Методы обработки символьной информации и математическое моделирование в исследованиях теоретических моделей космической динамики
Диссертация
Одна из характерных черт развития современной науки — это интенсивное исследование и освоение космического пространства. В связи с этим возникла практическая необходимость в разработке методов решения задач космической динамики, связанных с расчетом, управлением и проектированием траекторий движения искусственных небесных тел. Оказалось, что многие задачи современной космической динамики могут… Читать ещё >
Содержание
- Общая характеристика работы
- 1. Обзор научных результатов по ньютоновой проблеме многих тел
- 1. 1. Постановка ньютоновой проблемы многих тел
- 1. 2. Проблема интегрируемости дифференциальных уравнений движения
- 1. 3. Поиск и исследование точных частных решений
- 1. 4. Ограниченные задачи многих тел
- 1. 5. Основные понятия и теоремы об устойчивости, используемые в космической динамике
- 2. Новые классы томографических решений задачи многих тел
- 2. 1. Определение и свойства томографических решений по Винтнеру
- 2. 2. Конфигурационное пространство Нехвила
- Условие существования томографических решений
- 2. 3. Симметричные томографические решения задачи четырех тел
- 2. 4. Центральные конфигурации системы четырех тел в плоскости
- 2. 5. Томографические многоугольники в проблеме рп+1)теп
- 3. Классические и современные методы исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
- 3. 1. Методы теории возмущений для вычисления характеристических показателей системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
- 3. 2. Символьные вычисления характеристических показателей методом бесконечных определителей
- 3. 3. Определение границ между областями устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров системы
- 3. 4. Нормализация неавтономной линейной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений с малым параметром
- 4. Исследование устойчивости стационарных решений в ограниченных задачах томографической динамики
- 4. 1. Дифференциальные уравнения ограниченной задачи многих тел. Определение положений равновесия
- 4. 2. Анализ устойчивости равновесных решений в первом приближении
- 4. 3. Исследование линейной устойчивости равновесного решения обобщенной «задачи Ситпикова»
- 4. 4. Устойчивость по Ляпунову равновесного решения обобщенной задачи Ситникова
- 4. 5. Устойчивость равновесного решения при наличии резонанса четвертого порядка
- 5. Исследование устойчивости томографических решений в задаче многих тел
- 5. 1. Линеаризованные уравнения возмущенного движения
- 5. 2. Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости томографических многоугольников
- 5. 3. Теорема о неустойчивости ромбоподобных конфигураций в задачах четырех и пяти тел
- 6. Исследование устойчивости цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника на эллиптической орбите
- 6. 1. Линеаризованные уравнения возмущенного движения. Области устойчивости цилиндрической прецессии в случае круговой орбиты спутника
- 6. 2. Области неустойчивости цилиндрической прецессии в окрестностях точек простого параметрического резонанса при Р = 3/
- 6. 3. Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости цилиндрической прецессии в случае р = 3 /
Список литературы
- Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Абалкин В. К., Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г., Рябов Ю. А. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1976. — 854 с.
- Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.:1. Наука, 1977.-360 с.
- Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики1. М.: Наука, 1965.-368 с.
- Дубошин Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. — 456 с.
- Гребеников Е.А., Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971. — 432 с.
- Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964.515с.
- Рой А. Э. Движение по орбитам. -М.: Мир, 1981.-544 с.
- Hearn А.С. Reduce. User’s and contributed packages manual. Version 3.7.
- Santa Monica, CA and Codemist Ltd, 1999. 488 p.
- Wolfram S. The Mathematica book. 4lh ed. — Wolfram Media/Cambridge
- University Press, 1999. 1470 p.
- Манзон Б.М. Maple V Power Edition. M.: Информационно-издательскийдом «Филинъ», 1998.-240 с.
- Pavelle R., Wang P. S. Macsyma from {F} to {G} // J. Symbolic Computations. 1985. — V. 1, No. 1. — P. 69−100.
- Гердт В.П., Тарасов O.B., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на
- ЭВМ в приложении к физике и математике // Успехи физ. наук 1980 Т. 30, № 1.-С. 113−147.
- Трошева М.В., Ефимов Г. Б., Самсонов В. А. История использования аналитических вычислений в задачах механики. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2005. — 87 с.
- Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избр. тр.: В 3-х т. М.: Наука, 1971.-Т. 1.-771 е.--М.: Наука, 1972.-Т. 2. — С. 3−452.
- Арнольд В.И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. — 416 с.
- Гребеников Е.А., Козак-Сковородкина Д., Якубяк М. Методы компьютерной алгебры в проблеме многих тел. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во РУДН, 2002.- 209 с.
- Ихсанов Е.В. Компьютерные методы нормализации гамильтонианов ограниченных задач небесной механики. М.: Изд-во РУДН, 2004 — 132 с.
- Davis M.S. Proceedings of the Celestial Mechanics Conference: Round Table
- Discussion // Astron. J. 1958. — V. 63. — P.462−464.
- Herget P., Musen P. The calculations of literal expansions I I Astron. J 19 591. V. 64.-P. 11−20.
- Брумберг B.A. Ряды полиномов в задаче трех тел // Бюлл. ин-та теор. астрон. АН СССР. 1963. — Т. 9, № 4(107). — С. 234−256.
- Брумберг В.А. Представление координат планет тригонометрическими рядами // Тр. ин-та теор. астрон. АН СССР. 1966. — № 11. — С. 3−88.
- Охоцимский Д.Е. Исследование движения в центральном поле сил под действием постоянного касательного ускорения // Космич. исслед. -1964.-Т. 2, № 6.-С. 817−842.
- Ефимов Г. Б. Предельное решение в задаче об оптимальном разгоне аппарата с малой тягой в центральном поле // Космич. исслед. 1970.-Т. 8, № 1.-С. 265.
- Davis M.S. Programming systems for analytical developments on computers //
- Astron. J. 1968. — V. 73, No. 3. — P. 195−202.
- Kovalevsky J. Review of some methods of programming of literal developments in celestial mechanics // Astron. J. 1968. — V. 73, No. 3 — P.203−209.
- Barton D., Fitch J.P. A review of algebraic manipulative programs and theirapplication // Computer J. 1972. — V. 15, No. 4. — P. 362−381.
- Jefferys W.H. Automated algebraic manipulations in celestial mechanics // Commun. ACM. 1971. — V. 14, No. 8. — P. 538−541.
- АНАЛИТИК алгоритмический язык для описания процессов с использованием аналитических преобразований / В. М. Глушков, В. Г. Бондарчук, Т. А. Гринченко и др. //Кибернетика. 1971. -№ 3. — С. 102−134.
- Barton D. Lunar disturbing function // Astron. J. 1966. — V.71, No. 6. — P.438.442.
- Deprit A., Henrard J., Rom A. Analytical lunar ephemeris: Brouwer’s suggestion // Astron. J. 1970 — V. 75, No. 6. — P. 747−750.
- Брумберг B.A. Небесно-механические методы проведения буквенных операций на ЭВМ. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1974. — 114 с.
- Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы в небесной механике. М.: Наука, 1980.-208 с.
- Ефимов Г. Б., Зуева Е. Ю., Щенков И. Б. Из истории развития и применения компьютерной алгебры в институте прикладной математики имени М.В.Келдыша. М., 2003. — 20 с. — (Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша РАН- № 27).
- Абрамов С.А., Зима Е. Б., Ростовцев В. А. Компьютерная алгебра // Программирование. 1992. — № 5. — С. 4−25.
- Васильев Н.Н., Еднерал В. Ф. Компьютерная алгебра в физических и математических приложениях // Программирование. 1994. — № 1. — С. 70−82.
- Грошева М.В., Ефимов Г. Б., Самсонов В. А. Символьные преобразованияна ЭВМ в задачах управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998.-№ 3. — С. 80−91.
- Гребеников Е.А. Существование точных симметричных решений в плоской ньютоновой проблеме многих тел // Матем. моделирование. -1998.-Т. 10, № 8.-С. 74−80.
