Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа.

Uxx (xyt) = uu (x, t) (:х е R{Г), t > 0). (1) с условиями трансмиссии, моделирующими жидкое трение в узлах геометрического графа:

Г и?(х, t) = k{x)ut (x, t) (х G J (T), t > 0), (2) h? D{x) где Г — геометрический граф, J (Y) — вершины Г, R{Г) = Г J (Г) -множество, компоненты связности которого есть рёбра Г (геометрический граф и дифференцирование по х G Г понимается в соответствии с [20]). Система соотношений (1), (2) формально может быть записана в едином виде: uxx{x, t) = щ (х, г) + Щ)5{х — ?)ut{x, t) (жеГ, t > 0), ej® где 5(х—£) — дельта-функция с носителем в точке? е J{Г). Таким образом, система (1), (2) может рассматриваться как гиперболическое уравнения на геометрическом графе с особенностями (типа дельта-функций) в коэффициенте при младшей производной щ.

Основная цель — получение конечного описания решения указанного уравнения с заданными условиями трансмиссии в узлах геометрического графа через и (х, 0) и ut (x, 0).

Несколько слов об истории исследований дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах — пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25−30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [20, 69, 71]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [20, 71, 39, 66]), деформаций упругих сеток (см., например, [20, 71]) и струнно-стержневых систем [2, 45], диффузии в сетях [20, 71, 28], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [73, 68, 61], бифуркаций вихревых течений в жидкости [63], гемодинамики (см., например, [40]), колебаний сложных молекул (см., например, [41,11]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [19]) — приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [29]).

Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существование полугруппы) — построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов — см. [20] и цитированную там литературу. Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как S— и д'~взаимодействие в узлах сети [20, 51, 62, 1].

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона — см., например, [43, 42, 44, 5, 35, 20].

Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа — см., например, [28, 70].

На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрическом графе1 остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо неточнее, на декартовом произведении геометрического графа и R1. следования структуры и асимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [46, 64, 65, 3, 33, 32, 53, 67]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность — см. [53, 31, 33, 34, 72, 47], 2) обосновать корректность начальной задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [55]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [48, 49, 50, 54]. Предприняты и первые попытки исследования задач управления [52, 18, 4] (последнее в духе работ [23]-[27], [59, 60]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [22, 21]) на волновые уравнения на геометрических графах. Отметим здесь также работы [6]-[10], в которых метода Римана переносится на гиперболические уравнения на геометрических графах. В случае волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих S— и 5'—взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [36, 37, 38]).

В свете вышеизложенного изучение возможности получения конечного описания решения волнового уравнения на геометрическом графе с особенностями в коэффициенте при щ, выражаемыми условиями трансмиссии типа жидкого трения (2), и анализ свойств этого решения представляется и актуальным, и естественным продолжением уже проведённых исследований для волнового уравнения на геометрическом графе. Настоящую работу можно рассматривать как один из шагов в этом направлении. Указанные условия трансмиссии имеют параболический тип, и, значит, в целом уравнения, изучаемое в диссертации, можно характеризовать как гиперболико-параболическое. Хорошо известно (смотри, например, работы Репникова В. Д. [56]-[58]), что решения параболического уравнения имеют стабилизацию при t —> +оо. Поэтому представляет интерес и вопрос о возможной стабилизации решений рассматриваемого в диссертации уравнения.

Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена исследованию волнового уравнения на геометрическом графе с условиями трансмисии, моделирующими жидкое трение в узлах графа. В этой главе также вводятся понятия, используемые в ходе исследования. Приведено подробное описание объектов исследования.

В пункте 1.1 определяется конечный и связный геометрический граф Г из R", как связное объединение конечной совокупности прямолинейных отрезков из Rn.

Для каждого я? Г определим множество D (x) := {h 6 En \h\ = 1 и (x + eh) € Г для достаточно малых? > 0}.

Выделим особо в рассмотрение (и зафиксируем) конечное подмножество J (T) геометрического графа Г, которое обязательно содержит в себе (возможно, строго содержит) объединение двух множеств: {х G D{x) ф 2} и {х € Г D (x) = 2A (he D{x) (-h)? D{x))}. Точки из ^(Г) будем называть вершинами Г. Обозначим: R (T) = Г J{Г). Компоненты связности множества R (Г) будем называть рёбрами геометрического графа Г. Валентностью вершины будем называть количество примыкающих к ней рёбер. v (x 4″ ?hi — v (x).

