Исследование некорректных дифференциально-операторных задач полугрупповыми методами

Моделирование многих процессов в физике, экологии, экономике приводит к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка u'(t) = Au (t), t? [0, т), г < оо, м (0) = ж, (0.1) с замкнутым оператором А, действующим в банаховом пространстве X, Важное место в исс ледовании таких задач начиная с 60-х годов занимают полугрупповые методы.

Основным результатом теории полугрупп является теорема о том, что задача Коши (0.1) является равномерно корректной тогда и только тогда, когда оператор, А порождает сильно непрерывную полугруппу операторов U (t) класса Со [68, 19]. Это свойство оператора, А тесно связано с поведением его резольвенты R{А) := (Л — Л)-1, а именно: А является генератором полугруппы класса Со тогда и только тогда, когда оператор R (А) определен в некоторой правой полуплоскости комплексной плоскости и удовлетворяет оценкам Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды [68] (см. также [19, 62, 88, 30, 61]):

3ш € R, С > 0: ||Л"(А)|| < (ДеА^+1, {MFPHY).

ReX > uj, к = 0,1,2,.

При этом полугруппа дает семейство операторов решения задачи (0.1): u (t) — U (t)x, х Е D (A), а резольвента генератора совпадает с преобразованием Лапласа от полугруппы:

R (Л) = eXtU (t) dt.

Существует широкий класс задач, не являющихся равномерно корректными, т. е. задач, для которых не выполнены условия (MFPHY). Среди них значительное место занимает задача (0.1) с оператором А, резольвента которого определена в некоторой области правой полуплоскости и ведет себя как неубывающая функция. В работах разных авторов, посвященных исследованию задачи (0.1) с таким оператором А, в основном присутствуют два подхода к построению оператора решения.

В рамках первого подхода строят сильно непрерывные семейства операторов, удовлетворяющие некоторым функциональным соотношениям, подобным полугрупповому. Эти семейства также называют полугруппами (интегрированные, С-полугруппы, /^-конволюционные полугруппы и т. д.) [47, 57, 58, 59, 91, 62]. Ключевую роль в их построении, как в и построении полугрупп класса Со, играет техника преобразования Лапласа. Чтобы определить полугрупповое семейство, резольвенту оператора, А «исправляют» — домножают на некоторую убывающую функцию, обеспечивающую существование обратного преобразования Лапласа, а затем это обратное преобразование берут в качестве основы для определения полугруппового семейства. Построенная таким образом «полугруппа» дает оператор решения уже не самой задачи (0.1), а новой задачи, полученной из (0.1). В ряде случаев при этом получены и решения исходных задач.

Второй подход к таким задачам состоит в том, что решение рассматривают как элемент некоторого более широкого пространства — пространства абстрактных обобщенных функций [8, 9, 62, 52, 15, 81, 82, 74, 78]. При этом задачу (0.1) понимают как равенство в обобщенном смысле и называют обобщенной задачей (0.1). Пространства основных функций V конструируются таким образом, чтобы в пространстве С (Т>, Х), абстрактном пространстве обобщенных функций, можно было определить полугрупповое семейство и оператор решения задачи.

В рамках первого подхода к задачам, не являющимся равномерно корректными, В. Арендтом [47] была исследована задача (0.1) с оператором А, удовлетворяющим условию.

С к I.

3n G N, WGR, С > 0: ||(Д (А)/АП)(*>|| <

Re — uj) k+l' Re, А > max{0, oj}, /г = 0,1,2,.

0.2).

Введено понятие п раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы с генератором, А и доказана теорема, аналогичная теореме Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды: оператор, А (D (A) = X) порождает п раз интегрированную экспоненциально ограниченную полугруппу V (t) тогда и только тогда, когда его резольвента удовлетворяет условию (0.2). При этом полугруппа V (t) является оператором решения задачи v'(t) = Av (t) + ¿-gyуж, t > 0, ж € D (A), v (0) = 0, т. е. v (t) = V{t)x. В последовавших работах [84, 48, 30, 80] показано, что условие (0.2) является необходимым и достаточным для существования единственного решения задачи (0.1) (D (A) = X) на классе начальных данных D (An+1), устойчивого по более сильной норме, чем норма пространства X.