- Grebenikov Е.А. Two new dynamical models in celestial mechanics // Romanian Astron. J. 1998. — V. 8, No. 1. — P. 13−19.
- Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Физматгиз, 1967.-524 с.
- Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / Под ред. Г. Мюнтц. Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 386 с
- Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Докл. АН СССР. 1954. -Т. 98, № 4. — С. 527−530.
- Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения вклассической и небесной механике // Успехи матем. наук. 1963. — Т. 18, № 6. — С. 91−192.
- Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 448 с.
- Grebenikov Е.А., Prokopenya A.N. Symbolic Computation Systems and the
- Many-Body Problem // Computer Algebra and its Application to Physics CAAP'2001: Proc. of the Intern. Workshop, Dubna, Russia, June 28−30, 2001 / Ed. V.P.Gerdt. Dubna, JINR, 2001.-P. 140−148.
- Степанов B.B. Курс дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1968.-468 с.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. 1. Механика. 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1988. — 216 с.
- Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. 3-е изд., доп. М.: Наука, 1975 — 800 с.
- Мультон Ф. Введение в небесную механику. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1935.-480 с.
- Якоби К. Лекции по динамике. 2-е изд., стереотип. — М.: Едиториал1. УРСС, 2004.-271 с.
- Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. Ижевск, Изд. дом «Удмуртский университет», 1999. 588 с.
- Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968.-800 с.
- Hill G.W. Researches in the lunar theory // Amer. J. Math. 1878. — V. 1. — P.5.26, 129−147,245−260.
- Brown E.W., Shook C.A. Planetary theory. New York: Dover Publ., 1964.302 p.
- Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. — 628 с.
- Sundman К. F. Memoire sur le probleme des trios corps// Acta Mathematica1912.-V. 36.-P. 105−179.
- Алексеев B.M. Лекции по небесной механике. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 156 с.
- Мерман Г. А. О представлении общего решения задачи трех тел сходящимися рядами // Бюлл. Ин-та теор. астрон. 1958. -Т. 6. — С. 713−732.
- Борунов В.П., Рябов Ю. А. Построение численно-аналитического тригонометрического решения задачи трех тел в ССВ Mathematica и Maple // Применение систем Mathematica и Maple в научных исследованиях. -М.: ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, 2001. С. 63−77.
- Brumberg V.A., Tarasevich S.V., Vasiliev N.N. Specialized celestial mechanics systems for symbolic manipulation // Celest. Mech. 1989. — V. 45, No. 1−3.-P. 149−162.
- Brumberg V.A. Analytical techniques of celestial mechanics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1995. 236 p.
- Bretagnon P. Iterative method in the construction of a general planetary theory// Astronomy and Astrophysics. 1990. — V. 231. — P. 561−570.
- Seidelmann P.K. Review of planetary and satellite theories // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1993. — V. 56. — P. 1−12.
- Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1982.-656 с.
- Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике.1. М.: Наука, 1978.-312 с.
- Диаку Ф., Холмс Ф. Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.
- Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. -304 с.
- Биркгоф Дж.Д. Динамические системы Ижевск: Изд. дом «Удмуртскийуниверситет», 1999. 408 с. 69. де ла Яве Р. Введение в КАМ-теорию. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. 176 с.
- Маркеев А.П. Устойчивость гамильтоновых систем // Нелинейная механика: Сб. ст. / Под ред. В. М. Матросова, В. В. Румянцева, А.В.Карапе-тяна. М.: Физматлит, 2001. — С. 114−130.
- Moore С. Braids in classical gravity // Phys. Rev. Lett. 1993. — V. 70. — P.3675−3679.
- Chenicer A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three bodyproblem in the case of equal masses // Annals of Mathematics. 2000. -V.152, No. 3. — P. 881−901.
- Современные проблемы хаоса и нелинейности / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2 002 304 С.
- Perko L.M., Walter E.L. Regular Polygon Solutions of the N-Body Problem //
- Proc. American Math. Soc. 1985. — V. 94, No. 2. — 301−309.
- Elmabsout B. Sur l’existence de certaines configurations d’equilibre relatif dans le probleme des N corps // Celest. Mech. and Dynam. Astron. 1988. -V.41.-131−151.
- Grebenikov E.A. New exact solutions in the planar symmetrical («+7)-bodyproblem//Romanian Astron. J. 1997.- V. 7, No. 2.-P. 151−156.
- Гребеников E.A., Земцова Н. И. О существовании асимметричных решений функциональных уравнений Лагранжа-Винтнера // Нелинейный анализ и томографическая динамика. М.: Паимс, 1999. — С. 70−78.
- Bang D., Elmabsout В. Configurations polygonales en equilibre relatif // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences de Paris. Serie II b. 2001. -V. 329. — P. 243−248.
- Прокопеня A.H. О существовании новых томографических решений в задаче многих тел // Вестник БГТУ. Физика. Математика. Химия 2003. -№ 5.-С. 14−18.
- Гребеников Е.А., Прокопеня А. Н. О существовании нового класса точных решений в плоской ньютоновой проблеме многих тел // Вопросы моделирования и анализа в задачах принятий решений. М.: ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, 2004. — С. 39−56.
- Kunitsyn A.L. On the stability of Laplaces solutions of the unrestricted threebody problem // Celest. Mech. 1974. — V. 9. — P. 471−481.
- Тхай B.H. Об устойчивости постоянных лапласовых решений неограниченной задачи трех тел // Прикл. мат. и мех- 1978 Т. 42, № 6-С.1026−1032.
- Иванов А.П. Исследование устойчивости постоянных лагранжевых решений неограниченной задачи трех тел // Прикл. мат. и мек. 1979. — Т. 43,№ 5.-С. 787−795.
- Elmabsout В. Stability of some degenerate positions of relative equilibrium inthe и-body problem // Dynamics and stability of systems. 1994. — V. 9, No. 4.-P. 305−319.
- Elmabsout B. Nonlinear instability of some relative equilibrium configurationsin the (n+1)-body problem//Romanian Astron. J. 1996. — No. 1 — P. 61−71.
- Прокопеня A.H. О линейной устойчивости точных симметричных решений ньютоновой гравитационной задачи многих тел // Вестник БГТУ. Физика. Математика. Химия. -2001. -№ 5. С. 25−29.
- Cattani C., Prokopenya A.N. On the stability of the homographic polygon configuration in the many-body problem // Atti dell' Accademia Peloritana dei Pericolanti, Classe I di Scienze Fiz. Mat. e Nat., Vol. LXXXI-LXXXII, CIA0401004 (2003−04). P. 1−13.
- Robe H.A.G. A new kind of three-body problem // Celest. Mech. 1977. — V.16.-P. 343−351.
- Plastino A.R., Plastino A. Robe’s restricted three-body problem revisited // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1995. — V. 61. — P. 197−206.
- Choudhry R.K. Libration points in the generalized elliptic restricted three-body problem // Celest. Mech. 1977. — V. 16. — P. 411−419.
- Singh J., Ishwar B. Effect of perturbations on the location of equilibrium points in the restricted problem of three bodies with variable mass // Celest. Mech. 1984. — V. 32. — P. 297−305.
- Jha S.K., Shrivastava A.K. Equations of motion of the elliptical restricted problem of three bodies with variable masses // Astron J. 2001. — V. 121. -P. 580−583.
- Whipple A.L. Equilibrium solutions of the restricted problem of 2+2 bodies //
- Celest. Mech. 1984. — V. 33. — P. 271−294.
- Whipple A.L., Szebehely V. The restricted problem of n + v bodies // Celest.
- Mech. 1984,-V. 32.-P. 137−144.
- Salo H., Yoder C.F. The dynamics of co-orbital satellite systems // Astronomyand Astrophysics. 1988. — V. 205. — P. 309−327.
- Cors J.M., Llibre J., Olle M. Central configurations of the planar co-orbitalsatellite problem // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2004. — V.89, No. 4. -P. 319−342.
