Численное моделирование нестационарных течений реагирующего газа с явным выделением произвольного числа взаимодействующих разрывов

Разработка численных схем для расчёта разрывных решений законов сохранения газовой динамики — тема, интенсивно развивающаяся в течение последних десятилетий. Характерной особенностью течений невязкого газа около тел или в каналах сложной формы является взаимодействие ударных волн и других газодинамических разрывов. При численном решении подобных задач используются два основных типа разностных схем: 1) схемы сквозного счета, 2) схемы с выделением разрывов.

Оба подхода имеют определенные преимущества и недостатки. При использовании методов сквозного счета [22,29,33,38,82−83] все разрывы в исследуемом течении размазываются, т. е. представляются в виде конечных областей изменения параметров потока. Даже самые современные методы «сквозного счета» (TVD [39,40,77−81], UNO [41], ENO [42], WENO [43] и др.) «размазывают» ударную волну и контактные разрывы, особенно разделяющие газы с существенно различающимися свойствами, на 2−3 ячейки разностной сетки. Величина этого размазывания определяется размером расчетных ячеек. В схемах сквозного счета алгоритмы, как правило, весьма просты, единообразно описывают все поле течения и позволяют без серьезной модификации решать широкий круг задач. Однако точность таких схем не всегда бывает удовлетворительной. Кроме того, измельчение расчетной сетки, необходимое в области разрыва, приводит к значительному росту времени счета [29,39−40]. Схемы сквозного счета развиваются в направлении повышения порядка аппроксимации. Они используют отдельные черты схем с выделением разрывов для улучшения качества решения: измельчение сетки в области разрыва при сохранении ее в области непрерывного течения, увеличения порядка аппроксимации в области больших градиентов.

Методы явного выделения разрывов существенно повышают эффективность расчета. Основные принципы построения таких численных методов были разработаны еще 40 лет назад, причем примеры их применения подтвердили их высокую эффективность [5]. Из-за укоренившегося убеждения, что явное выделение поверхностей разрывов в потоке — это очень трудоемкий и плохо формализуемый процесс, число исследований, проведенных с использованием таких методов, крайне незначительно. Как правило, в них реализовано явное выделение ограниченного числа наиболее сильных ударных волн [24].

Связанное с выделением разрывов усложнение алгоритмов оправдывается не только ростом точности, но и сокращением времени счета. Отметим, что основное усложнение алгоритмов в этих подходах относится к прохождению разрыва. Поэтому смягчение основного недостатка, т. е. сложности алгоритма, следует искать на пути упрощения счета в окрестности разрыва.

Методы с явным выделением поверхностей разрывов позволяют легко строить адаптивные разностные сетки, состоящие как из неподвижных, так и подвижных узлов. Последние могут двигаться вдоль траекторий выделяемых сильных и слабых разрывов, траекторий газа (линий тока), подвижных границ и т. п. Это позволяет получать на сравнительно грубых сетках как общую картину течения, так и отдельные ее детали.

В литературе существуют два направления. Первое называется «скачок как граница». Вся область течения разбивается на подобласти, разделенные разрывами, либо границами другого типа. В различных подобластях используются различные сетки. Таким способом почти всегда решались задачи внешней аэродинамики [1−4] и решаются другие задачи [5]. Во втором направлении используется термин «плавающий скачок». При таком подходе разностная сетка фиксируется заранее. Ударные волны и другие разрывы могут двигаться по сетке. Специальный алгоритм должен следить за траекторией разрывов. Это второе направление представляется более универсальным. Оно развивалось в работах [6−11].

В [12] изложен способ построения разрывных нестационарных решений, обеспечивающий выделение всех, имеющих значение для данного расчета, разрывов решения и его производных. В предлагаемой схеме автоматически выполняется достаточное условие устойчивости, что гарантирует монотонность численного решения [15, 18]. Так же, имеет место аппроксимация законов сохранения на всём решении, что обеспечивает локализацию разрывов (отсутствие их «размазки «). По сложности алгоритм находится на уровне схем «сквозного» счёта, не использующих громоздкого сглаживания, и в этом смысле качественно отличается от предлагавшихся ранее способов расчёта с выделением разрыва.

