Исследование корректности одномерных течений вязкого газа с цилиндрической и сферической симметрией

Для описания движения сплошной среда часто используют системы дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрение таких моделей непосредственно вызывается потребностями практики, потребностями численных методов решения на основе ЭВМ. С другой стороны, многие математические задачи, возникающие при изучении проблем механики, представляют и самостоятельный научный интерес, поскольку их решение связано с дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений.

Среди моделей гидроаэродинамики важное место занимает система уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости — модель, учитывающая как сжимаемость и теплопроводность, так и вязкость среды. Эта система весьма сложна: она имеет составной тип, а уравнения, входящие в нее, нелинейны. Поэтому часто используются и другие, более простые, модели вязкого газа. В частности, если рассматривается баротропное движение, то уравнение для энергии отделяется, хотя и в этом случае система сохраняет основные особенности — нелинейность и составной тип.

Обзор исследований по вопросам корректности краевых задач для уравнений вязкого газа приведен в монографии С. А. Антонцева, А. В. Кажихова, В. Н. Монахова [I] • Началом математического изучения течений теплопроводного вязкого газа следует считать работу Дж. Серрина [2], в которой сформулированы основные постановки краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. В 1962 году Дж. Нэшем [3] была получена первая теорема существования. Им была показана локальная по времени разрешимость задачи Коши для гладких начальных данных. Повторение и дальнейшее развитие этот результат нашел в работах Н. Итая [4] и А. И. Вольперта, С. И. Худяева [5], где применялись несколько иные метода. Первые теоремы разрешимости в целом по времени получены Я. И. Канелем [б], который рассмотрел задачу Коши для модели баротропного движения вязкого газа с плоскими волнами.

Для смешанных начально-краевых задач теоремы существования и единственности в малом по времени доказаны В. А. Солонниковым [7] в случае баротропного движения и А. Тани [8] в случае теплопроводного вязкого газа. Существование решения задачи Коши и смешанной задачи в целом по времени изучалось А. Матсумурой и Т. Нишидой [9], [ю]. Ими показана глобальная разрешимость общей системы уравнений вязкого теплопроводного газа, если только начальные данные близки к состоянию покоя.

В настоящее время нелокальная теория (без условий малости интервала существования решения или норм начальных данных) построена для модели’вязкого газа только в случае одномерного движения с плоскими волнами. В работах Н. Итая [il] и А. Тани [12] рассмотрены задачи Коши и первая начально-краевая задача для обобщенных уравнений Бюргерса — модели изобарического движения вязкого газа. Дальнейшие результаты по задаче Коши для течения, теплопроводного вязкого газа доказаны Я. И. Канелем [13] .

Существенное развитие нелокальная теория получила в работах А. В. Кажихова. Метод, разработанный в [14] для системы баротропного вязкого газа позволил: ему и другим авторам исследовать значительное число задач, в том числе и для общей модели с учетом теплопроводности. Для полной системы уравнений А. В. Кажиховым сначала установлена корректность задачи о разлете конечной массы газа в вакууме [15] сказавшейся в математическом смысле более простой. В дальнейшем им рассмотрены задачи для движения теплопроводного газа в фиксированной области при однородных[16] а затем и при неоднородных [17] условиях на боковых границах. Здесь же указано повышение гладкости сильного решения при гладних начальных данных. Кроме того, в [17] и [18] доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Вопросы стабилизации решений при различных постановках задач изучены в работах А. В. Кажихова [19], [17], А. В. Кажихова и В. В. Шелухина ществования периодических, почти-периодических и ограниченных по времени решений в разных модельных ситуациях.

Задачи протекания для уравнений Бюргерса, уравнений баротроп-ного движения и для полной модели вязкого теплопроводного газа изучены С. Я. Беловым в работах [26] - [29], где доказаны теоремы существования и единственности решения на произвольном конечном интервале времени. Тем же автором [30] показана разрешимость задачи оптимального управления процессом заполнения вакуума вязким газом, а также процессом протекания вязкого газа через ограниченную область.

Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению корректности в целом по времени одномерных движений вязкого газа, в том числе течений с цилиндрической и сферической симметрией.

Диссертация состоит из введения, двух глав и шести параграфов, списка литературы, включающего 43 наименования и изложена на 89 страницах машинописного текста. Параграфы для удобства разбиты на пункты. Нумерация формул ведется отдельно в каждом параграфе. Нумерация теорем сквозная.

1. Канель Я. Н. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа.-Дифференц, уравнения, 1968, т.4,№ 4,с.721−734.

2. Канель Я. И. 0 задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью.-Сиб.мат.журн., 1979, т.20,№ 2.с.293−306.

