Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения

Диссертация: Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

При исследовании устойчивости систем дифференциальных уравне4 ний или включений с использованием теорем сравнения возникает задача о качественном поведении решений системы дифференциальных неравенств относительно координат векторной функции Ляпунова, предполагаемых неотрицательными. Таким образом появилась необходимость исследования вопроса об устойчивости неотрицательных решений системы… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке
    • 1. 1. Основные понятия и классы отображений
    • 1. 2. Аппроксимация дифференциальных включений
    • 1. 3. Задача Чаплыгина для дифференциальных неравенств и условие Важевского
    • 1. 4. Постановка задачи и основные предположения
    • 1. 5. Основная теорема
    • 1. 6. Примеры исследования устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений
    • 1. 7. Теоремы о неустойчивости
  • Глава 2. Устойчивость систем дифференциальных включений
    • 2. 1. Постановка задачи об устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке
    • 2. 2. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений
    • 2. 3. Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений с управлением и липшицевой правой частью
    • 2. 4. Равномерная экспоненциальная устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением

Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Вопросы устойчивости имеют огромное теоретическое и практическое значение. Основы теории устойчивости были заложены в конце XIX века A.M. Ляпуновым в его знаменитой диссертации «Общая задача об устойчивости движения» [48].

Дальнейшему развитию теории устойчивости были посвящены известные монографии А. И. Лурье [47], Н. Г. Четаева [87], И. Г. Малкина [49], Н. Н. Красовского [45], В. И. Зубова [40], Н. П. Еругина [37, 38].

Основными методами теории устойчивости являются первый и второй методы Ляпунова. Первый метод делает заключение об асимптотической устойчивости или неустойчивости на основе изучения системы линейного приближения с постоянными коэффициентами. Обзор работ по применению первого метода Ляпунова дан в [31, 39].

Второй (прямой) метод предполагает известной функцию Ляпунова — функцию координат, имеющую смысл обобщенного расстояния до стационарного состояния. В этом случае заключение об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости делается по свойствам производной, вычисленной в силу уравнений системы. Второй метод Ляпунова, в том числе метод вектор-функций Ляпунова, получил развитие в работах В. М. Матросова [50, 51, 52], М. М. Хапаева [81, 82, 83], А. А. Воронова [30, 32], Б. В. Воскресенского [33, 34, 35], О. В. Анашкина.

3, 4, 5] и др.

Начиная с середины сороковых годов XX века стали появляться работы, посвященные задачам об асимптотической устойчивости, когда область начальных возмущений нельзя считать малой. В значительной степени эти исследования были вызваны задачами, возникшими в теории автоматического регулирования. Эта теория была развита в разных направлениях многими авторами [2, 22, 30, 32, 44, 45, 49, 57, 59].

В начале шестидесятых годов возникла идея объединить методы дифференциальных неравенств С. А. Чаплыгина [86] с возможностью использования совокупности нескольких функций Ляпунова. В работе [50] на основе объединения этих концепций были разработаны методы определения условий устойчивости на базе векторных функций Ляпунова и развит принцип сравнения. Эти обобщения основаны на работе Т. Важевс-кого [92] о дифференциальных неравенствах. Наиболее полное математическое обоснование принципа дано в [52]. Метод конкретизирован для систем с распределенными параметрами [42, 65], а также для динамики систем процессов и динамики абстрактных систем [54], где используется принцип сравнения с несколькими векторными функциями Ляпунова и системами сравнения. Обзор результатов, полученных при помощи метода сравнения, дан в серии статей В. М. Матросова [53].

В это же время интенсивное развитие получила задача об устойчивости движения по отношению к части переменных. Такая задача возникает прежде всего в прикладных проблемах, когда для нормального функционирования объекта достаточно обеспечить его устойчивость лишь по части переменных. Исследования в этой области отражены в работах [8, 63, 81] и наиболее полно систематизированы в работе [62].

В настоящее время основные теоремы теории устойчивости перенесены на дифференциальные включения.

Важные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью (дифференциальных включений) были представлены в работах А. Ф. Филиппова [77, 78, 80], где также была установлена связь дифференциальных включений с задачами оптимального управления. Исследование дифференциальных включений потребовало изучения свойств многозначных функций. Достаточно обширная библиография таких работ содержится в [25, 27, 76]. Используемый в данной работе математический аппарат (теория опорных функций, элементы выпуклого анализа и теории многозначных отображений) изложен в [23, 24, 27, 69].

