Коллокационные методы со старшими производными и неявная экстраполяция численного решения
Диссертация
К сожалению, в процессе создания и исследования математической модели того или иного объекта, неизбежно возникают ошибки. Ошибки на первом этапе — результат упрощения реального объекта или исключения из исследования ряда его свойств. Такие ошибки, возникающие вследствие неточности задания входных данных, не устранимы в процессе решения задачи. Они возникают естественным образом в силу… Читать ещё >
Содержание
- 1. Обзор литературы
- 1. 1. Одношаговые методы
- 1. 2. Экстраполяционные методы
- 1. 3. Автоматический контроль точности вычислений
- 2. Неявные экстраполяционные методы и локальный контроль точности
- 2. 1. Автоматическое управление размером шага и порядком в явных одно-шаговых экстраполяционных методах
- 2. 2. Автоматическое управление размером шага и порядком в неявных од-ношаговых экстраполяционных методах
- 2. 3. Вычислительные эксперименты
- 3. Неявные экстраполяционные методы и глобальный контроль точности
- 3. 1. Локально-глобальное управление размером шага и порядком экстраполяционных методов
- 3. 2. Вычислительные эксперименты
- 4. Коллокационные методы со старшими производными и глобальный контроль точности 81 4.1' Присоединенные и симметричные РК-методы со старшими производными
- 4. 2. Эффективная реализация E-методов и упрощенные итерации Ньютона
- 4. 3. Локально-глобальное управление размером шага и порядком в одногаа-говых коллокационных методах со старшими производными
- 4. 4. Вычислительные эксперименты
Список литературы
- Арушанян о.В., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. — М.: МГУ, 1990.
- Бахвалов Н.С. Численные методы: Учебное пособие. — М.: Наука, 1975.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987, 2003.
- Березин И.е., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: ГИФМЛ, 1962. — Т. 1.
- Бояринцев Ю.Е., Данилов В. А., Логинов A.A., Чистяков В. Ф. Численные методы решения сингулярных систем. — Новосибирск: Наука, 1989.
- БояРНИЦЕВ Ю. Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений. — Новосибирск: Наука, 1996.
- ГаЙТОН А. Физиология кровообращения: Минутный объем сердца и его регуляция. — М.: Медицина, 1969.
- ГРОДИНЗ Ф. Теория регулирования и биологические системы. — М.: Мир, 1966.11. деккер К., Вервер я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988.
- КАЛИТКИН H.H. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
- КОЛЛАТЦ Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1953.
- КУЛИКОВ Г. Ю. Об использовании итерационных методов ньютоновского типа для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2001. — Т. 41, № 8. С. 1180−1189.
- КУЛИКОВ Г. Ю. Численные методы с контролем глобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1: Дис.. докт. физ.-мат. наук. — Ульяновск: УлГУ, 2002. — 315 с.
- Куликов Г. Ю., Меркулов А. И. Об асимптотической оценке погрешности методов ньютоновского типа и ее практическом применении// Фундаментальные проблемы математики и механики. — Ульяновск: УлГУ, 2003. — Вып. 1(13). — С. 36−47.
- Куликов Г. Ю., Меркулов А. И., Хрусталева Е. Ю. О квадратичной экстраполяции, основанной коллокационных методах со старшими производными// Фундаментальные проблемы математики и механики. — Ульяновск: УлГУ, 2003.- Вып. 1(13). С. 48−62.
- Куликов Г. Ю., Меркулов А. И. Об одношаговых коллокационных методах со старшими производными для решения обыкновенных дифференциальных уравнений// Журнал вычислительной математики и математической физики.- 2004. Т. 44, № 10. — С. 1782−1807.
- Куликов Г. Ю., Хрусталева Е. Ю. Об автоматическом управлении размером шага и порядком в явных одношаговых экстраполяционных методах// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2008. — Т. 48, К0 8. — С. 1392−1405.
