Строение конечной группы и арифметические свойства ее неприводимых представлений

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Представление группы G не имеет кратностей, если оно разлагается в сумму неприводимых представлений группы G с кратностями, не превосходящими единицы. Группы, в которых любой элемент сопряжен со своим обратным, называются вещественными.

Просто приводимыми группами называются вещественные группы, в которых тензорное произведение любых двух неприводимых представлений не имеет кратностей. Будем говорить, что G является S72-rpynnoft, если группа просто приводима.1.

Определение 572-группы было предложено лауреатом Нобелевской премии по физике Ю. Вигнером [43]. Условия для определения этого класса групп были сформулированы исходя из физических соображений. Например, отсутствие кратностей в произведении неприводимых представлений позволяет определить коэффициенты Клебша-Гордана с точностью до фазового множителя [15]. В работе [43] Ю. Вигнер показал, что для произвольной конечной группы G справедливо следующее неравенство geG gee где М — мощность множества М,^Jg = {х G G | х2 — g}, Cdg) — централизатор элемента д. Конечная группа G является просто приводимой тогда и только тогда, когда вышеуказанное неравенство обращается для этой группы в равенство. Получаемое из (*) равенство называется условием Вигнера. Таким образом, проверка справедливости условия Вигнера позволяет дать ответ о простой приводимости конечной группы, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложении их тензорных произведений. В ряде случаев этот метод является эффективным. Например, принадлежность к классу? Д-групп диэдральных и обобщенно кватернионных нетрудно показать с помощью условия Вигнера [10]. Тем не менее, в общем случае проверка условия Вигнера для конечной группы G является трудоемкой задачей.

1От английского «simply reducible, то есть «просто приводимая» .

В работе С. П. Стрункова [14] отмечено, что необходимость изучения 572-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики. В Коуровской тетради С. П. Струнковым был поставлен следующий вопрос (см. [11], вопрос 11.94):

Будут ли конечные S-R-группы разрешимы?

В приложении «Нерешенные задачи» книги [10] А. И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о ^Д-группах:

Как выразить в общем принадлежность к >5Л-классу в терминах структурных свойств группы?

Конечные просто приводимые группы изучались Дж. Макки. Им были предложены некоторые обобщения 5″ Л-групп [35], в которых он рассматривал различные ослабления условия вещественности группы. В работе [36] Макки, в частности, привел доказательство неравенства Вигнера для конечных групп, которое поясняет по каким причинам возникает условие Вигнера. Кроме того, он обобщил неравенство Вигнера. Для произвольной конечной группы G справедлива следующая группа неравенств:

Т, Шп+1 <�Т, Сс (д)п, geG geG где п — произвольное натуральное число.

Для группы G при п — 1 указанное неравенство (неравенство Макки) обращается в равенство тогда и только тогда, когда G — вещественная группа. Случай п— 2 — это условие Вигнера.

При п > 2 для группы G неравенство Макки обращается в равенство тогда и только тогда, когда G является элементарной абелевой 2-группой.

Представление группы называется целым, если оно реализуется в поле вещественных чисел и полуцелым в противном случае. В работе [14] С. П. Струнков исследовал связь между целыми и полуцелыми представлениями <572-групп. Он показал, что если й’Д-группа G имеет хотя бы одно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален. Причем в G содержится такая центральная подгруппа W, W = 2, что все неприводимые целые представления группы G являются компонентами представления 1^, а полуцелые — компонентами представления где С — нетривиальное неприводимое представление группы W. Из этого результата, в частности, вытекает, что любая полуцелая группа является расширением группы порядка два, при помощи ЗД-группы, все представления которой целые, а также вещественная реализуемость любого представления й’Л-группы без центра.

В работе JI.C. Казарина и В. В. Янишевского [7] получены важные продвижения в проблеме разрешимости конечных просто приводимых групп. Ими был предложен новый класс групп, который включает в себя класс 57?-групп.

Группа G называется Л57?-группой2, если тензорный квадрат любого неприводимого представления не имеет кратностей. Ослабление достигнуто как за счет отказа от условия вещественности группы, так и наложения условия отсутствия кратностей только на тензорные квадраты представлений. Очевидно, что любая S7i!-rpynna является .AS" .R-группой. Обратное (см. [7]), вообще говоря, неверно.

