Приближение нелинейных функционалов на пространствах с мерами

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Тематика работы находится на стыке теории меры, функционального анализа и теории вероятностей и затрагивает три направления, в которых возникают задачи, связанные с приближением функционалов на пространствах с мерами. Первое направление относится к классической задаче Монжа-Канторовича о перемещении масс (называемой также транспортной задачей). Эта задача была поставлена Монжем еще в 1781 году, но значительно развитие эта тематика получила только после работ JI.B. Канторовича в 40-х годах прошлого столетия (см.1'2'3). Канторович предложил новый подход к задаче Монжа, поставив более широкую задачу, тесно связанную с первоначальной. К ней оказались применимы идеи разработанной Канторовичем теории линейного программирования. Связь задач Монжа и Канторовича выражена, в частности, тем фактом, что минимум функционала в задаче Канторовича совпадает с инфимумом функционала в задаче Монжа. В последние два десятилетия в этом направлении появились новые плодотворные идеи, в том числе в, работах М. Талаграна4, Я. Бренье5, Р. Маккэна6. Эти исследования положили начало обширной математической теории, имеющей яркие приложения в теории вероятности, функциональном анализе, дифференциальных уравнениях, физике, метеорологии. Систематическое изложение этой теории можно найти в книгах7'8'9. В диссертации.

Monge G. Memoire sur la Theone des Deblais et des Remblais. Hist. Acad. Sci. Paris, 1781.

Канторович JI.B. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 7−8. С. 227−229.

Канторович Л.В. О задаче Монжа. Успехи матем. наук. 1948. Т. 3. С. 225−226.

Talagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal. 1996. V. 6. P. 587−600.

Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 375−417.

Gangbo W. McCann R.J. The geometry of optimal transportation. Acta Math. 1996. V. 177. P. 113 161.

7Rachev S.T., Ruschendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2 Springer, New York, 1998.

Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.

Villani C. Optimal transport, old and new. Springer, New York, 2008. установлено совпадение инфимума Монжа и минимума Канторовича в случае вполне регулярных топологических пространств с метризуемыми компактами и непрерывной неотрицательной функции стоимости. Этот результат обобщает теорему итальянского математика Прателли10, в которой равенство установлено для полных сепарабельных метрических пространств.

Второе из указанных трех направлений связано с приближением нелинейных интегральных функционалов. Такие проблемы возникают во многих приложениях (см.11'12,13). В частности, в работах14'15 при помощи таких приближений определяется функционал, называемый грубой энтропией, который является измененным вариантом энтропии Гиббса. Грубая энтропия задается как энтропия условного математического ожидания функции при условии конечного разбиения. С помощью грубой энтропии можно попытаться решить некоторые теоретические проблемы, связанные с энтропией Гиббса. Например, во многих конкретных динамических системах имеется рост грубой энтропии с течением времени, причем характер роста определяется динамическими свойствами системы. При этом важным оказывается вопрос сходимости грубой энтропии при измельчении разбиения. Грубая энтропия не всегда приближает энтропию Гиббса. Для сходимости необходимы дополнительные условия на исходное пространство с мерой. Естественно возникает вопрос о приближении указанным способом функционалов более общего вида. lOpratelli A. On the equality between Monges’s infimum and Kantorovich’s minimum in optimal mass transportation. Annales Inst. H. Ротсагё (В). 2006. V. 43, N 1. P. 1−13.

Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. НИЦ &bdquo-Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, Москва — Ижевск, 2008.

Красносельский М.А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Наука, М., 1966.

Левин B.JI. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике. Наука, М., 1985.

Козлов В.В., Трещев Д. В. Тонкая и грубая энтропия в задачах статистической механики. Теорет. матем. физ. 2007. Т. 151, N 1. С. 120—137.

Treschev D., Piftankin G. Gibbs entropy and dynamics. Chaos (Amer. Inst, of Physics). 2008. V. 18, N 2. P. 1−11.

В диссертации рассматривается широкий класс функционалов, включающий энтропию. Для функционалов из этого класса вводятся естественные приближения, определяемые подстановкой в функционал условного математического ожидания исходной функции. Устанавливаются достаточные условия сходимости этих приближений.

Наконец, последнее из упомянутых выше трех направлений связано с понятием независимости случайных величин. При построении систем независимых случайных величин на заданном вероятностном пространстве возникают препятствия, которые носят фундаментальный характер. В случае, когда вероятностное пространство есть отрезок с мерой Лебега, одно из таких препятствий было обнаружено итальянским математиком Г. Оттавиани в 1947 году (см.16). Препятствие заключается в том, что если в системе независимых случайных величин имеется хотя бы одна абсолютно непрерывная функция, то все остальные окажутся функциями с конечным числом значений. Если же в системе есть две непрерывные функции / и д, то / должна принимать все свои значения на любом непустом прообразе вида д1(а), где, а — число (см. 17'18). Эти результаты частично объясняют, почему не существует классических систем независимых случайных величин из непрерывных функций, задаваемых простыми формулами, и почему в качестве простейших систем независимых случайных величин на отрезке приходится рассматривать системы функций типа Радемахера. Свойство абсолютной непрерывности не имеет аналогов в случае общих вероятностных пространств, и для таких пространств не было известно аналогов теоремы Оттавиани. Кроме того, не была ясна роль абсолютной непрерывности даже в случае отрезка. В диссертации обнаружено свойство, которое отвечает за то, что с данным отображением могут быть независимы только отображения с.