Для функции v: Г R определим v^(x) = -для х G Г и h Е D (x)). Если h € D (x), то для достаточно малых е > 0 выполнено и h 6 + eh)] поэтому можно определять = i)" ^" (сс sft) if^ lim^ ————Пусть D (x) = 2 (т. е. D (x) двухэлементно) и.

У^ ^(ж) = 0- если при этом производные v^(x) совпадают для обоих h€D (x) h G D (x), то их общее значение будем обозначать через v" (x), называя его второй производной функции v в точке х. Если и: Г хТ —> R (Тсвязное подмножество R) и при некотором t € Т функция и (-, t) имеет вторую производную в точке ж, то эту производную будем обозначать через uxx (x, t).

В этом же пункте вводится основной объект исследования — волновое уравнение (1) на декартовом произведении рёбер геометрического графа и. При этом предполагается, что искомая функция и (х, t) определена и непрерывна на Г х [0- +оо) по совокупности переменных и удовлетворяет условиям: первое, условие (2), где к (х) — заданные неотрицательные числа, второе, для любого интервала (а- 6), являющегося ребром Г, и для любого to > Q функция v (y, t) = и (а + y\b — а||-1(6 — а), t) обладает на (0- \Ь — а||) х (0- to) равномерно непрерывными производными vyy и.

Система (1), (2) при к (х) > 0 может рассматриваться, например, как модель малых колебаний растянутой сетки из струн с условиями так называемого «жидкого» трения в узлах. Для системы (1), (2) будем рассматривать начальные условия и (х, 0) = <�р{х), щ (х, 0) = 0 (яеГ). (3).

Из (3) следует, что (р непрерывна на Г. Устремив в (2)? к нулю, получим условия трансмиссии для ip <рЦх) = 0 (х € J (T)). (4) heD (x).

Кроме того, предполагаем всегда, что ip удовлетворяет ещё условиям, гарантирующим должную регулярность и (х, t): первое, на 7?(Г) определена и непрерывна ip", второе,.

V (® € ЛПМЛ € ОД) №¦(*) = Дт + eh)], (5) причём последний предел существует и конечен, третье,.

V (s G J (T)Mh, V € ОД) = <�р%(х)], (6) четвёртое, х е J (T)) Л (к (х) ф 0)) У (Л 6 адкм = 0]. (7).

В пункте 1.2 вводится определение смежных вершин: две различные вершины, а и & из J{Г) назовём смежными, если интервал (аЬ) является ребром Г. Если, а и b смежны, то будем писать: а Ь. Далее в этом пункте задача (1)-(3) сводится к набору задач о распространении граничных режимов с помощью разностного уравнения. Для этого доказана.

Лемма 1.2.1 Пусть существует набор {/ia (?)}aej® функций из С2[0- +оо) такой, что для любой пары смежных вершин, а и b из J{Г) задача.

Vyy{y, t)=vtt{y, t) (0 <у <\b — a||,? > 0) v (0,t) = pia{t), v{\b~alt)=nb (t) (t> 0) v (y, 0) = tp (a + -, vt (y, 0) = 0 (0 < у < \b — a\).

8) имеет классическое peuieme v (y, a, b), причём для любой a G J{Г).

0, t a, b) = k (a)(fj, a)'(t) (t > 0). (9) b|b"-«a.

Тогда функция u (x, t), определяемая при x G [ab], где a «-> b, равенствами u (x, t) — v (\x—a\, t', a, b), в которыхaub пробегают все возможные пары смежных вершин, является решением задачи (1)-(3). Верно и обратное: еслии (х,{) является решением задачи (1)-(3), то существует набор функций {fia (t)}aej^), обладающий указанным свойством, причём для любых смежных вершин aub решение задачи (8) связано с u (x, t) равенством v (y, t]a, b) = u (a + y\b — a||-1(& — a), t).

Пусть a b. Обозначим через <�ра, ъ{у) нечётную и 2||&—а||-периодичес-кую функцию, определённую на R (||& — a||Z) (Z — множество всех целых чисел) и совпадающую с <�р (а + у||&- — a||-1(b — а)) на (0- ||& - а||). Производная (<�ра, ьУ доопределяема по непрерывности в точках ||6 — a||Zдоопределённую так функцию (<�ра, ъ)' обозначим через.

Для выделения признака, по которому набор {/ia}aej® функций из С2[0- +оо) удовлетворяет условию леммы 1.2.1, была доказана.