Структура метода в некоторой степени повторяет известный прямой характеристический способ с той разницей, что вместо традиционных квазилинейных используются обобщённые характеристики [15]. Соответственно, роль характеристического преобразования квазилинейных уравнений выполняет распад произвольного разрыва для законов сохранения. Эта процедура используется не только при вычислении потоков и оценки допустимого шага по времени, но и для непосредственного построения сетки и решения. Она заменяет дивергентные законы сохранения системой обобщённо-характеристических соотношений. При этом в каждое соотношение входит только одна функция (плотность, импульс, энергия единицы объёма) и обобщённо-характеристические скорости, общие для всей системы уравнений (скорости обобщённых характеристик, возникающие при распаде произвольного разрыва).

В [13] разработан метод расчета течений невязкого газа с разрывами. Численная схема основана на явном выделении ударных волн и тангенциальных разрывов. Используется простой алгоритм выделения. В области непрерывного течения уравнения Эйлера решаются с помощью известной схемы Мак-Кормака, а прохождение ударных волн осуществляется явно с использованием условий Ренкина-Гюгонио.

Здесь в рамках концепции плавающего скачка предлагается новый подход к численному решению уравнений газовой динамики в окрестности разрывов. Разностная сетка не связана с разрывами, которые «плавают» по сетке в процессе счета. Главный принцип состоит в такой записи исходных уравнений, для которой при переходе через разрыв можно ограничиться разностной аппроксимацией производных непрерывных комплексов искомых функций. Недостающие переменные определяются из подходящих алгебраических соотношений. Движение разрыва по сетке рассчитывается известными методами (см., например, [14]). Можно предположить, что этот принцип является общим для любых газодинамических разрывов, т. е. таких, на которых выполняются определенные алгебраические соотношения между искомыми переменными.

Метод применяется к расчету стационарных сверхзвуковых двумерных течений с ударными волнами и тангенциальными разрывами. Допустимо обобщение на многомерные течения.

Процессы, протекающие во многих реальных установках, могут быть описаны в рамках квазиодномерного нестационарного приближения [23−29]. Построение экономичных схем расчета невозможно без серьезного анализа свойств и особенностей численно решаемых уравнений. Квазиодномерные нестационарные дифференциальные уравнения динамики течений реагирующего газа по типу относятся к гиперболическим и имеют три семейства характеристик [30−35]: звуковые характеристики и траектории газа. Вдоль них выполняются соотношения, которые записываются в полных дифференциалах. Соотношения, выполняемые вдоль звуковых характеристик, связывают дифференциалы скорости, давления газа и времени, коэффициенты при дифференциалах зависят от параметров, характеризующих газ. Вдоль траектории газа выполняются соотношения, число которых на единицу больше, чем количество компонент смеси. Первое из соотношений устанавливает связь между дифференциалами внутренней энергии, плотности газа и времени, причем коэффициенты при дифференциалах тоже зависят от параметров, характеризующих газ. Остальные — отвечают за изменение соответствующей концентрации вдоль траектории, которое может происходить за счет химических реакций. Таким образом, в каждой точке пространства приходится решать три уравнения газовой динамики и систему уравнений химической кинетики, число которых равно числу компонент газовой смеси. Реальные кинетические механизмы могут содержать более десяти компонент и несколько десятков реакций. Причем правые части уравнений химической кинетики содержат большое число экспонент, пропорциональное количеству элементарных стадий. Поэтому при решении уравнений реагирующей газовой динамики обычно девяносто процентов время тратится на интегрирование уравнений химической кинетики [29].

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что при расчете параметров газа в качестве сеточных линий в областях, занятых реагирующим газом, целесообразно использовать линии, совпадающие с траекториями газа. Такой выбор расчетной сетки позволяет существенно сократить количество интерполируемых величин, а также использовать высокоточные и высокоскоростные численные методы для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений химической кинетики [36,37].