- Ollongren A. On a restricted (2″ + 3)-body problem // Celest. Mech. 1989.1. V. 45.-P. 163−168.
- Kozak D., Oniszk E. Equilibrium points in the restricted four-body problem. Sufficient conditions for linear stability // Romanian Astron. J. 1998. — V. 8, No.l. — P. 27−31.
- Якубяк M. Качественные исследования ограниченной проблемы шести тел на основе теории Колмогорова-Арнольда-Мозера: Дисс.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Гродн. гос. ун-т им. Я.Купалы. Гродно, 2000, — 92 с.
- Козак Д. Исследование устойчивости стационарных решений гамильто-новых уравнений ограниченной проблемы семи тел: Дисс. канд. физ.мат. наук: 01.01.02 / Гродн. гос. ун-т им. Я.Купалы. Гродно, 2000. -104 с.
- Козак-Сковородкина Д. Применение компьютерной системы Mathematica в качественных исследованиях ньютоновой проблемы многих тел. М.: Изд-во РУДН, 2005. — 146 с.
- Прокопеня А.Н. Об устойчивости равновесных решений ограниченной ньютоновой задачи четырех тел // Вестник БГТУ. Физика. Математика. Химия. 2002. — № 5. с. 15−20.
- Prokopenya A.N. Equilibrium solutions in the restricted many-body problems and their stability // Abstracts of the V Congress of Romanian Mathematicians, Pitesti, Romania, June 22−28, 2003. University of Pitesti, 2003. -P. 117.
- Grebenikov E.A., Prokopenya A.N. Studying Stability of the Equilibrium Solutions in the Restricted Newton’s Problem of Four Bodies // Buletinul Aca-demiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. 2003. -№ 2(42). -P.28−36.
- Якубович В.А., Старжинский B.M. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.-720 с.
- Арнольд В.И. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае //Докл. АН СССР. 1961.-Т. 137, № 2.-С. 255−257.
- Прокопеня А.Н., Мичурин А. В. Применение системы Mathematica к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во БГУ, 1999.-265 с.
- Прокопеня А.Н. Решение физических задач с использованием системы Mathematica. Брест, БГТУ, 2005. — 260 с.
- Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд., испр. — М.: Наука, 1966.-530 с.
- Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1990.- 176 с.
- Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ им. М. В. Ломоносова, 1998. — 480 с.
- Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. 2-е изд. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 216 с.
- Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 3-е изд., пе-рераб. и доп. — М.: Наука, 1987. — 304 с.
- Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса // Прикл. матем. и мех. 1968. — Т. 32, № 4. — С. 738−744.
- Zhuravlev S.G. Stability of the libration points of a rotating triaxial ellipsoid // Celest. Mech. 1972. — V. 6. — P. 255−267.
- Zhuravlev S.G. About the stability of the libration points of a rotating triaxial ellipsoid in a degenerate case // Celest. Mech. 1973. — V. 8. — P. 75−84.
- Журавлев С.Г. Об устойчивости точек либрации вращающегося трехосного эллипсоида в пространственном случае // Астрон. ж. 1974. — Т. 51, № 6.-С. 1330−1334.
- Гребеников Е.А., Земцова Н. И. КАМ-теория и томографическая динамика // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. М.: ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, 2005. — С. 26−45.
- Smale S. Mathematical problems for the next century // Math. Intelligencer. -1998. -V. 20.-P. 7−15.
- Smale S. Problems on the nature of relative equilibria in celestial mechanics//Springer Lecture Notes in Math. 1970.-V. 197.-P. 194−198.
- Llibre J. On the number of central configurations in the TV-body problem // Celest. Mech. Dynam. Astron. 1991. — V. 50. — P. 89−96.
- Prokopenya A.N. New Homographic Solutions in the Problem of Four Bodies // Fifth International Symposium on Classical and Celestial Mechanics (August 23−28, 2004, Velikie Luki, Russia): Abstracts. Moscow, Computing Center of RAS, 2004. — P. 12−13.
- Saari D.G. On the role and the properties of n body central configurations // Celest. Mech. 1980.-V. 21.-P. 165−184.
- Moeckel R. On central configurations // Mathematische Zeitschrift. 1990. -V. 205.-P. 499−517.
- Simo C. Relative equilibrium solutions in the four body problem // Celest. Mech. 1978. — V. 18. — P. 165−184.
- Albouy A. Symetrie des configurations centrales de quatre corps // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 1995. V. 320. — P. 217−220.
- Long Y., Sun S. Four-body central configurations with some equal masses // Arch. Rational Mech. Anal. 2002. — V. 162. — P. 25−44.
- Casasayas J., Llibre J., Nunes A. Central configurations of the planar + N body problem // Celest. Mech. and Dynam. Astron. 1994. — V. 60. — P. 273−288.
- Витриченко Э.А. Трапеция Ориона. M.: Наука, 2004. — 206 с.
- Arenstorf R.F. Central configurations of four bodies with one inferior mass // Celest. Mech. 1982. — V. 28. — P. 9−15.
- Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во АН БССР, 1963. — 272 с.
- Prokopenya A.N. Calculation of the Characteristic Exponents for a Hill’s Equation // Proc. of the 8th Rhine Workshop on Computer Algebra, Mannheim, Germany, March 21−21, 2002. University of Mannheim, 2002. — P. 275−278.
- Grebenikov E.A., Prokopenya A.N. Determination of the Boundaries Between the Domains of Stability and Instability for the Hill’s Equation // Nonlinear Oscillations. 2003. — Vol. 6, № 1. — P. 42−51.
- Prokopenya A.N. On the stability of differential equations with periodic coefficients // Symbolic Computation systems and Their Applications / M. Bar-bosu, J. Bereczki (Eds.). Kompress, Komarom, 2004. — P. 1−16.
- Cattani С., Grebenikov Е.А., Prokopenya A.N. On stability of the Hill’s equation with damping // Nonlinear Oscillations. -2004. V. 7, No. 2. — P. 169−179.
- Grimshaw R. Nonlinear ordinary differential equations. London, CRC Press, 2000. — 328 p.
- Lindh K.G., Likins P.W. Infinite determinant methods for stability analysis of periodic-coefficient differential equations // AIAA J. 1970. — V. 8, No. 4. -P. 680−686.
- Prokopenya A.N. Determination of the stability boundaries for the Hamilto-nian systems with periodic coefficients // Mathem. Modelling and Analysis.2005.-V. 10, No. 2.-P. 191−204.
- Прокопеня A.H. Определение границ области устойчивости лагранже-вых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел // Весшк Брэсцкага дзярж. ушверсгота. 2005. — № 3. — С. 50−59.
- Гребеников E.A., Прокопеня A.H. Символьные вычисления в исследованиях устойчивости дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. М.: ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, 2005. — С. 3−25.
- Прокопеня А.Н. Некоторые алгоритмы символьных вычислений в исследованиях проблем космической динамики // Программирование.2006.-№ 2.-С. 1−7.
- Prokopenya A.N. Computing the stability boundaries of the Lagrange’s triangular solutions in the elliptic restricted three-body problem // Mathem. Modelling and Analysis. 2006. — V. 11, No. 1. — P. 1−10.
- Маркеев А.П. Об одном особом случае параметрического резонанса в задачах небесной механики // Письма астрон. ж. 2005. — Т. 31, № 5. -С. 388−394.
- Прокопеня A.H. Нормализация неавтономной линейной гамильтоновой системы с малым параметром // Матем. моделирование. 2005. — Т. 17, № 6.-С. 33−42.
- Прокопеня А.Н. Вычисление матриц Ляпунова для линейной гамильтоновой системы уравнений с периодическими коэффициентами // Вестник БГТУ. Физика. Математика. Информатика. 2004. — № 5. — С. 5−8.
- Иванов А.П., Сокольский А. Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при резонансе второго порядка // Прикл. матем. и мех. 1980. — Т. 44, № 5. с. 811−822.
- Гребеников Е.А., Митропольский Ю. А., Рябов Ю. А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999. — 320 с.
