Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием

Классическое дифференциальное и интегральное исчисление является, в частности, инструментом решения дифференциальных уравнений. Последние составляют небольшой класс функциональных уравнений, встречающихся в различных областях естествознания и технических приложеi ниях математики.

Обычно, каждый достаточно широкий класс функциональных уравнений для изучения вопросов разрешимости требует развития нового математического аппарата. Характерным примером, подтверждающим эту мысль, является введение в 1951 году в работе А. О. Гельфонда и А. Ф. Леонтьева [14] понятия операции обобщенного дифференцирования. Оно возникло из предыдущей работы [13] первого из авторов по разрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка с помощью рядов Дирихле и предыдущей работы [25] второго автора по изучению обобщений таких рядов — рядов-обобщенных экспонент вида ane (^nz)• И если. первые ряды можно рассматривать как разложения по собственным функциям операции дифференцирования, то идея авторов состояла в том, чтобы ввести оператор D, для которого е (Аz) является собственной функцией: De (Xz) = Ae (A z).

В последующем в работах А. Ф. Леонтьева, его учеников и последователей разрабатывалась теория операторов обобщенного дифференцирования (обобщенного интегрирования, изучения разложения по обобщенным экспонентам, решения новых классов операторных уравнений и др.) Одновременно эта теория стимулировала развитие смежных областей (целых фукнций, локально выпуклых пространств и других), и естественно ожидать её- использование в других областях чистой и прикладной математики.

14]).

Настоящая диссертация посвящена проблеме представления оператора обобщенного дифференцирования (ООД), оператора обобщенного интегрирования (ООИ) и диагонального оператора (ДО) в пространстве аналитических в односвязной области функций, и вопросу разрешимости линейных операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. Предлагаемое нами определение ООД является, по-видимому, новым и в некотором смысле аксиоматическим. Именно, выделяются два важных свойства классического оператора дифференцирования: его непрерывность в пространстве аналитических функций и характер действия на полную в этом пространстве систему степеней. Подобное определение, но для диагональных операторов, было дано ранее в работе Линчука [28]. Среди различных известных представлений ООД для наших целей наиболее подходящим оказалось представление, предложенное Юг Ф. Коробейником в одном специальном случае [18]. Оказалось, что при таком представлении важную роль играет понятие мультипликатора пары множеств. Последнее является обобщением мультипликатора множества, введенного А. В. Братищевым [6].

Обозначим через H (G) пространство голоморфных в односвязной области G функций с топологией компактной сходимости. Под ООД (ООИ, ДО) будем понимать непрерывный линейный оператор из H (G) в H (G), который на системе степеней {zn} в H[G) имеет соответственно вид :

Dzn = dn-izn~l, пЕ N, D1 := О, 4.

Iz11 = ne N U {0}, dn ф 0,.

Jzn = dnzn, ne N и {0}, где {dn} С €.

Вопросом представления оператора обобщеного диффренцирования и родственных им диагональных операторов в разное время занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Ф. Коробейник, Н. И. Нагнибида, С. С. Линчук, А. В. Братищев и другие математики. Изначально ООД был определён А. О. Гельфопдом и А. Ф. Леонтьевым [14] следующим образом. Пусть f (z) = YlkLo akzk ~ Целая функция порядка р и типа, а ф 0, оо, причем аь ф 0, к ^ 0, и существует точный lim^oo к? fok = (стер) р. Пусть затем сю y (Z) = к=О произвольная функция, регулярная в круге D (0,R) := {z: z < R, 0 < R ^ оо}. Тогда оо (!) k=l ak называется обобщенной производной первого порядка функции y (z), порожденной функцией f (z). К. М. Фишман [45] и Н. И. Нагнибида [42] доказали, что для произвольной последовательности {an} G С, ап ф 0 оператор, задаваемый в виде (1), непрерывен в Н (?>(0, R)), R Е (0, со) тогда и только тогда, когда lim, ki k-too ak-1.

Щfc.

1, а оператор (ООИ), задаваемый в виде [Iy]{z) = YlT=o будет непрерывным в Я (-D (0, Я)), R? (0, сю) тогда и только тогда, когда ак.

Иш, а к—loo l ajfc+1.

Соответствующие результаты получены ими и в случае R = оо.

Ю. Ф. Коробейник [18] несколько иначе определяет ООД. Пусть у (х) аналитическая в начале координат функция. Тогда.

