Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса

Настоящая диссертация посвящена изучению структуры кольца когомо-логий Хохшильда для одной из серий алгебр типа Ап, а именно для алгебр Мёбиуса.

Напомним, что стабильный АЛ-колчан произвольной самоинъективной алгебры над алгебраически замкнутым полем, имеющей конечный тип представления, описывается с помощью некоторого ассоциированного дерева, которое совпадает с одной из схем Дынкина Ап: Ев, Е^ или (см. [35]). Более подробно, стабильная часть /Ш-колчана есть дизъюнктное объединение колчанов вида ЪВ /П, где ЪВ — один из колчанов ЪАп, ЪВп, ЪЕ^, ЪЕ&-, а П — некоторая допустимая группа автоморфизмов колчана ЪВ. Исходя из описания стабильной части АД-ко л чан, а в [36] доказано, что любая алгебра типа Ап стабильно эквивалентна либо некоторой полуцепной самоинъективной алгебре, либо алгебре Мёбиуса. Поскольку для самоинъективных алгебр конечного типа представления стабильная эквивалентность совпадает с производной (см. [27]), а кольцо когомологий Хохшильда инвариантно относительно производной эквивалентности, мы можем использовать классификацию [36] для описания кольца когомологий алгебр типа Ап. Для полуцепных самоинъективных алгебр описание кольца когомологий Хохшильда получено в [29]. Таким образом, данная диссертация является завершающим этапом в исследовании колец когомологий Хохшильда для алгебр типа Ап.

Определение кольца когомологий Хохшильда возникло ещё в 40-х годах прошлого века (см. [28]). Пусть И — конечномерная алгебра над полем К, А = И <8>к Яор — её обёртывающая алгебра, ННП (Д) — ЕЯ) — п-ая группа когомологий Хохшильда алгебры В, (с коэффициентами в Д-бимодуле.

Я). На абелевой группе.

НН*(Д) = 0ННп (Л) = Я) п^О п^О вводится структура ассоциативной алгебры с использованием произведенияэту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшильда.

Изучение структуры кольца когомологий Хохшильда для различных алгебр всегда представляло-большой интерес для гомологической алгебры. В последние годы наблюдается прорыв в этой области, удалось получить множество результатов. Полное описание структуры кольца когомологий Хохшильда было получено для некоторых серий алгебр диэдрального типа [7] -[9], кватернионного типа [10], [16], [11], [20], полудиэдрального типа [12], [13], целочисленного группового кольца диэдральной группы [14], а также полуди-эдральной группы [15], самоинъективных алгебр древесного типа [1]~ [5], алгебр Лю-Шульца [19]. В [40] описана структура кольца когомологий Хохшильда для кошулевых с1-алгебр. Аддитивная структура кольца когомологий для алгебр Гекке 7^(64), ц — — 1 описана в [31]. В [39], [38], [37] исследуются алгебры путей некоторого колчана с соотношениями, кошулевы алгебры и ручные алгебры Гекке соответственно.

Как мы видим, большая серия результатов получена А. И. Генераловым и учениками. Мы используем аналогичный подход для алгебр Мёбиуса. В его основе лежит тот факт, что^{-произведение} на НН*(Д) совпадает с произведением Йонеды на Ех^алгебре Я) Л-модуля Я [32, стр. 120]. Мы построим бимодульную резольвенту для алгебры Мёбиуса, а затем с её помощью получим описание структуры кольца когомологий Хохшильда.

Использование полученных структур колец когомологий Хохшильдановое, только начинающее своё развитие направление. Но уже есть некоторые результаты. В [25] описаны-вторые группы когомологий Хохшильда для двух конечномерных алгебр над полем характеристики 2 (для препроектив-ной алгебры типа П4 и алгебры, возникающей при рассмотрении деформаций цоколя первой алгебры), при помощи которых доказывается, что эти две алгебры производно неэквивалентны. Описание второй группы когомологий Хохшильда, полученное в [25], используется в [34] при доказательстве классификации симметрических алгебр с полиномиальным ростом с точностью до производной эквивалентности. В [26] доказано, что вторая группа когомологий Хохшильда для абелевой моноидальной категории классифицирует расширения произвольной алгебры из этой категории с точностью до эквивалентности.

