Теоретические вопросы
1. Двойной интеграл: определение, основные свойства, геометрический смысл.
Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f (x, y).
Разобьём область D произвольным образом на n подобластей D1, D2, D3, …, Dn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом s (Di) будем обозначать площадь области Di; символом diam (D)здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D:
;
символом d обозначим наибольший из диаметров областей Di: .
В каждой из подобластей Di (i = 1,2, …, n) выберем произвольную точку Pi = (xi, yi), вычислим в этой точке значение функции f (Pi) = f (xi, yi), и составим интегральную сумму .
Если существует предел последовательности интегральных сумм при, не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти Di, ни от выбора точек Pi, то функция f (x, y) называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обозначается .
Если расписать значение f (P) через координаты точки P, и представить ds как ds = dx dy, получим другое обозначение двойного интеграла:. Итак, кратко, .
Свойства двойного интеграла.
Линейность. Если функции f (x, y), g (x, y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация тоже интегрируема по области D, и .
Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство. Переходя к пределу при и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе Арифметические действия с пределами.
Аддитивность. Если область D является объединением двух областей D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, то .
Док-во. Пусть область D1 разбита на подобласти D1,1, D1,2, …, D1, n1; область D2 разбита на подобласти D2,1, D2,2, …, D2, n2. Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области D: на n1 + n2 подобластей. Интегральная сумма по области D равна сумме сумм по областям D1 и D2:. Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при, получим требуемое равенство.
Интеграл от единичной функции по области D равен площади этой области: .
Док-во: Для любого разбиения, т. е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек Pi. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому .
Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если, то — объём прямого цилиндра с основанием Di высоты f (Pi); вся интегральная сумма — сумма объёмов таких цилиндров, т. е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью Di, равна f (Pi)). Когда, это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью D, сверху — поверхностью z = f (x, y), с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области D, а образующие параллельны оси Oz. Двойной интеграл равен объёму этого тела.
2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.
Пусть D — область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение. Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:
.