В общей форме условие роста резольвенты оператора, А имеет вид.

A G Aa>w := {А: Re, А > скФ (А) + w}, где область Аа, ш остается непустой, пока Ф (А) < |А|, и является тем уже, чем быстрее растет функция Ф (А).

Н.Танакой и Н. Оказавой задача (0.1) с условием (0.3) исследована при Ф (А) = 1п |А|, а = в = п. В их работе [91] доказано, что из этого условия следует существование локальной (т < со) щ раз интегрированной полугруппы с генератором, А (щ зависит от т), а если, А порождает локальную п раз интегрированную полугруппу, то резольвента оператора, А удовлетворяет условию (0.3) именно с этим п. Кроме того показано, что оператор, А является генератором локальной п раз интегрированной полугруппы тогда и только тогда, когда на В (Ап+1) существует единственное решение локальной (т < оо) задачи Коши (0.1), устойчивое во норме, более сильной, чем норма пространства X.

Задача Коши (0.1) с условием (0.3) при тех же значениях параметров Ф (А) = 1п |А|, а = (5 ~ п исследована Г. Фатторини в рамках теории обобщенных функций Шварца (или распределений Шварца) [62]. Пространством основных функций здесь является пространство Лорана Шварца бесконечно дифференцируемых вещественных функций с компактными носителями из К. Г. О. Фатторини ввел понятие обобщенной корректности задачи (0.1) и доказал, что критерием такой корректности является условие (0.3), которое, с другой стороны, равносильно существованию оператора решения обобщенной задачи (0.1), определенного на всем пространстве X (см. также [80]).

В работе [74] Ж.-Л.Лионе построил полугруппы распределений с генератором, А и доказал, что обобщенная корректность задачи (0.1) с плотно определенным оператором, А равносильна существованию полугруппы распределений с генератором, А (см. также [78, 80]).

Связь между этими двумя подходами проиллюстрирована И. В. Мельниковой [80] (см. также [90]), где доказано, что полугруппа распределений, порожденная плотно определенным оператором А, является (обобщенной) производной некоторого порядка от интегрированной полугруппы с генератором А.

Задача (0.1) с условием (0.3) исследована И. Чиоранеску и Г. Люмером при 1п |А| < Ф (А) < |А[ [57]-[59]. Авторы вводят понятие /1-конволюционной полугруппы в к = {^(?), 0 < t < т] с генератором Аздесь К{— некоторая гладкая экспоненциально ограниченная вещественная функция, определенная на положительной полуоси с преобразованием Лапласа СК (А).

В этом случае также имеет место аналог теоремы Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосвды: оператор, А порождает А" -конволюционную полугруппу, отвечающую функции Kit) с условием СК (Х) = 0(етФ^), тогда и только тогда, когда резольвента оператора, А удовлетворяет оценке (0.3). Интеграл от i^-конволюционной полугруппы является оператором решения задачи Коши w'(t) = Aw (t) + K (t)x, i€[0,r), т < oo, xeD (A), w (0) = 0, т. е. wit) = JqS (s)xcIs. Заметим, что эта задача есть не что иное, как свертка задачи (0.1) с функцией K (t) (w (t) = (К * u)(t)), что объясняет название полугруппы.

Задача (0.1) с оператором А. отвечающим условию (0.3) при Ф (А) = 0 < d < 1, ясследована Ж. Чезаряном в пространствах обобщенных функций [54]. В качестве основного пространства здесь фигурирует локально выпуклое про-странсво бесконечно дифференцируемых вещественных функций (p{t) с компактными носителями из R, удовлетворяющих условиям ||0. Следует отметить, что это пространство уже, чем пространство Лорана Шварца, поскольку на функции и их производные наложены дополнительные ограничения роста. Как следствие, сопряженное пространство — пространство обобщенных функций, называемое пространством ультрараспределений Жеврея — является более широким множеством, чем пространство распределений Шварца. Это позволяет исследовать в этом пространстве задачу (0.1), с оператором А, резольвента которого растет быстрее степенной функции.

