1.1. Исторический обзор
Теория оптимального восстановления — это раздел теории приближений, посвященный решению задач, связанных с приближением линейных функционалов, или, в более общем случае, линейных операторов по точной или приближенной информации о них. При этом методы приближения, или, как принято их называть, восстановления, выбираются, исходя из условия максимально полного использования доступной информации. Идея такого подхода берет свое начало от работ А. Н. Колмогорова 1930;х годов [1], где предлагалось рассматривать наилучшие методы приближений, обслуживающие все объекты данного класса.
Впервые точная постановка задачи оптимального восстановления была сформулирована С. А. Смоляком [2]. Им же был получен первый результат в этой постановке — утверждение, что для централь-носимметричного и выпуклого класса функций среди оптимальных методов восстановления функционала существует линейный метод. В дальнейшем это г результат обобщался многими авторами: А.Г. Мар-чуком, К. Ю. Осипенко [3], К. Ю. Осипенко [4], O.A. Michelli, T.J. Rivlin [5], B.B. Арсстовым [6] и другими.
В некотором смысле окончательный результат — необходимые и достаточные условия существования линейного оптимального метода — был получен Г. Г. Магарил-Ильяевым и К. Ю. Осипенко [7].
Результаты, касающиеся восстановления линейных операторов, пока не носят столь общего характера. Здесь, как правило, удается построить оптимальные методы восстановления лишь для операторов, действующих на евклидовых пространствах. Первые результаты подобного рода были получены в работах [5] (восстановление по точной информации) и [8] (восстановление по информации, заданной с погрешностью). Подход, основанный па применении к задачам восстановления линейных операторов общей теории экстремума, разрабатывался Г. Г. Магарил-Ильяевым и К. Ю. Осипенко [9], [10].
Применение общей теории восстановления линейных операторов к задачам восстановления решений уравнений математической физики было начато сравнительно недавно в работах [11], [12], [13].
1. Kolmogorov А. N. Uber die beste Annaherung von Functionen einer gegebenen Functionenklasse, Ann. of Math., 37(1936), 107−110.
2. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функции и функционалов or них, кандид. дисс., МГУ, 1965 г.
3. Марчук А. Г., Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек, Матем. заметки, 17:3 (1975), 359−368.
4. Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениям в конечном числе точек, Матем. заметки, 19:1 (1976), 29−40.
5. Micchelli С. A. and Rivhn Т. J. A Survey of Optimal Recovery, Optimal Estimation in Approximate Theory, Plenum Press, New York, 1977, 1−54.
6. Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи, Тр. Мат. иститута АН СССР, 189 (1989), 3−20.
7. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным, Матем. заметки, 50:6 (1991), 85−93.
8. Meikman A. A. and Micchelli С. A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbcrt Spases from Inacurate Data, SIAM J. Numer. Anal., 16 (1979), 87−105.
9. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью, Функ. анализ и его прил., Матем. сб., 193:3 (2002), 79−100.
10. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных, Функ. анализ и его прил. 37(2003), 51−64.
11. Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным, Владикавказский мат. oicypn., 6 (2004), вып. 4, 55−62.
12. Buck H. Д., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным // Матем. заметки. 81 (2006), вып.6, 803−815.
13. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданно]" ! температуре в различные моменты времени, Владикавказский мат. журн., 8 (2006), вып. 1, 16−21.
14. Wedenskaya Е. V. Optimal recovery of linear ordinary differential equations system solutions with self-adjoined matrix of constant coefficients and simple eigenvalues, Extremal Problems in Complex and Real Analysis, Albany, NY, 2007, 52.
15. Osipenko K. Yu., Wedenskaya E. V. Optimal recovery of solutions of the generalized heat equation in the unit ball from inaccurate data, J. Complexity, 23 (2007), 4−6, 653−661.
16. Введенская E. В. Об оптимальном восстановлении последовательности, заданной неточно, Труды международной конференции «Крымская осенняя математическая школа-симпозиум 2007, «Спектральные и эволюционные задачи», 18 (2008), 52−53.
17. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения, 45 (2009), вып. 2, 255−259.
18. Osipenko К. Yu., Stessin М. I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions, Constr. Approx., 2010, 31, 1, 37−67.
19. Осипенко К. Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа для аналитических ¦ функций из пространств Харди-Соболева, Мат. сб., 197 (2006), вып. 3, 15−34.
20. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных, М., Наука, 1983.
21. Стейн И., Вейс Дою.
Введение
в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М., Мир, 1974.
22. Под редакцией М. Абрамовица и И. Стиган, пер. с англ. под ред. В. А. Диткипа и Л. Н. Кармазипой, Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, М, Наука, 1979.
23. Тайков Л. В. Неравенс гва типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования, Матем. заметки, 4:2 (1968), 233−238.
24. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление значений функций и их производных на прямой по неточно заданному преобразованию Фурье, Мат. сб., 195:10 (2004), 67−82.