- Bang D., Elmabsout В. Restricted N +1 -body problem: existence and stability of relative equilibria // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2004. — V. 89. -P. 305−318.
- Ситников К.А. Существование осциллирующих движений в задаче трех тел // Докл. АН СССР. 1960. — Т. 133, № 2. — С. 303−306.
- Прокопеня А.Н. Об устойчивости равновесных решений обобщенной задачи Ситникова // Динамика неоднородных систем. М.: Институт системного анализа РАН, 2005. — Вып. 9(2). — С. 5−12.
- Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems // Comm. Pure Appl. Math.- 1958.-V. 11, No. 1.-P. 81−114.
- Брюно А.Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона // Математические заметки. 1967. — Т. 1, № 3. — С. 325−330.
- Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа. -М.: Наука, 1979. -253 с.
- Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // Докл. АН СССР. 1964. — Т. 156, №. 1. — С. 9−12.
- Гребеников Е.А., Прокопеня А. Н. О неустойчивости ромбоподобных томографических решений ньютоновой задачи пяти тел // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, 2005.-С. 40−46.
- Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001.-264 с.
- Дубошин Г. Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюлл. ИТА АН СССР. 1960. — Т. 7, № 7. — С. 511−520.
- Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // Прикл. матем. и мех, 1964.-Т. 28, № 1.-С. 155−157.
- Likins P.W. Stability of symmetrical satellite in attitude fixed in an orbiting reference frame //J. Astronaut. Sci. 1965. — V. 12, No. l.-P. 18−24.
- Маркеев А.П. Устойчивость стационарного вращения спутника на эллиптической орбите // Космич. исследования. 1965. — Т. 3, № 5. — С. 674−676.
- Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника//Космич. исследования 1967-Т. 5, № З.-С. 365−375.
- Маркеев А.П. О вращательном движении динамически-симметричного спутника на эллиптической орбите // Космич. исследования. 1967. — Т. 5,№ 4.-С. 530−539.
- Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. — 308 с.
- Маркеев А.П., Чеховская Т. Н. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите // Прикл. матем. и мех. -1976. Т. 40, № 6. — С. 1040−1047.
- Чуркина Т.Е. Об устойчивости движения спутника на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии // Матем. моделирование. -2004.-Т. 16, № 7.-С. 3−5.
- ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В ЗАДАЧЕ1. ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ1. Set notebook options1. Clear"Global4*». -$DefaultFont = {"Helvetica-Bold", 12}- th = AbsoluteThickness2.- SetOptions [Plot, PlotStyle -" {th}]-
- SetOptions ListPlot, PlotStyle-" {AbsolutePointSize [2. } ] - Off[General:spelll, General: spell]-1.ad Mathematica Packages
- Needs"Graphics4 Colors%".- Needs ["Graphics4ImplicitPlotv" ] -
- П. 1.1. Уравнения, выражающие необходимое и достаточное условия существования центральной конфигурации
- Координата ус центр масс системы:2 mi Yi + m3 Y3ус = ----mo + 2 mi + m3
- Проекции сил, действующих на первое и третье тела, равны: mi mi mi m3 Xi mo mi Xi Fi v = -G--G--G4Xi2 (Xi2 + (Yi Y3) 2) 3/2 (Xi2 + YI2)3/2^ mim3(Y3-Yi) ^ m0 mi Yi
- Xi2+ (Yi-Y3)2)3/2 (Xi2 + YI2)3/2m0m3 2 mi m3 (Yi Y3)1. F3y = -G-— + G1. Y32 (Xi2+(YI-Y3)2)3/2
- Проекции сил на оси Ох и Оу записаны в предположении, что У3 > 0.
- Так как тела должны образовывать центральную конфигурацию, в барицентрической системе координат справедливы равенства:1. Fixeql = == - aXi // Simplifymi1. Fiyeq2 = == а (ус — Yi) // Simplifymi1. F3yeq3 = == a (yc — Y3) 11 Simplifym3
- Здесь a некоторая положительная постоянная. Выражаем ее из первого уравнения и подставляем во второе и теретье. soli = Solveeql, а. 1.] 11 Simplify eq4 = {eq2, eq3} /. soil 11 Simplify
- Для упрощения уравнений делаем следующие подстановки: eq5 =
- Thread#, Equal. & /@ !—eq4 //Threadjj /. {Хг-*1,
- Yj. a, Y3 -" b, m0 → Ц mi, m3 -" ц2 mi} // Simplify — eq6 = Map Cancel [Expand [#.]&, eq5, 2] //Simplify
- П. 1.2. Центральные конфигурации в случае mz = т^
- Пусть /7?з Ф 0, но мала, например, т3 = т<. Тогда уравнения принимают вид: eq8 = (eq6 /. ц2 // Simplify) // Thread10
- При //1=0 три тела Рь Р2, Рз должны либо находится на одной прямой, либо в вершинах равностороннего треугольника. Оба уравнения eq8 при этом одинаковы. eq8 I. ц 1 0 // Simplify1. Их решения имеют вид:
- Solve eq8ffl.] /. Цх0, Ъ] // Simplify
- Так как конфигурация допускает параллельный перенос, то получить точное значение /5 можно, зафиксировав а, например.
- Solve eq8P! /. ц-у 0 /. а V3″, b. // Simplify
- Посмотрим, как будет изменяться конфигурация при увеличении ц<.
- TablelmplicitPlot[eq8 /. ц^ —, {а, -4, 4},
- Ь, 0.001, 6}, PlotStyle → {{th, Red}, {th, Blue}}, PlotPoints 50, AxesLabel-* {"a", «b"}., {k, 30}]-
- Графики показывают, что при малых значениях параметра система eq8 имеет пять решений. С ростом остается только три корня. Рассмотрим все пять случаев по отдельности.
- FindRoot eq8 /. ц1 //Evaluate, {а, 1.5}, {Ь, 3.4}.1Ц1.: = Ь / .
- FindRoot eq8 /.ц 1 //Evaluate, {а, 1.5}, {Ь, 3.4}.2аа1ц1. *ц2т[ц1], r 1, ccl А/1.: = /. {/i2 -* -}2+ц1 + ц2 10 j
- Plot {aal [/il., /3/31 [/il], ccl[/il], -/ (aal [/il])2 + 1 }, {/il, 0.01, 30},
- PlotStyle-» {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing{0. 03} .}}, PlotRangeAll] -
- Графики показывают, что с ростом массы т0 треугольник становится равнобедренным, а тело т3 приближается к телу т0 так, что в пределе три тела стремятся оказаться на одной окружности.
- Для исследования положения двух других корней системы eq8 в области а> 0 определяем функции аа2(^), Pf32(ji<), cc2(/i1), ааЗ(^), /?/?3(jUi)> cc3(/ii) и строим их графики. аа2ц1.: = a /.
- FindRoot eq8 /. /il //Evaluate, {a, 1.5}, {b, 1.4}.2 /ilJ: = b / .
- FindRoot eq8 /. ц1 //Evaluate, {a, 1.5}, {b, 1.4}.2 аа2 /il. + ц2 /3/32 [/il] f 1. cc2 [/il ]: = /. {/i2 -* -}2+ц1+ц2 10 J
- Plot{aa2[/il., fifi 2[/il], сс2[ц1], л[ (aa2 [/il])2 + 1 }, {Ml, 0.001, 1.21 048},
- PlotStyle -* {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing {0. 03}. } }, PlotRangeAll] -ааЗ /il.: = a / .
- FindRoot eq8 /. ц^ц 1 //Evaluate, {a, 2.2}, {b, 0.7}.3ц1.: = b / .