Ж.Чезарян показал, что условие (0.3) является необходимым и достаточным при Ф (А) = ?|A|d, 0 < d < 1, для существования оператора решения обобщенной задачи (0.1) в пространствах ультрараспределений Жеврея [54].

К задачам, не являющимся равномерно корректными, помимо обсуждавшихся уже двух подходов, мы можем указать еще один подход, который позволяет получить приближенное решение на всем пространстве, устойчивое, в некотором смысле, по норме исходного пространства. Такой подход дает зародившаяся в работах А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева и ставшая уже классической теория некорректных задач [39, 40, 14, 22, 21, 16]. Типичным примером некорректной задачи служит операторное уравнение первого рода = /, /е^, (0.4) где Ь — ограниченный линейны]'! оператор, действующий из пространства 2 в пространство Т, обратный к которому либо является многозначным, либо определен не на всем пространстве Т. К уравнению (0.4), помимо различных интегральных уравнений, сводятся многие обратные задачи математической физики, задачи управления, оптимизации и т. д. Фундаментальным понятием теории некорректных задач является понятие регуляризующего алгоритма (или оператора), введенное А. Н. Тихоновым [39]. Регуляризующий оператор позволяет найти приближенное решение задачи (0.4) для заданной с погрешностью правой части уравнения /. Хорошо известны такие методы регуляризации как вариационный метод, предложенный А. Н. Тихоновым, метод невязки, метод квазирешений [40, 14].

Многие важные для приложений дифференциально-операторные задачи описываются уравнением (0.1) с оператором А, который не имеет регулярных течек в правой полуплоскости, как, например, обратная задача Коши для уравнения теплопроводности. Понятно, что решение таких задач не может быть построено в рамках теории полугрупп. Такую задачу можно свести к операторному уравнению (0.4), однако получающийся при этом оператор Ь имеет довольно громоздкую структуру, что усложняет применение классических регуля-ризующих методов. Для решения задачи (0.1) разработаны специальные алгоритмы, учитывающие ее дифференциально операторную специфику [7, 16, 27, 29, 28]. Таким, например, является метод квазиобращения, предложенный Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом для решения некорректных задач управления процессами, описываемыми дифференциально-операторными уравнениями в гильбертовых пространствах [23]. Впоследствии метод получил широкое распространение для решения обратных дифференциально-операторных задач [16]. Метод квазиобращения состоит в том, что в уравнение вводится дополнительное слагаемое более высокого порядка с малым параметром, а > 0, типа — аА2, что делает задачу корректной. В другом методе — методе вспомогательных краевых задач, развитом в работах И. В. Мельниковой [18, 27, 26] - дополнительное слагаемое вводится в граничное условие, что также позволяет регуляризовать задачу. Метод Карассо заменой v (t) = eK^T~^u (t) позволяет свести задачу (0.1) к задаче Дирихле для уравнения второго порядка [53, 79], которая становится корректной при наложении соответствующих дополнительных условий.

Перечисленные методы регуляризации дифференциально-операторных задач были разработаны и применялись, в основном, для некорректных задач (0.1) с оператором А, не имеющим регулярных точек в правой полуплоскости. Однако, как уже было отмечено, многие важные прикладные задачи имеют более слабую некорректность — это задачи, удовлетворяющие условию (0.3) с функцией 0 < Ф (А) < |А|. Например, задача Коши для уравнения Шредингера не является равномерно корректной в пространствах Lp®, р ф 2, но резольвента one2 ратора Шредингера, А := г-щ^ определена в правой полуплоскости [69], а именно, оператор, А порождает в этих пространствах 1 раз интегрированную полугруппу. Общий вид решения этой задачи, которое дает теория полугрупп, показывает, что ее некорректность связана с неограниченностью оператора А.

