Упорядоченные пары линейных операторов и задача Коши для уравнения Ax' (t) +Bx (t) =0 в банаховом пространстве

Хорошо известно, что многие задачи математической физики приводят к изучению задачи Коши для уравнения сс,'(t) — Тх (£)=0 с неограниченным оператором Т в банаховом пространстве. В конце сороковых — начале пятидесятых годов основы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве были заложены в работах Э. Хилле, К. Йосида, Р. Филлипса, Т.Като. Изучением задачи Коши и связанными с нею вопросами (существования и единственности решения, построения решений ЗК с помощью обратного преобразования Лапласасвязи разрешимости, единственности и корректностиравномерной корректности и диссипативности, описания множеств корректности и равномерной корректности и др.) занимались В. Феллер, И. Миядера, С. Агмон, Л. Ниренберг, С. Г. Крейн, П. Е. Соболевский, В. Э. Лянце, Ю. И. Любич, С. Я. Якубов и др. [12, 13, 16, 17, 33, 34, 37, 38] .

Задачи анализа и синтеза различных линейных систем (электромеханических цепей, периодических структур, моделей неоднородных сред), часто сводятся к нахождению вектор-функций ty (-?) «ifYi) «определяемых по заданной функции из дифференциальных уравнений с постоянными вырожденными операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах:

A f’d) +5f (i) =/>W w f (i) = К tfYQ + Mf (i) (2).

В дополнении диссертации показано, что к уравнениям вида (1−2) приводит задача отражения сигналов от бесконечной дискретной структуры, электрическая модель которой получается, если в дискретной модели длинной линии каждый элемент заменить осциллятором. Рассматриваемая схема приведена в [II ] и является прообразом неоднородной среды со сложным законом дисперсии. Системы типа (1−2) изучались в работах А. Г. Руткаса, Д.М.Чаусов-ского [27, 29, 30]. В преобразованиях Лапласа (при нулевых начальных условиях) уравнения линейной системы имеют вид.

AA+5)fO)=rr s у+ = ГК+ЫШ+вУ'ПГ •.

Таким образом, рассмотрение подобных задач стимулирует интерес к изучению свойств упорядоченных пар операторов (А, или линейных операторных пучков АА* Ё) «а также к исследованию задачи Коши (ЗК) для уравнения вида (I).

ЗК для однородного уравнения с парой ограниченных и неограниченных операторов изучалась С. Г. Крейном, В. Б. Осиповым, К. И. Чернышевым, А. Г. Руткасом в [13,14,27] .

В настоящей работе применяется метод преобразования Лапласа к исследованию представлений и свойств решений ЗК для уравнения.

Ax'(t) + 5x (t) = 0, 0< (3) с замкнутыми необратимыми операторами, действующими из банахова пространства X в банахово пространство Y". Изучаются только решения, непрерывно дифференцируемые в пространстве Ед~ = с нормой графика оператора J.

Эти решения являются решениями уравнения (3) в исходном пространстве X • а также — решениями уравнения [Aocft)] -i-Qjftj^tf в смысле определений, введенных итальянским математиком А. Фавини в [ад] .

Использование метода преобразования Лапласа связано со свойствами «резольвент» А (З^ЯА)'1 i (B+AAJ* ,(3+ААУА, определенных, вообще говоря, не на всем пространстве У или X — область определения оператора /[ * и даже не на плотном в, X*, соответственно, множестве. Сказанное требует различать среди точек Я комплексной плоскости множество^{-регулярных} точек пучка ((3+JA)Л определен на), леворегулярных (определен на 7), 4 и ограничен) и сильно регулярных (А наличие в С — спектре (дополнении множества сильно регулярных точек) пучка изолированной ограниченной компоненты обеспечивает непустоту начального многообразия ЗК для уравнения (3).

Указанную характеристику начального многообразия можно получить с помощью доказанной в I главе диссертации теоремы о разложении, являющейся аналогом теоремы Ф. Рисса о приводимости оператора с распадающимся на две компоненты спектром.