Характерной чертой описания многих реальных динамических систем является разномасштабность скоростей изменения различных групп фазовых переменных. Эффективное средство исследования подобных систем (систем с раделяющимися движениями) — метод усреднения. Вопросы обоснования и развития метода усреднения изучались в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского [26, 46, 55]. Обширная библиография по вопросам усреднения содержится в [56].

Первые результаты по усреднению дифференциальных включений были получены В. А. Плотниковым [60, 61]. Для дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными основные теоремы об аппроксимации по медленным переменным доказаны в работах О. П. Филатова и М. М. Хапаева [72, 73, 74, 75].

Задача устойчивости систем дифференциальных включений решалась различными методами [2, 9, 36, 66, 84, 85]. Также как и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, весьма эффективным средством исследования устойчивости дифференциальных включений является метод усреднения. Это направление получило развитие в работах [67, 68, 70, 71,76, 80, 81,83, 91,90].

В работе М. М. Хапаева [83] предложено обобщение второго метода Ляпунова, ориентированное на многочастотные системы, содержащие резонансные гармоники. Для таких систем строится обобщенная функция Ляпунова. Правые части исследуемых систем периодические по быстрым переменным и удовлетворяют условиям существования и единственности решения. Для оценки резонансных частот предложен метод, основанный на учете свойств частот в окрестности точки, исследуемой на устойчивость (в частности, требуется равномерное увеличение резонансной частоты по абсолютной величине при удалении от точки резонанса). В этой работе представлен ряд теорем об устойчивости на бесконечном промежутке времени. Для многочастотных систем устойчивость точки резонанса достигается за счет асимптотической устойчивости в этой точке усредненной системы. Теоремы об устойчивости на асимптотически большом отрезке T (fi) = [0,1///] (ц — малый параметр, 0 < // <С 1) доказаны при значительном ослаблении накладываемых условий. В частности, рассмотрен случай, когда точка резонанса xq является устойчивым положением равновесия усредненной системы, то есть когда нет асимптотической устойчивости. Устойчивость обеспечивается существованием положительно определенной функции Ляпунова vq (x), производная которой в силу усредненной системы неположительна. При таких предположениях определяется длина отрезка времени Т (/г), на котором решение исходной системы по переменной х не выйдет из-окрестности точки, исследуемой на устойчивость. Введенное здесь понятие устойчивости по части переменных и параметру — (х, fi)-устойчивости, — использовалось в работах [8, 70].

В работах О. В. Анашкина и М. М. Хапаева [6] для исследования устойчивости системы дифференциальных уравнений с малым параметром // в случае, когда система без возмущений имеет неасимптотически устойчивое нулевое решение, был разработан аппарат вспомогательных функций, сочетающий идеи второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения [26]. В работах О. В. Анашкина [3, 4] для получения теорем об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений используется подход, основанный на оценке поведения функции Ляпунова с помощью усреднения ее полной производной вдоль решения некоторой достаточно простой системы, которая хорошо аппроксимирует изучаемую систему. Этот метод впервые был предложен М.М. Ха-паевым в [82] и применялся в [7, 8] для исследования на //-устойчивость в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром fi (0 < /i < 1), возникающих в теории нелинейных колебаний. Этот метод оказался очень эффективным средством при изучении устойчивости решений нелинейных систем обыкновеннных дифференциальных уравнений также и в смысле классических определений А. М. Ляпунова [5]. В работах М. И. Каменского [10, 41] метод усреднения используется для исследования устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений нейтрального типа и систем квазилинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

При исследовании устойчивости систем дифференциальных уравне4 ний или включений с использованием теорем сравнения [50] возникает задача о качественном поведении решений системы дифференциальных неравенств относительно координат векторной функции Ляпунова, предполагаемых неотрицательными. Таким образом появилась необходимость исследования вопроса об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств. Основные результаты в этом направлении получены для систем, удовлетворяющих условию квазимонотонности Важевского. Исследованию систем дифференциальных неравенств посвящены работы А. И. Перова [58], Н.В. Азбелева[1], А. А. Воронова [30] и др. В статье О. П. Филатова [70] установлена связь устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств с малым параметром /г (0 < /(< 1) н системы дифференциальных уравнений, полученной методом усреднения, доказаны соответствующие теоремы об устойчивости на асимптотически большом и на бесконечном промежутке времени. В настоящей работе рассматривается вопрос об устойчивости системы дифференциальных неравенств более общего вида, когда быстрые переменные определяются уже не дифференциальным уравнением, а удовлетворяют включению, причем условие квазимонотонности на правые части системы не накладывается. Медленные переменные, по которым проводится исследование на устойчивость, в настоящей работе, как и в [70], предполагаются неотрицательными.