Dy](z) :=^2dk-iykxk к=1 где {dk} - некоторая последовательность из С. Нетрудно видеть, что Dzn = dn-xz71'1, п е N, D1 = 0.

Отметим работу С. С. Линчука [28], в которой диагональный оператор (ДО) определяется как непрерывный линейный в H{G) оператор со следующим свойством:

Lzn = dnzn, п = 0,1,., где {dn}™= 0 — некоторая последовательность комплексных чисел.

Перейдем к вопросу представления. В работе [26] А. Ф. Леонтьев для случая dn = p (n+1), п G NU {0}, где р (х) — многочлен степени s, р (0) = О, получил такое представление ООД к=1 и доказал, что этот оператор применим к любой аналитической функции в каждой точке её- аналитичности.

Интегральное представление вида (2).

Cz впервые появилось в той же статье [18] и изучалось в [19]. Здесь y (t) — аналитическая функцияш (х) — функция, аналитическая в области z — 1| > О, имеющая на бесконечности нуль не ниже второго порядкаcz — спрямляемая жорданова кривая, окружающая точку z и лежащая вместе со своей внутренностью в области аналитичности у. С помощью последнего представления в [18] описан класс ООД, применимых к любой аналитической функции в каждой точке её- аналитичности. Проблема продолжения и представления ООД более общего вида посвящены работы В. В. Напалкова [38], [39]. Операторы такой общности в диссертации не рассматриваются.

Операторы обобщённого интегрирования рассматривались в работах Н. И. Нагнибиды, Ю. А. Кирютепко и других авторов. В частности, последним автором получены условия продолжимости из нуля ООИ во множество: а) всех областей, б) звёздных областей, в) класса односвязных областей. Там же предложено интегральное представление ООИ.

В случае, когда функция d (z) := Xl^Lo dnZn голоморфна в С {1}, в работе [21] Ю. Ф. Коробейника и Ю. Н. Донскова предложено представление ДО в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка.

ОО jy](z) = j2a" zny{n)w>

71=0 где {ап} и {dn} связаны системой равенств dn = п G NU {0}.

Отметим представление ДО в виде.

Jy] {z)z=h 177 (f) y (t)T где Л.

ОО ОО ф) = ум = S ykzki к=0 к=0 предложенное в работе [14]. Позже это же представление в более общей ситуации было использовано в [28].

Вопросам разрешимости операторных уравнений, порожденных ООД и ДО посвящено много работ. Так, вопросами разрешимости операторных уравнений бесконечного порядка, порожденных ООД занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Н. Фролов, Ю. Ф. Коробейник, И. X. Мусин, Т. И. Демченко (Коршикова) и другие математики (например, [27], [44], [19], [37] и другие их работы), но в диссертации эти уравнения и решаемые для них задачи не изучаются. Также отметим, что нас интересуют ДО в пространстве аналитических в области G функций, хотя операторы с таким названием изучались и в других пространствах, например, в пространствах последовательностей. К теме диссертации имеют отношение следующие результаты.

В монографии [42] установлено, что для разрешимости ООД Dy = / в H (D (О, R)) для каждой правой части из H (D (О, R)) необходимо и достаточно, чтобы limn>oo = 1.

В работе [21] рассматривалось операторное уравнение вида L^y = /, где — оператор Эйлера бесконечного порядка, являющийся ДО. В работе выясняется, когда уравнение L^y = / имеет аналитическое в области G решение для каждой правой части / € H{G).

В докладе А. В. Братищева [5] рассматривается ООД, порожденный последовательностью вида I Qn+1 dn = л N, ?>1:=0, a, q? С, а < q < 1.

1 — aqn.

В частности, получено представление ООД, ООИ, а также явный вид резольвенты ООД D.

В заключение исторического обзора заметим, что в теореме Адамара об умножении особенностей, в вопросах разрешимости линейных операторных уравнений порожденных ООД и ДО, изучении обобщенных преобразований Бореля, описании областей сходимости ряда обобщенных экспонент и проблеме представления этих операторов возникает вспомогательная задача о перемножении множеств комплексной плоскости. Достаточно отметить работы [1], [21], [28], [2], [4], [6], [7]. Эта задача нуждается в систематическом исследовании.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Она состоит из трех глав.