- FindRoot eq8 /. ц1 //Evaluate, {a, 2.2}, {b, .7}.2 ааЗ ц1. + ц2 № 3[ц1], 1, ссЗ [ц1: = /. [цг-* -}
- Plot {aa3[/il., 0/33 [/il], cc3[/il], л/ (ааЗ[^1])2 + l}, {Ail, 0.001, 1.21 048},
- Plotstyle -4 {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing{0.03}.}}, PlotRangeAll] -
- Plot {/3/32 [ц1., /3/33 [/il]}, {/il, 0.003, 1.21 048},
- Plots tyle {{th, Green}, {th, Blue}}, PlotRangeAll. -
- Plot{аа2[Ail., ааЗ[Ail]}, {Ail, 0.003, 1.21 048},
- PlotStyle {{th, Green}, {th, Blue}}, PlotRangeAll. -
- Функции aaA (^), рр4(щ), cc4(Mi), aa5(m), ДООл), cc5(^) определяют поведение корней системы eq8 в области, а < 0. аа4: = a / .
- FindRoot eq8 /. a^i ц1 //Evaluate, {a, -.1}, {Ь, 1.5}.3/341J: = Ь /.
- FindRoot eq8 /. Hi -* A^l //Evaluate, {a, -.1}, {b, 1.5}.2 aa4 pil. + Ai2/3/34 [Ail] 1 cc4 [ц1 ]: = /. | Ц2 -}2 + ц1 + ц2 10
- Plot {аа4 [Ail., /3/34 f/il], cc4[/il], л/ (aa4 [*il])2 + 1 }, {Ail, 0.003, 5},
- PlotStyle {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing{0.03}.}}, PlotRange All]-аа5 Ail.: = a / .
- FindRoot eq8 /. ц1 //Evaluate, {a, -1.8}, {b, 1.1}.3/35 AilJ: = b / .
- FindRoot eq8 /. ц1 //Evaluate, {a, -1.8}, {b, 1.1}.2aa5Ail. + ц2 /3/35 [Ail] 1 cc5 [Ail ]: = /. ц2 -* -f2+ц1+ц2 10 J
- Plot{aa5[Ail., /3/35 [Ail], cc5[jil], л/ (aa5 [Ail])2 + 1 }, {Ail, 0.01, 10},
- PlotStyle-" {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing{0. 03} .}}, PlotRange All] -
- Исследования при других значениях параметра jd2 выполняются аналогично.
- ВЫЧИСЛЕНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ1. КОЭФФИЦИЕНТАМИ
- Процедура ХХп, к, г, Т. выполняет вычисление г-го столбца матрицы монодромии (3.13) с точностью до членов к-го порядка по е.1. Clear"Global^*". -
- XXn, k, r, T. := Block[{Yrul, Ysum, Yint}, Yrul [tl] = {Table [ If [j == r, 1, 0], {j, n}] }- Do [
- Ysumr. = Sum[Pred[ j, r] .Yrul[r] Цт + 1 jj, {j, m} ] //
- Expand // TrigReduce- Yinttl. =Integrate[#, {r, 0, tl}] & /@ Ysum[r] - Yrul[tl] =Append[Yrul[tl], Yint[tl]], {m, k}]-
- Sum ExpP0[T. .YrulfT] [[j]] ej1, {j, k + l}] ]
- В качестве примера выполним вычисления матрицы монодромии для системы второго порядка с матрицей вида: а +? Cost. .
- Pmatt. = {{0, 1}, {--L—t 0}}-1 1 l + ?Cost. }}
- Определяем матрицу exp (P0 0eqO =D{q[t., p[t]}, t] =:
- Pmat</span> t. /. e-«0) .{q[t], p[t]}) //Thread- solOl = DSolve [ Join [eqO, {q[0] == 1, p[0] == 0}], {q, p}, t] [[ ill-sol02 = DSolve Join [eqO, {q[0. == 0, p[0] 1}], {q, p}, t] [ ill-
- ExpPOt. =Transpose[{{q[t], p[t]} /. solOl, {q[t], p[t]> /. soi02}]
- Определяем матрицу ехр (-Р0 т) РДт) ехр (-Р0 т).1. Pexpt. =
- SeriesPmat[t., {e, 0, 6}] // Collect[#, e, Simplify] &- Pred[j, rJ: = ExpPO[-r] .
- CoefficientPexp[r., e, j]. ExpP0[r] //Simplify
- Выполняем вычисления с точностью до шестого порядка по? и определяем матрицу монодромии.
- XXI = XX2, 6, 1, 2 я. — ХХ2 = ХХ[2, 6, 2, 2 я] - matX = Transpose[{XXI, ХХ2}]-
- Вычисляем характеристический многочлен (3.14) с точностью до шестого порядка по е. pol = CharacteristicPolynomialmatX, р. // Series [#, {е, 0, б}] & //Normal // Collect[#, {р, е}, Simplify] &
- Выполняем подстановку (3.21) и разлагаем выражение в ряд по е. polExp = pol /. р Sump[j. ej, {j, 0, б}] // Series [#, {е, 0, б}] & //Normal // Collect[#, е, Simplify] &
- Вычисляем мультипликаторы в нулевом приближении. solpO = SolveTrigToExpfpolExp /. е 0. == 0, р[0] ]
- Подставляем найденные значения р0 в разложение характеристического многочлена по степеням е, приравниваем коэффициенты при ек нулю, решаем полученную систему и находим коэффициенты в разложении (3.21).solpl = Solve
- Table Coefficient [polExp /. solpOp.], e, j] „0, {j, 6}], Table [p [ j], {j, 6}]] //Simplifysolp2 = Solve
- Table Coefficient [polExp /. solpO|I2.], e, j] ==0, {j, 6}], Table[p[j], {j, 6}]] //Simplify
- Определяем процедуру для вычисления коэффициентов разложения (3.21) в случае, а = п2/4 (л = 0,1,2, .).
- Multipliersn. :=Block[{poll, eql, soil}, poll =LimitpolExp, a—. //
- Collect#, e, Simplify. &- eql = Table [Coefficient [poll, e, к] ==0, {k, 0, 6}]- soil = Solve[eql,
- Tablep[k., {k, 0, 6}]] // Simplify ]1. Multipliers1.
- Вычисляем соответствующие характеристические показатели.icharExpn.: = -Log[p /. p → Sum[p[ j] e1, {j, 0, 6}] / .2 я
- Multipliers n. ] //Series[#, {e, 0, 5}] & // Normal // Collect[#, e, Simplify] &
- Для вычисления характеристических показателей при, а = 1 /4 служит следующая команда: charExp1.
- Процедура boundariesB, n. вычисляет границы областей неустойчивости (3.37).boundariesВ, n. := Block[
- ВВ, ВВ1, ВВ2, kmax, sol}, kmax = ExponentВ, e. — ВВ = В /. а → Sum[ak ek, {k, 0, kmax}] - BB1 = Series [BB, {e, 0, kmax}] // Normal //
- Collect#, e, Simplify. &- BB2 = Tablef Limit [ Coefficient [ BB1, e, j], a0 -“ n2 / 4. , {j, kmax} ] - sol = SolveBB2 == 0 // Thread,
- Tableaj, {j, kmax}. ]- (n2/4 + Sum[akek, {k, kmax}]) /. sol ]
- Следующая команда соответствует вычислению границ областей неустойчивости в окрестности точки, а = 1 /4.1. Г 1 1boundaries--Coefficient pol, р., 112 J
- ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МЕТОДОМ БЕСКОНЕЧНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ1. itialization Default Settings1. Clear"Global4*».-
- SetOptions"stdout", PageWidth -" 80. — $DefaultFont= {"Helvetica-Bold", 12}- th = AbsoluteThickness[l.5]- Off[General:rspelll]- Off[General:spell]-1.ading of Packages
- Needs"Graphics" Graphics4″.- Needs["Graphics4 Colorss" ] - Needs["Graphics4 FilledPlots" ] -
- П. 3.1. Система (3.1) второго порядка
- Определяем матрицу системы, а затем преобразуем ее к одному дифференциальному уравнению второго порядка. а + е Cost. ,
- Pmatft. = {{0, 1}, {--, 0}}-1 1 l + eCost. JJeql =
- D{xx[t., x2[t]}, t] = Emat[t] ,{xi[t], x2[t]} //Thread-eq2 = (1 + e Cost.) (eqipj /. DSolve[eql|1.], x2, t] И) // Thread[#, Equal] &
- Решение уравнения eq2 будем искать в виде: (v) =1. Exp (iav)с0 + 2 (Ck cos (к v) + dk sin (к v))к= 1
- Определяем соответствующее правило подстановки. rull = {xi -" (Exp i сг #.cO + Sumk (ck. Cos[k#] +d[k] Sin[k#])) &) }-
- Выполняем подстановку и сокращаем экспоненциальный множитель в левой и правой частях уравнения. eq3 = eq2 /. rull /. Exp. 1
- Определяем функцию reducing, выполняющую операцию приведения тригонометрических функций, и применяем ее к уравнению eq3.reducingfEqual.: =f Ц1.] f Ц2]] // Expand // TrigReduce // Expand) -eq4 = reducingeq3.