Лемма 1.2.2. Набор {//а}ае^(г) функций из С2[0-+оо) удовлетворяет условию леммы 1.2.1 тогда и только тогда, когда этот набор удовлетворяет системе уравнений mi (t,\b-a\).

2- Е W'(*-(2j> + l)||6-a||)р=о m2(t,\b-a\) }.

— 2 ¦? (iia)'(t — 2p\b — all) + ipa 0, a € <7(Г)) P=l J.

10) и начальным условиям.

Да (0) = <�р (а), aej® — (И) здесь mi (t, Г) есть целая часть числа (t — l)/{2l), a m.

Решение задачи (8) представимо в виде v (y, t а, Ь) = fa, b (y +1) + fa, b{y ~ (12) где fa, b = 7.

5>(у-(2р+1)0, у>о/у?1(т-1) (QiiiMy) = Р=°, (13) ад (у+)+(ад (у-))д yei (2N-1).

N — множество всех натуральных чисел), (Tifi)(y) = —(Gil^iy—l), у G М..

Равенство (9) приобретает вид: (W*) + ЩЬ-а\Ы){1) — 2(0||6-e|| W)(* ~ ||Ь — fl||)} =.

Ь|Ь<-«а (|D (o)| + fc (a))W (t) (t > 0), а € J (Г), (14) что, с учётом (13), совпадает с (10)..

Таким образом, леммы 1.2.1 и 1.2.2 сводят решение задачи (1)-(3) к решению задачи (10), (11)..

В пункте 1.3 доказывается существование и единственность решения задачи (10), (И). Этот факт устанавливает.

Теорема 1.3.1. Решение задачи (10), (11) существует, единственно и дважды непрерывно дифференцируемо на [0-+оо)..

Из этой теоремы следует, что решение задачи (1)-(3) существует и единственно..

В пункте 1.4 рассматривается случай единичной длины рёбер геометрического графа. Полагаем, что длины всех рёбер геометрического графа Г одинаковы и равны 1. Перенумеруем все вершины числами от 1 до т: J (Y) = {ci, с2,., Cm}. Обозначим G = Gi.

Пусть, А = (ау)у=1 — матрица смежности вершин геометрического графа Г (то есть а^- = 1, если Cj q, и aZJ- = 0, если Cj а), Vматрица валентностей вершин геометрического графа Г (V = diag (v1,v2,., vm), v{ = D (ci), i = ljn),.

К = diag{k©, ^(сг),., k (Cm)), g (t) — вектор-функция, г-ая компонента которой равна? = (WW" WW" • • • > (/O'Wf.

Тогда система уравнений Е^МО (i> 0)^ = 1^- (15) jlCjWCi может быть записана в виде (ниже I — тождественный оператор): + 2MQ) V — 2лд + яу) М = g (t) (t > 0), (16) где (Mf)(t) = f (t — 1), а оператор на вектор-функциях определяется так же, как и на скалярных, то есть формулой (13). В свою очередь, (16) можно записать в виде:.

Q{2MQV — 2AQ) n' + {V + К) ц' = Qg, (17) где Q — оператор сужения функции на [0- +оо)..

Найдено представление для оператора Qобратного к Q. Для этого доказана.

Лемма 1.4.2. Оператор Q~l, обратный к Q, представим в виде: Q~l = Q (P — М), где (Pf)(t) = f (t + 1)..

Обозначив и = Qfi', можем записать уравнение.

2M-2V-1A) + (E + V-lK)(P-M))v]{t) = (V~1g)(t) (t> 0) (18) в виде: t > 0). (19).

Заметим, что матрица {E+V~lK) — диагональная, с положительными элементами на диагонали, поэтому она обратима..

Далее особо рассматривается случай К = V. В этом случае (19) примет вид: + 1) = (V~lA)v (t) + (Vlg)(t) (t > 0). (20).

Доказана.

Лемма 1.4.3. Пусть В — (т х т)—матрица, a q (t) — т—мерная функция, заданная на [0- +оо). Тогда если v{t) — решение уравнения v (t + l) = Bv (t) + q (t)t (21) то для любого t G [0- 1) и любого п G N выполнено:.

Т1—1 v{t + п) = Bnv{t) + Bpq (t + п — 1 — р). (22) р=о.

Благодаря результатам, полученным в леммах 1.4.2 и 1.4.3, доказана.

Теорема 1.4.1. Пустъ n (t) есть решение (16) и К = V. Тогда для любого t G [0- 1) и любого n Е N выполнено:.

At + п) = iy-lAf-lV-lg{lt) + V-lAV-lg{t)}. (23).