В 2001 году была опубликована статья Г. Граммеля (G.Grammel) [90], где расматривался вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости автономного дифференциального включения, полученного методом усреднения. При этом правая.

часть исходной системы предполагалась периодической по быстрой переменной. В статье [91], опубликованной в 2004 году, тот же вопрос рассмотрен для систем с липшицевой правой частью. В работе О. П. Филатова [71] приводится критерий равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных включений с медленными переменными на основании дифференциального включения сравнения, которое, в частности, может быть получено при помощи частичного усреднения исходной задачи. В настоящей работе, в отличие от [90, 91], для дифференциальных уравнений с управлением в качестве системы сравнения выбирается в общем случае неавтономное дифференциальное включение, полученное с помощью частичного усреднения. Кроме того, ослабляются требования на правые части исходной и усредненной систем. В частности, рассматривается равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений (с шумом) с нелипшицсвой правой частью, при условии, что дифференциальное включение, определяющее систему сравнения, односторонне липшицево (OSL). При доказательстве теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением существенно используется критерий устойчивости дифференциальных включений О. П. Филатова [71].

Содержание диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.

Заключение

.

Усреднение — эффективный метод исследования устойчивости систем дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными. При выполнении определенных условий об устойчивости по медленным переменным таких систем можно судить по свойствам усредненной системы, содержащей только медленные переменные.

В данной работе приведены достаточные условия устойчивости системы дифференциальных неравенств и включений с быстрыми и медленными переменными.

Переменные, по которым проводится исследование на устойчивость, неотрицательные. Такие ситуации встречаются при моделировании эволюционных задач в экологии, экономике. Кроме того, подобные задачи встречаются при использовании векторных функций Ляпунова.

Условие, которое накладывается на знак переменных, наличие малого параметра в системе, позволяет воспользоваться методом усреднения при доказательстве основного результата — теоремы об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке (теорема 1.6).

Представленная теорема устанавливает связь между устойчивостью усредненной системы и устойчивостью по медленным переменным исходной системы на асимптотически большом отрезке [to, to + /г-1], to G —> 0. Приведены примеры, показывающие, что теорема 1.6 не обобщается ни на случай сильной связи быстрых и медленных переменных, ни на бесконечный промежуток времени.

Теорема об устойчивости по медленным переменным системы дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке (теорема 2.1) доказана при предположении существования функций Ляпунова с определенными свойствами. В этом случае вывод об устойчивости по части переменных получен для неотрицательных решений благодаря сведению исходной системы к более простой, в которой дифференциальные неравенства заменяются на дифференциальные уравнения.

В данной работе также рассмотрен вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциального включения сравнения. Доказаны теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением в случаях липшицевой и нелипшицевой правой части (теоремы 2.3 и 2.4), где в качестве системы сравнения выбирается неавтономное дифференциальное включение, полученное методом усреднения. Приведен пример, показывающий, что полученный в теоремах 2.3 и 2.4 результат нельзя обобщить на задачу об асимптотической устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением.

Основными результатами диссертации являются:

1. Теорема об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке (теорема 1.6).

2. Теорема об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений (теорема 2.1).

3. Теорема о равномерной экспоненциальной устойчивости нелипши-цевых дифференциальных уравнений с управлением (теорема 2.4).