- Куликов Г. Ю., Хрусталева Е. Ю. Об автоматическом управлении размером шага и порядком в неявных одношаговых экстраполяционных методах// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2008. — Т. 48, № 9. С. 1580−1606.
- Куликов Г. Ю., Хрусталева Е. Ю. Об автоматическом управлении длиной шага и порядком в одношаговых коллокационных методах со старшими производными // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. Т. 50, № 6. — С. 1060−1077.
- ЛЕБЕДЕВ В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2000.
- МАРЧУК Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989.
- Нерретер В. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ. — М.: Энер-гоатомиздат, 1991.
- Новиков В.А., Новиков Е. А. О повышении эффективности алгоритмов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений за счет контроля устойчивости// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. — Т. 25, № 7. — С. 1023−1030.
- ОРТЕГА Дж., ПУЛ У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
- РакитскиЙ Ю.В., Устинов С. М., ЧЕРНОРУЦКИЙ И. Г. Численные методы решения жестких систем. — М.: Наука. Гл. ред. фнз.- мат. лит., 1979.
- Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
- ХаЙРЕР Э., Нерсетт е., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990.
- ХаЙРЕР Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999.
- ХОВАНСКИЙ А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. — М.: Гостехиздат, 1956.
- Шалашилин В.И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. — М.: Эдиториал УРСС, 1999.
- Шин дин С. К. Автоматическое управление точностью численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений линейными многошаговыми методами: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Ульяновск: УлГУ, 2003. — 193 с.
- ШТЕТТЕР X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1978.52. эйлер Л. Интегральное исчисление// М.: Гостехиздат, 1956 — Т. 1. — С. 415
- Ai’d R., levacher L. Numerical investigations on global error estimation for ordinary differential equations// Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1997. — V. 82. — P. 21−39.
- Aitken A.C. On interpolation by iteration of proportional parts, without the use of differences// Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2). — 1932 V. 3. — P. 56−76.
- Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta processes// Math Comput. V. 18, P. 50−64.
- Butcher J.C. On Runge-Kutta processes of high order// J. Austral. Math Soc. V. IV, part 2, P. 179−194.
- Butcher J.C. Integration processes based on Radau quadrature formulas// Math Coinput. V. 18, P. 233−244.
- Butcher J.C. On the attainable order of Runge-Kutta methods // Math, of Comp. V. 19, P. 408−417.
- Butcher J.C. The non-existence of ten stage eighth order explicit Runge-Kutta methods // BIT V. 25, P. 521−540.
- Butcher J.C., Chan R.P.K. On symmetrizers for Gauss methods// Numer. Math.- 1992. V. 60. — P. 465−476.
- Butcher J.C. Numerical methods for ordinary differential equations. — Chichester: John Wiley and Son, 2003.
- CESCHINO F. Evalutaion de l’erreur par pas dans les problems differentiels// Chiffres, 1962. V. 5 — P. 223−229.
- Ceschino F., Kuntzmann Numerical solutions of initial value problems// Prentice Hall, 1966. P. 372.
- CHAN R.P.K. Generalized symmetric Runge-Kutta methods// Computing. — 1993.- V. 50. P. 31−49.
- CURTIS A.R. High-order explicit Runge-Kutta formulae, their uses, and limitations// J. Inst. Maths Applies, 1975. — V. 16. — P. 35−55.
- Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. — V. 6. — P. 19−26.
- Dormand J.R., Duckers R.R., Prince P.J. Global error estimation with Runge-Kutta methods// IMA J. Numer. Anal. 1984. — V. 4. — P. 169−184.
- Dormand J.R., Prince P.J. Global error estimation with Runge-Kutta methods II// IMA J. Numer. Anal. 1985. — V. 5. — P. 481−497.
- Eich E., Fuhrer C., Yen J. On the error control for xnultistep methods applied to ODEs with invariants and DAEs in multibody dynamics// Mech. Struct, and Mach.- 1995. V. 23(2). — P. 159−179.
- Endresen L.P., Myrheim J. A formula for steplength control in numerical integration// J. Comp. Appl. Math. — 1998. — V. 90. — P. 263−264.