В [7] проблема разрешимости конечных А5Д-групп сведена к следующей ситуации. Конечная неразрешимая ASR-группа существует тогда и только тогда, когда таковой является группа G < Aut (N), где N — прямое произведение простых неабелевых групп, каждая из которых изоморфна знакопеременной группе А5 (соответственно Aq) и G/N разрешима. Эта группа — представляет собой минимальный контрпример к гипотезе о разрешимости конечных AS-ft-rpynn.

Классовое число k (G), конечной группы G, — это число классов сопряженных элементов группы G. Как известно, порядок конечной группы ограничен функцией от классового числа. В общем случае эта функция имеет экспоненциальный вид. В статье [7] для ASR-групп была доказана полиномиальная оценка. А именно, если G — конечная ASR-группа, то |G| < k (G)3.

Также JI.C. Казариным и В. В. Янишевским в работах [8], [18], [19] получено описание строения несверхразрешимой бипримарной^{эЛ-группы} G с Ф ((7) = 1, если р-силовская (р>2) подгруппа G циклическая или 2-силовская подгруппа G диэдральная.

2От английского «almost simply reducibleто есть «почти просто приводимая» .

Из других работ посвященным близкой тематике, укажем на следующие две статьи. В работе [42] исследовались числа решений некоторых уравнений в SR-группах. Помимо изучения просто приводимых групп, представляет интерес задача описания таких пар (д, а) неприводимых представлений группы С, для которых тензорное произведение представлений д и, а не имеет кратностей. В работе [34] описаны пары неприводимых представлений исключительных групп Ли с указанным свойством.

Отметим связь SR-rpymi с симметричными схемами отношений (определение см. в книге [1]). На эту связь указал Макки [36], но во время опубликования его работы терминология схем отношений еще не была разработана. Пусть Н — конечная группа. Определим группу G = HxHxHviee диагональную подгруппу К = {(h, h, h)h Е Н}. Пусть группа G действует сдвигами на множестве смежных классов Q = G/K. Схема отношений, определяемая действием G на f! х О, является коммутативной и симметричной тогда и только тогда, когда Н — просто приводимая группа.

Укажем на еще один комбинаторный объект — С-алгебры (определение см. в книге [1]). С помощью таблицы характеров групы G можно определить следующие две С-алгебры. Одна из них порождается классами сопряженных элементов группы G. (Это центральная подалгебра группового кольца G). Вторая С-алгебра — это алгебра характеров группы G. Расмотрим ситуацию, когда структурные константы С-алгебры равны 0 или 1. Это ограничение существенно разным образом сказывается на структуре группы G, в зависимости от порождающих элементов С-алгебры. Пусть С-алгебра порождается классами сопряженных элементов и структурные константы равны 0 или 1, тогда G — абелева группа. В случае алгебры характеров, у которой структурные константы равны 0 или 1, получаем, что тензорное произведение любых неприводимых представлений группы G не имеет кратностей, т. е. класс групп значительно более разнообразный класса абелевых групп.

Исследование конечных групп часто приводит к необходимости изучения конечных р-групп. Это утверждение справедливо и для просто приводимых групп, и для Лб’Л-групп, в которых важную роль выполняют 2-группы. В связи с этим информация о строении р-групп может быть полезной при решении различных задач, относящихся к теории конечных групп.

Конечные р-группы являются весьма сложным объектом для изучения. С ростом п число р-групп порядка рп возрастает черезвычайно быстро. Например, неизоморфных групп порядка 29 уже более 10 миллионов. Поэтому для изучения и детального описания какого-либо класса р-групп зачастую требуется формулировать в определении этого класса дополнительные ограничения.

Пусть G — конечная неабелева нильпотентная группа, n (G) — число нелинейных неприводимых представлений группы G и cl (G) — класс нильпотентности группы G. Айзексом [22] получен следующий результат. Пусть ]G: G' > n (G)3, тогда cl (G) =2.

Как ранее отмечалось, порядок группы G ограничен функцией от классового числа, а если G — ЛЗ'.Д-группа, то справедливо неравенство |G| < k (G)3. Группы с заданным числом классов сопряженных элементов начал изучать Миллер. Он получил описание всех групп G, для которых k (G) < 5. На настоящий момент усилиями различных математиков определена структура всех групп, классовое число которых не превосходит 10. В случае, когда зафиксировано число n (G), порядок группы G уже может быть не ограничен. Например, экстраспециальная 2-группа любого порядка имеет ровно один нелинейный неприводимый характер. JI.C. Казарин показал [22|, что порядок коммутанта р-группы G ограничен функцией от числа n (G). Таким образом, учитывая результат Айзекса, получаем, что существует лишь конечное число неизоморфных р-групп G класса большего двух, с заданным числом n (G).