В первой главе развивается теория перемножения множеств комплексной плоскости. При этом ключевую роль играет понятие мультипликатора пары множеств Л, В С С. Так мы назовём множество.

М (А, В) :={zeC:zAC В}.

Здесь устанавливаются общие свойства мультипликатора, а также изучаются мультипликаторы конкретного вида.

Во второй главе изучается задача интегрального представления ООД в виде (2) для фиксированной односвязной области G и для некоторых важных классов областей, определяемых конкретными мультипликаторами. Там же устанавливается связь возможности такого представления с разрешимостью интерполяционной задачи с бесконечным числом узлов. Параллельно изучаются представления ООИ и ДО.

В третьей главе рассматриваются вопросы нахождения явного вида решения операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами, порожденные ООД. По существу эта проблема упирается в нахождение резольвенты ООД.

Для более детального описания результатов первой главы введем несколько вспомогательных определений. Следуя [1] под произведением множеств А, В С. С будем понимать множество АВ = zz2 = {z • z2: Zi E A, z2 E В}. Положим А-1 = {: z E А} и A' = {z E С: 2? $ A}. Обозначим через D (zq, R) = {z: z — zq < R} - кругD (oo, R) = {z E С: z > D (zo, R) ~ замыкание D (zq, R) — S (a, R) = {z: z — a = R} -окружностьK{a r, R) = {z: r < z—a < R}- кольцо- >cn := ехр{^г}, n E N-^a, (3^ {гбС {0}: a < arg? < /3} - угол и Pn — правильный n угольник с центром в нуле и вершиной в точке z = 1.

В теореме 1 первой главы рассматривается общие свойства М (А, В). Приведем некоторые из них.

Теорема 1.1.

2. М (А, В) = (АВ'-1)''1. 4. 0 <Е М (Д5)^0 6 В.

7. Для того, чтобы В было звёздно относительно начала координат необходимо, а в случае М (А, В) А = В и достаточно, чтобы мультипликатор М (Л, В) был звездным относительно нуля.

8. Если, А открыто, то М (А, В) U {0, оо} есть замкнутое множество, а множество АВ'~1 {0, оо} открыто.

В теореме 1.2 выясняются свойства мультипликатора в случае, когда.

А = В С С. Теорема 1.2.

1. Если М (А) состоит из конечного числа точек, то либо М (А) =.

1, хп,. кпп либо М (А) = {0,1, < где хп = ехр {^г},.

2. М (А) является коммутативным моноидом относительно операции умножения комплексных чисел.

5. Если множество, А ограничено, то М (А) С D (0,1).

9. Мультипликатор М (А) не обязательно является связным множеством, даже в случае односвязности множества А.

Теорема 3 описывает мультипликаторы конкретного вида в случае, когда, А = В = G — область в С.

Теорема 1.3.

2. Для выпуклой ограниченной области G мультипликатор M{G) = Рп тогда и только тогда, когда G есть правильный выпуклый п—угольник с центром в нуле.

3. M{G) = D{0,1) тогда и только тогда, когда 3R > 0: G = D (О, R).

5. M (G) = 5(0,1) тогда и только тогда, когда 3r, R е (0, +схэ) G =.

6. M (G) = (0,+оо) тогда и только тогда, когда 30 < — а ^ 2-лG = п е N.

8. Пусть область G ограничена и О Е extG. Если существует луч, который пересекает область G по пустому множеству, то мультипликатор M (G) = {1}.

В теореме 1.4 собраны вспомогательные результаты, которые понадобятся в главе 2.

Задача представления ООД, ООИ и ДО в H (G), где G — односвязная область в С ставится следующим образом. Оператор задан на полной в H{G) системе степеней {zn}. Требуется по этому заданию установить, будет ли он расширяться до линейного непрерывного оператора на всём H{G). В теореме 2.1 она решается в общем виде. Метод доказательства теорем во второй главе опирается, в частности, на представление Кёте линейных непрерывных операторов и функционалов в пространстве H{G). Этот метод для получения представления специальных классов операторов использовал сам Кёте в своей статье, далее М. Ю. Царьков [43], Ю. Ф. Коробейник [22] и другие математики. Также используется теорема о монодромии функции двух переменных.

Теорема 2.1. Пусть область G С С и односвязна.

