Уравнения плавного перехода и некоторые их приложения

Одним из важных классов интегральных уравнений являются уравнения типа свертки. Интерес к ним вызван многочисленными приложениями в краевых задачах математической физики, теории упругости, теории волноводов [8, 5, 41, 15].

Ю.И. Черский ввел и рассмотрел [57] уравнение плавного перехода i «u (t) — Jtt) +.

-<х" e-t{u (t)+^<*,<-t < <*> (I).

— co в предположении, что, k2(t)? L1 (0O, 6 L2(ifO. Уравнение (I) является уравнением типа свертки с переменными коэффициентами, наиболее близким к парному уравнению. В отличие от уравнений Винера-Хопфа, парного интегрального уравнения [29, 8, II] уравнение (I) не имеет явно выраженной точки раздела двух условий. С помощью преобразования Фурье Ю. И. Черский свел уравнение (I) к краевой задаче Карлемана для полосы, которая с помощью специальной склеивающей функции приводится к краевой задаче Римана на полуоси. При выполнении условий нормальной разрешимости оо.

1 -t Ф 0, Kj.(х) =r ^toe^cil, j= 1, г (2) в число решений и условий разрешимости уравнения (I) находится по формулам.

I = тах (0,эе), р = max (0,-эе)? (3) где = ?Htl+ Kt (x)]J" - ~ Hfl+ К,(х>]?, а решение (I) строится в квадратурах. Условия нормальной разрешимости (I) получены Л. С. Раковщиком [46]. Следуя методу Ю. И. Черского, Фан Танг Да [52] рассмотрел ряд других уравнений типа плавного перехода, которые приводятся к задачам Кар-лемана или, к так называемым, площадным задачам со сдвигом. Аналогичная задача исследуется в работе Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко [20] и применяется к интегральным уравнениям с однородными ядрами. Спектральные свойства оператора, отвечающего площадной задаче Карлемана, исследовал В. В. Шевчик [64]. Решение уравнений типа плавного перехода или соответствующих им задач Карлемана нашло применение в ряде задач математической физики для клиновидных областей. К одной задаче теплопроводности эти применения были даны Л. Я Тихоненко [51], к контактным задачам теории упругости — Г. Я. Поповым, Л. Я Тихоненко [431, Б. М. Нуллером [42]. В монографии Ф. Д. Гахова, Ю. И. Черского [8], имеющей основополагающее значение, выделен класс задач математической физики, содержащих экспоненту в краевом условии, которые приводят к решению задачи Карлемана. Даны примеры приближенного решения этих задач. Ряд задач математической физики, сводящихся к обобщенному функциональному уравнению Карлемана со сдвигом во внутрь области аналитичности, исследуется в работах Н. Л. Василевского, A.A. Карелина, П. В. Керекеши, Г. С. Литвинчука [3, 4], A.A. Карелина, П.В. Кереке-ши [21] сведением к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом, находятся условия нетеровости и формула для индекса. Современное состояние развития теории сингулярных уравнений со сдвигом отражено в монографии Г. С. Литвинчука [33], там же содержится подробная библиография.

Ряд проблем, относящихся к уравнению плавного перехода (I), оставались нерешенными. В частности, они включают в себя вопросы изучения уравнения (I) в шкалах пространств обычных и обобщенных функций, в классах функций показательного роста. Разработка методов точного и приближенного решения уравнения в важных для практики случаях. А также изучение уравнений типа плавного перехода. Этим вопросам и посвящена данная работа.

Настоящая диссертация состоит из двух глав. В первой главе изучаются уравнения плавного перехода (I) в шкале пространств в пространствах функций показательного роста {а, и находятся приближенные решения. На основе изученной задачи Карлемана для полосы и уравнения (I) во второй главе исследуются дифференциально-разностные уравнения типа плавного перехода, краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторые вопросы обобщенной задачи Карлемана со сдвигом внутрь области.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе переносятся результаты Ю. И. Черского [57] по задаче Карлемана для полосы 1 для случая задачи Карлемана Зтг з^).

А (ас)с!>(Х+гЛ) + С (х)Ф (х+1/Ь)"&(ж), зс е Щ. (4).

Здесь К. — вещественная ось, АСхОт^О, 0 непрерывные функции из Л/(Ю — класса Винера, 6(х)е С помощью сведения к задаче Римана (Теорема 1.4) доказываются теоремы Нетера, решение находится в квадратурах (Теорема 1.5).