Группы с ограничением на число n (G) начал изучать Г. Зейц [40]. Он определил группы G, у которых n (G) — 1. С. Хансен и Дж. Нильсен [30], а также П. Пал-фи [38] описали случай n (G) = 2. Список конечных ненильпотенгных групп, с ограничением n (G) < 5, был получен Я. Г. Берковичем в работах [5], [6].

Цель и методы работы.

Целью работы является исследование строения конечных б’Д-групп и строения конечных р-групп с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров. В диссертации используются методы доказательств теории конечных групп, теории групп перестановок и теории характеров конечных групп.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. получен окончательный положительный ответ на вопрос о разрешимости конечных SR-групп. Причем этот результат справедлив и для более широкого класса ASR и А^Я'-групп. Тем самым, из работы [7] и настоящей работы следует положительное решение вопроса 11.94 Коуровской тетради [11];

2. найдено строение конечных сверхразрешимых 5Л-групп;

3. определено строение конечных р-групп, у которых не более 6 нелинейных неприводимых характеров.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на 32-ой научной студенческой конференции (Ярославль, 2004), на всероссийской конференции «Колмогоровские чтения III» (Ярославль, 2005), на международной алгебраической конференции «Классы групп и алгебр» посвященной 100-летию со дня рождения С. А. Чунихина (Гомель, Беларусь, 2005), на всероссийской конференции «Колмогоровские чтения IV» (Ярославль, 2006), на международной конференции «Математика. Кибернетика. Информатика.» памяти А. Ю. Левина (Ярославль, 2008), на международной конференции «Некоммутативный гармонический анализ, теория представлений групп и квантование» (Тамбов, 2009), на международной конференции «Дискретная математика, алгебра и их приложения» (Минск, Беларусь, 2009).

Публикация результатов.

Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 2 статьи в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 3 тезисов докладов. Из 4 статей 2 написаны без соавторов, 2 — двумя авторами (Каза-рин JI.C., Чанков Е.И.). Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав (28 параграфов), заключения и списка литературы из 44 наименований. Текст диссертации изложен на 96 страницах.

Содержание диссертации.

Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий, предложений), а также определений сквозная внутри параграфа и состоит из трех цифр: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа и третья — порядковый номер внутри параграфа. Формулы и таблицы имеют сквозную нумерацию внутри всей диссертации.

7 Заключение.

В заключение представлены несколько вопросов о свойствах SR и /15″ А-групп.

Вопрос 1. Существуют ли конечные^{Я-группы} сколь угодно большой ступени разрешимости? Предположительно, ступень разрешимости любой конечной группы ограничена некоторым фиксированным числом п.

Вопрос 2. Существует ли конечная SR-группа с фиттинговой длиной большей или равной пяти? Фиттингова длина группы G определяется следующим образом. Пусть F0(G) = 1 и Fi (G)/Fi-X (G) = F (G/Fji (G)). Минимальное значение к, для которого Fk = G, называется фиттинговой длиной.

Вопрос 3. Верно ли, что почти любая 2-группа класса нильпотентности 2 является Л5Я-группой? А именно, пусть сп — число групп класса 2, имеющих порядок 2П и asrn — число AS’A-rpyim класса 2, имеющих порядок 2П. Верно ли, что asrn.

—> 1, при п —> оосп.

Вопрос 4. Определим следующий класс 2-групп: Ф^ = {G — 2 — группа | n (G) = /с}. То есть 2-группа G принадлежит классу Ф^, если число ее неприводимых нелинейных представлений равно к. Верно ли, что в множестве Ф^ лишь конечное число групп не являются ЛбЯ-группами? Если справедливо утверждение вопроса 3, то настоящее предположение кажется вполне вероятным, поскольку лишь конечное число число групп в множестве Ф^ имеют класс нильпотентности, больший двух. Из замечания 3 главы 6 следует, что эта гипотеза справедлива для множеств Ф^, при к < 5.