1. Оператор D, определенный на системе по правилу Dzn := dn-!Zn1, п е N, D1 := 0, {dn} С С, расширяется до ООД в H (G) тогда и только тогда, когда функция d (z) := Yl^Lo dnzn голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N (1) < N (2) <. такая, что функциональный элемент двух переменных (|), z G D (zq, е) С G, t? D (оо, аналитически продолжается в каждую односвязную область Сгщп) х Gn С С х С, а в случае 0 ^ G d{z) аналитически продолжается в точку z = оо м имеет там нуль не ниже второго порядка.

2. Оператор /, определенный на системе функций {z11} по правилу Izn := ^zn+1, п Е N U {0}, {dn} с С {0}, расширяется до ООИ в H (G) тогда и только тогда, когда функция d (z) := голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N (1) < N (2) <. такая, что функциональный элемент |c?i (|), 2- Е D{z^e) С G, t Е D (oo, аналитически продолжается в каждую односвязную область G’n^ X Gn С С х С, а в случае 0 ^ G аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.

3. Оператор J, определенный на системе {zn} по правилу Jzn := dnzn, п Е NU{0}, {dn} С С расширяется до ДО в H{G) тогда и только тогда, когда функция d (z) := X^Lo dnzTl голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N (1) < N (2) <. такая, что функциональный элемент jd[z Е D (zq, s) С G, t Е D (oo, аналитически продолжается в каждую односвязную область G’n^ х Gn С С х С, а в случае 0 $ G d (z) аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.

Так как | Е GN^Gn, то можно было бы ожидать, что d (z) аналитически продолжается до локально аналитической функции на множестве GG которое, как следует из главы 1, не обязательно является открытым или замкнутым. Далее приводится пример функции d (z), которая может оказаться многозначной при аналитическом продолжении в GG'~l. В связи с этим целесообразно искать классы областей G. для которых соответствующая функция d (z) продолжается до локально аналитической на GG Удобно вводить классы таких областей в терминах мультипликатора, введенного в главе 1.

В теореме 2.2 расматриваются области, у которых ноль лежит на границе. В первой главе доказывается, что M{G) = (0,1] тогда и только тогда, когда 0 ^ (j, (?U {0}- звездное множество и G не совпадает с углом вида Для этого класса областей доказывается.

Теорема 2.2. Пусть G ~ односвязная область и M (G) = (0,1]. Следующие три условия равносильны :

1а) оператор D, заданный на множестве степеней по правилу Dz11 = п G N, D1 = 0, расширяется до оператора обобщенного дифференцирования в H (G);

16) степенной ряд Xl^Lo dnzn сходится в окрестности начала координат, его сумма d (z) аналитически продолжается до голоморфной в С [1,М] функции, М > 1, и имеет нуль не ниже второго порядка в точке z = оо.

1 в) существует целая функция экспоненциального типа a (z) с индикаторной диаграммой в [—1пМ, 0], интерполирующая {с?п} в узлах п = 1, 2,. в следующем смысле: а (1) = 0, а (2) = do, «(3) =. .

При выполнении хотя бы одного из трех утверждений имеет место такое интегральное представление ООД:

0Gn+i где z? Gn. Следующие утверждения равносильны :

2 а) пусть дана последовательность {dn} С С, Vn ^ 0 dn ф 0. Оператор I, определяемый на полной в H (G) системе {г71} по правилу Izn — п 6 N, расширяется до ООИ на H{G);

2 б) ряд Y^LoTzn СХ°ДИТСЯ в окрестности нуля, его сумма d (z) аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области С [1, М] и имеет нуль не ниже первого порядка в точке z = оо;

2 в) существует целая функция экспоненциального типа a (z) с индикаторной диаграммой в [— In М, 0], которая является функцией коэффициентов для d (z) в следующем смысле: а (1) = о (2) =. .

При выполнении одного из утверждений dGiv+i где z е Gn.

Аналогичный критерий имеет место и для ДО.

В теореме 2.3 рассматриваются области, у которых ноль лежит во внешности или на границе их замыкания. Пусть каждый луч с началом в нуле пересекает односвязную область G по интервалу (из которых хотя бы один конечен и хотя бы один не начинается в нуле) или по пустому множеству. Тогда M{G) = {1}. Для этого класса областей доказывается.

Теорема 2.3. Следующие три утверждения равносильны.

1 а) оператор D, определяемый на системе {zn} по правилу Dzn = dnzn1, п 6 N, D1 = 0, {dn} С С, расширяется до ООД на H{G).

