Операторные свойства симметричных пространств

Теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются симметричными (например, пространства (Г, ?,//),.

Лоренца, Марцинкевича, Орлича). Теория симметричных пространств служит мощным средством исследования конкретных пространств.

Симметричные пространства появились в работах по интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. [11], [25]) в конце 70-х годов. Итоги исследования линейных операторов в симметричных пространствах, и в частности, мультипликаторов по системе Хаара нашли отражение в ряде монографий и статей: [8], [9], [И], [12], [19], [25], [27], [28]. Результаты, связанные с мультипликаторами ФурьеХаара, находят применение в теории интерполяции линейных операторов.

Диссертационная работа продолжает ряд исследований по теории линейных операторов в симметричных пространствах. Первая часть работы посвящена вычислению нормы специального билинейного оператора, действующего в пространствах р — суммируемых функций и Лоренца. Во второй части диссертации изучаются некоторые свойства симметричных пространств, связанные с мультипликаторами ФурьеХаара.

Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. Им предпослана глава I, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

В главе II рассматривается оператор А, определяемый соотношением действующий в симметричном пространстве ?[01]. Для нормы этого оператора справедлива оценка ||А\Е<2.

В теореме 2.1 показано, что в случае, когда Е = Ьр> норма оператора, А может быть вычислена по формуле.

А\1=2та{УрЛ-х, р 1</?<оо.

Пусть — вогнутая возрастающая непрерывная в нуле функция на [0,1], ^(0) = 0. Рассмотрим пространство Лоренца Л (<�р) с нормой.

1 о.

Обозначим через Аа пространство Лоренца, построенное по функции = ^ (0 < «< 1). В теореме 2.2 доказывается, что г, а Ч1» «.

1 + 3″" 1 ч У.

В общем случае для пространства Лоренца К{(р) оказывается справедливой.

Теорема 2.3. Если для некоторого 0 <? < 1 выполнено.

1+е<�т<2-е, о<�г<�—, т 2' то М11а («<2.

Далее в теореме 2.4 устанавливается достаточное условие для выполнения равенства || Л||Л (9)=2. Таким условием является.

5^-2.

В теореме 2.5 показано, что если функция ф{{) строго возрастает на [0,1] и.

-«о (р{1) то для выполнения равенства IIЛ ||Л (<�г,)= 2 необходимо и достаточно, чтобы.

1. Берг И. Интерполяционные пространства.

Введение

/ И. Берг, И. Лёф-стрём.-М.: Мир, 1980.-264 с.

2. Брыскин И. Б. Мультипликаторы рядов Фурье Хаара / И. Б. Брыскин, О. В. Лелонд, Е. М. Семёнов // Сибирский математический журнал. -2000. -Т.41, № 4. — С. 758−766.

3. Бухвалов A.B. Банаховы решётки некоторые банаховы аспекты теории / A.B. Бухвалов, А. И. Векслер, Г. Я. Лозановский. — УМН. -1979. -Т.34, № 2. — С. 137- 183.

4. Голубов Б. И. Ряды Фурье по системе Хаара / Б. И. Голубов // Математический анализ.-М.: ВИНИТИ, 1971.-С. 109- 146. (Итоги науки).

5. Ерофеева О. В. (Лелонд О. В.) Вычисление нормы одного оператора в пространствах Лоренца / О. В. Ерофеева // Труды математического факультета. Воронеж, 1997. — № 2. — С. 14- 18.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2-х т. / А. Зигмунд — пер. с англ. -М.: Мир, 1965.-Т.2.-537 с.

7. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1977. — 742 с.

8. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. Л. Саакян. М.: Наука, 1984.-496 с.

9. Кротов В. Г. О безусловной сходимости рядов Хаара в Л^ / В. Г. Кротов // Мат. заметки. 1978. — Т. 5, № 23. — С. 685−695.

10. Лелонд О. В. Мультипликаторы рядов Фурье Хаара в пространствах Лоренца / О. В. Лелонд // Проблемы математического образования и культуры: сб. тез. международн. научн. конф. — Тольятти, 2003. — С. 18−19.

11. Лелонд О. В. Точные пары пространств / О. В. Лелонд // Предметно методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики: сб. ст. Всеросс. научн. конф. -Тольятти, 2003. — С. 84−89.

12. Лелонд О. В. О несепарабельных пространствах E, F~ / О. В. Лелонд // Воронежская зимняя математическая школа — 2004. — Воронеж, 2004. С. 68 — 69.

13. Новиков И .Я. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах / И. Я. Новиков // Сиб. мат. журн. 1983. — Т. 24,№ 2.-С. 193−196.

14. Функциональный анализ / М. Ш. Бирман и др.- под общ. ред. С. Г. Крейна. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1972. — 544 с.

15. Р. Эдварде. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдвардепер. с англ. М.: Мир, 1969. — 1072 с.

16. Burkholder D.L. A nonlinear partial differential equation and unconditional constant of the Haar system in Lp / D.L. Burkholder // Bull. Amer. Math. Soc.-1982.-№ 7.-P. 591−595.

17. Carothers N.L. Geometry of Lorentz spaces via interpolation / N.L. Caro-thers, S.J. Dilworth // Functional analysis. Proc. 4th Annu. Semin., Austin / TX (USA), 1985;86. Austin, TX: University of Texas, 1986. P. 107−133.

18. Carothers N.L. Isometries on Ln, / N.L. Carothers, B. Turett // Transactions ofthe Amer. Math. Soc. 1986. — Vol. 297, № 1. — P. 95−103.

19. Creekmore J. Type and cotype in Lorentz Lp q spaces / J. Creekmore // Indag.Math. (N.S.) 1981. — Vol. 43, № 2. — P. 145−152.

20. Hunt R.A. On L (p, q) spaces / R.A. Hunt I IL' Enseignemcnt Math. 1966.12.-P. 249−276.

21. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces / J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Berlin: Springer — Verlag, 1977. — 190 pp.

22. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces II. Function Spaces / J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Berlin: Springer-Verlag, 1979. — 243 pp.

23. Luxemburg W.A. Banach Function Spaces / W.A. Luxemburg. Van Gorcum and C. Assen, 1955.-70 pp.

24. Novikov I. Haar series and linear operators / I. Novikov, E. Semenov // Dordrecht: Cluver Acad. Publ. 1997. — 218 pp.

25. Yano S. On a lemma of Marcinkiewicz and its applications to Fourier series / S. Yano // Tohoku Math. J. 1959. — № 11. — P. 191- 215.