Показать весь текст

Список литературы

  1. Н.В. О приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка на основе метода С.А. Чаплыгина // ДАН СССР. — 1952. — Т.83. — С. 517−519.
  2. Ю.И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями // Автоматика и телемеханика. — 1961. — Т.22. № 7. — С. 817−830.
  3. О.В. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости для одного класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т.34. т. — С.867−875.
  4. О.В. Метод усреднения в теории устойчивости функционально- дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т.ЗЗ. № 4. — С. 448−457.
  5. О.В. Об асимптотической устойчивости в нелинейных системах // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т.14. № 8. — С.1490−1493.
  6. О.В., Хапаев М. М. Метод сравнения и исследование на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих возмущения I-II // Дифференциальные уравнения. — 1986. — Т.22. № 9. — С. 1604−1606- — 1989. — Т.25. № 2. — С. 187−192.
  7. О.В., Хапаев М. М. Об устойчивости нелинейных систем с малым параметром // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т.29. № 8. — С. 1301−1307.
  8. О.В., Хапаев М. М. О частичной устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т.31. № 3. — С. 371−381.
  9. А.А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — 568с.
  10. P.P., Каменский М. И., Потапов А. С., Родкина А. Е., Садовский Б. Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. —- Новосибирск: Наука, 1986. — 265с.
  11. П.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2001. —- С. 7−13.
  12. Н.П. Устойчивость системы дифференциальных неравенств и включений с сильной связью быстрых и медленных переменных // Научные доклады ежегодной межвузовской 56-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2002. — С. 3−6.
  13. Н.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т.11, вып.4. — С. 752−753.
  14. Н.П. О неустойчивости систем дифференциальных неравенств и включений // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2004. — С. 3−7.
  15. Н.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. — Воронеж, 2005. — С. 24−25.
  16. Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения—XVI». — Воронеж, 2005. — С.23−24.
  17. Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции (1−3 июня 2005 г., г. Самара), часть 3. — Самара, 2005. — С. 31−33.
  18. Н.П. Равномерная экспоненциальная устойчивость не-липшицевых дифференциальных уравнений с управлением // СамДифф-2005: Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», тезисы докладов. — Самара, 2005. — С. 16−18.
  19. Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 224 с.
  20. В.И. Оптимальное управление. — М.: Высшая школа, 2001. — 239 с.
  21. В.И. Теория дифференциальных включений. 4.1. — М.: Издательство МГУ, 1979. — 89 с.
  22. В.И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Математического института АН СССР. — 1985. — Т.169. —С. 194−252.
  23. Н.Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Издательство АН СССР, 1963. — 410 с.
  24. Ю.Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений. — Воронеж: Издательство ВГУ, 1986. — 104 с.
  25. В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. — 1962. — Т.17. № 6. — С. 66−72.
  26. В.М., Моргунов В. О. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. — М.: Издательство МГУ, 1971. — 508с.
  27. А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем.1. М.: Наука, 1985. — 315 с.
  28. А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1982. — № 5. — С. 5−28.
  29. А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. — М.: Наука, 1979. — 335 с.
  30. Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: СВМО, 2000. — 300 с.
  31. Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Издательство Саратовского ун-та, 1990. — 224 с.
  32. Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика. — 2003. — № 4 (491).1. С. 17−26.
  33. В. Г.Управление системами с быстрыми и медленными движениями. — М.: Наука, 1991. — 223 с.
  34. Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом // Прикладная математика и механика. — 1950. — Т.14, вып. 5. — С. 459−512.
  35. Н.П. Качественные методы в теории устойчивости // Прикладная математика и механика. — 1955. —Т. 19, вып.5. — С. 599 616.
  36. Н.П. Первый метод Ляпунова. — В сб.: Механика в СССР за 50 лет. Т.1. — М.: Наука, 1968. — С. 67−86.
  37. В.И. Методы Ляпунова и их применение. — Л.: Издательство ЛГУ, 1957. — 241 с.
  38. М.И. Об исследовании устойчивости периодических решений для нового класса систем квазилинейных уравнений в банаховом пространстве // Доклады Академии наук. — 1997. — Т.353. № — С. 13−16.
  39. А.И., Красовский Н. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производной // Прикладная математика и механика.1961. — Т. 25. т. — С. 680−694.
  40. М.А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи математических наук. — 1955. — Т.10. № 3. — С. 147−152.
  41. М.А., Покровский А. В. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости // ДАН СССР. — 1977. — Т.233. № 3. — С. 293−296.
  42. Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.
  43. М.: Физматгиз, 1959. —211 с.
  44. Н.М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Издательство АН УССР, 1937. — 363 с.
  45. А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1951. — 216 с.
  46. A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гостехиздат, 1950. — 471 с.