Теорема I.I.I. Пусть в^{-спектре} пучка операторов JA+3 имеется изолированная ограниченная компонента <ой • В этом случае на определен проектор р, являющийся ограниченным по норме t-A оператором, так что.

А Н1-Р)А и, более того, причем Р?)лР3)дзе>

В пространстве Y" на многообразии Л ~(AA'h&)3)A& «не зависящем от выбора точки fi^, определен проектор Q, возможно неограниченный, так что.

Д = QA + (I-Q)A (5).

Операторы Р и Q определяются соотношениями.

Рх = (2Tuf J (&+AAfAxdA, rfa).

Qy =(2XlfrJA (a+AA)'ydJt уел.

Разложения (4), (5) индуцируют пучки AAi+5<,: РЛа, ь~~*.

— QA и AAZ + ?)Z: (1~Р)?>а6.

Y — спектры пучков ЯА1+£>^ и ЛАг-+Зг совпадают с и Gу (о<, «соответственно.

В доказательстве теореш приводятся уточнения, происходящие в заключении теоремы, для случая леворегулярных точек и сильно регулярных, а такке для ограниченного пучка операторов.

Из теоремы I.I.X. следует результат, полученный В. В. Диткинда в [7, 8J для сильно регулярных точек пучка замкнутых линейных операторов.

Найденные конструкции проекторов позволяют доказать, что если точка Л0 — изолированная точка спектра пучка и соответствующий проектор Pjo конечномерен, то PJDa есть корневое подпространство. Более того, имеет место.

Теорема I.3.I. Для того чтобы точка спектра А0 пучка АД + 6 была нормальным собственным числом (н.с.ч.) необходимо и достаточно, чтобы она была изолированной точкой спектра пучка. ЯА + ?> и отвечающий ей проектор Р (эквивалентно Q) был конечномерным. Если Я0 — н.с.ч., то Р проектирует jT)^ (и) на корневое подпространство «9 d проектирует у на (Ё> +JA)<С* (ЯеД (Д 3)) При этом, если с — спектр пучка ограниченных операторов содержит последовательность {Ан,} изолированных собственных чисел и соответствующие подпространства [Р (Л»,)Х} ~(Хп} образуют базис пространства, го система подпространств.

Q (An)Y} образует базис пространства У и разложения X «Х+Хл,, Y^^Z + Y/i приводят пучок ЯА+Ь. Если же речь идет о неограниченных операторах, то, как показывает приведенный в § 3 пример, из равенства X ~^L + Хп Раз~ ложение Y = V/г, может не следовать.

В указанной выше задаче отражения пространство внутренних состояний (при специальном выборе параметров системы) есть сумма шести подпространств (Н =^L + Hi) «каждое из которых соответствует одной точке спектра.

С, а ^ Л Яз, Л).

В работе [гв] А. Г. Руткасом доказано, что в подобном случае характеристическую функцию пучка (передаточное отображение системы) можно разложить в произведение множителей, являющихся характеристическими функциями более простых пучков (и, следовательно, являющейся произведением передаточных отображений шести систем).

Для пучка замкнутых операторов имеет место свойство устойчивости корневых кратноотей.

Теорема 1.3.2. Пусть Г — спрямляемый замкнутый контур, ограничивающий некоторую область G’f и обладающий относительно пучка.

ЛА+В свойствами:

1) Сспектр пучка ЯА+З внутри Gr состоит из конечного числа нормальных точек у/, Д2 Д^.

2) контур Г состоит из Срегулярных точек пучка. Тогда существует такое число ^ О, что для всех операторов С, А «С&-: X, удовлетворяющих усконтур р обладает свойствами I), 2) также относительно лучков Сб + J СА, причем? г (СА>Св)=?г (А, 3) .

Доказательство этой теоремы, являющейся аналогом подобного факта для пучка Л I + Т Г 5 ], завершает главу I.

Во 2-й главе, как сказано выше, рассматриваются решения уравнения (3) непрерывно дифференцируемые по норме пространства Ед (А — решения). Всюду в дальнейшем «приставка Л «означает, что соответствующее свойство выполняется в смысле нормы пространства. Для, А — нормальной БК с помощью преобразования Лапласа находится соотношение, связывающее полугруппу Ц^ и у — резольвенту пучка. Полученные здесь результаты являются обобщением ряда исследований Э. Хилле, С. Г. Крейна, Ю. И. Любича [12, 16, 34J .

