Нелинейные вариационные аналитические и коаналитические задачи в весовых пространствах

Диссертация посвящена исследованию нестандартных краевых задач для уравнений с частными производными, возникающих как математические модели вариационных задач на аналитических и коанали-тических подпространствах весовых пространств Соболева.

Изучение нелинейных аналитических и коаналитических вариационных задач было начато в недавних работах Ю. А. Дубинского (см.

список литературы

), в которых был исследован ряд соответствующих краевых задач неклассического типа: периодическая аналитическая задача с дополнительным потенциалом, аналитическая задача без граничных условий, включение Эйлера задачи минимизации коаналити-ческого уклонения и другие. Однако исследования Ю. А. Дубинского относились к случаю невесовых соболевских пространств.

Одной из основных целей настоящей работы является формирование и исследование аналитических и коаналитический вариационных моделей в случае весовых пространств в единичном круге и в полуполосе на комплексной плоскости.

Необходимо отметить, что ключевым моментом при формировании самих математических моделей аналитических и коаналитических задач является результат об ортогональном разложении квадратично суммируемой с рассматриваемыми весами функции на аналитическую и коаналитическую составляющие, который имеет, на наш взгляд, и самостоятельный интерес, и которому в работе уделено значительное внимание.

Исследования, представленные в диссертации, проводятся в рамках общей теории уравнений с частными производными на базе как вещественной, так и комплексной теории функций и функционального анализаПри решении поставленных задач используются методы исследования дифференциальных уравнений, созданные в теории коэрцитивных и монотонных операторов. Широко использованы пространства Лебега и Соболева. Существенную роль в получении основных результатов сыграло наличие ортогонального базиса в подпространствах аналитических функций в круге единичного радиуса и в полуполосе. i.

В работе представлены следующие основные результаты:

1. Установлено ортогональное представление квадратично суммируемой с весом функции в виде суммы аналитической и коаналитической составляющих.

2. Изучена нелинейная аналитическая задача вариационного типа в рамках весовых пространств Соболева.

3. Исследована задача о минимизации коаналитичекого уклонения при продолжении заданной граничной функции внутрь области также в пространствах Соболева с весом.

Результаты п.п. 1—3 получены в случае полуполосы комплексной плоскости и в случае круга единичного радиуса.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер.

Основные результаты диссертации докладывались на научно — исследовательских семинарах: семинаре МИР АН им. В. А. Стеклова под руководством акад. РАН С. М. Никольского, члена-корр. РАН О. В. Бесова и члена-корр. РАН Л. Д. Кудрявцева, семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю. А. Дубинского, семинаре по вычислительной математике и математическому Моделированию под руководством проф. A.A. Амосова и проф. A.A. Злотника (кафедра математического моделирования МЭИ), на совместном заседании семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества (девятнадцатая сессия, Москва, МГУ, 1998), а также на пятой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов (Москва, МЭИ, 1999).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19−22], а также содержатся в статье Зубкова П. В. «Об аналитической нелинейной задаче вариационного типа», принятой к публикации в журнал «Доклады РАН» 23 апреля 1999 года. |.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, излагаются цели диссертации, в сжатом виде приводятся основные результаты работы.

В главе 1 проводится изучение аналитической и коаналитической периодических задач в полуполосе в пространствах с весом е~уу.

В § 1 вводятся основный функциональные пространства.

Пусть С1 = {г = х + гу, х Е Я1, у € Я, 1} - комплексная плоскость, <2 = {г? С1: —7Г < х < 7 Г, у > 0} - полуполоса, /л (у) = - весовая функция,.

Обозначим через (С, е~1У) весовое пространство Лебега комплексных функций, измеримых и суммируемых с квадратом в области (7 с весом е-7У. Положим ть2(С, е-^ = \М\0&bdquo- = (Л^Нх + 1У)2е-^хс1Уу2.

Далее, введем анизотропное пространство Соболева периодических функций.

Цг^^е-^^иМ-.О С1-/(г), ^^ е Ь2(0,е^у), к^ 1,. т г) = /(* + 2*) — ||/И^",-&trade-) = И/С =? а-—о и подпространство аналитических функций из У™, 0(С, е~уу).

0?(0,е~&trade-}={ /(г): ¡-(г + 2тт) = /(г), /(г) в д-г№ = 0}.

Пространство аналитических функций 0&trade-(С, е~уу) является замкнутым подпространством пространства Ил™'°(<7,е71/). дк/ дхк.