16) ряд Y, n=odnZn сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в односвязной области С{1} и имеет нуль не ниже второго порядка в точке z = оо.

1 в) существует целая функция не выше минимального типа первого порядка a (z), которая является функцией коэффициентов для d (z) в следующем смысле: а (1) = 0, а (2) = do, а (3) = d,. .

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

Заметим, что критерий применимости ООД к каждой аналитической функции в каждой точке её- аналитичности в терминах разрешимости интерполяционной задачи впервые установлен в [18]. В случае, когда 0? G, доказана следующая.

Теорема 2.4. Пусть G есть звёздная область и (?/&euro-. Следующие три утверждения равносильны :

1а) оператор D, определяемый на системе по правилу Dzn = dnzn~l, п G N, D1 = 0, С С, расширяется до ООД на H (G);

1 б) ряд dnzn сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области GG'~X.

1 в) существует аналитическая и экспоненциального типа в полуплоскости Rez > 0 функция коэффициентов a (z): Vn? N, dn = a (n) такая, что её- преобразование Лапласа будет аналитической и однозначной функцией в односвязной области (lnM (G)), где In M (G) есть объединение точки оо = In 0 и всех точек из полосы — 7 г ^ Im < 7 г, являющихся образами M (G) при отображении w = hiz, —7Г ^ argz < тт.

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

В третьей главе ищутся решения операторных уравнений конечного порядка, порождённых ООД D. В первом параграфе вводится понятие обобщенной экспоненты e (z) := l + X^i m-" ^ • Такие функции в связи с ООД уже встречались ранее. В монографии [27], например, отмечено, что e (z) переходит в обычную экспоненту ez, когда dn = п + 1, п = 0,1,Доказывается такое свойство обобщенной экспоненты:

Лемма 3.1. Пусть О? G, D — ООД в H (G). Уравнение.

D — 1) у = О для каждого A G С имеет ненулевое решение у? H (G) тогда и только тогда, когда e (z) есть целая функция.

В предположении, что e (z) — целая функция, в серии лемм 3.2−3.4 и теореме 3.1 находится явный вид общего решения однородного операторного уравнения конечного порядка.

Теорема 3.1. Общее решение однородного операторного уравнения с постоянными коэффициентами.

Dny + cuD^y + • • • + ап = О имеет вид: т si—1 1=1 к=О где qik ~ произвольные коэффициенты из С, Ai, • • •) Ащ — корни характеристического многочлена zn + aizn~l • • • + ап = 0 кратностей si,., sm соответственно.

Во втором параграфе рассматриваются простейшие неоднородные операторные уравнения Dy = f и Jy = /. Имеет место.

Теорема 3.2. Пусть G — односвязная область, содержащая ноль и D — ООД в H (G). Уравнение Dy = f разрешимо для любой правой части f (z) Е H{G) тогда и только тогда, когда а) Vn Е N U {0} dn ф 0- б) функция d (z) = ТГ2,71 голом°рфна в нулев) существует последовательность 1 < N{ 1) < N (2) <. такая, что функциональный элемент jd (|), 2- Е D (zq, e), t Е D (оо, е) аналитически продолжается в каждую односвязную область х Gn С С х С до голоморфной функции двух переменных;

Аналогичный критерий разрешимости имеет место для уравнения Jy = f. Несмотря на внешнюю простоту данных уравнений, при конкретной реализации они могут иметь достаточно сложную структуру. Например, если.

О G G и d (z) голоморфна в C {1}, то уравнение Jy = f может быть записано в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка. В случае же 0 ^ G, с помощью преобразования w = nz уравнение Jy = / сводится к разрешимости уравнения комплексной свертки вида.

Ly]{z) =^iJ = ^ с где y (z)J{z) е Я (In G) (смотри [21], [2]).

Третий параграф посвящён операторным уравнениям вида Dy — Xy = f. Нельзя ожидать достаточно простого решения этого операторного уравнения в общем случае. Поэтому мы ограничеваемся случаем, когда соответствующая функция d (z) = Yl™=:oP (n + гДе Р{п) ~ многочлен птой степени. В начале (теорема 3.4) находится явный вид резольвенты оператора D в случае, когда О Е G. Резольвента оператора D (D — Л/)-1 ищется конструктивно. Заметим, что существует большая литература по теоремам существования правого обратного оператора (смотри, например, диссертацию С. Н. Мелихова [32] по этой теме и библиографию в ней).