Кроме того, для t G [0- 1) выполнено //(?) = V~lg (t)..

Далее рассматривается случай произвольного соотношения между V и К. Обозначим, а = (К + V~1K)-2V-1A), 7 = -(К + V~lK)~l (KУ-гК), g (t) = [{К + V~lK)-lV-lg]{t), или, что-то же самое, а = 2(К+ V)~lA, 7 = (K-V){K + V)~ g (t) = [(К + V)-lg]{t). Доказана.

Лемма 1.4.4. Пустъ матрица 5 есть решение уравнения 5(а + 5) = 7, причём матрицы, а и 8 перестановочны. Тогда решение уравнения (19), обнуляющееся во всех точках промежутка [—1−1), даётся формулой:.

П-1 п-р-1 v (t + n) = J2 + + (te[0−1), n e N). p=o i=0.

Лемма 1.4.4 позволяет установить вид решения уравнения (16). Доказана.

Теорема 1.4.2. Пусть выполнены условия леммы 1−4-4- Тогда решение уравнения (16) определяется равенством: п-1 п l/(t+n) = (24) р=0 р=о.

Автором применялся ещё один подход к решению уравнения (19), которое с учётом введённых обозначений а, 7, g можно записать так: u (t + 1) = au (t) + 7u (t — 1) + Eg (t) (t > 0). (25).

В результате реализации подхода была установлена.

Теорема 1.4.3. Пусть матрицы, а и 7 перестановочны. Тогда для любого фиксированного t € [0- 1) и любого т 6 N решение уравнения (16) определяется равенством: fi!{t + т) = amg (t) + am-Xg (t + 1), где ат определяется формулой /к-1.

EW>fflM (2б) к=1 j=0 /.

Замечание. Для того, чтобы определить, в каких случаях матрицы ои 7 перестановочны, был рассмотрен ряд примеров для конкретных геометрических графов. Это позволило сделать предположение о том, что матрицы, а и 7 перестановочны, если ki = wvi, где г пробегает все возможные номера вершин геометрического графа. То есть К = Q. V, где Q = luE, Е — единичная матрица. Действительно, в этом случае, а = (1 + u)~l (2V~1A), 7 = (1 + — w) E, а потому матрицы, а и 7 действительно перестановочны..

Результаты пунктов 1.2−1.4 резюмирует.

Теорема 1.4.4. Решение u (x, t) задачи (1)-(3) существует и единственно. При этом если длины рёбер Г равны 1, то для любых двух смежных вершин a ub u (x, t) = v (\x — a\, t-, a, b), где v (y, t', a, b) — классические решения задач (8), в которых функции fia{t), а Е J (Г), в случае К = V определяются теоремой 1.4−1, 6 случае выполнения условий леммы I.4.4 ~ тпеоремой 1.4−2, а в случае перестановочности, а и 7 -теоремой 1.4−3..

В пункте 1.5 приводятся примеры, иллюстрирующие применение теоремы 1.4.1 из пункта 1.4. Эти примеры показывают, что в случае К = V возможна стабилизация решения задачи (1)-(3), причём эта стабилизация может носить различный характер: (а) начиная с некоторого значения t, решение вырождается в const- (б) начиная с некоторого значения ?, решение становится периодическим, причём отличным от const- (в) решение стремится к const при t +00, будучи отличным от const в любой окрестности точки t = +00. Здесь уместно отметить, что для решений параболических уравнений стабилизация может иметь место только в пределе при t—> 00. Это показано в работах Репникова В. Д. [56]-[58]..

Глава 2 посвящена решению смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле..

Будем называть геометрический граф Г графом-звездой, если Г = ш.

U (a, bi) UM, а, bi € Г bi — попарно различны. Ниже мы всегда будем г=1 полагать, что ||6г- — а|| = ½. Для такого графа рассматривается смешанная задача ихх{х, t) = utt{x, t) (x? Г {a}, t > 0) m.

M = M (M) (t> 0) i=1.

27) u (bi, t) = 0 (г = 1, ш, ?>0) u (x, 0) = ip (x), ut{x, 0) = 0 (x € Г) 0 ч +f def u (a + shi, t) -u (a, t) где hi = 2 • (0- — a), a uT (a, t) = lim —^———-. Уравнение в s-«+0 s.