При дополнительных ограничениях на коэффициенты задачи (4) в пп. 1.3, 1.4 решение строится методом факторизации. В этом же параграфе рассматривается схема Ю. И. Черского решения интегрального уравнения плавного перехода (I) (Теорема 1.6),.

— 6 исследуется союзное уравнение в L2®.

Во втором параграфе уравнение (I) рассматривается в пространствах основных функций К ^^ «которые не только п раз дифференцируемы, но и достаточно быстро убывают на бесконечности, с нормой, а также в пространстве обобщенных функций построенных наWJJdW. Основным является результат о том, что число решений и условий разрешимости подсчитываются по формулам (3) и не зависят от чисел n, т, в отличие от соответствующих выводов для парного интегрального уравнения 18]. Рассматриваются также случаи нецелых чисел п, m .

В третьем параграфе уравнение (I) рассматривается в классах функций показательного роста {а,. Исследование опирается на теорию уравнений типа свертки в {а, б}, изложенную в работе Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского [8], где также дана история вопроса (см. также [15], [56]). В зависимости от взаимного расположения полос аналитичности преобразований Фурье от ядер и свободного члена возникают различные краевые задачи типа Карлемана, в тон числе и односторонние [16]. В этом параграфе рассмотрено несколько частных, но характерных случаев. Здесь разрешимость и число решений уже зависят от взаимного расположения нулей функций l + Kj (Z), j= (Теорема 3.1, п. 3.4). Некоторые вопросы устойчивости и приближенного решения уравнения (I) рассматриваются в четвертом параграфе. Используя решение уравнения (I), удается построить решение уравнения плавного перехода вида.

— 7.

00 00.

Ос при более слабых ограничениях на ядра.

0<С <1 м^(эс)|< С <оо, $ =, где И^-Сх) есть преобразование Фурье ядер п^ (*), свертки понимаются как в работе Ю. И. Черского [61], а е ЦДАО, ц (0 е Ц, (1Ю .в этом же параграфе рассматривается один исключительный случай уравнения (5), когда.

К (эОУх^+Т Ф 0, йт К (эс)Уос2+1 =1, 1пс£ [ К (ос)Уас"+Т] = 0,.

М2ООИ>о, где.

К (оО = М^ИМ^*)]" 1, М2(ос)= 1+ К2(ос), р

В этом случае стоится приближенное решение методом факторизации.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В пятом параграфе рассмотрено дифференциально-разностное уравнение типа плавного перехода п т ггСакр + вкре-ПГ^-Ькр)"^"), ^ ец — (6) к=0 р=1 в нормальном (Теорема 5.1) и исключительном случае (Теорема 5.3). Исследуется также союзное (6) уравнение. Устанавливается связь уравнения (6) с другими, в частности с изученным Ю. И. Черским [58] уравнением, обобщающим гипергеометрическое. Решение (6) строится в квадратурах.

Ранний период теории дифференциально-разностных уравнений отражен в монографии [I]. Разрешимость дифференциально-разностных операторов с частными производными исследуется в работе B.C. Рабиновича [45]. Нормальный случай (6) рассмотрен в совместной с Ю. И. Черским работе [62]. Близкие уравнения исследовались в работе П, В. Керекеши, М. А. Отилио [27].

Опираясь на предложенный Ю. И. Черским [60] метод поэтапного разделения переменных, в шестом параграфе рассмотрена краевая задача для уравнения эллиптического типа с граничными условиями, приводящими к задаче Карлем&на. При этом используются найденные интегральные представления для функции Llix. O) и производной lUj (эс, о) (Теорема 6Л).

В седьмом параграфе результаты первого и четвертого параграфа применяются к обобщенной краевой задаче Карлемана со сдвигом в области.

2 Ак (х)9(х+1ак) = Сг (эс), Х6Я. к=0.

Приводятся эквивалентные сингулярные интегральные уравнения (Теорема 7.1), случаи точного решения для трехэлементной задачи, строится также приближенное решение. В симметричном случае теория Нетера таких уравнений построена в работах [3, 4].