  47. И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 532 с.
  48. В.М. К теории устойчивости движения // Прикладная математика и механика. — 1962. — Т.26, вып.6. — С. 992−1002.
  49. В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями. I—11 // Дифференциальные уравнения. — 1967. — Т.З. № 3. — С. 395−409- — 1967. — Т.З. № 5. — С. 839−848.
  50. В.М. Метод сравнения в динамике систем. I—II // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т.10. № 9. — С. 1547−1559- — 1975. — Т.Н. т. — С. 403−417.
  51. Матросов В.М.. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Дифференциальные уравнения. — 1968. — Т.4. № 8. — С. 1374−1386- — 1968. — Т.4. № 10. — С. 1739−1752- — 1969. — Т.5. № 7.
  52. С. 1171−1185- — 1969. — Т.5. № 12. — С. 2129−2143.
  53. В.М., Анапольский Л. Ю., Васильев С. Я. Метод сравнения в математической теории систем. — Новосибирск: Наука, 1980.480 с.
  54. Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наукова думка, 1971. — 440 с.
  55. Ю.А., Хома Г. П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. — Киев: Наукова думка, 1983. — 215 с.
  56. П.В. Экспоненциальная устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. — 1980. — № 2. — С.65−71.
  57. А.И. Несколько замечаний относительно дифференциальных неравенств // Известия вузов. Математика. — 1965. — № 4 (47). — С. 104−112.
  58. С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1969. — № 12. — С. 5−11.
  59. В.А. Асимптотическое исследование уравнений управляемого движения // Известия АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. — 1984. — № 4. — С. 30−37.
  60. В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам оптимального управления // Дифференциальные уравнения. — 1979. — Т.15. № 8. — С. 1427−1433.
  61. В.В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 253с.
  62. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 300 с.
  63. G5. Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распеделенными параметрами. — Новосибирск: Наука, 1987. — 232 с.
  64. Г. В. Слабая асимптотическая устойчивость дифференциальных включений по первому приближению. — М.: ВЦ АН СССР, 1989. — 44 с.
  65. А.И. Об исследовании на устойчивость слабо неавтономных систем методом усреднения. // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16. т. — С. 252−257.
  66. А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро- дифференциальных уравнений. — Ташкент: Фан, 1974. — 216 с.
  67. О.П. Лекции по многозначному анализу и дифференциальным включениям. — Самара: Издательство «Самарский университет», 2000. — 116 с.
  68. О.П. О дифференциальных неравенствах в теории устойчивости.1// Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26. № 12. — С. 2077−2084.
  69. О.П. Усреднение дифференциальных включений с управлением // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т.33. № 6. — С. 782−785.
  70. О.П., Хапаев М. М. О взаимной-аппроксимации решений системы дифференциальных включений и усредненного включения. // Математические заметки. — 1990. — Т. 47, вып. 5. — С. 127−134.
  71. О.П., Хапаев М. М. Усреднение дифференциальных включений с «быстрыми» и «медленными» переменными. // Математические заметки. — 1990. — Т. 47, вып. б. — С. 102−109.
  72. О.П., Хапаев М. М. Усреднение систем дифференциальных включений. — М.: Издательство МГУ, 1998. — 160 с.
  73. А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.
  74. А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник МГУ. — 1967. — № 3.
  75. А.Ф. Приложение теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью к нелинейным задачам автоматического регулирования. — М.: Издательство АН СССР, 1965. — 7 с.
  76. А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Математические заметки. — 1980. — Т.27. т. — С.255−266.
  77. А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями // Дифференциальные уравнения. — 1979. — Т.15. № 6. — С. 1018−1027.
  78. М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. — М.: Высшая школа, 1988. — 183 с.
  79. М.М. Об одной теореме типа Ляпунова // Доклады АН СССР. — 1967. —Т. 176. № 6. — С. 1262−1265.
  80. В.З. Возмущения экспоненциально устойчивых дифференциальных включений обобщенными функциями // Математическая физика. Республиканский межведомственный сборник, Киев. — 1980. — Вып.28. — С. 34−40.
  81. В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т.16. Ш. — С. 258−263.
  82. С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1950. — 102 с.
  83. Н.Г. Устойчивость движения: Учебное руководство. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1990. — 176 с.
  84. Donchev Т., Farkhi Е. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions. // SIAM J. Control OPTIM. — 1998. — V. 36. №. 2. — P. 780−796.
  85. Donchev Т., Slavov I. Averaging method for one-sided Lipschitz differential inclusions with generalized solutions // SIAM J. Control OPTIM.1999. — V. 37. №. 5. — P. 1600−1613.
  86. Grammel G. Exponential stability via the averaged system // J. Dynamical Control Systems. — 2001. — V. 7. — P. 327−338.
  87. Grammel G., Maizurna I. A sufficient condition for the uniform exponential stability of time-varying systems with noise. // Nonlinear Analysis.2004. — V. 56. — P. 951−960.
  88. Wazewski T. Systemes des equations et des inegalites differentielles ordi-naires aux deuxiemes membres monotones et leurs applications. // Ann. Polonaise Math. — 1950. — V. 23. — P. 112−166.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?