Оказывается, некорректность такого же типа — типа неограниченного оператора, А — имеет задача управления u'(t) = Au (t)+F (t)z + f (t),? € [0,r], kerS^{0}, i?(0) = ж, и (т) = y, где В — ограниченный, А — замкнутый линейные операторы, действующие из X в У, пространства Y С X — банаховы, F (t) — непрерывно дифференцируемая оператор-функция со значениями в C (X, Y). Неизвестными являются управление z Е X и функция к (i).

Подобные дифференциальные и интегродифференциаль-ные задачи исследованы в работах А. Лоренци, А. И. Прилепко, А. Б. Костина, Д. Г. Орловского, М. Грасселли, С. И. Кабанихина, М. Чоулли, М. Ямамото, и других авторов, в основном, с точки зрения существования и единственности решения задачи. Например, для задачи нахождения коэффициента, г, входящего в уравнение параболического типа, с дополнительными условиями наблюдения финального и интегрального типов теоремы существования и единственности доказаны в [36], а в [55, 56] на основе теории оптимального управления получены некоторые результаты об устойчивости решения и формулы для конструктивного построения решения. Для задачи отыскания коэффициента z, входящего в граничное условие для уравнения параболического типа (таюке с условиями наблюдения финального и интегрального типов) условия существования и единственности решения исследованы в [72, 73]. Задача определения коэффициента в уравнении гиперболического типа с различными дополнительными условиями исследована в цикле работ [94, 95, 96, 89]. Получены условия однозначной разрешимости таких задач и устойчивости относительно начальных условий. Возникающая при этом обратная задача, в зависимости от дополнительных условий, либо сводится к уравнению Фредгольма второго рода, либо может быть ре-гуляризована по Тихонову. Обратная задача для гиперболического интегродифференциального уравнения, как доказано в [10], однозначно разрешима при малых значениях т для достаточно гладких начальных условий и имеет не более одного решения при больших тдоказано также, что решения непрерывно зависят от начальных условий.

В работах А. Лоренди и А. И. Прилепко [76, 75] исследована задача управления для абстрактного интегродифференци-ального уравнения с конечным или интегральным наблюделе-нием и показана фредгольмовосгь возникающей здесь обратной задачи (задачи нахождения 2 из условия наблюдения). На основе этого результата доказана теорема существования и единственности решения на подклассах начальных данных, которое устойчиво по более сильной норме, чем норма пространства X.

Для задачи (0.5) в работе Д. Г. Орловского [87] доказано, что обратная задача имеет фредгольмовый характер. Однако даже в этом случае управление 2 не является непрерывной функцией начальных данных, что связано с неограниченностью оператора А.

Более общая постановка задачи Коши для уравнения первого порядка часто приводит к тому, что эквивалентные условия равномерной корректности в том виде, в котором они сформулированы для задачи (0.1), становятся невыполнимыми. Такую задачу представляет вырож ценная задача Коши.

Ви'{г) = Аи{1) + /(*), I > 0, кег В ф {О}, м (0) = ж, ^ ' ' где В — ограниченный, А — замкнутый линейные операторы, действующие из X в У, пространства У С X — банаховы. Поскольку ядро оператора В ненулевое, обратный оператор является многозначным и задач)' (0.6) не удается свести к задаче (0.1) на всем пространстве X, а значит, и результаты о корректности задачи (0.1) не будут справедливы в вырожденном случае. В частности, задача (0.6) не может быть корректна на О (А), поскольку для х? 0(А)Пкет В, х ф 0, нарушается равномерная непрерывность решения в нуле.

Долгое время одним из основных подходов к исследованию задачи (0.6) было разложение исходных пространств X, У в прямую сумму инвариантных относительно А, В подпространств, таких что на одном из них обратим оператор А, на другом — оператор В, а получающиеся уравненияэто либо конечномерные уравнения, либо уравнения с ограниченным оператором [20, 13, 5|. Полугрупповые методы к решению таких задач стали применять сравнительно недавно [49, 93, 30, 32].