Основные результаты опубликовались в работах [35−38, 62] и докладывались на 1У Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (Киев, 1975 г.), на И и Ш Республиканских симпозиумах по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1978 г., 1982 г.), на школе молодых ученых Западного центра АН УССР (Львов, 1978 г.), на семинаре Одесского государственного университета им. И. И. Мечникова по приближенным методам (руководитель — Тихоненко Н.Я.) (Одесса, 1981 г.), на УП-ХП научных конференциях профессорско-преподавательского состава СГУ (Симферополь, 1978;1983 гг.), на Всесоюзной научной школе «Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках» (Симферополь, 1983 г.).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителюпрофессору Юрию Иосифовичу Черскому за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Беллман Р., Кук K. J1. Дифференциально-разностные уравнения. М., Мир, 1967.

2. Березанский Ю. М. Пространства с негативной нормой.- Укр. матем. ж., т. 18, № I, 1963, с. 63−96.

3. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости, М., Наука, 1974.

4. Габдулхаев Б. Г. Некоторые вопросы теории приблиежнных методов. I. Казань: Изв. вузов, математика, № 9, 1968, с. 16−28.

5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М., Наука, 1977.

6. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М., Наука, 1978, с. 296.

7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции, вып. 2), 2-е изд., М., Физ-матгиз, 1958.

8. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я.

Введение

в теорию одномерных- 136 сингулярных операторов. Кишинев, Штиинца, 1973.

9. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М., Наука, 1971.

10. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, суш, рядов и произведений. М., Наука, 1963.

11. Даугавет П. К.

Введение

в теорию приближения функций. Л.: йздат. Ленинградок, ун-та, 1977, с. 184.

12. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. Тбилиси, Мицниереба, 1979.

13. Забрейко П. П. и др. Интегральные уравнения. СМБ, М., Наука, 1968, с. 448.

14. Зверович Э. И., Литвинчук Г. С. Односторонние краевые задачи теории аналитических функций. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 28, № 5, 1964, с. 1003−1036.

15. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев, Наукова думка, 1968.

16. Кальдерон А. П. Промежуточные пространства и интерполяция, комплексный метод. Сб. переводов Математика, 9: 3 (1965), с. 56−129.

17. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М., Наука, 1977.

18. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Об одной краевой задаче теории аналитических функций со смещением. Изв. вузов, математика, № II (126), 1972, с. 18−22.

19. Карелин А. А., Керекеша П. В. К теории задачи Карлемана для полосы с аналитическим сдвигом в область. ДАН УССР, сер. А, 1975, № 2. 137.

20. Карлович Ю. И., Кравченко В. Г. О сингулярном интегральном операторе с некарлемановскими сдвигами на разомкнутом контуре. ДАН СССР, т. 236, № 4, 1977, с. 792−795.

21. Карташева Л. В. Сингулярные интегральные уравнения в классе основных и обобщенных функций на разомкнутом контуре.-Изв. вузов, математика, № 11, 1975, с. 89−92.

22. Карташева Л. В. Интегральные уравнения со сдвигом в пространстве обобщенных функций на разомкнутом контуре.- В сб. Математич. анализ и его применения, Ростов-на-Дону, т. 5, 1974, с. 20−27.

23. Квеселава Д. А. Решение одной граничной задачи Т. Карлема-на.- ДАН СССР, т. 55, № 8, 1947, с. 683−686.

24. Квеселава Д. А. Некоторые граничные задачи теории функций.-Труды матем. ин-та АН Груз. ССР, т. 16, 1948, с, 39−80.

25. Керекеша П. В., Отилио М. А. Об одном классе линейных дифференциальных уравнений конечного и бесконечного порядка со специальными переменными коэффициентами.- Дифференциальные уравнения, т. 18, № 10, 1982, с. 1822−1824.

26. Кравченко В. Г. 0 сингулярном интегральном операторе со сдвигом.- ДАН АН СССР, т. 215, № 6, 1974, с. 1301−1304.

27. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов.- УМН, 13,5 (83), 1958, с. 3−120.

28. Крейн С. Г., Петунин Ю. И. Шкалы банаховых пространств.-УМН, 21: 2, 1966, с. 89−169.

29. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.- М., Наука, 1978, с. 400.

30. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.- М., Мир, 1971.

31. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные- 138 уравнения со сдвигом, — М., Наука, 1977.

32. Лукьяненко В. А. Исключительный случай уравнения плавного перехода: Тез. докл. П республ. симпозиума по дифференциальным и интегральным уравнениям. Одесса, 1978, с. 8990.