Ottaviani G. Sulla independenza delle funzioni misurabili. Atti Accad. Lincei. Rend. CI. sci., fis. mat. e natur. Roma. 1947. V. 2. P. 393−398.

Sengupta, H.M. On continuous independent functions. Q. J. Math., Oxf. Ser. 1948. V. 19. P. 129−132.

Sengupta, H.M. On continuous semi-independent functions Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 1954. V. 5, P. 172−174. конечным числом значений. Это свойство формулируется для общих вероятностных пространств. В случае отрезка оно следует из абсолютной непрерывности.

Цель работы. Исследовать связь задач Монжа и Канторовича в случае мер на общих топологических пространствах. Исследовать сходимость конструктивных приближений нелинейных интегральных функционалов. Изучить условия существования нетривиальных случайных величин на заданном вероятностном пространстве, независимых с данной случайной величиной.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для заданной случайной величины на вероятностном пространстве дано достаточное условие общего вида, при котором не существует нетривиальных случайных величин, независимых с данной случайной величиной.

2. Доказано совпадение инфимума Монжа и минимума Канторовича в случае вполне регулярных топологических пространств с метризуемыми компактами и неограниченной ценовой функции.

3. Получено достаточное условие сходимости приближений при помощи условных математических ожиданий для нелинейных интегральных функционалов типа энтропии.

Методы исследования. В работе применяются методы теории меры, функционального анализа, топологии, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, нелинейного анализа, теории случайных процессов и их приложений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре &bdquo-Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Бо-гачева и Н. А. Толмачева (2004;2009 гг.), на семинаре в Пекинском Нормальном университете (2007 г.), на международном семинаре &bdquo-Бесконечномерный стохастический анализ" в университете города Билефельда (Германия, 2005;2008 гг.) и на международной конференции &bdquo-Стохастический анализ и случайные динамические системы", посвященной 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова (Львов, Украина, 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (одна из них в соавторстве), из них 3 в журналах из перечня ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 7 параграфов, и списка литературы из 31 наименования. Общий объем диссертации составляет 56 страниц.

1. Александров А. Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб. 1939. Т. 6, N 48, в. 1. С. 167−174.

2. Богачев В. И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.

3. Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. Регулярная и хаотическая динамика, Москва Ижевск, 2006.

4. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. Регулярная и хаотическая динамика, Москва Ижевск, 2008.

5. Канторович JI.B. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 7−8. С. 227−229.

6. Канторович JI.B. О задаче Монжа. Успехи матем. наук. 1948. Т. 3. С. 225−226.

7. Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. НИЦ &bdquo-Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, Москва Ижевск, 2008.

8. Козлов В. В., Трещев Д. В. Тонкая и грубая энтропия в задачах статистической механики. Теорет. матем. физ. 2007. Т. 151, N 1. С. 120—137.

9. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Б. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Наука, М., 1966.

10. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике. Наука, М., 1985.

11. Судаков В. Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976. Т. 140. С. 1−190.

12. Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 375−417.

13. Evans L.C. Gangbo W. Differential equations methods for the Monge-Kantorovich mass transfer problem. Mem. Amer. Math. Soc. 1999. V. 137, N 653.

14. Gangbo W. The Monge mass transfer problem and its applications. Contemp. Math. 1999. V. 226, P. 79−104.

15. Gangbo W. McCann R.J. The geometry of optimal transportation. Acta Math. 1996. V. 177, P. 113−161.

16. McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J. 1995. V. 80. P. 309−323.

17. Monge G. Memoire sur la Theorie des Deblais et des Remblais. Hist, de l’Acad. des Sciences de Paris, 1781.

18. Ottaviani G. Sulla independenza delle funzioni misurabili. Atti Accad. Lincei. Rend. CI. sci., fis. mat. e natur. Roma. 1947. V. 2. P. 393−398.

19. Pratelli A. On the equality between Monges’s infimum and Kantorovich’s minimum in optimal mass transportation. Annales de l’lnstitut Henri Poincare. 2005. V. 43, N 1, P. 1−13.

20. Pratelli A. Existence of optimal transport maps and regularity of the transport density in mass transportation problems. PhD Thesis, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy, 2003. http://cvgmt.sns.it.

21. Rachev S.T., Rtischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2 Springer, New York, 1998.

22. Sengupta H. M. On continuous independent functions. Quart. J. Math., Oxford Ser. 1948, V 19, P. 129−132.

23. Sengupta, H.M. On continuous semi-independent functions Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 1954. V. 5, P. 172−174.

24. Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal. 1996. V. 6, P. 587−600.

25. Treschev D., Piftankin G. Gibbs entropy and dynamics. Chaos (American Institute of Physics). 2008. V. 18, N 2. P. 1−11.

26. Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.

27. Villani C. Optimal transport, old and new. Springer, New York, 2008. Работы автора по теме диссертации.

28. Липчюс А. А. Одно свойство независимых отображений. Теория вероятностей и её применения. 2005. Т. 49, N 2. С. 333−336.

29. Липчюс А. А. Замечание о равенстве в задачах Монжа и Канторовича. Теория вероятностей и её применения. 2006. Т. 50, N 4. С. 689−693.

30. Lipchyus А.А. Approximation of entropy type nonlinear functionals of probability densities. Abstracts of the International Conference «Stochastic analysis and random dynamics», 14−20 June, 2009, Lviv, Ukraine, P. 146.

31. Богачев В. И., Липчюс А. А. Приближение нелинейных интегральных функционалов. Доклады РАН. 2009. Т. 428, N 6. С. 727−732.