Нам будет удобно рассматривать алгебру Мёбиуса как алгебру вида Я — К [2] //, где К — поле, а О, — следующий колчан: а п+1) п+2Н+1 ча а, п+2К+1.

ООО.

2п-1)t+l о о о где идеал в алгебре путей К [<2] колчана <2, порожденный а) всеми путями длины? + 1- б) путями вида аг? а (г+п)?1 и а (г+п)?аг?1- в) выражениями вида п+г)4−10(п+г)"-2 • • • 0(п+г 1)4 + а^1аГ42. 1 < г < п.

В этом случае используем также обозначение Я = Яп^.

Перечислим основные результаты работы. В первой главе мы сформулируем основной результат работы — описание структуры кольца когомологий Хохшильда для алгебры Мёбиуса в терминах образующих и соотношений отдельно для п > 1 (см. теорему 4) и для п — 1 (см. теорему 5). Из теорем несложно вывести интересное следствие 6 — описание подкольца в терминах образующих и соотношений.

Во второй главе мы получим описание бимодульной резольвенты. При помощи диаграммного поиска найдём минимальные проективные резольвенты простых /^-модулей, из которых при помощи леммы Хаппеля (см. [33]) получим описание модулей для бимодульной резольвенты.

Третья глава описывает аддитивную структуру кольца когомологий на основании бимодульной резольвенты, полученной во второй главе.

В четвёртой главе мы выберем множество образующих алгебры НН*{Я). Заметим, что мы не стремимся вывести минимальное множество образующих. Несмотря на то, что это приводит к увеличению количества соотношений, в итоге мы получим более однородное и красивое описание кольца когомологий.

Пятая глава посвящена описаниям^{-сдвигов} образующих, а также их доказательству. При формулировке гипотез о том, как выглядят^{-сдвиги} образующих кольца когомологий, использовался эмпирический материал, полученный при помощи компьютерных вычислений. Доказательства данной главы состоят в прямой, хотя и громоздкой, проверке коммутативности квадратов вида.

Ч+во ^ ^^в+во — 1 I я0 я 0−1 Фя0−1.

В завершающей шестой главе мы получим соотношения между образующими элементами алгебры НН*(Д). Для этого вычислим все произведения между образующими элементами, воспользовавшись формулой с½ • С1/1 = с1(0°(/2)^52(/1)) где fl? Кег<5в1 и /2 € Кег£52 — произвольные коциклы).

В приложение вынесено техническое доказательство точности начального отрезка бимодульной резольвенты. Как доказано в [6], для доказательства точности нам достаточно будет показать, что (Р — 0.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17, 18, 21, 24], в тезисах Международной алгебраической конференции, посвящённой 100-летию Д. К. Фаддеева [22], и в тезисах Международной алгебраической конференции, посвящённой 70-летию А. В. Яковлева [23]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем, а соавтору — постановка задач и выбор методов решения.

1. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда нестандартных самоинъектив-ных алгебр древесного типа Dn. // Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 2011. Т. 388. С. 48−99.

2. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. II. // Зап. научи, семин. ПОМИ. — 2009. — Т. 365. — С. 63−121.

3. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. IV. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. Т. 388. — С. 100−118.

4. Волков Ю. В., Генералов А. И. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. I. // Зап. научи, семин. ПОМИ. — 2007. Т. 343. С. 121−182.

5. Волков Ю. В., Генералов А. И. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. III. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. Т. 386. — С. 100−128.

6. Волков Ю. В., Генералов А. И., Иванов С. О. О построении бимодульных резольвент с помощью леммы Хаппеля. // Зап. научн. семин. ПОМИ.- 2010. Т. 375. — С. 61−70.

7. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, I: серия £>(3/С) в характеристике 2. // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, вып. 6. С. 53−122.

8. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, II. Локальные алгебры. // Зап. научи, семин. ПОМИ. — 2010. — Т. 375. — С. 92−129.

9. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, III. Локальные алгебры в характеристике 2. // Вестник С.-Петербургского ун-та. Сер. 1. Мат., мех., астрон. — 2010. — Вып. 1. — С. 28−38.

10. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I: обобщенные группы кватернионов. // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18, вып. 1. С. 55−107.

11. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, III. Алгебры с малым параметром. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2008. Т. 356. С. 46−84.

12. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдрального типа,.

13. Групповые алгебры полудиэдральных групп. // Алгебра и анализ. — 2009. Т. 21, вып. 2. — С. 1−51.

14. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдрального типа, 1. Локальные алгебры. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. — Т. 386. С. 144−202.

15. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда целочисленного группового кольца диэдральной группы. I. Чётный случай. // Алгебра и анализ.- 2007. Т. 19, вып. 5. — С. 70−123.

16. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда целочисленного группового кольца полудиэдральной группы. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. Т. 388. С. 119−151.

17. Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, II. Серия Q (2B) в характеристике 2. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2007. — Т. 349. — С. 53−134.

18. Генералов А. И., Качалова М. А. Алгебра Йонеды алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2002. — Т. 289. — С. 90−112.

19. Генералов А. И., Качалова М. А. Бимодульная резольвента алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2005. Т. 321. — С. 36−66.

20. Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда алгебр Лю-Шульца. // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18, вып. 4. — С. 39−82.

21. Иванов А. А. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа: серия Q (2B) в характеристике 3. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. Т. 388. — С. 152−178.

22. Качалова М. А. Когомологии Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2006. — Т. 330. — С. 173−200.

23. Качалова М. А. Об умножениях в кольце когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Межд. алг. конференция, поев. 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева. Тезисы докладов. — 2007. — С. 42−43.

24. Пустовых М. А. Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Межд. алг. конференция, поев. 70-летию А. В. Яковлева. Тезисы докладов. 2010. — С. 55−58.

25. Пустовых М. А. Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2011. — Т. 388. — С. 210−246.

26. Al-Kadi D. Distinguishing derived equivalence classes using the second Hochschild cohomology group // Colloq. Math. — 2010. — Vol. 121. — P. 285−294.

27. Ardizzoni A., Menini C., Stefan D. Hochschild cohomology and «smoothness» in monoidal categories // Journal of Pure and Applied Algebra. — 2007. — Vol. 208. P. 297−330.

28. Asashiba H. The derived equivalence classification of representation-finite selfinjective algebras // J. Algebra. 1999. — Vol. 214. — P. 182−221.

29. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups. I. // Ann. Math. 1947. — Vol. 48. — P. 51−78.

30. Erdmann K., Holm T. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An. // Forum Math. — 1999. — Vol. 11. — P. 177−201.

31. Erdmann K., Holm T., Snashall N. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An, II. // Algebras and Repr. Theory. 2002. — Vol. 5. — P. 457−482.

32. Erdmann K., Schroll S. On the Hochschild cohomology of tame Hecke algebras. // Arch. Math. 2010. — Vol. 94. — P. 117−127.

33. Happel D. Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras. // Led. Notes Math. 1989. — Vol. 1404. — P. 108−126.

34. Holm T., Skowroriski A. Derived equivalence classification of symmetric algebras of polynomial growth. // Glasgow Math. J. — 2011. — Vol. 53. P. 277−291.

35. Riedtmann C. Algebren, Darstellungskocher, Uberlagerungen und zuruck. // Comment. Math. Helv. 1980. — Vol. 55. — P. 199−224.

36. Riedtmann C. Representation-finite self-injective algebras of class An. // Lect. Notes Math. 1980. — Vol. 832. — P. 449−520.

37. Schroll S., Snashall N. Hochschild cohomology and support varieties for tarne Hecke algebras. // Quart. J Math, to appear.

38. Snashall N., Taulefer R. Hochschild cohomology of socle deformations of a class of Koszul self-injective algebras. // Colloq. Math. — 2010. — Vol. 119. P. 79−93.

39. Snashall N., Taillefer R. The Hochschild cohomology ring of a class of special biserial algebra. // J. Algebra Appl. — 2010. Vol. 9. — P. 73−122.

40. Xu Y.} Xiang H. Hochschild cohomology rings of d-Koszul algebras. // Journal of Pure and Applied Algebra. — 2011. — Vol. 215. — P. 1−12.