27) будем понимать так же, как и в работе [12], а именно для х € (a, bi) ди (х, t) д2и (х, t) полагаем их (х, t) = ——— и ихх (х, t) =, , где производные по ohi (ohiY направлениям hi уже неодносторонние. Под решением задачи (27) будем понимать функцию и (х, ?), определенную и непрерывную на Г х [0, +оо) и удовлетворяющую условию: для любого i = l, m и любого t > 0 производные ихх, utt и равномерно непрерывны на (а, 6г) х (0, Т). Относительно функции ip будем предполагать, что она определена на.

Г, и что <�р" (х) равномерно непрерывна на (a, bi) для любого г = 1, ш, причем 1) для любого i = 1, m выполнено (lim <�р" {х) = 0), 2) x—>bi диэ (х) lim (р" (х) = 0- здесь <�р" (х) для х? (a, bi) обозначает 2. Следу.

Otli) х-*а ет отметить, что последние два условия необходимы и достаточны для существования решения задачи (27) в указанном выше смысле..

В этой главе описывается решение задачи (27) через ip{x) и Л, и на основе этого описания даётся анализ стабилизационных свойств решения..

В пункте 2.2 доказывается единственность решения задачи (27) с использованием функционала полной энергии..

В пункте 2.3 решение задачи (27) сводится к решению набора задач на отрезках. Для реализации этого подхода потребовалось представить функцию (р (х) в задаче (27) в виде слагаемых, обладающих специального вида симметрией относительно точки а. Для этого введена в рассмотрение функция Ф, координаты которой определяются по правилу:.

Фi{y) = v{bi~yhi), у е (0,½], г = 1, т..

Функцию Ф можно представить в виде суммы: Ну) ^ Ну) Ыу) т (у).

1 Чу) N Чу) Чу).

Чу).

1 Чу) ^ -Чу) о о т{у) О о.

-4{у) т где Чу) = — и С1((у) = Чу) — $"(у) — для i = Но т г=1 тогда т р (х) =.

28).

1=1 где Ш ((х) — функции, определенные следующим образом: ш{х) = Hi ^½ — \х — a\j для х G Г, а для i = 2, т uii (x) =.

Qi (½ — ||ж — а||), если х Е [аЬ{) -fij (½ — ||z — а||), если х € [аbi) ¦ О, для остальных хбГ.

В силу (28) решение и (х, ?) задачи (27) представимо в виде т i=1 где щ — решение задачи (27), но при (р = о-,-. Лемма 2.3.1. Пусть v (y, t) — решение задачи Vyy (y, t) = vtt{y, t) (у € (0,½), ?>0) v (0,t) = v (l/2,") = 0 (?>0) v (y, 0) = fii (y) (ye[0,½]) v*(y, 0) = 0 (ye [0,½]).

29) гдег = 2, m. Тогда.

Ui (x, t) ~ г- (½ — - а||,£), при х е (a-, bi) -v (½ — Цж — а||,£), npuxe (a-bi) О, при остальных х € Г.

30).

Поскольку представление решения задачи (29) через функцию Qi хорошо известно (например, в форме Д’Аламбера), то наша задача (о представлении решения задачи (27)) сводится к отысканию представления решения u (x, t)..

Лемма 2.3.2. Пусть w (y, t) — решение задачи.

Wyy (y, t) = wtt (y, t) {у e (0,½), t > 0) w (0,t) = 0 (t > 0) wy (l/2,t) = ~.wt (l/2,t) (?> 0) lib w (y, 0) = n1(y) (yG [0,½]) wt (y, o) = о (ye [0,½]).

Тогда wi (x,?) = ги (½ — Цж — a||,?)..

31).

Таким образом, вопрос о получении представления решения задачи.

27) (через ср, А, га) сводится к получению представления решения задачи.

31) через fii и —. т.

В пункте 2.4 решается задача (31). Рассматривается следующая вспомогательная задача: где a (t) некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям а'(0) = 0 и а" (0) = 0..

Основная цель пункта 2.4 — показать, что существует функция, а такая, что решение задачи (32) совпадает с решением задачи (31)..

Разделяя неоднородности в задаче (32) для случаев a (t) = 0 и fii (y) = 0 и решая ее формально в двух случаях, следуя, например, [6], придем к следующему утверждению..

Лемма 2.4.1. Решение задачи (32) при t±y ф к + ½, Лг = 0,1, 2,. может быть представлено в виде.

Wyy (y, t) = Wtt (y, t) (у е (0,½), t > 0).

W (0,i) = 0 (i>0) < W (½, t) = a (t) (t> 0) W (y, 0) = Ql (y) (ye [0,½]) Wt (y, 0) = 0 (ye [0,½]).