Теорема 3.4. Пусть G — звёздная область. Тогда общее решение линейного уравнения.

Dy-Xy = f (4) первого порядка (относительно ООД D) в H (G) имеет вид: y (z) = ше (Хz) + J /'" ' / Е ~-Щ-s-• • • и7″ 'о о к~°.

•f (ui.usz)dui • • • dws, оо где e (z) = J2 p{i)lp (n) i e (°) = v<1, yo G С .

Предложенный в предыдущей теореме способ доказательства не удается перенести на случай, когда 0 ^ G. В случае, когда 0 ^ G и порождающая оператор D функция d (z) есть многочлен второго порядка методом прямой подстановки доказывается.

Теорема 3.5. Пусть 0 ^ G. Тогда общее решение линейного уравнения (4) имеет вид :

Г J оо (Л (1 — (z — Х2)) y (z) = yoe (Xz) + У У Е —-%-J-xrxt1f (xi)dx1dx2,.

Zo Zo fc=0 где e (z) = о p (iy—p (n)' e (°) = корень многочлена p (z) = z (z — v), v tfz N. Интегрирование ведётся по кривым, лежащим в G.

Уже в случае s = 2 при подстановке y (z) в уравнение возникают большие сложности при его упрощении. Ещё- большие сложности просматриваются при s > 2. Этим объясняется, почему общий случай s не рассмотрен.

В теореме 3.6 приведен алгоритм получения в явном виде решения неоднородного операторного уравнения конечного порядка.

Автор выражает благодарность научному руководителю диссертации за постановку задачи и участникам семинаров В. В. Напалкова, Ю. Ф. Коробейника и В. П. Кондакова за полезные обсуждения результатов диссертации.

1. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: — Наука, 1967. 240 с.

2. Братищев А. В. О линейных операторах, символ которых является функцией произведения своих аргументов. // Доклады АН. 1999. -Т. 365. — №. — С. 9−12.

3. Братищев А. В. О мультипликаторе области в комплексной плоскости // Материалы XVI международной научно-методической конференции. Петрозаводск, июнь, 2003. Санкт — Петербург: ПГУПС. — 2003. — С. 126−127.

4. Братищев А. В. Обобщенное преобразование Бореля и смежные задачи теории функций // International Conference Complex analysis and its applications. Abstracts, Lviv, may 26−29, 2003. Льв1в: LNU. — 2003. — C. 17−18.

5. Братищев А. В. Оператор обобщенного дифференцирования, порожденный функцией Гейне. Тезисы докладов 13 саратовской зимней школы. Саратов. Январь, 2006. — Саратов: научная книга. — 2006. — с. 36−37.

6. Братищев А. В. Описание обобщенных преобразований Бореля, сохраняющих теорему Пойя. // Вестник ДГТУ. 2001. — Т. 1. — № 1. — С. 79−89.

7. Братищев А. В., Калиниченко Л. И. Описание области сходимости ряда обобщенных экспонент // Доклады РАН. 1993. — Т. 331. — № 6. — С. 666−667.

8. Братищев А. В., Моржаков А. В. О мультипликаторе пары множеств комплексной плоскости. // Вестник ДГТУ. 2004. — т.4, — № 3 — С. 270 281.

9. А. В. Братищев, А. В. Моржаков. О резольвенте одного класса обобщенных дифференциальных уравнений. // Вестник ДГТУ. 2006. Т. 6 — т.- С. 85−88.

10. Братищев А. В., Моржаков А. В. Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе односвязных областей. // Вестник ДГТУ. 2005. — Т.5. — № 4. — С. 81−90.

11. Братищев А. В., Моржаков А. В. О мультипликаторе пары множеств // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. Саратов. Саратов: Колледж. — 2004. — С. 33−36.

12. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. Наука. — 1965. — 172 с.

13. Гельфонд А. О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. -1951. — Т. 38.

14. Гельфонд А. О. Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье. -Матем. сб. 1951. — Т. 29. — № 3. — С. 477−500.

15. Доброходов С. Ю., Маслов В. П. Многомерные ряды Дирихле в задачах об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических операторов. Современные проблемы мат-ки. — Т. 23. — М.: ВИНИТИ. — 1983. — С. 33−78.

16. Кейперс JI., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука. — 1985. — 408 с.