Актуальность темы

.

Течения многокомпонентного газа при наличии химических превращений, колебательного и электронного возбуждения молекул реализуются во многих современных технологических устройствах и перспективных энергетических установках. В настоящее время с развитием вычислительной техники существенно возросла роль математического моделирования, как альтернативы и дополнения к физическому эксперименту. Математическое моделирование позволяет выявить детальную структуру течения, которую физически невозможно наблюдать в экспериментальных исследованиях. Разработка высокоточных и экономичных методов, позволяющих моделировать течения газа с физико-химическими превращениями при наличии в поле течения сильных разрывов (ударных волн, контактных разрывов), является актуальной практически важной задачей. Не смотря на развитие многомерных методик моделирования, одномерные модели сохранили свою важность, в частности они позволяют путем сравнения численных и экспериментальных результатов верифицировать модели, описывающие неравновесное протекание химических превращений в газовой фазе, которые в дальнейшем могут быть использованы при моделировании работы реальных перспективных установок, например детонационного двигателя.

Пели работы.

Разработка вычислительных алгоритмов квазиодномерных нестационарных течений реагирующего газа с явным выделением взаимодействующих разрывов.

Разработка комплекса программ, позволяющего исследовать газодинамические течения с ударными и детонационными волнами, выделять их тонкие структуры, отслеживать распространение возмущений, определять места зарождения газодинамических разрывов.

Проведение широкомасштабного вычислительного эксперимента для получения высокоточных решений задач физической газовой динамики, а также с целью исследования неравновесных физических процессов, таких как: химическая кинетика, колебательная релаксация, детонация и другие.

В соответствии с вышесказанным в диссертации поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка вычислительных алгоритмов и комплекса программ для численного моделирования квазиодномерных нестационарных течений для моделирования многокомпонентного произвольного числа многокомпонентного реагирующего газа, с явным выделением произвольного числа взаимодействующих разрывов.

2. Разработка структуры хранения выходных данных и подсистемы визуализации результатов численного решения гиперболических двумерных разрывных задач математической физики на подвижных неструктурированных сетках, в том числе и для случая пересекающихся сеточных линий.

3. Исследование влияния колебательной релаксации и электронного возбуждения молекул на структуру ударной волны в кислороде.

4. Исследование процессов инициирования и развития детонации в ударных трубах. Проведение численного моделирования серии экспериментов по измерению задержек воспламенения сильно разбавленных аргоном водородо-кислородных смесей (3−5%) в ударных трубах за падающими ударными волнами.

Научная новизна.

1. Разработаны вычислительные алгоритмы и программный комплекс, позволяющие решать одномерные нестационарные уравнения физической газовой динамики с точным выделением областей непрерывного и разрывного течений. Сеточными линиями в разработанной методике моделирования являются: траектории газа, ударные волны, контактные разрывы, характеристики и фиксированные точки.

2. Разработаны и апробированы алгоритмы, решающие задачи, которые возникают при пересечении сеточных линий друг с другом, в том числе решена задача о зарождении ударной волны, в результате пересечения характеристик одного семейства.

3. На примере расчета течения за сильной ударной волной в кислороде показана применимость разработанных методик к численному моделированию течений с колебательной релаксацией и электронным возбуждением.

Исследована зависимость длин зон температурной и химической неравновесности от числа Маха ударной волны.

4. На примере расчета нестационарного течения в ударной трубе, заполненной горючей смесью водород-кислород-аргон показана применимость разработанных методик к численному моделированию течений при наличии детонации. Получена детальная картина течения, которая включает: распад разрыва на границе инертный газ — горючая смесь, образование и распространение волны воспламенения, взаимодействие волны воспламенения с ударной волной, образование нестационарной пересжатой детонационной волны, переход от нестационарной к стационарной пересжатой детонационной волне. Исследована зависимость времени задержки воспламенения горючей смеси от начального давления и степени разбавления аргоном.