Так, например, для, А ~ равномерно нормальной ЗК справедлива Теорема 2.1.2. В полуплоскости /7Я jRe, А > hf } (h — верхняя грань типов, А — нормальных решений) существует оператор (3+JA) А «определен, по крайней мере, на многообразии JA начальных векторов, и на каждом векторе U0eJA имеет место представление.

Ь+ЛА?Аи. = 7u (i)eMM (Я*Л (кл)X v О где U ({) — соответствующее решение. Каждое решение выражается через соответствующий. начальный вектор формулой oi+ioo v, л u (i) = (2iuJ X (.6+ЛА) Аис г «У (d>/i >оX.

U-ioo, а также формулой и [О = йпь [Я (5 +JA)~U ТГ1 ^ (t>o) п-*оо * предел в смысле нормы пространства Ьд). Or (АЛ).

— сумма алгебраических кратноетей всех собственных чисел, попадающих в область (ур .

При условии непустоты / - регулярного множества пучка JA + & в теореме 2.1.4 описано в терминах преобразования Лапласа многообразие начальных векторов, соответствующих Анормальным решениям.

Нетривиальность начального многообразия обеспечивает также оценка нормы) f — резольвенты.

IICd+JAfAl (б> при некотором К&—1, Re J >. При этом начальному многообразию принадлежат все векторы из [ (3+Л0А) A J^ 1 <3)А С^Яо >с• Указанный результат является обобщением теорем С. Г. Крейна и Ю. М. Любича, рассмотренных в fl2, 16 7. Если в (6) вместо существования ^ -регулярных точек потребовать существование сильно регулярных точек (заметим, что из того, что точка.

У*- регулярна, вообще говоря, не следует, что она — сильно регулярна), то получим результат, установленный А. Фавини в fЮ ] для уравнения вида / А t)3 ?> % fa) = f {t).

Предполагая, что +.

ЛАГА ограниченный на 3) А оператор, подчиненный при оценке (6) (в X") и^ =.

— Д)^ «В. Б. Осипов доказал, что начальное многообразие.

ЗК содержит все векторы Х0 «удовлетворяющие условию.

Хв -[ (5* АоАТА ]гг .

В § 2 с помощью полугруппы Ut обычным образом в пространстве определяется Акорректная, А — равномерно корректная, А. ~ диссипативная ЗК. Признаки корректности, равномерной корректности и диссипативности ЗК, сформулированные в терминах резольвенты Ял (Т) для уравнения х'-Тх^О в [l2, 16, 3bl, а также в терминах лрезольвенты для уравнения, А ОС. + frxltf^O с ограниченной парой операторов в [27], справедливы для нашего случая, если в соответствующих формулировках заменить резольвентное множество J) (Т7) -множеством урегулярных точек, а исходное пространство — пространством Ед.

Так, например, роль неравенств Миядера-Феллера-Филлипса выполняют при х е, J2e J > и? оценки.

J? являющиеся необходимым и достаточным условием Аравномерной корректности ЗК.

В случае гильбертовых пространств }{, «У^{-диссипа-тивность} ЗК характеризуют следующие свойства пары операторов.

А, 6 ¦¦

Теорема 2.2.3. Пусть существует плотное в Х-, — 1А множество М =• 1¹)J)?. Обозначим через Ь±замыкание оператора Ьм ~ и положим Ai • Если выполнены условия ш, а пш & =x&tA?f)J0, д е (8) и при всех ^ е справедливо.

А, д, 3^) >0, (9) то ЗК для уравнения (3) А ~ диссипативна, а для уравнения.

A* y’M + bi ' 0 < °° диссипативна.

