ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ
Π ΠΈΡ. 2. Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΠΎΡ Π° ΠΡΡΡΡ Π‘ — ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅. ΠΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π0 — ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π1 ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π‘ ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ. Π’Π°ΠΊ, Π² ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΠΎΡ Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π Π΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ
1. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π’ΠΎΠΏΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° () ΠΏΠΎ Π²ΡΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° Π€ () ΠΏΠΎ Π²ΡΡΠΎΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°.
ΠΠ½Π°Π»ΠΈΠ· ΡΠΎΠΏΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π° ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° Π² ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠ°-ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΈΠ½ΡΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ° (ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊ, ΡΠΏΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΠ΅ΡΡΠ°, ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²ΡΡΡΡΠΏΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ ΠΠ°ΠΉΠ΅ΡΡ, Π° ΠΏΡΠΈ ΡΠΏΡΡΠ³ΠΎΠΏΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°Π³ΡΡΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΎΡΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΈ Π²Π΄Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠ° Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΌΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΠ°ΠΉΠ΅ΡΠ° Π³Π΄Π΅ F — Π½Π°Π³ΡΡΠ·ΠΊΠ°; g? ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠΉ ΠΎΡ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠ°ΡΠ°; 2ap? Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΊΠ°; n? ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΏΡΠΎΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°.
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ. Π Π΅Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ΅ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠΌ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ Π°ΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅) Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π΅Π½Ρ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ (Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΡΠ±ΠΌΠΈΠΊΡΠΎΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΡ).
Π‘Π°ΠΌΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΠΏΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π°ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΠ΅ Π² ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ . Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ°ΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ. Π‘ΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²ΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
Π³Π΄Π΅ b — ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ (ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ); Π — ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π₯Π΅ΡΡΡΠ°.
2. ΠΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΠΎΡ Π° (von Koch)
Π€ΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΠΎΡ Π° ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ° Π΅Π΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½Ρ ΠΈΠ· ΡΠΈΡ. 1.
Π ΠΈΡ. 1. ΠΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΠΎΡ Π° ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ (Π0) ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ (ΡΡΠ°ΠΏ Π1) Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1/3, ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ 4(1/3). ΠΠ° ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ Π2 Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 16(1/9).
ΠΠ΄Π΅ΡΡ N=16 — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ², Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° L*=(1/3)2. ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΠΏΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° L*=(1/3)m, Π³Π΄Π΅ m — Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ°, Π° N — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ.
Π£ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ «ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ» ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΠΏΠ°Ρ .
Π€ΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΠΎΡ Π° ΡΠ°Π²Π½Π°
3. Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΠΎΡ Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ (ΡΠΈΡ. 2).
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ. Π’Π°ΠΊ, Π² ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΠΎΡ Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π±ΡΠΎΡΠΈΠ² ΠΌΠΎΠ½Π΅ΡΡ, ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ½, ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ Π»ΠΈ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ «Π²ΡΡΠ΅» ΠΈΠ»ΠΈ «Π½ΠΈΠΆΠ΅» ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°ΠΏΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ.
Π ΠΈΡ. 2. Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΠΎΡ Π° ΠΡΡΡΡ Π‘ — ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [0, 1/3]. ΠΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π0 — ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π1 ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π‘ ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
ΠΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ. ΠΡΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π1 ΡΠ°Π²Π½Π° (1/6).
ΠΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ L Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΡΠΌΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ (Π )(1-Π‘)L; CL; CL; (Π )(1-Π‘)L.
Π’Π°ΠΊ, ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² (ΡΠΎΡΠΌΠ° Π1) m=4 ΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π‘1=Π‘4=(Π )(1-Π‘); Π‘2=Π‘3=Π‘, Π³Π΄Π΅ Π‘ — ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [0, 1/3], ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎ Π₯Π°ΡΡΠ΄ΠΎΡΡΡ (S= dimH), ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
ΠΈΠ»ΠΈ Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ Π₯Π°ΡΡΠ΄ΠΎΡΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΡ dimH=1,144.
4. ΠΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ (Brownian surfaces)
ΠΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [0, Ρ] Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ Π³Π΄Π΅ Ck — ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ 0, ΠΈ Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ 1.
ΠΠ° ΡΠΈΡ. 3 ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΡ Π±ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎ Π₯Π°ΡΡΠ΄ΠΎΡΡΡ Π±ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ dimH=1,
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π±ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΉ Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΡΠ΄Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ 1, ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ
dimH=2-Π± (ΠΏΡΠΈ 0<οΏ½Π±<1).