- ENGLAND R. Error estimation for Runge-Kutta typesolutions to systems of ordinary differential equations// The Computer J. — V. 12. — P. 166−170.
- Fehlberg E. New high-order Runge-Kutta formulas with step size control for systems of first and second order differential equations// ZAMM. — 1964. — V. 44, Sonderheftm — P. T17-T19.
- Fehlberg E. Classical fifth-, sixth-, seventh-, and eighth order Runge-Kutta formulas with step-size control// Computing. — V. 4. — P. 93−106.
- FEHLBERG E. Low order classical Runge-Kutta formulas with step-size control and their application to somei heat transfer problems// Computing. — V. 6. — P. 61−71.
- Franzer R.A., Jones W.P., Skan S.W. Approximations to functions and to the solutions of the differential equations // Reports and Memoranda Nr. l 1799, (2913): Aeronautical Research Committee, P. 33. — P. 1025−1043.
- Gear C.W. Numerical initial value problems in odinary differential equations. // Prentice Hall. 1971.
- Gragg W.B. Repeated extrapolation to the limit in the numerical solution of ordinary differential equations. — Thesis. Univ. of California. — 1964.
- Gragg W.B. On extrapolation algorithms for ordinary initial value problems// SIAM J. Numer. Anal. Ser. B. 1965. — V. 2, — P. 384−403.
- Hairer E., Wanner G. Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. — Berlin: Springer-Verlag, 1991, 1996.
- Hairer E., Wanner G. Stiff differential equations solved by Radau methods// J. Comput. Appl. Math. 1999. — V. 111. — P. 93−111.
- Hall G. Equilibrium states of Runge-Kutta schemes// ACM Trans. Math. Software. 1985. — V. 11. — P. 289−301.
- Hall G. Equilibrium states of Runge-Kutta schemes, part II// ACM Trans. Math. Software. 1986. — V. 12. — P. 183−192.
- Hall G., Higham D.J. Analisys of stepsize selection schemes for Runge-Kutta codes// IMA J. Numer. Anal. 1988. — V. 8. — P. 305−310.
- Hall G. A New stepsize strategy for Runge-Kutta codes. Numerical Analysis Report № 245, 1994. — University of Manchester/UMIST, Manchester Centre for Computational Mathematics, Manchester, 1994.
- Hammer P.C., Hollingsworth Trapezoidal methods of approximating solutions of differential equations // MTAC. — 1955. — V. 9. — P. 92−96.
- Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations. — New York-London: John Wiley and Sons, 1962.
- Heun K. Neue methode zur approximativen integration der differentialgleichungen einer unabhangigen verunderlichen // Zeitschr. fur Math. u. Phys. — 1900. — V. 45.- P. 23−88.
- Higham D.J. Robust defect control with Runge-Kutta schemes// SIAM J. Numer. Analys. 1989. — V. 26, № 5. — P. 1175−1183.
- Higham D.J. Global error versus tolerance for explicit Runge-Kutta methods// IMA J. Numer. Anal. 1991. — V. 11. — P. 457−480.
- Hulme B.L. One-step piecewise polynomial Galerkin methods for initial value problems// Math, of Comput. 1972. — V. 26. — P. 415−426.
- Kastlunger K.H., Wanner G. Runge-Kutta processes with multiple nodes// Computing. — 1972. V. 9. — P. 9−24.
- Kulikov G.Yu. Symmetric Runge-Kutta methods and their stability// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2003. — V. 18, № 1.- P. 13−41.
- Kulikov G.Yu. One-step methods and implicit extrapolation technique for index 1 differential-algebraic systems// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2004. — V. 19, № 6. — P. 527−553.
- Kulikov G.Yu., Shindin S.K. One-leg integration of ordinary differential equations with global error control// Comput. Methods Appl. Math. — 2005. — V. 5, № 1. P. 86−96.