О .'У.

Система экспонент {егпг}, п = N,$ 1 + 1,., где N = [—+ 1, образует в О™{С, е~~7У) ортогональный базис. Очевидно,.

С С"&trade—1^-&trade-) С ••• С С О^е"™), причем эти вложения плотны в силу единого базиса Фурье.

Через обозначим сопряженное к IV™ (О, е~7У) пространство? нормой |(-|(т 7тп.

Заметим, что дифференциальный оператор Л= 2/(~1) де]йа-=0 ствующий из пространства е~~гу) в сопряженное пространство осуществляет изометрический изоморфизм между этими пространствами. Введем пространство.

— И/11-тл +.

1А.

1 дх м.

— т, 7.

1 ^ п.

— ту.

В силу вложения У-1^" «&trade-'0^, е» &trade-) С С ([0, оо) — ТГ2″ «то (-тг, тг)) определены следы функций из У» 1!^-т'° (С, е~7У) на границе у — 0. В § 2 доказана формула которая отражает тот факт, что всякая функция f (z)? е~1У) i может быть единственным образом представлена в виде ортогональной суммы аналитической и коаналитической составляющих, причем для коаналитической составляющей fca (z) справедливо представление М где функция р (г) 6 И1^ (С?, е — коаналитический потенциал. Здесь И/21(^е7У) ~ подпространство функций из.

И^С.е"™) = { /{г + 2тг) = /(г)-, /(г), |-/(г), |-/(г) е ?2(С, е-™) — ||/М1Й.т + 1^/(2)11^ < оо}, обращающихся в нуль при у = 0, т. е. { /(г) е /(*) = 0). у-о.

Теорема 2.1. Яусть у ^ 2к, к = 0, ±1, ±-2,.нф) 6 Ь2(0,е~™). Тогда ц (г) обращается в нуль на подпространстве аналитических функций 02(.

— 8ж (рф)) = ф), М = е" &trade-, р (*) € А4 2тт) = р (г), При этом справедлива оценка.

В работе приведены примеры, показывающие существенность налагаемых на весовую функцию условий. Справедлив и более общий результат. I.

Теорема 2.2. Пустьуф2к, к = 0,±1,±2,.ид{г)? (га > 0). Тогда д (г) обращается в нуль на подпространстве аналитических функции (т.е. (д, <р) — 0 для любой функции г!(г)? е 7У)) в том и только в том случае, когда существует единственное решение задачи 9″, А* = рМ € V" 1 е~7У);

2тг)=р (г) — О. у=0.

При этом справедлива оценка.

Этот результат играет основную роль при формировании и исследовании ряда нестандартных математических моделей вариационного типа, описываемых в последующих параграфах данной главы.

В § 3 исследована модельная задача о минимизации функционала типа нормы на подпространстве аналитических функций. Получено уравнение Эйлера соответствующей вариационной задачи.

В § 4 исследуется нелинейная аналитическая задача вариационного типа порядка 2 т (т > 1), которая имеет следующий вид ш.

Г (-1)кБкхАк (г, ¡-{г), /'(*),., /<�"•>(*)) + -д2(^р{г)) = к=0 ^ г + 2тг) = /(г), р (г + 2тг) = р (г), рМу=0= 0, р, = е-&trade-, здесь через Вх обозначен оператор ^ дифференцирования по переменной х.

Особенностью этой задачи является то, что в ней неизвестными являются две функции: /(г) — аналитическая функция, и р (г) — коанали-тический потенциал.

Доказана теорема о разрешимости этой задачи в предположении, что функции Ак удовлетворяют следующим условиям:

I. Условие «подлинейного» роста: для почти всех г Е <2 и всех.

Со, • • •,? тп ее1 т < + дк (г), к = 0,1, — з=о где дк (г) — некоторые действительные функции из />2(?,', е~~7У), М > О — постоянная.

II. Условие коэрцитивности: для почти всех 2? б? и всех • • •? £т т т.

Яе ]Г • • •, > М2 ]Г |6|2 — (*),.

0 А=0 где М2 > 0 — некоторая постоянная и Ьг (г) — функция из /^(С?, е-7У).

Теорема 4.1. Пусть 7²/г, /г=0,±-1,±-2,. и функции. ,£т) удовлетворяют условию Каратеодори и условиям 1,11. Тогда для любого Н (г)? Ш^" 1'0 {0,е~1у) существует, по крайней мере, одна пара функций /(г) е и р{х)? (в, являющихся решением задачи в смысле обобщенных функций над пространством (т> 1).

