервые теорема равносходимости разложений по СПФ и разложений в тригонометрические ряды Фурье была установлена в работах В. А. Стеклова [1], Е. В. Гобсона [2] и А. Хаара [3] для оператора ШтурмаЛиу вил ля. Затем Я. Д. Тамаркин [4] и М. Н. Стоун [5] распространили этот результат на произвольный дифференциальный оператор:

1[у] = уЫ + ^рк{х)у{крк{х) е ЦОД] (0.1) к~ 0 с произвольными краевыми условиями:

Uj (y) = nfxajky{k) + bjk/k\)] = 0(j = 1 ,., п), (0.2) к=0 удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], стр.66−67), которые заключаются в отличии от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в Uj (y) (после приведения их к нормированному виду ([6], стр 65−66). Дадим формулировку этого результата.

Теорема 0.1. Для любой функции f (х) е //[0,1] имеет, место: lim||Sr (/, x)-c7r (/,*)||c[^] = 0 (0.3) п где 8 — любое число из 0, —, Sr (/, х) — частичная сумма ряда Фурье по v 2у собственным и присоединенным функциям оператора (0.1) — (0.2) для тех собственных значений, для которых Xk < rn-crr (f, x) — частичная сумма тригонометрического ряда Фурье для тех к, для которых ктг < г. Условия регулярности снять, вообще говоря, нельзя. a) A s j (x, t) = 7−77−7 A (x, t), (s, j = 0,., n) — непрерывны при t < x и лиувиллевского типа получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций и этот метод приводит часто к результатам окончательного характера, и исследования A.M. Седлецкого (см., например, [11]) об операторе дифференцирования с размазанными граничными условиями.

С точки зрения интегральных операторов теорема (0.1) дает равносходимость спектральных разложений для операторов вида: 1.

Af= A (x, t) f (t)dt, (0.4) о когда А (х, t) является функцией Грина дифференциальных операторов. Для интегральных операторов общего вида вопрос о равносходимости исследовался впервые А. П. Хромовым ([12],[13]). Он ввел следующие требования на ядро А (х, t): ds+j dxs8tJ t>x ,.

6) A~l существует,.

B) A^s С*"0 t=x~ Axs (x>t)t=x-o ~ 4xs CM)|*=*+() = 8s, n-i> s = 0,., nSsk — символ Кронекера.

В работе [13] обосновывается существенность всех этих требований для выполнения теоремы 0.1. Отметим, что условие в) задает канонический вид интегральных операторов, для которых имеет место теорема 0.1. Начиная с 1998 года (см. 14]), стали исследоваться интегральные операторы, ядра которых имеют скачки п -1 — ой производной не только на линии t = х, но и t = 1-х. Эти операторы мы рассматриваем в виде: 1 Af = ах Ах (x, i) f{i)dt + a2 A2(x, t) f (t)dt+ 0 *.

1-х 1 а3 jA3(l-x, t) f (t)dt + а4 jA4(1 -х, t) f (t)dt, (0.5).

О 1-х где ctj — комплексные константы, и выполняется условие:

Э*.

Aj{x, t) t=x=S (s = 0,., п). (0.6).

8xs.

Для двух частных случаев оператора (0.5) — (0.6), в первом из которых, а ~ аъ ~ а4 ~ 0' а во втором а2 = ал = 0- Ax (x, t) = A3(x, t) теоремы равносходимости были получены А. П. Хромовым [15] и совместно А. П. Хромовым и В. В. Корневым [16].

Целью данной работы является получение теорем равносходимости для оператора (0.5)-(0.6) с произвольными константами а, и произвольными ядрами (jc, f)> * = 1>—>4 в наиболее простом случае п = 1, а также получение формул обращения оператора (0.5)-(0.6) для п> 2, что открывает возможность обобщения теорем равносходимости и на случай произвольного п, но не входит в рамки настоящей работы.

Метод получения теорем равносходимости основывается на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора (0.5)-(0.6) по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.

Диссертация содержит 115* страниц, состоит из введения, трех глав, разделенных на 10 параграфов, дополнения и списка литературы.

1. Е. W. Hobson. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions// Pros. Land. Math. Sos., 1908, 6, pp 349−395.

2. A.Haar. Zur Theorie des ortogonalen Funtionen systeme// Math. Ann., 1910, 69, pp 331−371- Math. Ann., 1911, 71, pp 38−53.

3. Я. Д. Тамаркин. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, Петроград, 1917.

4. M.N. Stone. A comparison of the series of Fourier and Birkgoff // Trans. Amer. Math. Soc., 1926, V28, 4, pp 695−761.

5. M.A. Наймарк. Линейные дифференциальные уравнения, М, Наука, 1969, 528с.

6. В. А. Ильин. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка Келдыша обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов// ДАН СССР, 1975, т. 225,3, С. 497−499.

7. В. А. Ильин. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье//ДАН СССР, 1975, Т.223, 3, С. 548−551.

8. В. А. Ильин. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных уравнений// ДАН СССР, 1976, Т.227, 4, С.796−799.

9. В. А. Ильин. О приближении функций биортогональным рядом по собственным и присоединенным функциям дифференциальных операторов// Теория приближения функций: сб., 1974, С.206−213.

10. A.M. Седлецкий. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // Успехи матем. наук, 1982, 37, вып. 5(227), С.51−95.

11. А. П. Хромов. Интегральные операторы с ядрами типа функций Грина// Деп. 1972, № 4841−72.

12. А. П. Хромов. Теоремы равносходимости интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб., 1981, 144(156), 3, С. 358−450.

13. А. П. Хромов. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях//Матем. заметки, 1998, 64, вып.6, С. 932 942.

14. А. П. Хромов. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования// Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: сб., посвященный 70-летию П. Л. Ульянова, М, изд. АФЦ, 1999, С. 255−266.

15. В. В. Корнев. А. П. Хромов. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях.

16. Е. В. Назарова. Задача точного обращения некоторого класса интегральных операторов с разрывными ядрами// Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докл. 10-й Сарат. зимн. школы, Саратов, изд. Сарат. ун-та, 2000, С. 96−97.

17. Е. В. Назарова. О резольвенте интегрального оператора с ядром, разрывным на диагоналях// Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докл. 11-ой Сарат. зимн. школы, Саратов, изд. Сарат. ун-та, 2002, С. 141−143.

18. Е. В. Назарова. К теореме о равносходимости одного класса интегральных операторов с разрывными ядрами // Сб. научных статей. Часть 1. Химия, техника, математика, Саратов: изд-во Сарат. военного института РХБЗ, 2002, С. 194−200.

19. Е. В. Назарова. О резольвенте одного класса интегральных операторов// Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании: труды Междунар. науч. конференц., Саратов-Энгельс, изд. Сарат. гос. технич. ун-та, 2002, С. 110−111.

20. Е. В. Назарова. Задача об обращениии одного класса интегральных операторов с разрывными ядрами// Деп. ВИНИТИ № 233-В2002, Москва, 2002, 11 стр.

21. Е. В. Назарова. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Математика. Механика. Сб. научных трудов, вып. 4, Саратов, изд. Сарат. ун-та, 2002, С 102−105.тем roc — ¦