Насколько эти условия близки к необходимым можно судить по следующей теореме:

Теорема 2.2.2. А ~ диссипативная ЗК для уравнения (3) эквивалентна диссипативной ЗК для уравнения вида (3) с парой операторов Ai, &<, действующих из пространства в «Y, — АА1 «пРичем А1 — ограниченный оператор, замкнутый с плотной в У. 1 областью определения35^. Для того чтобы ЗК была, А ~ диссипативной для уравнения (3) и диссипативной для уравнения Ai, необходимо чтобы выполнялись условия (7), (8) и при всех +slAi) I (Ai?>i) (Rej{>0) — условие (9).

A — диссипативность ЗК и диссипативность ЗК в исходном пространстве могут иметь место одновременно и только порознь, что подтверждают приведенные в § 2 примеры.

При^=-/, условия (8,9), как достаточные условия, установлены В. Э. Лянце [iy]. Они одновременно являются необходимыми, при этом оператор 3> является максимально диссипатив-ным I12J .

Для упорядоченной пары операторов (А, 3) условие (9), выполненное при всех Cj^S/ib означает, по определению, диссипативность пары (А, ?>) (или пучка). В отличие от пары 3), совокупность условий (7)-(9) не является необходимой для максимальной диссипативности пары (Atb). Например, для максимально диссипативной пары ограниченных операторов С А*, из рассмотренной в дополнении «задачи об отражении», пара операторов (А, Ь) диссипативной не является, т. е. не выполняется условие (9).

Дд — область значений оператора А1.

Максимальную диссипативность пучка ЯА + Ь «как показано в § 1 главы Ш, обеспечивает: I) наличие при условии (7) в правой полуплоскости точек Я, для которых A (b*XAT*L УД J. либо 2) замкнутость области значений оператора В+ЛА (&-еЛ>0) при выполнении для этого пучка условий (7)-(9). При этом справедлива.

Теорема 3.1.3. Если пучок Л А* б > для которого J&cAfl 1) ЛжЬ = 0 ч 3) g = Ед, диссипативен и при некотором Я{ЛеЯ>0) Д~5+АА Ф Y 1 то 0Е Д°пУскае!Г Расширение до максимального диссипативного.

Эти результаты являются аналогами теории максимальных дисси-пативных операторов, построенной Р. С. Филлипсом [33 7 .

Максимальная регулярная диссипативность пары операторов f > обобщает понятие регулярной диссипативности оператора и имеет место.

Теорема 3.2.1. Если пучок «У которогоflJ&-^d^O, и при некотором Я (/}в2>0) область значений замкнута, является регулярным диссипативным, то есть z}c >0 такое что-то, А — решения ЗК для уравнения (3) допускают продолжения в сектор Id/cg tt/ictcjc, внутри которого они будут аналитическими функциями. Соответствующая полугруппа Ufa) допускает аналитическое продолжение как полугруппа сжатий в указанный сектор.

Примеры уравнений, для которых соответствующие полугруппы допускают аналитическое продолжение как полугруппы сжатий, приведены в § 3 главы Ш. Одним из них является уравнение типа (3) с операторами: лА о ю / л&о л ={о о). *'(о I где Д4, А % - замыкания операторов, порожденных в L2 (&) соответствиями * ~ и через обозначено.

Дифференциальные выражения Afe, V) ibA&D) предполагаются сильно эллиптическими с достаточно гладкими коэффициентами в замкнутой области G* ^ - мерного пространства.

Естественно, что для пучка ограниченных операторов все рассмотрения проводятся без обращения к пространству • Так, в «задаче об отражении» (дополнение), максимальная диссипатив-ность пучка Я А*+ обеспечивает диссипативность ЗК для однородного уравнения Ax’ft) + 3 сс (О = 00f О) = 2С0.

В некоторых случаях удобно связывать изучение свойств операторного пучка ЛА + 5 с линейным отношением, порождаемым парой операторов (А3 3) «в пространстве.

У ©-У.

В § 1 главы Ш с помощью такой связи строятся самосопряженные и несамосопряженные расширения симметрических сжимающих линейных операторных пучков, а также положительные самосопряженные расширения симметрических положительных линейных операторных пучков.

В работе Э. А. Коддингтона и Х. Сноу [32 J описаны положительные самосопряженные расширения положительных симметрических линейных отношений, причем в этой работе неявно содержится возможность построения расширенного линейного отношения, порождаемого, как и исходное, парой операторов.