Одно из направлений в исследовании вырожденной задачи Коши основано на введении многозначных операторов типа В~1А. Для такого оператора задача (0.6) превращается в задачу Коши для включения — Аи (г) э /(г), t > о, «(0) = х, (0.7) где, А — многозначный оператор, действующий в банаховом пространстве X. А. Яги [93] получено обобщение теоремы Хилле-Иосиды, дающей достаточные условия существования сильно непрерывной полугруппы операторов класса Со с генератором, А (теорема Хилле-Иосиды является частным случаем теоремы Миядеры-Феллерэ-Филлипса-Хилле-Иосиды). Если, А при некотором С > 0 удовлетворяет условию Хилле-Иосиды.

Д (А)||< ДеА>и, то прямая сумма И (А) 0 АО —: Х является замкнутым подпространством в X и, в случае рефлексивного пространства, совпадает с X. Здесь резольвента Я (Х) многозначного оператора, А определяется обычным образом, как однозначный ограниченный оператор в пространстве X. На подпространстве Х справедлив аналог метода Иосиды [17] построения полугруппового семейства е^ при помощи аппроксимации оператора, А последовательностью ограниченных операторов Ар := р — р2{ А — Л)-1, р Е N. При этом на О (А) операторы егл образуют полугруппу класса СоНа всем пространстве X операторы etA образуют полугруппу-распределение в смысле определения Ж.-Л.Лионса [74].

В работе [32] И. В. Мельникова и А. В. Гладченко выделяют однозначную ветвь оператора А, оператор А, и доказывают аналог теоремы Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды для задачи (0.7): А порождает сильно непрерывную полугруппу операторов класса Со на D (A) тогда и только тогда, когда резольвента (А — А)~1 удовлетворяет условиям (MFPHY) и пространство X разложимо в прямую сумму X = D (A) © АО. Как и в классическом случае, необходимым и достаточным условием равномерной корректности задачи (0.7) на D (A) является существование сильно непрерывной полугруппы операторов U{t) класса Со с генератором А. При этом решение однородной задачи (0.7) является экспоненциально ограниченным и определяется полугруппой: u (t) = U (t)x, х е D (A).

Теория многозначных операторов была использована в работе В. Арендта и А. Фавини [49] для исследования вырожденной задачи Коши вида.

Bu (t)y = Au (t) + /(i), t G [0, г), Ви{0) — Вх, (0.8) где А, В — замкнутые линейные операторы, действующие из X в Y (X, Y — банаховы), D (A) С D (B) и оператор, А имеет ограниченный обратный. Если.

Зр G N U {0}, cu > 0, С > 0: ||А (АБ — А)~1\с (х) < С (i + |А|)Р, Re, А > ы, то для любых х G D (A), / G С ([0, т) — Y) и для любого п > р—3 существует функция u (t) G С ([0, т], D (A)) — решение п раз проинтегрированного уравнения (0.8): rt tn it (t — Sr.

Bu (t) = Jq 'Au (s) ds + — Bx + У (| v f (s) ds, t G [0, r).

Приложением теории интегрированных полугрупп [47, 50] к вырожденной задаче (0.8) получен следующий, несколько более общий, результат [49]: если в условиях постановки задачи (0.8) оператор В Е ?([D (A)], Y) и при некотором р = —1,0,1,., выполнено условие.

30 <? < 1, ш > 0, С > 0: II (ЛБ — АГЧедад]) < СИ + |Л|)^, ReX > и, то для любого х е D (A), / 6 С ([0,т]-У) существует единственное р + 2 раза интегрированное решение задачи (0.8).