5. Разработаны алгоритмы и комплекс программ для прецизионной визуализации результатов численного моделирования на существенно нерегулярных сетках: сеточные линии могут пересекаться, исчезать, зарождаться в процессе расчета. Комплекс программ позволяет строить временные развертки течения, графики параметров течения в различные моменты времени, а также вдоль произвольных сеточных линий.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались.

• На XV и XVI международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС) (Алушта, 2007, 2009).

• На VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008) (Алушта, 2008).

• На семинаре НИИМЕХ МГУ по физической газовой динамике (Москва, 2009).

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в 8 опубликованных работах [48−55].

В первой главе диссертационной работы приводятся математическая модель и описание вычислительных алгоритмов для моделирования квазиодномерных нестационарных невязких течений, а также апробация разработанных алгоритмов и комплекса программ на классических задачах нестационарной газовой динамики.

Вторая глава работы посвящена разработке специализированных средств обработки результатов, их анализа и визуализации. Приведено описание комплекса программ, решающего следующие задачи:

1) Хранение, добавление и изменение информации о термодинамических свойствах индивидуальных веществ и кинетических механизмов.

2) Быстрое и однозначное задание начальных данных.

3) Извлечение из расчетных данных информации о каждой функции и каждом параметре, интерполяция данных.

4)Визуализация расчетных данных.

В третьей главе настоящей работы рассматриваются процессы термически неравновесной химической кинетики в ударных волнах при отсутствии равновесия между поступательными и колебательными степенями свободы молекул. Представлены уравнения, описывающие термическую неравновесность. Проведено математическое моделирование неравновесных процессов за фронтом УВ как в стационарном, так и в нестационарном режимах. Приводятся результаты оценки влияния колебательной релаксации на структуру УВ, а также проводится оценка влияния электронного возбуждения молекул на структуру УВ в кислороде. Приводятся результаты оценки влияния электронного возбуждения на распределение параметров течения за стационарной ударной волной.

Четвертая глава посвящена вопросам численного моделирования газовой детонации. Рассмотрена задача об инициировании детонации за отраженной ударной волной в ударной трубе в горючей смеси водорода с кислородом. Проведено численное моделирование серии экспериментов по измерению задержек воспламенения сильно разбавленных аргоном водородо-кислородных смесей (3−5%) в ударных трубах за падающими ударными волнами. Моделирование представлено в стационарной и нестационарной постановках. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными Павлова В. А. (НИИ Механики МГУ).

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 4.

Разработаны и оттестированы методика математического моделирования и комплекс программ для расчета детонационных процессов в многокомпонентных газовых смесях в ударных трубах.

Исследовано влияние числа Маха падающей УВ на параметры течения за отраженной УВ в горючей смеси водорода с кислородом. Расчетным путем получено, что чем больше число Маха падающей УВ, тем быстрее происходит воспламенение горючей смеси на торце УТ и, как следствие, более быстрое образование в горючей смеси висячей ударной волны, оказывающей существенное влияние на развитие детонации.

При моделировании экспериментов в ударной трубе исследована зависимость времени задержки воспламенения горючей смеси от начального давления и степени разбавления аргоном. Сравнение измеренных в ходе эксперимента и рассчитанных численно времен задержек воспламенения сильно разбавленных аргоном водородо-кислородных смесей (3−5%) в ударных трубах за стационарными падающими ударными волнами свидетельствует об их удовлетворительном согласии.

Выявлены режимы существования и отсутствия стационарных детонационных волн в сильно разбавленных аргоном горючих смесях водорода с кислородом.

Расчетным путем получена детальная картина процесса инициирования детонационных волн за падающей УВ в ударных трубах. Картина течения включает: воспламенение горючей смеси у контактного разрыва, образование волны горения, взаимодействие волны горения и головной ударной волны и, как следствие, образование нестационарной пересжатой детонационной волны, переход детонационной волны к стационарному режиму распространения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе получены следующие результаты: Разработана физико-математическая модель, вычислительные алгоритмы и комплекс программ для моделирования квазиодномерных нестационарных течений многокомпонентного невязкого нетеплопроводного реагирующего газа.

