Стереографическая проекция и астролябия

ВВЕДЕНИЕ

В математике часто пользуются проектированием фигур на плоскость. Для получения изображения фигуры при таком проектировании следует выбрать в пространстве точку, называемую центром проекции, соединить эту точку прямыми со всеми точками проектируемой фигуры и найти точки пересечения этих прямых с данной плоскостью; полученное изображение называется проекцией фигуры на данную плоскость.

Если проектируемая фигура — окружность, то ее проекция — линия пересечения плоскости с поверхностью, состоящей из прямых, проходящих через центр проекции и точки окружности. Такая поверхность называется круговым конусом, прямым, если перпендикуляр, опущенный из центра проекции на плоскость окружности, падает в ее центр, и наклонным в остальных случаях. Линии пересечения такой поверхности с плоскостью, вообще говоря, не являются окружностями, эти линии называются коническими сечениями и, если секущая плоскость не проходит через вершину конуса, бывают кривыми линиями трех видов: эллипса ми, если эти линии замкнуты, парабола-м и, если эти линии состоят из одной ветви, простирающейся в бесконечность, и гиперболами, если эти линии состоят из двух ветвей, простирающихся в бесконечность (в предположении, что прямые, соединяющие вершину конуса с данной окружностью, бесконечные); окружности можно рассматривать как частный случай эллипсов.

Однако имеется одна замечательная проекция, при которой окружности всегда проектируются в виде окружностей или прямых линий. Такую проекцию мы получим, если будем рассматривать только такие окружности, которые лежат на некоторой сфере (такие окружности являются линиями пересечения этой сферы с плоскостями), за центр проекции примем одну из точек той же сферы, а за плоскость проекции примем плоскость, касающуюся сферы в диаметрально противоположной точке или любую параллельную ей плоскость, не проходящую через центр проекции. В том случае, когда плоскость окружности проходит через центр проекции, она проектируется в виде прямой линии, в остальных слу-чаях окружность на сфере проектируется в виде окружности на указанной плоскости. Эта проекция обладает и другим неожиданным свойством — углы между линиями на сфере в этой проекции изображаются равными им углами между линиями на плоскости. Третьим важным свойством этой проекции является то, что при повороте сферы вокруг диаметра, проходящего через центр проекции, проекции на плоскость всех фигур на сфере поворачиваются вокруг точки пересечения этой плоскости с диа-метром сферы, и притом на тот же угол.