Теорема доказывается в два этапа. Сначала методом Галеркина определяем аналитическую функцию /(г), а затем, используя теорему 2.2, находим коаналитический потенциал р (г). В качестве достаточного условия, гарантирующего единственность решения, можно предположить условие строгой монотонности оператора тп и,/'И,. ,/<" *>(*)). к=0.

В § 5 рассматривается постановка вариационной задачи о минимизации коаналитического уклонения.

Определение. Мерой неаналитичности или, что-то же, коаналитичес-ким уклонением функции /(г)? е~" *у) назовем число.

Ы/, 1) = УсаШ^НО.е^,) 3 ||У (/ - /,)|Ц17 + ||/ - = - /") «А) I/ - АГ е~~1У&х (1у.

С учетом этого определения естественно поставить задачу о поиске такого продолжения заданной периодической граничной функции внутрь области, которое бы наименее уклонялось от аналитического подпространства в смысле минимума «7−2 (/, 7).

Задача. Среди всевозможных продолжений е 1?}(0,е-тУ), /(г + 2тг) = /(г), /(г) = /"(*), у=0 найти то, которое имеет наименьшее коалалитическое уклонение.

Математической моделью поставленной задачи является краевая задача для дифференциального включения д.

— Д (/ - /") + - /а) + (/ - А) € 02-Ч<�г, е-7У), при дополнительных условиях = /0(х), у=о где — проектор на подпространство периодических функций, разлагающихся в ряд по ехр гпх, п = N + 1,. •где N = [— 2] + 1.

В § 6 в рамках идей теории монотонных операторов доказана теорема о существовании и единственности решения задачи о коаналитическом уклонении.

1 /2.

Теорема 6.1. Для любой периодической функции /о (ж)? Ш2 (—7Г, 7г) существует единственное решение /(г) Е И/21(С?, е7у), /(г 27г) = /(г) задачи минимизации коаналитического уклонения.

В главе 2 исследуются аналитическая и коаналитическая задачи в круге единичного радиуса.

В § 7 вводятся основные функциональные пространства. Пусть К = {г? С1: х2 + у2 < 1} -круг единичного радиуса. В этой главе в качестве весовой функции на К рассматривается степенная функция вида р (х, у) = дь где д = уж2 + у2, Ь — вещественное число.

Обозначим через дь) — весовое пространство Лебега функций г): К —>¦ С1, измеримых и суммируемых с квадратом в области К с весовой функцией р (х, у), где норма вычисляется по формуле.

Ш\ык>д ь> = 1№)11о, ь = + |2М®, у)^у)½.

На полярной сетке (д, 9) в круге К введем оператор комплексного уго д лового дифференцирования о$ —— — и оператор радиального компгд од лексного дифференцирования дв = е~гв —. Заметим, что дифференцидд я 1 (д ¦ д < альныи оператор о2 = - (——г— I в полярных координатах (?>, и) записывается в виде дг = + де).

Через 1У™0(К, дь) обозначим весовое пространство функций, которые имеют комплексные угловые производные до порядка га (т > 1) и суммируемы с квадратом в области К вместе с этики производными при весовой функции дь, т. е.

У?е (К, дь) = {/(г):К-> С1', /(г), $/(*)? Ь2(К, дь), к = 1,. т к=О.

Введем весовое подпространство «почти аналитических» функций дь) = { ¡-(г): КС1, /(г) € И^(ЛГ, дь), /(г) — аналитическая в.

Пространство О™(К, дь) является замкнутым подпространством.

Система мономов {гп}, п = ЛГ, N + 1,.образует в О™(К, дь) ортогональный базис, где /0, ¿-&euro-(-2,2т];

I [-2] + т> Ь0(-2,2т].

Очевидно.

• • • Л с еь) с • • • с с е% причем о плотности вложений в цепочке пространств можно говорить при — 2 < Ь < 0 в силу общего базиса гп, п = 0,1,2, —.

Через ЦГ^^К, дь) обозначим сопряженное к ?™в (К, дь) пространство с нормой.

II и — II II <�Л>Р>

1Ы1И7-= Ы-т, Ь = |Гр|.

II-* \т, Ь т к (Я к.