- В результате получаем выражение eq4, представляющее собой ряд Фурье, коэффициенты которого должны равняться нулю. Для выделения коэффициентов при Cos (kv) и Sn (kv) в уравнении eq4 определяем функцию CoeffTrigl.
- CoeffTrigl Eq, n, sumk, f. := Which[n==0,
- Coefficient Coefficient [Eq, simk. /. k-+n, f[n t]] + Coefficient[Coefficient[Eq, simk] /. k→ n + 1, f[nt]]]
- JoinfvarO, Flatten Table [varl /.k-*h, (h, m}.]]- ml= {Table[Coefficient[
- CoeffTrigleqO, 0, Sumk, Cos., cltthj., {h, Lengthcl]}]}-
- Do ml= Append[ml, Table[Coefficient[CoeffTrigl[eqO, f, Sumk, Cos., dh.], h, Lengthcl.}]]- ml = Append [ml,
- TableCoefficient[CoeffTrigl[eqO, f, Sumk, Sin., clW., h, Lengthcl.}] ], {f, m}]- ml ]
- Выбираем m = 13 и вычисляем определитель матрицы 27-го порядка с точностью до 11-го порядка по малому параметру е. deto = Detmat [13, eq4, varO, varl. ] // Series [#, {e, 0, 11}] & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &-
- Определяем правило для подстановки мнимой части характеристического показателя сг в виде разложения по е.11 rul2 = о -* Va^ + ^ еj gj
- Подставляем разложение ш/2 в выражение для определителя и опять разлагаем его в ряд по е с точностью до 11-го порядка. detl = deto /. rul2 //Series #, {e, 0, 11}. & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &-
- В полученном выражении первым отличным от нуля является коэффициент при е. Приравнивая его нулю, получаем уравнение, которое дает:
- Reduce (Coefficient [detl, е, 1. /. ст0 → л/гГ) ==0, стх]
- Предполагая, что, а * п2/4 (г? = 0,1,2, .), последовательно приравниваем коэффициенты при sk к = 1, 2, .) нулю и находим коэффициенты сг^ в разложении ш/2.
- Reduce Coef ficient [detl /. стх 0, е, 2. == 0, ст2] // LogicalExpand1. Reduce3 (-л/Г + а3/2)
- Coefficientfdetl /. ад. 0 /. о? -, e, 3"| ==1 4 (-1 + 4 a) J1. О, аз. //LogicalExpand
- Функция CharExpdet, n. позволят получить выражения для характеристических показателей в случае, а = п2/4 (/7 = 0,1,2, .).
- Команда для вычисления характеристических показателей при, а = 1 /4, например, имеет вид:1. CharExpdetl, 1.
- П. 3.2. Система (3.1) четвертого порядка
- Определяем матрицу (3.43) и соответствующую систему (3.1) четвертого порядка.
- PmatftJ = {{0, 1, 1, 0}, {-1, О, О, 1}, 1 + 4 е Cost. X Л ,--/ -, 0, 1), 1 4 (1 + е Cos t.) 1 + с Cos [t] J1. X 5 4 e Cos t.-, -, -1, 0}}-1 + e Cos t. 4 (1 + e Cos [t]) JJeql =D{xx[t., x2[t], x3[t], x4[t]}, t] ==
- Pmatft.. {Xi t], x2[t], x3[t], x4[t]} //Thread
- Перепишем систему eq1 в виде двух дифференциальных уравнений второго порядка (3.47).eq2 = Dropeql, {1,2}. / .
- DSolveDrop[eql, {3, 4}., {x3, x4}, t][[l]] // FullSimplify-eq3 = SimplifyThread[# (1 + e Cos[t.), Equal]] & /@ eq2
- Решение ищем в виде рядов (3.48).wao + (a^ cos (к t) + bк sin (к t))k= 11. Xi (t) = Exp (i a t) x2 (t) =1. CO
- Функция reducing выполняет операцию приведения тригонометрических функций. гeducing fEqual.: =f [l. f Ц2] // Expand // TrigReduce // Expand) -eq5 = reducing#. & /@ eq4
- Функция CoeffTRigl выделяет коэффициенты при Cos (/c t) и Sn (k t) в каждом уравнении системы eq5.
- CoeffTrigl Eq^, n, sumk, f. := Which[n==0,
- Coefficient Coefficient [Eq, svimk. /. k→n, f[nt]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k→n + l, f[nt]]]
- Далее определяем функцию mat, которая формирует матрицу бесконечной последовательности уравнений (3.49) — (3.51).varO= {а0, сО}-varl = {ак., Ь[к], с[к], d[k]}-matm /-m?l, eqO, varO, varl. :=Block[ {ml, cl}, cl =
- Join varO, Flatten [Table [varl /.k-«h, {h, m}.]]/ ml = Table[Coefficient[ CoeffTrigl [eqO[[j]], 0, Sumk, Cos], cl[[h]]], j, 2}, h, Lengthcl.}]- Do [ml = Joinml, Table[Coefficient[
- CoeffTrigl eqO [[j .], f, Sumk, Cos], cl[[h]]], j, 2}, h, Lengthcl.}]]- ml= Join[ml, Table[Coefficient[
- CoeffTrigl eq0[[j.l, f, Sumk, Sin], cl[[h]]]j, 2}, h, Lengthcl.}] ], {f, m} ]- ml ]
- Вычисляем определитель матрицы 54-го порядка. detl =Detmat[13, eq5, varO, varl.] -
- Подставляем в выражение для определителя detl разложение (3.53) и разлагаем его по степеням е с точностью до шестого порядка.6г13 = а1. СТо + ^ ?j CTjj=idet2 =
- Series detl, {?, 0, 10}. //Normal //Collect[#, e] &-eqDet = det2 /. rl3 //Series#, {e, 0, 6}. & //Normal // Collect[#, e] & -
- Легко можно убедиться в том, что в нулевом порядке по s определитель равен нулю.
- CoefficienteqDet, с, 0. /.1 / I-11/2сто-*— 2-Vl6x2−23 //Simplify2 х '01. CoefficienteqDet, ?, 0. /.1 / i (2 + V16×2 23) //Simplifyо оeqxla=1 / /-* ½
- CoefficienteqDet, е, 1. /. а0 — (2 У 16×2 — 23) /.к2+ 23
- Х-*л // Simplify#, к > 0. & //Factor1. V 16
- Далее последовательно приравниваем коэффициенты приек (к = 1, 2, .) нулю и находим коэффициенты сг^ разложения г13. eq%2a=1 / /-ч ½
- Coefficient eqDet, ?, 2. /. а0 — (2 V16×2 — 23) /.к2+ 230 /. х→ л // FullSimplify #, к > 0. &-1. V 16solx2a = Solveeq*2a == 0, Стг. // FullSimplify eqx3a=1 / /-. ½
- Coefficient eqDet, e, 3. /. a0— (2 V16×2 — 23) /.2 v '1. CTi -„0 /. solx2a[l.] /.k2 + 23- //FullSimplify#, x > 0. &-1. V 16solx3a = Solveeq^3a == 0, аз. // FullSimplify eqx4a=1 / /-x½
- Coefficient eqDet, e, 4. /. a0 -* — (2 V16×2 — 23) /.2 v 'ai-„0 /. solx2a[l.] /. solx3a[[l]] /.к2 + 23
- Х-*л //Simplify#, к > 0. &-1. V 16solx4a = Solve eq^4a == 0, ст4. // FullSimplifyeqx5a =1, i-. ½
- CoefficienteqDet, e, 5. /. ст0 — (2 V16×2 — 23) /2 4 'ai-„0 /. solx2a[l.] /. sol*3a[[l]] /.к2 + 23solx4a[l.] /• X~> л // Simplify[#, к > 0] &-1. V 16solx5a = Solve eqx5a == 0, ст5. //FullSimplify eqx6a =1 / I-x ½
- Coefficient eqDet, e, 6. /.