Другое направление в исследовании вырожденной задачи Коши (0.6) представляет теория вырожденных полугрупп, построенная И. В. Мельниковой и М. А. Алыпанским [30]. В отличие от регулярного случая (В = /), генераторами вырожденной полугруппы является г ара операторов А, В, а роль резольвенты оператора, А в этой теории играет псевдорезольвента 1Z (А) := (ХВ — А)~1 В. В работе [30] теория полугрупп класса Со и в работах [33, 83] теория п раз интегрированнх экспоненциально ограниченных полугрупп полностью перенесены на случай вырожденной задачи (0.6), а именно, в каждом случае доказаны аналоги георемы Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды и найдены необходимые и достаточные условия корректности вырожденной задачи (0.6) (см. подробно § 2 гл.2).

В работах Г. А. Свиридюка и его учеников [37, 38, 6, 43] построена теория полугрупп с ядрами, в рамках которой получено обобщение теоремы Миадеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды для полугрупп класса Со и для аналитических полугрупп.

Другой класс дифференциально-операторных задач, которые приводят к некорректным задачам (0.1), (0.6), представляет задача Коши для уравнения второго порядка v" (t) = Tv'(t) + Sv (t), t> 0, КО) = г>1, 1/(0) = г>2, ^ с замкнутыми линейными операторами Т, 5, действующими в банаховом пространстве Е. Одним из методов исследования задачи (0.9) является сведение ее к задаче первого порядка в произведении пространств. Например, замена приводит к задаче (0.1) с замкнутым в X := Е х Е оператором, А с областью определения D (A) = D (S) х D (T).

Долгое время не удавалось получить необходимые и достаточные условия равномерной корректности задачи (0.9) для полного уравнения. Это связано с тем, что равномерная корректность задачи Коши второго порядка не эквивалентна равномерной корректности соответствующей ей задачи Коши первого порядка. Для неполного уравнения (Т = 0) такие условия дала теория Cosи Sin-функций [63]. Для коммутирующих операторов Т и S критерий равномерной корректности задачи (0.9) получен в рамках теории M, N функций, построенной И. В. Мельниковой и А. И. Филинковым и обобщающей теорию Cos-функций [24, 25]. Существенное отличие этих теорий от полугрупповых методов состоит в том, что в их построении сразу учитывается второй порядок производной.

Получить критерий корректности задачи (0.9) в общем случае стало возможным благодаря построенной Арендтом теории интегрированных полугруш: [47, 48]. Как лишь недавно удалось показать [33], равномерная корректность задачи (0.9) с бизамкнутыми операторами Т, S (определение 3.1.2) равносильна тому, что оператор, А порождает 1 раз интегрированную экспоненциально ограниченную полугруппу в пространстве X, т. е. равномерно корректгая задача (0.9) эквивалентна неравномерно корректной задаче' (0.1).

Для исследования задачи (0.9) С. Г. Крейном [19] была использована замена.

0.10) приводящая в пространстве X = Е х Е к задаче: и'^) = Аи{г) + Аоиф, г > 0, и (0) = X, где Ао рассматривается как линейное возмущение оператора А. На основе теории абстрактных параболических уравнений доказаны достаточные условия однозначной разрешимости задачи (0.9): если операторы Т и — 5Т-1 являются генераторами аналитических полугрупп и оператор — 5Т-1 вполне подчинен оператору Т, то для любых начальных данных VI 6 D (S) П?)(Т), 172? В (Т) существует единственное решение задачи (0.9). Условие вполне подчиненности означает, что.

Т) с £>(5Т-1), Цб’Т-^Ц <�с\щ, v е £>(Т),.

Уе>0 ЗФ? еЕ*: Ц^Т-^Ц < е||Тг-|| + Фе (и), V е 0(Т).

В работе А. Фавини и Е. Обрех:а [65] этот результат Крейна получен на основе исследований поведения пучка операторов Р (Х) := А2 — ЛТ — 5: если операторы Т и — 5Т-1 являются генераторами аналитических полугрупп, 1)(Т2) С О (З) и существует 6 > 0, при котором справедливо условие.

5Т-1(Л-ТН| ^|ЛНоо 0, А.€И":={АеС: | Л| < тг/2 + то оператор Р (А) является параболическим, т. е. в области Е^ существует обратный оператор /¿-^(А) := (А2 —АТ —51)-1 и для него выполяются оценки.