Одним из результатов главы Ш является.

Теорема 3.2.2. Пусть симметрическая положительная пара операторов (А, В) допускает не единственное самосопряженное положительное расширение. Тогда пара (А, 5) имеет максимальное несамосопряженное диссипативное расширение. Более того, для любого положительного числа С существет регулярно диссипативное расширение пары (А, 3), а также существуют такие максимально диссипативные расширения, которые регулярно диссипа-тивными не являются.

Из этой теоремы следует.

Теорема 3.2.3. Пусть для пары операторов (Л3 3) имеет место соотношение *DA, а пара операторов (А+>£>) удовлетворяет условиям теоремы 3.2.2. Тогда для любого положительного числа С можно так подобрать начальное многообразие.

JА, что решения уравнения /[ X '(?) +Bx (t) — О допускают аналитическое продолжение в сектор $/^Q/lctg С. При этом соответствующая сжимающая полугруппа аналитически продолжается в указанный сектор, как полугруппа сжатий.

Указанные теоремы являются обобщением для линейных операторных пучков ряда результатов Э. Р. Цекановского ?*1, 35, 36].

В дополнении изучаются спектры операторных пучков, возникающих в задаче об отражении сигналов от бесконечной дискретной структуры и ее континуального аналога.

На защиту выносятся следующие основные положения ?21−25] :

1) теорема о разложении линейного пучка замкнутых операторов, являющаяся аналогом теоремы Ф. Рисса о приводимости оператора с распадающимся на две компоненты спектром;

2) установление связи между у — резольвентой пучка и преобразованием Лапласа Л — решений ЗК для уравнения.

A+ bx (-6)~0 с замкнутой парой операторов;

3) характеристики начального многообразия Л — решений ЗК;

4) признаки, А — равномерной корректности, А — дисси-пативности ЗК, сформулированные в терминах ^ - резольвенты пучка ;

5) достаточные условия, А — диссипативности ЗК в гильбертовых пространствах;

6) достаточные условия, при которых сжимающая полугруппа, соответствующая ЗК Ах'(£)+ Е>х (?) х (0)=ССо в пространстве Ед, аналитически продолжается как полугруппа сжатий в некоторый сектор правой полуплоскости, содержащий положительную полуось и симметричный относительно нее;

7) построение самосопряженных и несамосопряженных расширений симметрических сжимающих упорядоченных пар линейных операторов, а также положительных самосопряженных и несамосопряженных расширений положительных симметрических упорядоченных пар линейных операторов;

8) описание спектров операторных пучков, возникающих в задаче об отражении сигналов от бесконечной дискретной структуры и ее континуального аналога.

Автор благодарен научному руководителю А. Г. Руткасу, а также кандидату физико-математических наук, доценту Э. Р. Цекановскому за постановку некоторых вопросов и внимание к работе.

1. Арлинский Ю. М., Цекановский Э. Р. Несамосопряженные сжимающие расширения эрмитова сжатия и теоремы М. Г. Крейна. — Успехи мат. наук, 1982, т.37, вып. Х, с. 1. I-I32.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1966. — 543 с.

3. Березанский Ю. М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов, К.: Наукова думка, 1965. — 798 с.

4. Горбачук М. Л., Кочубей А. Н., Рыбак М. А. Диссипативные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций. Докл. АН СССР, 1972, т. 205, Ш 5, с. 1029−1032.

5. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. — 445 с.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы (спектральные операторы). М.: Мир, 1974. — 661 с.

7. Диткин В. В. Некоторые спектральные свойства пучка линейных операторов в банаховом пространстве. Мат. заметки, 1977, т. 22, № 6, с. 847−857.

8. Диткин В. В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных ограниченных операторов. Мат. заметки, 1982, т. 22, № 6,с. 75−79.

9. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. — 464 с.

10. Крейн С. Р., Осипов В. Б. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных. Дифференц. уравнения, Минск, 1970, т. 6, № 11, с. 2053;2061.

11. Крейн С. Г., Чернышев К. Й. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в Ё> -пространстве. Новосибирск, 1979. -18 с. — (Препринт СО АН СССР, Ин-т математики).