- CTi→0 /. solx2a[l.] /. solx3a[[l]] /. solx4a[[l]] /. solx5a[[l]] /.к2+ 23
- X -“ д/ // Simplify#, к > 0. &-1. V 16solx6a = Solve eqx6a == 0, стб. // FullSimplify eqxlb =1 / I-x ½
- Coefficient eqDet, e, 1. /. ст0 — (2 + V16×2 23) /.к2 + 23
- X -“ д/ // Simplify #, к > 0. & // Factor1. V 16eqx2b =1 / /-x ½
- Coefficient eqDet, e, 2. /. ст0 — (2 + V16×2 23) /к2 + 23
- Oi 0 /. xJ ——— // FullSimplify#, к > 0. &-solx2b = Solve eqx2b == 0, ст2. // FullSimplify eqx3b =1 / /-x½
- Coefficient eqDet, e, 3. /. ст0 — (2 + V16×2 23) /2 v 'ai -“ 0 /. solx2b[l.] /.к2 +23
- X -» д/ // FullSimplify#, к > 0. &-16solx3b = Solve eqx3b == 0, a3. // FullSimplifyeq%4b=1. --. ½
- CoefficienteqDet, e, 4. /. ст0 → — (2 + V16×2 23) /2 x 'ai→0 /. solx2b[l.] /. solx3b[[l]] /.к2 + 23
- Х→д/ ——— // Simplify #, к > 0. &-solx4b = Solveeq*4b 0, a4. // FullSimplify eq%5b =½
- Coefficient eqDet, ?, 5. /. a0 → — (2 + Vl6 X2 23) /2 x 'ai-«0 /. solx2b[l.] /. solx3b[[l]] /.к2 + 23solx4b[l.] /. x→ J // Simplify[#, к > 0] &-1. V 16solx5b = Solve eqx5b == 0, a5. // FullSimplify eq*6b =1 , — ½
- Coefficient eqDet, e, 6. /. a0 → — (2 + V16×2 23) /2 x 'ai-«0 /. solx2b[l.] /. solx3b[[l]] /. solx4b[[l]] /. solx5b[[l]] /.к2 + 23
- Х→д/ // Simplify#, к > 0. &-1. V 16solx6b = Solve eqx6b 0, o6. // FullSimplify
- П. 3.2.1. Резонанс четвертого порядка ^ -Зо-2 = 0.
- Solve Table [Coefficient [eqa, e, j. ==0, {j, 6}], Table[к-j, {j, 6}]] //Collect[#, e, Simplify] &1. Vk2 + 23 13 vi1. Collect#, e, Simplify. &-к resl // Series#, {e, 0, 6}. &//
- ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ МЕЖДУ ОБЛАСТЯМИ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ БЕСКОНЕЧНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
- П. 4.1. Гамильтонова система второго порядка
- Определяем гамильтонову систему и переписываем ее в виде одного дифференциального уравнения второго порядка.
- JJ= {{0, 1}, {-1, 0}}- eql =D{q[t., p[t]}, t] ==
- JJ.{DH, q[t.], D[H, p[t]]} // Thread- eq2 = eql Ц2]] /. DSolve[eql[[ll|, p, t] [1.]
- Чтобы избавиться от знаменателя, умножаем обе части уравнения на (1 + s cos Оeq3 = (1 + е Cos t.) eq2 11 Thread [#, Equal] &
- Определяем правило подстановки в уравнение eq3 решения в виде ряда Фурье. Так как в дальнейшем четные и нечетные члены ряда разделяются, сразу выделяем из в правиле rull. eq4 = eq3 /. rull-
- Определяем функцию reducing, преобразующую произведения тригонометрических функций в сумму и применяем ее к уравнению eq4.reducingfEqual.: =f 1. f [[2]] // Expand // TrigReduce // Expand) — eq5 = reducing[eq4]-
- Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k-«n-l, f[nt]] + Coefficient[Coefficient[Eq, sumk] /. k-«n, f[nt]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k-«n + l, f[nt]]]
- CoeffTrigleq5, 1, Sumk, Cos.
- Функция CoeffTrig2 выделяет коэффициенты при Cos ((2k~bt) и Sj"(?*=!)i).
- CoeffTrig2Eq^, n, sumk, f. := Which[ n == 1, Coefficient [Eq /. sumk 0, f [ — J J +
- Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k-«l, f[ — ]] +
- Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k2, f[ — ]], n > 1,
- CoefficientCoefficient[Eq, sumk. /. k-«n-l, f[j (2n-l) t]] + Coefficient[
- Coefficient Eq, sumk. /. k-«n, f[-^- (2n-l) t]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k-«n + l, f[i (2 n 1) t]]]
- TableCoefficient[CoeffTrigl[eqO, f, Sumk, Cos., cltth.]], {h, Length cl] } ] ], {f, 0, m} ]- ml ]var2 = d2 k. -mat2m /- m* 1, eq0, var2. := Block[ {ml, cl}, cl = Table[var2 /.k-«h, {h, m}]- ml = {}- Do [ml = Appendml,
- CoeffTrig2 eqO, f, Sumk, fun., cl[[h]]], h, Lengthcl.}]], f, m}. — ml ]
- Для вычисления границ устойчивости a = a (s), пересекающих ось е = 0 в точке, а = 4 с точностью до десятого порядка используются следующие две команды. bound4, 10, matl[10, eq5, varO, varl.] bound[4, 10, mat2[10, eq5, var2]]
- Для вычисления границ устойчивости, а = а (е), пересекающих ось е=0 в точке, а = ¼ с точностью до десятого порядка необходимо выполнить следующие две команды. bound1, 10, mat3[10, eq5, var3, Cos.] bound[1, 10, mat3[10, eq5, var4, Sin]]
- П. 4.2. Гамильтонова система четвертого порядка
- Определяем функцию Гамильтона и уравнения движения.
- Pxt.2 Py[t]2 (1 + 4 е Cos[t]) х [t]2
- H2 = ±-Pyt. x [ t ] + - +2 2 8 + 8 e Cos t. nr41 xxt. y[t] (-5 + 4 e Cos [t]) у [t]2 Px[t] y[t] --— +1 + e Cost. 8 + 8 e Cos[t]eql = {x' t. ==D[H2, Px[t]], y' [t] =D[H2, Py[t]], Px' [t] == -D[H2, x[t]], Py' [t] -D[H2, у [ t] ] } -
- Преобразуем систему четвертого порядка eq1 в систему двух уравнений второго порядка eq3. eq2 = Drop eql, {1, 2}. /.
- DSolve Drop [eql, {3, 4}., {Px, Py}, t][[l]] // FullSimplify-eq3 = Simplify Thread [# (l + eCos[t.), Equal]] & /@ eq2
- П. 4.2.1. Определение границ областей устойчивости в случае cj2 = j
- Определяем функцию reducing для приведения тригонометрических функций и применяем ее к системе eq4.reducingfEqual. :=f Ц1.] f [2]] //Expand //TrigReduce //Expand) — eq5 = reducing[#] & /@ eq4
- Определяем функцию для выделения коэффициентов при Cos (-y-) и Sin (f).