33. Лукьяненко В. А. Исключительный случай уравнения плавного перехода.- В сб.: Взаимодействие в механике конструкций.-Киев-Одесса, Вища школа, 1980, с. 38−44.

34. Лукьяненко В. А. Уравнение плавного перехода в пространстве медленно растущих функций.- ДАН УССР, № 9, 1980, с. 19−22.

35. Лукьяненко В. А. Некоторые приложения уравнения плавного перехода: Тез. докл. Ш республ. симпозиума по дифференциальным и интегральным уравнениям. Одесса, ОГУ, 1982, с. 184−185.

36. Лукьяненко В. А. Уравнение плавного перехода в одном классе обобщенных функций.- Динамические системы, 1983, вып. 2, с. 89−94.

37. Моткин A.C. Сингулярные интегральные уравнения по бесконечному контуру.- Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, № 4, 1967, с. 72−77.

38. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов, М., Мир, 1974.

39. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

40. Цуллер Б. М. Деформация упругого клина, подкрепленного балкой.- ПММ, т. 38, вып. 5, 1974, с. 876−882.

41. Попов Г. Я., Тихоненко Л. Я. Плоская задача о контакте полубесконечной балки с упругим клином.- ПММ, т. 38, вып. 2, 1974, с. 312−320. 139.

42. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.- М., Мир, 1979.

43. Рабинович B.C. О разрешимости дифференциально-разностных уравнений на R. K ив полупространстве.- ДАН СССР, 1978, т. 243, № 5, с. II34-II37.

44. Раковщик Л. С. К теории уравнений типа свертки. УМН, 18, вып. 4, 1963, с. I7I-I77.

45. Рогожин B.C. Общая схема решения краевых задач в пространствах обобщенных функций, ДАН СССР, 164, № 2, 1965, с. 277−280.

46. Титчмарш Е.

Введение

в теорию интегралов Фурье.- ГосТех-издат, М., 1956.

47. Тихоненко Н. Я. К приближенному решению исключительного случая задачи Римана теории аналитических функций.- Теория функций. Функциональный анализ и их приложение, 1970, вып. 10, с. 27−35.

48. Тихоненко Н. Я. О методе приближенной факторизации.- Изв. вузов, математика, № 4, 1976, с. 74−86.

49. Тихоненко Л. Я. Плоская смешанная задача теплопроводности. для клина. Дифференциальные уравнения, т. 9, № 10, 1973.

50. Фан Танг Да. Об одном интегральном уравнении типа плавного перехода.- Дифференциальные уравнения, т. 8, № 6 (1972), с. I052−1067.

51. Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения.- Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР, 23, 1957, с. 3−158.

52. Черский Ю. И. Две теоремы об оценке погрешности и некоторые их приложения.- ДАН СССР, т. 150, № 2, 1963, с. 271 274. 140.

53. Черский Ю. И. Теорема об оценке погрешности: Тез. научной конференции, посвященной 100-летию ОГУ, 1965, с. 21−22.

54. Черский Ю. И. Уравнения типа свертки.- Изв. АН СССР, сер. матем., 22, № 3, 1958, с. 361−378.

55. Черский Ю. И. Нормально разрешимое уравнение плавного перехода.- ДАН СССР, 190, I, 1970, с. 57−60.

56. Черский Ю. И. Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным теориям анализа.- Трибили, 1971, т. 2,.

57. Черский Ю. И. К решению краевой задачи Римана в классе обобщенных функций.- ДАН СССР, 125, 3(1959), с. 500−503.

58. Черский Ю. И. Метод поэтапного разделения переменных.-Матем. методы и физ.-мех. поля, 1980, вып. 12, с. 10−14.

59. Черский Ю. И. Интегральные уравнения в свертках с переменными коэффициентами.- Укр. матем. ж., 33, № б', 1981, с. 793−799.

60. Шевчик В. В. Интегральные уравнения типа свертки в семействе пространств обобщенных функций, непрерывно зависящем от параметра.- Дифференциальные уравнения, т. 14, II, 1978, с. 2060;2064.

61. Шевчик В. В. Функциональное уравнение со сдвигом в пространствах аналитических функций в полуплоскости.- ДАН СССР, т. 256, 1981, с. 51−53.

62. Prosser R.TО. double scale of weighted. L? spaces. -Bulletin of American mathematical society, vol.&1, Vs 3 I9? S, p.615−6ie.