32).

33).

Y, aft ~ (2k + l) i — y)+i • (fix (y + t) + tli{y-1 где a (t) (t > 0) ~ J ЗД*}) ({5} < ½) a (t) = {, fii (s) = <.

0 (t < 0) [ -Qi (l — {s}) ({s} > ½) а через {s} обозначена дробная часть s..

Пусть ц = 1 + P{t) — непрерывное доопределение a'(t) на [0- +oo), a ae (t) — непрерывное доопределение функции — (½ +1) на [0- +oo)..

Лемма 2.4.2. Пусть fy (t) = fi (t), t G [j — 1, j), j G N. Тогда решение задачи (32) является решением задачи (31) если и только если для любого j G N выполнено.

A W = J + 1) ¦ (1 ~ 2М'-1. (34).

Другими словами, (3(t) = — • ее ({£}) • (1 —, где [?] - г^елая пасть t, а {?} - дробная часть t. При этом если ц = 2, то равенство (34) при j = 1 следует понимать как fii (t) = — • ae (?)..

Следствие 2. Возвращаясь к прежним обозначениям (a', fii), соотношение (34) можно записать следующим образом: d (t) = ~ • Qi (½ +1 — И) • (1 — 2Ipf = a'(t — И) • (1 — 2hif, Г то есть.

At) = A{t}) (1 — 2Ivf. (35).

Замечание. Формула (35) дает возможность представить функцию a'(t) на промежутке вида j — 1, j), j G N{1} через свои значения на промежутке [0,1). При этом для любого t G [0,1) последовательность + j — 1)|, представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 — 2/д)..

Вышеприведенными рассуждениями установлена Теорема 2.4.1. Решение задачи (32) является решением задачи (31), если и только если.

171 ¦— a'(t) = -^-j- • Oj (½ +1), t е [0,1), (36) и.

Замечание. В этой теореме представление а' через при t G [0- 1) вполне согласуется с условиями а'(0) = 0 и а" (0) = 0, т. к. в силу построения функции Qi выполнены равенства (½) = 0 и f^'(½) = 0. Подытоживает результаты первых четырёх пунктов второй главы т..

Теорема 2.4.2. Решение задачи (27) имеет вид: u (x, t) = i=1 где щ при г = 2, т определяется формулой (30), a u (x, t) = W (½ — ж — a\, t), где W определяется равенством (33), в котором, в свою очередь, а определяется по формулам (36) и (37)..

В пункте 2.5 рассказывается о вырождении решения задачи (31) при t> 1..

Следствие 3. Если Qi ф 0, то при X = т supp, а С [0,1], а при фт supp, а неограничен сверху..

Следствие 4. Пусть V (y, t) есть решение задачи (31), и пусть ф 0. Тогда при Л = т supp V С [0,½] х [0,1], а при Л ф т supp V не ограничен..

Основные результаты диссертации являются новыми и опубликованными в [12]-[17]. В совместных работах [12], [13], [17] Прядиеву B. JL принадлежит постановка задачи, а автору диссертации точные формулировки и доказательства утверждений. Работа [13] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ..

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Потрягинские чтения — XIV» (Воронеж, ВГУ, 2003) — Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ, 2003) — Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XV» (Воронеж, ВГУ, 2004) — Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVI» (Воронеж, ВГУ, 2005) — Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения-XVII» (Воронеж, ВГУ, 2006), на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю. В. Покорного..

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности десять пунктов, и списка литературы. Объём диссертации 93 стр. Библиография содержит 74 наименования. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта..

1. Абдулмаджид М. Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка — спектральная теория: дис.. канд. физ.-мат. наук / М. Абдулмаджид. — Воронеж, 1992. — 101 с..

2. Боровских А. В. О распространении волн по сети / А. В. Боровских, А. В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. — С. 21−25..

3. Бурлуцкая М. Ш. Граничное управление системой из трёх струн с одним закреплённым концом / М. Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 45−46..

4. Гаврилов А. А. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / А. А. Гаврилов, О. М. Пенкин // Диф. уравнения. 2000. — Т. 36, N 2. — С. 226 232..

5. Гаршин С. В. Метод Римана для уравнения гиперболического типа на декартовом произведении графа-звезды и R1 / С. В. Гаршин // Труды молодых учёных Воронежского государственного университета. -2004. № 2. — С. 3−9..