12. Лившиц М. С. Операторы, колебания, волны (открытые системы).-М.: Наука, 1966. 300 с.

13. Любич Ю. И. Классическое и локальное преобразование Лапласа в абстрактной задаче Коши. Успехи мат. наук, 1966, т.21, № 3, с. 3−51.

14. Лянце В. Э. Об одной краевой задаче для параболических систем дифференциальных уравнений с сильно эллиптической правой частью. Мат. сб., 1954, т.35, № 2, с. 357−369.

15. Михайлец В. А. О разложимых и секториальных граничных задачах для операторного уравнения Штурма-Лиувилля. Укр. мат. журн., 1974, т. 26, Ш 4, с. 450−459.

16. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

17. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1969. — 529 с.

18. Радбель Н. И., Руткас А. Г. О линейных операторных пучках и неканонических системах. Теория функций, функцион. анализ и их прил., Харьков, 1973, вып. 17, с. 3−14.

19. Радбель Н.й. Расщепление спектра и нормальные точки линейного пучка операторов в Ё> пространствах. — Вестн. Харьков, ун-та, 1974, to ИЗ, выл. 39, с. 17−20.

20. Радбель Н. И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Az'(t) +Зх/£) = 0. -Ди<�М)еренп .уравнения^{ЛДинск.} 1979. Т. 15. № 6. с. 1142−1143.,.

21. Радбель Н. И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения, А (?)+&%-?)= О, Минск, 1978. — 23 с. — Рукопись представлена редколлегией Всесоюзного журнала «Дифференц. уравнения». Деп. в ВИНИТИ 5 дек. 1978, № 3680−78.

22. Радбель Н. И. Симметрические и диссипативные линейные операторные пучки и задача Коши для уравненияДонецк, 1983. 12 с. — Рукопись представлена Донец, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 19 янв., 1983, № 305−83 Деп.

23. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу 2-е изд. перераб. и доп. М.: Мир, 1979. — 587 с.

24. Руткас А. Г. Задача Коши для уравненияДифференц. уравнения, Минск, 1975, т. II, te II, с.1996;2010.28. руткас А.Г. К теории характеристических функций линейных операторов. Докл. АН СССР, 1976, т. 229, № 3, с.546−548.

25. Руткас А. Г., Хиргий Н. И. Полугруппы мономорфизмов графов в дискретных структурах. Теория функций, функцион. анализ и их прил., Харьков, 1974, вып. 19, с. III-I25.

26. Руткас А. Г., Чаусовский Д. М. Об одном классе линейных автоматов на графах. Кибернетика, 1969, № 3, с. 11−16.

27. Толстов Ю. Г., Теврюков А. А. Теория электрических цепей. -М.: Высшая школа, 1971. 296 с,.

28. Функциональный анализ. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1972, — 544 с. — (Сер. «Справочная матем. б-ка»).

29. Филлипс Р. С. Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных. Математика / сб. переводов, 1962, 6:4, с. 11−70.

30. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 829 с.

31. Цекановский Э. Р. Несамосопряженные аккретивные расширения положительных операторов и теоремы Фридрихеа-Крейна-Филлип-са. Функцион. анализ и его прил., М., 1980, т.14, № 2,с. 87−89.

32. Цекановский Э. Р. Расширения Фридрихса и Крейна положительных операторов и голоморфные полугруппы сжатий. Функцион. анализ и его прил., М., 1981, т.15, № 4, с.91−93.

33. Якубов С. Я. О разрешимости задачи Коши для эволюционных уравнений. Докл. АН СССР, 1964, т. 156, № 5, с.1041−1044.

34. Якубов С. Я. Разрешимость задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Функцион. анализ, Труды йн-та матем. АзССР, 1967, с.187−206.

35. СМиубт, ё.а., Sn*rMS. V. O&-.Л^&си, — МаМ. fat., /59, л/3, f>. 203−2М.40.^frcPinc (X. z?>a^>/a, ce г^ъаш^еъпге. /n^Atyd J^z.Hm>d. m,. 5-f<-s36.