3. Кажихов А. В. Корректность «в целом» смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа.-В кн.:Течение жидкости со свободными границами. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1975, с.18−47.'(Динамика сплошной среды, вып.21).

4. Кажихов А. В. 0 глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа.-В кн. Динамика жидкости со свободными границами. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1976, с.45−61.(Динамика сплошной среды, вып.24).

5. Кажихов А. В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости.-В кн.:Нестационарные проблемы гидродинамики. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1979, с.33−47.(Динамика сплошной среды, вып.38).

6. Кажихов А. В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа.-В кн.:Краевые задачи гидродинамики. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, I981, с.37−62.(Динамика сплошной среды, вып.50).

7. Кажихов А. В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа.-Сиб. мат.журн., 1982, т.23,№ I, с.60−64.

8. Кажихов А. В. 0 стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости.-Дифференц.уравнения, 1979, т.15,№ 4,с.662−667.

9. Кажихов А. В., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа.-Прикл.математика и механика, 1977, т.412,с.282−291.

10. Шелухин В. В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе.-В кн.:Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1978, с.134−146.(Динамика сплошной среды, вып.33).

11. Шелухин В. В. Периодические течения вязкого газа.-В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Новосибирск, изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1979, с.80−102.(Динамика сплошной среды, вып.42) .

12. Шелухин В. В. Параболическая аппроксимация одной модели вязкого газа.-Численные методы механики сплошной среды: Математическое моделирование. Ин-т теорет. и прикл.механики.Новосибирск, 1979, т. 10,№ 5,с.111−126.

13. Шелухин В. В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса.-Прикл.математика и механика, 1979, т.43,вып.б, с.992−997.

14. Шелухин В. В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа.-В кн.:Динамика неоднородной жидкости. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1980, с.147−163.(Динамика сплошной среды, вып.44).

15. Белов С. Я. 0 неоднородных задачах для уравнений Навье-Стокса вязкого газа.-В кн.:Материалы ХП Всесоюзной научной студенческой конференции.Математика.Новосибирск:НГУ, 1979, с.18−24.

16. Белов С. Я. Разрешимость «в целом» задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости.-В кн.:Краевые задачи для уравнений гидродинамики. Новосибирск, изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, I981, с.3−14.(Динамика сплошной среды, вып.50).

17. Белов С. Я. 0 задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа.-В кн. гДинами-ка неоднородной жидкости. Новосибирск, изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1982, с.21−43.(Динамика сплошной среды, вып.56).

18. Белов С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом.-В кн.:Математические проблемы гидродинамики. Новосибирск, изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1983, с.23−38. (Динамика сплошной среды, вып.59).

19. Белов С. Я. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа.-В кн.:Динамика жидкости со свободными границами. Новосибирск, изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1983, с.34−50. (Динамика сплошной среды, вып.60).

20. Овсянников. Л.В.

Введение

в механику сплошных сред. Часть П.Новосибирск, изд-во Новосиб. ун-та, 1977,70с.

21. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.-2-е изд., перераб. и доп.-М.:Наука, 1978,688с.

22. Яненко Н. Н., Березин 10.А., Кривопуцкий B.C. Гравитирующий газовый шар.-Численные методы механики сплошной среды/Ин-т теорет. и прикл. механики, Новосибирск, 1978, т.9,№ 4,с.139−145.

23. Кожанов А.й., Ларькин Н. А., Яненко Н. Н. Об одной регуляризации уравнений переменного типа.-ДАН СССР, т.2523,1980, с.525−527.

24. Кожанов А. И., Ларькин Н. А., Яненко Н. Н. Смешанная задача для некоторых классов уравнений третьего порядка.-Препринт № 5, Новосибирск: ИТ и ПМ СО АН СССР, 1980,36с.

25. Ларькин Н. А. 0 краевой задаче с ограничением для уравнения третьего порядка и ее применения в газовой динамике.-В кн.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск:ИМ СО АН СССР, 1981, с.127−130.

26. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973,407с.

27. Николаев В. Б. 0 корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния.-В кн. Материалы ХУ Всесоюзной научной студенческой конференции.Математика.Новосибирск, изд.Новосибир.ун-та, 1977, с.18−21.

28. Кажихов А. В., Николаев В. Б. К теории уравнений Навье-Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния.-ДАН СССР, т.246,If 5, I979,c.I045-I047.

29. Кажихов А. В., Николаев В. Б. 0 корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния. -Численные методы механики сплошной среды/Ин-т теорет, и прикл. механики, Новосибирск, 1979, т.10,№ 2,с.77−84.