Π ΠΈΡ. 3. ΠΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ° ΡΠΈΡ. 4 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡ Π±ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ Π±=0,5
Π ΠΈΡ. 4. Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠΌ Π± ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠΌ Π± ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΠ΅ΠΉΠ΅ΡΡΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π»>1; Ck — Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ 1; Ak — ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° [0, 2Ρ].
5. ΠΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ Π± ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ (3-Π±), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ:
Π³Π΄Π΅ Ck — ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ 1; Ak, Bk — ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° [0, 2Ρ].
ΠΠ° ΡΠΈΡ. 5 Π΄Π°Π½Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ Π± (ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ 3-Π±).
Π ΠΈΡ. ΠΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠΌ (ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ):
Π° — Π±=0,5 (D=3−0,5=2,5); Π±? Π±=0,8 (D=2,2)
6. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ΅ΠΉΠ΅ΡΡΡΡΠ°ΡΡΠ°-ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡΠ±ΡΠΎΡΠ° ΠΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΠ΅ΠΉΠ΅ΡΡΡΡΠ°ΡΡΠ°-ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡΠ±ΡΠΎΡΠ°
.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ G — ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΠΈ; D — ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ (1 < D < 2); - ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ (> 1); n — ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ (> 1).
Π ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ G, D ΠΈ n. ΠΠΎ ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π. ΠΠ°Π΄ΠΆΡΠΌΠ΄Π°ΡΠ°, ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° = 1,
ΠΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΠ΅ΠΉΠ΅ΡΡΡΡΠ°ΡΡΠ°-ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡΠ±ΡΠΎΡΠ° ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΠΊΡΠΎΡΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ (ΡΠΈΡ. 1.3) ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π³Π΄Π΅ L — Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ (ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΊΡΠΎΡΡΠΎΠ²Π΅ΡΠ°ΠΌΠΈ).
ΠΠ° ΡΠΈΡ. 6 ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ΅ΠΉΠ΅ΡΡΡΡΠ°ΡΡΠ°-ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡΠ±ΡΠΎΡΠ°.
Π ΠΈΡ. 6. ΠΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ:
Π°? D=1,2; Π± — D=1,4; Π² — D=1,6
Π. ΠΠ°Π΄ΠΆΡΠΌΠ΄Π°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» ΡΠ²ΡΠ·Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π’Π°ΠΊ, ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ Ρ ΠΈ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ S (Ρ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ΠΠ΄Π΅ΡΡ min ΠΈ max — Π½ΠΈΠ·ΡΠ°Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΡ.
Π ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΡ) ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΡ, Ρ. Π΅. Ρ = Rq. ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΠ° ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠΏΠ°), Π° Π½ΠΈΠ·ΡΠ°Ρ — Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ.
ΠΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ΅ΠΉΠ΅ΡΡΡΡΠ°ΡΡΠ°-ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡΠ±ΡΠΎΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ Ρ = Rq, ΠΈ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Ρ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ:
Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ Π±ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΡΠΎΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΠ»Ρ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ G (ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Π. ΠΠ°Π²Π΅Π»Π΅ΡΠΊΡ) ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΎΡ G=9,9Β· 10−16 Π΄ΠΎ 1,2Β· 10−2 ΠΌΠΊΠΌ.
ΠΡΠΈ =1,5; Rq=1,5 ΠΌΠΊΠΌ; D=1,1; min=1/8 ΠΌΠΊΠΌ ΠΈ min=1/400 ΠΌΠΊΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ G=6,27Β· 10−7.
ΠΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Rq ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ D ΠΈ, ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ G Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½:
Rq, ΠΌΠΊΠΌ | 0,5 | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 | |
G, ΠΌΠΊΠΌ | 1,062Β· 10−11 | 1,088Β· 10−8 | 1,114Β· 10−5 | 6,422Β· 10−4 | 1,1Β· 10−2 | |
Π ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΠ°Π²Π΅Π»Π΅ΡΠΊΡ ΠΈ Π’ΡΠ΄ΠΎΡΠ° (D.Pavelescu, A. Tudor) ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° Π² ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ².