- Kulikov G.Yu., Shindin S.K. One-leg variable-coefficient formulas for ordinary differential equations and local-global step size control// Numer. Algorithms. — 2006.- V. 43. P. 99−121.
- Kulikov G.Yu., Merkulov A.I., Shindin S.K. Asymptotic error estimate for general Newton-type methods and its application to differential equations// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. — V. 22, № 6. — P. 567−590.
- Kulikov G.Yu., Shindin S.K. Adaptive nested implicit Runge-Kutta formulas of Gauss type// Appl. Numer. Math. 2009. — V. 59. — P. 707−722.
- Kuntzmann J. Neuere entwickelungen der methode von Runge-Kutta// ZAMM. — 1961. V. 41. — P. 28−31.
- KllTTA W. Beitrag zur naherungsweisen integration totaler differentialgleichungen // Zeitschr. fur Math. u. Phys. 1901. — V. 46. — P. 435−453.
- LlNDBERG B. On smoothing and extrapolation for the trapezoidal rule// BIT. — 1971. V. 11. — P. 29−52.
- LlNDBERG B. Characterization of optimal stepsize sequences for methods for stiff differential equations// SIAM J. Numer. Analys. 1977. — V. 14, № 5. — P. 859−887.
- LlNDBERG B. Error estimation and iterative improvement for discretization algorithms// BIT. 1980. — V. 20. — P. 486−500.
- Lobatto R. Lessen over differential- en Integraal-rekening// La Haye, 1851−1852. -V. 2.
- Merluzzi P., Brosilow C. Runge-Kutta integration algorithms with built-in estimates of the accumulated truncation error// Computing. — 1978. — V. 20. — P. 1−16.
- MERSON R.H. An operational method for the study of integration processes// Pore. Symp. Data Processing, Weapons Research Establishment, Salisbury, Australia, 1957. P. 110−1 to 110−25.
- Richardson L.F. The deffered approach to the limit// Phil. Trans. A. 1927. — V. 226. P. 299−349.
- Robertson H.H. The solution of a set of reaction rate equations// J. Walsh ed.: Numer. Anal., an Introduction, Academ. Press. — 1966. — P. 178−182.
- RUNGE C. Ueber die numerische auflosung von differentialgleichungen// Math. Ann.- 1895. V. 46. — P. 167−178.
- Runge C. Separation und approximation der wurzeln von gleichungen// Enzykl. d. Mathem. Wissensch, Teubner, Leipzig, 1899. — V. 1 — P. 405−449.
- Sanugi B. B. and Evans D. J. A new fourth order Runge-Kutta formula for y' = Ay with stepsize control// Computers & Mathematics with Applications. — 1988. Volume 15, Issue 12. — P. 991−995.
- SARAFYAN D. Error estimation for Runge-Kutta methods through pseudo-iterative formulas // Techn. Rep. No. 14, Louisiana State Univ. — New Orleans, 1966, May.
- Shampine L.F. Global error estimation for stiff ODEs. Lecture Notes in Math. V. 1066. Berlin: Springer, 1984. — P. 159−168.
- SKEEL R.D. Thirteen ways to estimate global error// Numer. Math. — 1986. — V. 48- P. 1−20.
- SKEEL R.D. Global error estimation and the backward differentiation formulas// Appl. Math. Comput. 1989. — V. 31. — P. 197−208.
- STETTER H.J. Symmetric two-step algorithms for ordinary differential equations// Computing. — 1970. V. 5. — P. 267−280.
- STETTER H.J. Local estimation of the global discretization error// SIAM J. Numer. Analys. 1971. — V. 8. — P. 512−523.
- STETTER H.J. The defect correction principle and discretization methods// Numer. Math. 1978. — V. 29. — P. 425−443.
- Stroud A.H., Stancu D.D. Quadrature formules with multiple Gaussian nodes // SIAM J. Numer. Anal., ser. B., 1965. — V. 2. P. 129−143.
- ZONNEVELD J.A. Automatic integration of ordinary diffential equations// Matliematisch Centrum. — Amsterdam, 1963.