А2Д5)Г (А)||- ||ЛГЛ5>г (А)||- |^5-Г (А)|| < С, Л е ?*.

Это условие параболичностиР (А), как показано в работе [86], гарантирует существование и единственность решения задачи (0.9) [65].

В работе Ф. Ньюбрандера [85] для замкнутых операторов Т и 5 использована замена.

И = (у’ф-Туф) ' Х={г, 2 — Т*!) ' которая приводит к задаче (0.1) с замкнутым в X := Е х Е оператором А, определенном на (-О (Т) П .0(5)) х Е. Если 0(Т) С /}(5) и оператор Т порождает полугруппу класса Со в пространстве Е: то, А порождает полугруппу класса Со в пространстве X. На основе этого факта доказаны следующие необходимые и достаточные условия равномерной корректности задачи (0.9): если операторы Т и 5 плотно определены и оператор Т имеет регулярную точку (р (Т) ф 0), то существование полугруппы класса Со с генератором Т эквивалентно тому, что для любых Е 0{Т) существует единственное решение задачи (0.9), устойчивое с оценкой 1М0И < Сехр (ил?)(||г-1||^ + Ц^Ц), где || • - граф-норма оператора Т.

Для ограниченого оператора Т Ф. Ньюбрандер использовал замену (0.10), которая снова приводит к задаче (0.1) с замкнутым в X := Е х Е оператором А, определенным на множестве -0(5) х Е. В этом случае доказано [85], что если оператор Д^д^А) = (А2 — АТ — 5)-1 удовлетворяет условию типа то оператор, А является генератором п-раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы и, следовательно, для любых начальных данных (г-!,^) Е П{Ап+1) существует единственное решение задачи (0.9) такое, что у (г)\ <СехрМ 11(^1,^)111, И*)|| <�СехрМ.\(?иу2)\1 где = \х\ + ||Ах|| +. + ||А'1.т||.

Для исследования вырожденной задачи Коши второго порядка.

МРРНУ):

А > си, к = 0,1,.

Зг/ВДУ = 2У (*)+ ?"(*)+/(*),? Е [0, т), «(0) = VI, = кег С} ф {0}.

0.11) с замкнутыми линейными операторами Q, Т, 5, действующими из Е в Ei, пространства Е, Ei — банаховы, А. Фавини и А. Яги [67], как и в работах [19, 65], использована техника выделения главного оператора. В случае D (T) С D (S) достаточные условия однозначной разрешимости получены с помощью сведения к системе вида (0.8). В случае D (S) С D (T) с помощью сведения к задаче (0.6) получены достаточные условия существования и единственности, обобщающие результаты Крейна для задачи (0.9) на случай Q ф I.

Необходимые и достаточные условия корректности вырожденной задачи Коши для уравнения второго порядка до сих пор найдены не были.

Настоящая работа посвящена исследованию дифференциально-операторных задач (0.1) и (0.12), которые, как уже было сказано, не являются равномерно корректными. Мы исследуем эти задачи с единых позиций теории полугрупп.

Диссертация состоит из трех глав и девяти параграфов.

Первая глава посвящена исследованию корректности задачи Коши (0.1) с оператором А, удовлетворяющим условию (0.3) при 1п |Л| < Ф (А) < |А|. Задача рассматривается в пространствах абстрактных ультрараспределений Берлинга, которые представляют собой более общее построение по сравнению с пространствами Шварца. § 1 носит реферативный характер. В нем, согласно [71], даны основные определения, понятия и факты теории ультрараспределений. В частности, там определена функция М (А), тесно связанная с основным пространством ультрадифференцируемых функций, определяющая область существования резольвенты оператора, А и ее поведение в условии (0.3) (т.е. мы полагаем Ф (А) — М (А)).