Π ΡΠ°Π±Π». 1 ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΠΈ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 1
Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΠΈ
Π€ΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ | Π‘ΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ | |
Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ | ||
D0 — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ? ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΌΠΊΠΌ-1 | ||
Π Π°Π΄ΠΈΡΡ Π·Π°ΠΊΡΡΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ Π²ΡΡΡΡΠΏΠΎΠ² | ||
a — ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΡΡΠ½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠ°, ΠΌΠΊΠΌ2 | De — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΌΠΊΠΌ-1 | |
Π ΡΠ°Π±Π». 2 ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ (ΠΏΠΎ Π―.Π. Π ΡΠ΄Π·ΠΈΡΡ) ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΠΈ: Rq — ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ, Ra — ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Rmax — Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²ΡΡΠΎΡΠ° Π½Π΅ΡΠΎΠ²Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, n (0), m, s — ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ, ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠ², ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±ΠΎΠ² Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ.
Π€ΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
Π³Π΄Π΅ Ρz — ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ; q>1 — ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ-ΡΠ°ΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ; D — ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ (2
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 2
Π‘ΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΠΎΡΡΠΈ
ΠΠΈΠ΄ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ | Rq, ΠΌΠΊΠΌ | Ra, ΠΌΠΊΠΌ | Rmax, ΠΌΠΊΠΌ | n (0), ΠΌΠΌ-1 | m, ΠΌΠΌ-1 | s, ΠΌΠΌ-1 | |
ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ | 3,25 1,70 1,19 0,73 | 2,51 1,37 0,89 0,56 | 11,19 4,25 2,42 1,66 | ||||
ΠΡΡΠ³Π»ΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ | 0,29 0,14 | 0,23 0,11 | 0,79 0,34 | ||||
ΠΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΊΠ° | 0,13 | 0,11 | 0,38 | ||||
Π‘ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ cz ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (Π.Π. ΠΠΎΡΠ°ΠΏΠΎΠ², Π.Π. ΠΠ°ΠΊΡΡΠ½ΡΠΊΠΈΠ½)
.
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π² ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ, ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Ρ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Z (x, y) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΡΡΠΎΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π² Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ , Π΅ΡΠ»ΠΈ N ΠΈ M Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈ.
ΠΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π±Π΅Π· ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΈnm ΠΈ ΠΏΡΠΈ N=M=4, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π½Π° ΡΠΈΡ. 7 ΠΈ 8.
Π ΠΈΡ. 7. ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ N=M=20; q=2,7: Π° — D=2,5; Π± — D=2,2
Π ΠΈΡ. 8. ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ N=M=5; q=2,7: Π° — D=2,5; Π± — D=2,2
1. ΠΡΡΠ°ΠΊΠΎΠ² Π. ΠΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΡΡΠΎΡ Π°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π₯ΡΡΡΡΠ° / Π. ΠΡΡΠ°ΠΊΠΎΠ², Π. ΠΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ // Computer Modelling and New Technologies. — 200 — Vol.9. — № 2. — 27−32.
2. Sayles R.S. Surface topography as a nonstationary random process / R.S. Sayles, T.R. Thomas // Nature. — 1978. — 271. — 431−434.
3. ΠΠ°Π΄ΠΆΡΠΌΠ΄Π°Ρ Π. Π€ΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΡΠΏΡΡΠ³ΠΎΠΏΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠ° ΡΠ΅ΡΠΎΡ ΠΎΠ²Π°ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ / Π. ΠΠ°Π΄ΠΆΡΠΌΠ΄Π°Ρ, Π. ΠΡ ΡΡΠ°Π½ // Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½ΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅.? 1991.? № 6.? Π‘. 11−23.
4. Pavelescu D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors/D/ Pavelescu, A. Tudor // Proceedings of the Romanian Academy, Ser. A. — 2004. -Vol. — № 2.
5. Π ΡΠ΄Π·ΠΈΡ Π―. Π. ΠΠΈΠΊΡΠΎΠ³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ / Π―. Π. Π ΡΠ΄Π·ΠΈΡ.- Π ΠΈΠ³Π°: ΠΠ·Π΄-Π²ΠΎ «ΠΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π΅», 197−210 Ρ.
6. ΠΠΎΡΠ°ΠΏΠΎΠ² Π. Π. Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ»Π½ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΡΡΠΎΠΏΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡΡ / Π. Π. ΠΠΎΡΠ°ΠΏΠΎΠ², Π. Π. ΠΠ°ΠΊΡΡΠ½ΡΠΊΠΈΠ½ // ΠΠ΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΡ. — 2008. — Π’. 6. — № 1. — Π‘. 3−36.