17. Кирютенко Ю. А. Об операторах обобщенного интегрирования, аналитически продолжимых из нуля. Известия ВУЗов. — № 7. — 1975 г.

18. Коробейник Ю. Ф. Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналитической функции. // ИАН СССР.- Сер. матем. 1964. т. 28. — № 4. — С. 833−854.

19. Коробейник Ю. Ф. Об одном интегральном операторе. // Литовский математический сборник. 1965. — Т. 5. № 1 — С. 97−115.

20. Коробейник Ю. Ф. Аналитические решения операторных уравнений бесконечного порядка. Докторская диссертация. Ростов-на-Дону. -1965 г.

21. Коробейник Ю. Ф. Донсков Ю. Н. Аналитические решения уравнения Эйлера бесконечного порядка // Изв. ВУЗов. 1969. — Ж1.-С. 44−51.

22. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе линейных операторов // Годишник ВТУЗ, матем. Т. 9. кн. 3. — София. — 1973. — с. 23−32.

23. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968. — 564 с.

24. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1951. — Т. 39. — 216 с.

25. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды математического института им. В. А. Стеклова.- 1957. Т. 39.-С. 1−216.

26. Леонтьев А. Ф. Об области регулярности предельной функции одной последовательности аналитических функций. Матем. сб.. — Т. 39. -т. — 1956. — С. 405−420.

27. Леонтьев А. Ф. Обобщенные ряды экспонент. М. Наука, 1981. — 320 с.

28. Линчук С. С. Диагональные операторы в пространствах аналитических функций и их приложения // Актуальные вопросы теории функций. Ростов-на-Дону: ИРУ. — 1987. — С. 118−121.

29. Мавроди Н. Н. Необходимые и достаточные условия аналитической продожимости степенного ряда // Актуальные проблемы математического анализа. Сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону: ГинГо. — 2000. -С. 94−99.

30. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.1. -М.: Наука.1967. -488 с.

31. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.2. -М.: Наука.1968. -624 с.

32. Мелихов С. Н. Правые обратные к операторам представления рядами экспонент и свертки. Автореферат докт. диссер. Уфа 2003. — 240 с.

33. Моржаков А. В. О представлении оператора обобщенного дифференцирования функций, аналитических в круге.// Межвузовский сб. «Интегро-дифференциальные операторы и их свойства» .- Вып. 6. -Ростов-на-Дону: ДГТУ. 2004. — С. 40−42.

34. Моржаков А. В. Об одном классе операторов обобщенного дифференцирования // Современные проблемы теории функций и их приложения, тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов. Январь 2006 г. Саратов: Научн. книга. — 2006. — С. 122−123.

35. Моржаков А. В. Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе односвязных областей. 2 // Вестник ДГТУ. -2006. Т. 6 т (28).- с. 10−16.

36. Мусин И. X. О разрешимости одного неоднородного уравнения. Сб. «Исследование по теории функций». Уфа: БФАН СССР. — 1986. — С. 77−89.

37. Напалков В. В. О продолжаемости оператора обобщенного дифференцирования. Матем. сб. — Т. 78. — № 38. — 1969. — С. 397−407.

38. Напалков В. В. О расширении оператора обобщенного дифференцирования. Матем. заметки. — Т. 6. — № 4. — 1969. — С. 425−436.

39. Робертсон А. П., Роберстон В. Дж. Топологические векторные пространства.- М.: Мир. 1967. 260 с.

40. Савёлов А. А. Плоские кривые. М.: ГИФМЛ, 1960. — 296 с.

41. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1987. -280 с.

42. Царьков М. Ю. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочные со степенью оператора дифференцирования. Теория функций, функц. анализ и их приложения. — Республ. научн. сб. — 1970. — вып. 2. — с. 86−96.

43. Фролов Ю. Н. Об аппроксимации решений уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных посредством элементарных решений. Сб. «Исследования по теории аппроксимизации функций». -Уфа: БФАН СССР. — 1979. — С. 268−281.

44. Фишман К. М. К вопросу о линейном преобразовании аналитических пространств. ДАН ССР, 127, № 1, 1959, с. 40−43.

45. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. Т.2. Изд.2. -М: Наука. -1976. 400 с.

46. Янушаускас А. И. Аналитические и гармонические функции многих переменных.- Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1981. 184 с.

47. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie. //J. reine angew. math. -1953. Bd. 191. S. 30−49.