В § 2, подобно тому, как Г. Фатторини ввел обобщенную корректность задачи (0.1) в пространствах распределений [62], мы определяем обобщенную корректность задачи (0.1) в пространствах абстрактных ультрараспределений Берлинга. Доказано, что критерием такой корректности является условие.

0.3) при Ф (А) = М (Л). Другим необходимым и достаточным условием обобщенной корректности является существование оператора решения обобщенной задачи (0.1) на всем пространстве X [45]. В § 3 на основе результатов теории К-конволюционных полугрупп и результатов § 2 указан класс начальных данных, для которых задача (0.1) имеет классическое решение, а именно, доказана теорема 1.3.3.

Глава 2 посвящена построению регуляризующих операторов для задачи (0.1), удовлетворяющей условию (0.3). В § 1 изложены основные определения и факты теории интегрированных полугрупп, в § 2 — теории вырожденных полугрупп класса Со и вырожденных интегрированных полугрупп.

В § 3 главы 2 исследован характер некорректности задачи (0.1) с оператором А, порождающим 1 раз интегрированную экспоненциально ограниченную полугруппу, т. е. задачу, удовлетворяющую условию ^0.2) при п = 1, и на основе этого исследования для нее построен регуляризующий оператор. Полученный оператор естественным образом учитывает дифференциально-операторную структуру уравнения. В качестве примера рассмотрена задача Коши для уравнения Шредингера в пространстве ^(И).

В § 4 главы 2 мы исследуем вырожденную задачу управления (0.5), доказываем, что для нее обратная задача является фредгольмовой и строим регуляризующий оператор, учитывающий дифференциально-операторную структуру уравнения и вырожденность оператора В.

Глава 3 диссертации посвящена исследованию вырожденной задачи Коши для уравнения второго порядка г>(0) — VI, 1/(0) = у2, кег^тЧО}, { } где Т, $ - замкнутые, ф — ограниченный линейные операторы, действующие из Е в пространства Е, Е — банаховы. Мы сводим задачу (0.12) к вырожденной однородной задаче Коши первого порядка (0.6), используя замену (0.10) и оператор В вида.

В § 1 исследованы связи между свойствами операторов и В, А. В § 2, в продолжение исследований й.В.Мельниковой и М. А. Алыпанского по вырожденным полугруппам, установлена связь между корректностью вырожденных задач первого и второго порядков (0.6) и (0.12) (теорема 3.12). Далее в § 2 исследована связь между поведением Л-резольвенты оператора А, 7£(А) — (АВ — А)~1 В, и поведением оператора т (А) := (А2<2 — ХТ — 5)-1 (теорема 3.13). На основе этих теорем и результатов о связи невырожденных задач первого и второго порядков (0.1) и (0.9), опубликованных в [33], получены необходимые и достаточные условия корректности задачи (0.12) на подклассах из -0(5), в терминах поведения оператора Т^д^А) (теорема 3.14). К]юме того для невырожденного случая (ф = /) в § 2 описаны классы корректности задачи Коши второго порядка (0.9) на языке областей определения операторов Г и 5, что позволяет исследовать корректность задачи (0.9), не прибегая к исследованию соответствующей задачи первого порядка.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ в 1997;1998гг. и на семинаре по дифференциально-операторным уравнениям (рукозодитель — доктор физ.-мат. наук, профессор И.В.Мельникова) в 1996;1998гг., а также были сделаны доклады на Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование.», Дубна, 1997 г., на Крымской Осенней Математической Школе-Симпозиуме, 1997 г, на Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ некорректных задач», посвященной памяти В. К. Иванова, Екатеринбург, 1998 г. и на международной конференции «Обратные задачи математической физики», Новосибирск, 1998.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45, 82, 3, 44, 4, 46]. Из совместной работы [82] на защиту выносятся только результаты автора.

Мне хочется выразить огромную благодарность Ирине Ва-лерианоене Мельниковой, моему научному руководителю, за доброж. елательное и стимулирующее к активной работе руководство диссертационным исследованием.

1 Абстрактная задача Коши, корректная в пространствах ультрараспределений.