6. Гаршин С. В. Разрешимость аналога задачи Гурса для уравнения гиперболического типа на простейшем геометрическом графе / С.В. ГаршинВоронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2005. — 13 с. — ден. В ВИНИТИ 02.06.05, № 798-В2005..

7. Гаршин С. В. Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса для гиперболического уравнения на графе-звезде / С. В. Гаршин // Международная конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. — С. 55−56..

8. Герасименко Н. И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н. И. Герасименко, Б. С. Павлов // Теоретическая математ. физика. 1988. — Т. 74, № 3. — С. 345−359..

9. Глотов Н. В. Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле / Н. В. Глотов, В. JI. ПрядиевВоронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2006. — 13 с. -деп. в ВИНИТИ 23.05.06, № 689-В2006..

10. Глотов Н. В. О смешенной задаче для волнового уравнения на графе-звезде при условии трения в узле // Н. В. Глотов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. — С. 56−57..

11. Глотов Н. В. Разностное уравнение, решающее задачу о малых колебаниях струнной сетки с условием «жидкого» трения в узлах // Н. В. Глотов // Современные методы теории краевых задач: «Понтря-гинские чтения XVII»: матер, конф. — Воронеж, 2006. — С. 37−38..

12. Глотов Н. В. Один подход к решению волнового уравнения на пространственной сети типа цепочки // Н. В. Глотов // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XVI»: матер. конф. — Воронеж, 2005. — С.46−47..

13. Глотов Н. В. Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде с особенностью в узле // Н. В. Глотов, В. J1. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XV»: матер, конф. — Воронеж, 2004. — С. 57−58..

14. Глотов Н. В. О колебаниях с трением на сети / Н. В. Глотов, B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения IV»: матер, конф. — Воронеж, 2003. — С. 39−40..

15. Гудзовский А. В. К расчёту гидравлических сетей / А. В. Гудзовский // Докл. АН. 1988. — Т. 358, № б. — С. 765−767..

16. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный и др.]. М.: Физматлит, 2004. — 272 с..

17. Знаменская JI.H. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XV»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2004. — С. 97..

18. Знаменская J1.H. Управление упругими колебаниями / JI.H. Знамес-кая. М.: Физматлит, 2004. — 176 с..

19. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № И. — С. 1517−1534..

20. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В. А Ильин // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № 12. — С. 1640−1659..

21. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В. А Ильин // Диф. уравнения. 2000. — Т. 36, № 11. — С. 1513−1528..

22. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В. А. Ильин // Докл. РАН. 2001. — Т. 376, № 3. — С. 295−299..

23. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В. А. Ильин, В. В. Тихомиров // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № 5. -С. 692−704..

24. Каменский М. И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М. И. Каменский, О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Докл. РАН. 1999. — Т. 368, № 2. — С. 157−159..

25. Комаров А. В. О спектре равномерной сетки из струн / А. В. Комаров, О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Изв. вузов. 2000. — Т. 463, № 4. — С. 23−27..

26. Копытин А. В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А. В. Копытин // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIII»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2002. — С. 80−81..

27. Копытин А. В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми рёбрами / А. В. Копытин, B.JI. ПрядиевВест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Матаматика. 2001. — Я21. С. 104−107..

28. Копытин А. В. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях: дис.. канд. физ.-мат. наук: 10 102 / А. В. Копытин. Воронеж, 2002. — 77 с..

29. Копытин А. В. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети / А. В. Копытин, B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк., (дополнит, вып.). Воронеж, 2001. — С. 307..

30. Коиытин А. В. Решение волнового уравнения на пространственной сети / А. В. Копытин, B.JI. Прядиев // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2000. — С. 19−23..

31. Куляба В. В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В. В. Куляба, О. М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. — Т. 386, № 4. С. 453−456..

32. Найдюк Ф. О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф. О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIVм: материалы Воронеж, весен. мат. шк. — Воронеж, 2003. — С. 96−97..

33. Найдюк Ф. О. О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами: дис.. канд. физ.-мат. наук / Ф. О. Найдюк. Воронеж, 2004. — 134 с..

34. Найдюк Ф. О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф. О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. — № 1. — С. 115−122..

35. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А. В. Боровских и др.] // Докл. РАН. -1995. Т. 345, N 6. — С. 730−732..

36. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов /A.Я. Буничева и др. // Дифференциальные уравнения. 2001. -Т. 37, N 7. — С. 905−912..

37. Павлов B.C. Модель свободных электронов и задача рассеяния /B.C. Павлов, М. Д. Фадеев // Теоретическая математ. физика. 1983. — Т. 55, № 2. — С. 257−269..