Создан вариант сеточно-характеристического метода для расчета нестационарных реагирующих течений произвольных многокомпонентных газовых смесей, с выделением произвольного числа сильных и слабых разрывов параметров течения. Особенностью реализации является то, что все разрывы (ударные волны, контактные разрывы, характеристики, ограничивающие веера волн разряжения) являются сеточными линиями, при этом отслеживаются все возможные взаимодействия между ними, также расчетными узлами являются траектории частиц газа и характеристики.

Разработаны оригинальные формат выходных данных и система визуализации результатов численного моделирования одномерных нестационарных течений многокомпонентного реагирующего газа с произвольным числом взаимодействующих линий разрыва. Особенностью системы визуализации является то, что она ориентирована на работу с данными, соответствующими подвижным сеточным линиям. Причем сеточные линии могут пересекаться между собой, число их может увеличиваться и уменьшаться в процессе расчетов.

Комплекс программ визуализации полностью независим от расчетного модуля, его можно использовать для хранения и визуализации результатов численного решения произвольной физической задачи, описываемой двумерной гиперболической системой дифференциальных уравнений в частных производных. Чтобы использовать программу визуализации разработчику необходимо предусмотреть сохранение данных в файлы описанного выше формата, задать конфигурационные файлы, описывающие структуру расчетных данных, что позволяет программе анализа распознавать их и «настроиться» на произвольное физическое содержание.

Разработаны вычислительные алгоритмы и комплекс программ, позволяющие моделировать тонкую структуру ударных волн в кислороде в ударных трубах в стационарной и нестационарной постановках с учетом колебательной и химической неравновесности, а также электронного возбуждения.

Расчетным путем обнаружено, что при распространении сильных ударных волн в молекулярном газе наблюдается значительное нарушение термического равновесия по колебательным степеням свободы молекул, как в стационарных, так и в нестационарных режимах течения, которое происходит непосредственно за фронтом ударной волны. Это способствует неравновесному возбуждению электронных состояний атомов и молекул и образованию значительных радиационных потоков в ударно-нагретых газах в дополнение к поступательной неравновесности во фронте ударной волны.

Расчеты параметров течения за стационарной ударной волной в молекулярном кислороде проведены с учетом процессов колебательной релаксации и кинетических процессов образования и тушения двух нижних синглетных электронных состояний молекулярного кислорода. Учет ЭВ влияет на результаты расчета состава смеси: происходит наработка кислорода в состояниях, а и Ь, и удлиняется релаксационная зона за фронтом ударной волны.

Разработаны и оттестированы методика математического моделирования и комплекс программ для расчета детонационных процессов в многокомпонентных газовых смесях в ударных трубах.

Исследовано влияние числа Маха падающей УВ на параметры течения за отраженной УВ в горючей смеси водорода с кислородом. Расчетным путем получено, что чем больше число Маха падающей УВ, тем быстрее происходит воспламенение горючей смеси на торце УТ и, как следствие, более быстрое образование в горючей смеси висячей ударной волны, оказывающей существенное влияние на развитие детонации.

При моделировании экспериментов в ударной трубе исследована зависимость времени задержки воспламенения горючей смеси от начального давления и степени разбавления аргоном. Сравнение измеренных в ходе эксперимента и рассчитанных численно времен задержек воспламенения сильно разбавленных аргоном водородо-кислородных смесей (3−5%) в ударных трубах за стационарными падающими ударными волнами свидетельствует об их удовлетворительном согласии.

Выявлены режимы существования и отсутствия стационарных детонационных волн в сильно разбавленных аргоном горючих смесях водорода с кислородом.

Расчетным путем получена детальная картина процесса инициирования детонационных волн за падающей УВ в ударных трубах. Картина течения включает: воспламенение горючей смеси у контактного разрыва, образование волны горения, взаимодействие волны горения и головной ударной волны и, как следствие, образование нестационарной пересжатой детонационной волны, переход детонационной волны к стационарному режиму распространения.