Заметим, что дифференциальный оператор Л = {Щ) дв) •> Дейк=0 ствующий из пространства ?™в (К, дь) в сопряженное пространство ¥-2&trade-{К, дь), осуществляет изометрический изоморфизм между этими я* д (е* пространствами, здесь Од — = — I -— 1 — оператор, сопряженный к оператору комплексного дифференцирования д$-. Используя это свойство, можно дать следующее эквивалентное определение пространства оо.

Щ7?(К, вь) = { д (г): # С1- д (г) =? дп (9упв-,.

ОО.

Е / О п= — оо.

2тт > ' /" п= — оо т д в.

2Яг к=0 гдеП&bdquo-)= = (1^ = 0!'" .

Далее введем пространства п — к + 1), к ф 0;

Л = {л ?)^ (Мй/)> ¿-у^(?(*)/) € и^Л*. Кв) = Л деШ) т, Ь т. Ь оо.

И^Л*. = { /(*) -К С1- /(л) =? п= —о (c)

-¿-Мм/) т, Ь 1 т, Ь т{П i-Jo? пи ' <''+Ь/01 > 1/ а-=0 «.

При т = 0,1 пространства дь) и совпадают, а при т > 1 У-1^^, еЬ) С ^И^ЛЛГ, Заметим, что в силу вложений с С ((0,1]- И/2~т (0, 27г)) ,.

V-1 {К, еь) С С ((0,1]- И7т (0,2тг)) можно говорить о следах функций из соответствующих пространств на границе области К.

В § 8 доказывается теорема об ортогональном разложении в шкале пространств ?2™(К, д1') (т > 0).

Теорема 8.1. Пусть Ь ф 2к, к = ±1,±2,., и ц (г) е где т > 0. Тогда ^(г) обращается в нуль на подпространстве «почти аналитических» функций О&trade- (К, дь) (т.е. {д,<�р) = 0 для любой функции <�р (г)? О™(К, дь)) в том и только в том случае, когда существует единственное решение задачи ф), !Л = е р (г) е V-1 вь),.

При этом справедлива оценка М (т, Ь) Ш\т Ь .

В работе приведены примеры, показывающие существенность налагаемых на весовую функцию и коаналитический потенциал условий.

В § 9 исследована модельная задача о минимизации функционала типа нормы на подпространстве «почти аналитических» функций в круге. Получено уравнение Эйлера соответствующей вариационной задачи.

В § 10 исследуется нелинейная аналитическая задача вариационного типа, которая имеет следующий вид т 1 оо> /'(*)> • • •, /(т)м) + м*)) =™ > 1," .

На* = 0.

Доказана теорема о разрешимости этой задачи в предположении, что функции Ак удовлетворяют следующим условиям:

I. Условие «подлинейного» роста: для почти всех г Е К и всех.

Со? • • •? £тп? С1 т М1^?з + 9к (г), А- = 0,1,. ., т, о где ^(-г) — некоторые действительные функции из Ь2{К, дь), М > 0 -постоянная.

И. Условие коэрцитивности: для почти всех г? К и всех ., £т т т.

Ке ^ Лк (г, Со, •. > М2? |&|2 ~.

Лг=0 *-=0 где М2 > 0 — некоторая постоянная, и 61(2) — функция из Ьх{К, д1).

Теорема 10.1. Пусть Ьф2к, к = ±1, ±2,. и функции Ак (г,?0,. ,£т) удовлетворяют условию Каратеодори и условиям 1,11. Тогда для любого Н (г)? И^™(.К", существует по крайней мере одна пара функций ¡-(г) Е 0&trade-(К, дь) и р (г) Е дь), являющихся решением задачи в смысле обобщенных функций над пространством У/™в (К, дь) (т > 1).

Теорема доказана в рамках идей метода компактности. Замечание 10.1. В случае строгой монотонности оператора т (/(*)) = 52ткАк (г, т Г (г),., /<�">> (*)).

Дс=0 найденное решение единственно.

В § 11 исследуется вариационная задача о минимизации коаналити-ческого уклонения.

Ставится задача о поиске такого продолжения заданной граничной функции внутрь области, которое бы наименее уклонялось от аналитического подпространства в смысле минимума т2(/, Ь) = НЛаМН^к,^) 3 \Vif — /а)||021Ь + II/ - /"11^, где fa — аналитическая составляющая функции /(2).

Задача. Среди всевозможных продолжений f (z) G W}(K, f (z) = fo (s) e Wl, 2(S), 5 = {z € C1: z = 1}, о найти то, которое имеет наименьшее коаналитическое уклонение m2(f, L).

