ВВЕДЕНИЕ
Первобытный человек познавал простейшие геометрические истины из опытов и жизненных наблюдений, например, что кратчайшее расстояние есть прямая линия. По мере развития человеческой мысли, наблюдений и исследований, накапливались знания, служившие непосредственно для жизненных потребностей. Еще задолго до нашей эры люди умели вычислить достаточно точно длину окружности, измерив ее диаметр, умели вполне точно определить объем усеченной пирамиды и т. д., но все такие знания оставались разрозненными и не имели логического обоснования, пока этого не сделал греческий математик Евклид в третьем веке до нашей эры. Он изложил все накопленные к тому времени геометрические знания в строгой логической системе, именно так, как мы знаем геометрию по школьному курсу. Труд Евклида «Начала» и по настоящее время служит (конечно, в переводе) в некоторых английских школах учебником геометрии.
После Евклида геометрия обогатилась сравнительно немногими новыми истинами, система построения и изложения курса геометрии оставалась неизменною, и до XIX века нашей эры никто не сомневался в том, что геометрия Евклида единственно и абсолютно истинная, что она учит нас действительным свойствам мирового пространства.
В системе Евклида есть уязвимое место, замеченное еще греческими математиками, последователями Евклида. Именно, пятый постулат Евклида, равносильный постулату, что через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой, — не представляет собой аксиомы. Между тем означенный постулат является исходной точкой для теории параллельных прямых и всего последующего курса геометрии. Все попытки трактовать пятый постулат Евклида как теорему и, следовательно, дать его доказательство окончились неудачей.
Вопрос о значении постулатов в геометрии привлек к себе в первой половине прошлого столетия заостренное внимание математиков, и Лобачевскому удалось сделать одно из величайших в науке открытий. Лобачевский не пошел по старому пути попыток доказать пятый постулат Евклида, а заменил этот постулат ему противоположным и построил новую геометрию, логически безупречно стройную. Не предвидя практического значения новой геометрии, Лобачевский назвал ее «воображаемою». Это название по существу неправильно, так как геометрия Лобачевского столь же воображаемая, как геометрия Евклида или другие геометрии, которые возникли после трудов Лобачевского. Главная научная заслуга Лобачевского заключается в расширении и углублении понятия о пространстве и его свойствах. Лобачевский показал, что логически мыслимы пространства, обладающие другими свойствами, чем те, которые известны из геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника менее двух прямых.