38. Пенкин О. М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О. М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. — Т. 34, № 10. — С. 1433−1434..

39. Пенкин О. М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О. М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1404−1409..

40. Пенкин О. М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах / О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. — Т. 34, № 8. — С. 1107−1113..

41. Перловская Т. В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка / Т. В. Перловская // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIV»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2003. — С. 110..

42. Покорный Ю. В. Волновое уравнение на пространственной сети / Ю. В. Покорный, B.JI. Прядиев, А. В. Боровских // Докл. РАН. 2003. — Т. 388, № 1. — С. 16−18..

43. Прядиев B.JI. О непериодических колебаниях упругих сеток / B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XI»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2000. — С. 158..

44. Прядиев B.JI. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 202−203..

45. Прядиев В. JI. Ядро интегрального оператора, обращающего одну начально-краевую задачу для волнового уравнения на пространственной сети // Тр. матем. ф-та, вып. 9 (нов. серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. — С. 78−92..

46. Прядиев B.JI. Теоремы Штурма для разрывных уравнений на графе / B.JI. Прядиев, М. АбдульмаджидВоронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. — 20 с. — Деп. В ВИНИТИ 15.04.92, № 1288-В92..

47. Прядиев B.JI. Об управлении колебаниями сети / B.JI. Прядиев, Н. В. Глотов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 203 204..

48. Прядиев B.JI. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток /B.JI. Прядиев, А. В. Копытин, А. В. Боровских // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения X»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 1999. — С. 198..

49. Прядиев В. JL, Коровина О. В. О представлении решений волнового уравнения на одномерной пространственной сети // Соврем, методы в теории краевых задач: Матер. Воронеж, весен, мат. шк. «Понтрягинские чтения XVI». — Воронеж: ВГУ, 2005. — С. 129−131..

50. Прядиев B.JI. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений / B.JI. Прядиев, С. С. Шаталов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 206−207..

51. Репников В. Д. О связи двух типов предельных интегральных уравнений функций класса Tb (Rn) // ДАН СССР. 1983. — Т. 272, № 4.C. 798−801.

52. Репников В. Д. О стабилизации решений параболических уравнений с дивергентной элиптической частью // Дифференциальные уравнения. 1995. — Т. 31, № 1. — С. 114−123.

53. Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в плоскости Больаи-Лобачевского // Дифференциальные уравенения. 2002. — Т. 38, № 2. — С. 262−270.

54. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В. В. Тихомиров // Диф. уравнения. 2002. Т. 38, № 3. С. 393−403..

55. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В. В. Тихомиров // Диф. уравнения. 2002. Т. 38, № 4. С. 529−537..

56. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки / Ю. В. Покорный и др.] // Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл. Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998. С. 147−148..

57. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе / Ю. В Покорный и др.]- Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. — 8 с. — Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, № 1836-В92..

58. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research. 1994. — V. 80. — 174 p..

59. Ali-Mehmeti F. Splitting of the energy of dispersive waves in a star-shaped network / F. Ali-Mehmeti, V. Regnier // University of Valenciennes. Preprint LMACS 99.7. — Valenci., — 2003. — 18 p..

60. Cattaneo C., Fontana L. D’Alambert formula on finite one-dimensional networks // J. of Math. Anal, and Appl. 2003. — V. 284, N 2. — P. 403−424..

61. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites / Yu.V. Pokorny etc.] // Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Symp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov’s 150-anniversary: Abstr. -St.Petersburg, 1999. P. 140..

62. Kuchment P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. — V. 12, № 4. — P. 1−24..

63. Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise // Lecture Notes in Math. 1987. — V. 1235. — P. 120−140..

64. Pokorny Yu.V. Differential equations on networks (geometric graph) / Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh // J. Mathematical sciences. 2004. -V.ll, № 6. — P. 691−718..

65. Pryadiev V.L. On the laplacian spectrum on a graph with commensurable edges / V.L. Pryadiev, A.V. Kopytin // Spectral and Evolutional problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 2001. — V. 11. — P. 167 172..

66. The problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees / Yu.V. Pokorny etc.] // Electrical Activity of The Brain: Mathematical Models к Analytical Methods: Proc. of The 1-st International Symposium. Pushchino, 1997. — P. 22−24..

67. Zheng Songmu Extinction properties of solution to hyperbolic equations / Songmu Zheng // J. Part. Differ. Equat. 1991. — V. 4, N 2. — P. 52−60..