В рамках идей теории монотонных операторов доказана теорема о существовании и единственности решения задачи о коаналитическом уклонении.

Теорема 11.1. Для любой функции /о (s) G W²(S) существует единственное решение f (z)? W2(K, gL) задачи минимизации коаналити-ческого уклонения.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Юлию Андреевичу Дубинскому за постановку задачи, постоянное внимание к работе и обсуждение результатов.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях // Изд-во иностранной литературы. 1962.

2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды // М.: Наука. 1961.

3. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения // М.: Наука. 1975.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики // М.: Наука. 1988.

5. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения // М.: Мир. 1978.

6. Демидов A.C. Обобщенные функции в математической физике. Основные понятия // М.: Изд-во МГУ. 1992.

7. Дубинский Ю. А. Обобщенные функции и их применения. Выпуск II. Нелинейные эллиптические задачи // М.: МЭИ. 1976.

8. Дубинский Ю. А. Об аналитической нелинейной периодической задаче // Дифференциальные уравнения. 1993. Т.29. N3 С.371−381.

9. Дубинский Ю. А. О некоторых ортогональных разложениях и нелинейной аналитической задаче // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N2 С.262−275.

10. Дубинский Ю. А. Об аналитических «краевых» задачах на плоскости // Успехи математических наук. 1997. Т.52. вып.З. С.53−104.

11. Дубинский Ю. А. Об |одной задаче наилучшего продолжения периодической функции // Доклады РАН. 1998. Т.360. N1. С.10−12.

12. Дубинский Ю. А. О продолжении функций с наименьшим коаналитическим уклонением // Математические заметки. 1998. Т.64. N1. С.45−57.

13. Дубинский Ю. А., Осипенко A.C. Об аналитической нелинейной задаче в полосе // Вестник МЭИ. 1995. N6. С.29−40.

14. Дубинский Ю. А., Осипенко A.C. ?р-теория некоторых аналитических и коаналитических задач вариационного типа / / Вестник МЭИ. 1997. N6. С.18−30.

15. Дубинский Ю. А., Осипенко A.C. Об «ортогональном» разложении <|оболевских пространств в сумму аналитических и коаналитических подпространств // Доклады РАН. 1998. Т.359. N6. С.735−738.

16. Дубинский Ю. А., Осипенко A.C. Об общем виде функционалов над пространствами аналитических функций. // Вестник МЭИ. 1998. N6. С.36−46.

17. Евграфов М. А. Аналитические функции // М.: Наука. 1991.

18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды // М.: Мир. 1965. Т.2.

19. Зубков П. В. Аналитическая нелинейная вариационная задача в круге в пространствах с весом // Вестник МЭИ. 1996. N6. С.57−70.

20. Зубков П. В. Об аналитической нелинейной периодической задаче в полуполосе в весовых пространствах // Вестник МЭИ. 1998. N6. С.62−72.

21. Зубков П. В. Об одной аналитической задаче в круге в весовых пространствах // Успехи математических наук. 1998. Т.53. вып.4. С.192−193.

22. Зубков П. В. Об аналитической нелинейной периодической задаче в полуполосе в весовых пространствах / / Пятая Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. Тезисы докладов. М.: Издательство МЭИ. 1999. Т.1. С.243−244.

23. ИосидаК. Функциональный анализ // М.: Мир. 1967.

24. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: Наука. 1976.

25. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного // М.: Наука. 1973.

26. Лионе Ж.-JI. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач // М.: Мир. 1972.

27. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций // М.: ГИТТЛ. 1950.

28. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения // М.: Наука. 1977.

29. Ройтберг Я. А. Эллиптические граничные задачи в обобщенных функциях. Препринт I IV // Чернигов: Педагогический институт. 1990.

30. Рудин У. Функциональный анализ // М.: Мир. 1975.

31. Соловьев Ю. П., Троицкий Е. В. С*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии // М.: Изд-во «Факториал». 1996.

32. X. Трибель. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. // М.: Мир. 1980.

33. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства // М.: ГИИЛ. 1948.

34. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ // М.: Наука. 1976.

35. Шведенко C.B. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре. // Математический анализ. Т.23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М.: 1985. С.3−124.

36. Эдварде Э. Функциональный анализ // М.: Мир. 1969.

37. Axler H. Bergman spaces and their applications // Surveys of Some Recent Results in Operator Theory. V.l. (J.Conway and B. Morell, Editors). Pitman Res. Notes in Mathem. 1988. P. 1−50.