- CoeffTrig3 Eq^, n, sumk, f. := Which [ n 1, Coefficient [Eq /. sumk 0, f [ — ] ] +
- Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k-«l, f[ — ]] +
- Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k→2, f[~ ]]/ n > 1,
- Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k-«n-l, f[j (2 n 1) t]] + Coefficient[
- Coefficient Eq, sumk. /. k-«n, f[— (2 n 1) t]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. kn + 1, f[i (2 n — 1) t]]]
- CoeffTrig3eqOHj.], f, Sumk, Cos], cl[[h]]], {j, 2}, h, Lengthcl.}]]-ml = Joinml, Table[Coefficient[
- CoeffTrig3eqO[[j.|, f, Sumk, Sin], cl[[h]]], {j, 2}, h, Lengthcl.}]], f, m} .- ml ]
- Для определения границ с точностью до десятой степени малого параметра е достаточно выплнить следующую команду: bound10, mat[6, eq5, var5.]
- П. 4.2.2. Определение границы при щ = а>2 =у2
- Определяем правило подстановки решения общего вида в уравнения eq3. rulll = {х -» Exp i, а #.аО + Sumk (ak. Cos[k#] +b[k] Sin[k#])) &11. Expia#. (cO + Sumk 4ck. Cos [k #] + d[k] Sin[k#])) &eq4 = eq3 /. rulll /. Exp. -» 1- eq5 = (reducing[#] & /@ eq4)
- Функция CoeffTrig позволяет выделить коэффициенты при Sin (/c v) и Cos (kv) в выражении eq5.
- CoeffTrigEq, n, sumk, f. := Which[n==0,
- Eq /. sumk-«0) + (CoefficientEq, sumk. /. k -» 1) /.
- Cos. 0, Sin [] 0}, n==l, Coefficient [Eq /. sumk -» 0, f[t]] + Coefficient[Coefficient[Eq, sumk] /. k-«n, f[t]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k -» n + 1, f[t]], n>l, Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k-«n-l, f[nt]] +
- CoefficientCoefficient[Eq, sumk. /. k-«n, f[nt]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /.k-«n + l, f[nt]]]
- Функция mat формируем матрицу линейной системы, определяющей коэффициенты Фурье-разложения ги111. var6 = {аО, сО} -var7 = {а к., Ь[к], с [к], d[k]}-matm /- m? 1, eqO, varO, varl. := Block[ {ml, cl}, cl =
- Join varO, Flatten [Table [varl /.k-«h, {h, m}.]]- ml= Table[Coefficient[ CoeffTrig[eqO[[j]], 0, Smnk, Cos], ciPvD], {j, 2}, {h, Length[cl]}]- Do [ml = Joinml,
- Table Coefficient [Coeff Trig [eqO [[j.I, f, Smnk, Cos], cipiJb {j, 2}, {h, Length cl. } ] ] -ml = Joinml,
- Table Coefficient [Coeff Trig [eqO |[j.I, f, Sumk, Sin], cltthj], {j, 2}, {h, Length[cl]}] ], f, m}. -ml .
- Далее определяем разложения сг их в окрестностях сг = 1 /л/2 и X V23/16 соответственно.11rulxl = Х~*23 ii,. 1 Д. + / е3 Xj — rulal = а — + У в3 a j16 j=i J1. Vi» j=i
- Вычисляем определитель матрицы 30-го порядка и разлагаем его в ряд по е с точностью до десятого порядка. eq6 = Detmat[7, eq5, var6, var7.] /. rul%l /. rulal// Series [#, {e, 0, 10}] & //
- Normal // Collect#, e, Simplify. &-
- ПОСТРОЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ГАМИЛЬНОНОВОЙ СИСТЕМЫ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ1. itialization1. Clear"Global4*».-
- SetOptions «stdout», PageWidth -» 80. — $DefaultFont = {"Helvetica-Bold», 12} - th = AbsoluteThickness[2]- Off[General:spell, General: spelll]-
- П. 5.1. Гамильтонова система второго порядка
- Рассмотрим гамильтонову систему второго порядка с матрицей вида: а + е Cos t. ,
- Hmatt. = {{-, 0}, {0, 1}}-1. 1+eCost. 1 J
- JJ= {{0, 1}, {-1, 0}}- JHmatt. = JJ. Hmatft]
- Определяем два линейно независимых решения при е = 0 и строим матрицу exp (JH01).eqO = D{q[t., p[t]}, t] ==
- JJ. Hmat t. /. e-+0) ,{q[t], p[t]}) //ThreadsolOl=
- DSolve Join [eqO, {q[0. == 1, p[0] == 0}], {q[t], p[t]}, t] Ц 1] // FullSimplify [#, a > 0] &sol02 =
- DSolve Join [eqO, {q[0. == 0, p[0] == 1}], {q[t], p[t]}, t] [[ 1] // FullSimplify [#, a > 0] &1. Tpost. =
- Transpose{{q[t., p[t]} /. solOl, {q[t], p[t]} /. sol02}] Tneg[t] = Tpos[-1]
- JHmatExp t. = Series [JHmat [t], {e, 0, 6}] //Normal-
- Определяем процедуры в соответствии с алгоритмом, изложенным в разделе 3.4.
- JHk, t. :=Coefficient[JHmatExpft], e, k] //Simplify Y[0, t] =IdentityMatrix[2]- sol[0] = {}- Wn: = Array[wn, {2, 2}]к
- JHRed k, r. := ^Tnegfr]. JH[j, z] .Tpos [z]. Y[k j, r]j=i к
- WRedk, r. :=^Y[k-j, r] .Tnegfr] .W-j .Tpos [r]j=i1. YYk, t.: =1.tegrate #, {z, 0, t}. & /@ (JHRedfk, r] -WRedfk, r] /. Flatten [Table [sol [m], {m, 0, k-1}]])
- Выполняя вычисления в первом порядке по е, находим матрицу Y-.1. Yl, t. = YY[1, t]
- Определяем процедуры для вычисления элементов матрицы Wj.eqk. := Flatten [Y[k, 2 я] ] ==0 //Thread //Simplify var[k]: = Flatten[Wk]sol k. := Solve [eq[k], var [k] ] PJ //Simplify
- В первом порядке получаем: soll.
- Далее повторяем вычисления во втором, третьем и четвертом порядках.1. Y2, tj = YY [2, t. sol[2]1. Y3, t. = YY[3, t] sol[3]
- Y4, t. = Integrated, {r, 0, t}] & /@ YY4 [r] sol[4]
- Вчисляем матрицы Z и W в виде рядов по е с точностью до четвертого порядка.
- Zlt. =Tposft]. (Y[l, t] /. sol[l]), Tneg[t] //Simplify
- Z2t. = Tpos[t]. (Y[2, t] /. sol [2]). Tnegft] //Simplify
- Z3t. = Tpos [t]. (Y [3, t] /. sol [3]) .Tnegft] // Simplify
- Z4t. =Tposft]. (Y[4, t] /. sol[4]).Tnegft] //Simplify
- ZZ = IdentityMatrix2. + e Z1 [t] + e2 Z2 [t] + e3 Z3 [t] + e4 Z4 [t]
- WW = JH0, t. + e Wi + e2 W2 + e3 W3 + e4 W4 /. sol[l] /. sol [2] /. sol[3] /. sol[4]
- Легко убедиться в том, что матрица Z является симплектической. Действительно,
- Transpose ZZ. .JJ.ZZ //Series[#, {e, 0, 4}] & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &
- Матрица Wявляется обобщенно симплектической.
- Transpose WW. .JJ. WW//Series [#, {e, 0, 4}] & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &
- Матрица H2 в новых переменных становится постоянной и диагональной:
- НН2 = Transpose ZZ.. (Hmat [t]. ZZ + JJ. D [ZZ, t]) // Series [#, {e, 0, 4}] & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &a = HH2I1, II- P = HH2[2, 21-и = // Series #, {e, 0, 4}. & // Normal //1. Collect#, e, Simplify. &
- VaJ г 4 Pi H2 = {q, p}.HH2.{q, p} /. {q→ -, p-} //2 V"a лД
- Series #, {e, 0, 4}. & //Normal //Simplify