Устойчивость и колебания неоднородных оболочек

Под неоднородностью из всего множества идей, вкладываемых в это понятие, мы будем понимать неоднородность, связанную с переменностью двух физических величин Е (х, у, г) и р (х, у,?).

Метод Ритца (МР) и метод Бубнова-Галеркина (МБГ) относятся к классу проекционных методов, при этом отличительной особенностью функционала, отвечающего МР, является достижение им экстремума в стационарных точках. Суть указанных методов заключается в аппроксимации исходного пространства состояний исследуемой системы некоторым его подпространством и разыскании стационарной точки рассматриваемого функционала в данном подпространстве. Этому обычно соответствует переход от исходной системы уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений (в случае статической задачи) или к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (в случае динамической задачи).

Отметим, что МБГ, как проекционный метод, может быть формально применен к решению дифференциальных уравнений, не являющихся уравнениями Эйлера для какого-либо функционала (или соответствующий функционал может быть неизвестен). В этом случае данный метод состоит в проектировании исходных уравнений на некоторое подпространство этого функционального пространства, в котором находится такое решение задачи, и приближенное решение разыскивается исходя из полученных соотношений как элемент данного подпространства.

Начало изучению МР и МБР было положено в работах Кйга[201] и И.Г. Бубнова[11]. Развитие и применение метода МР и МБГ в задачах механики осуществлено в работах Б.Г. Галеркина[30], Л. С. Лейбензона [113,114], П.Ф. Папковича[143], К.З. Галимова[31] и других авторов. Всестороннее математическое обоснование МР для линейных самосопряженных задач дано в ряде фундаментальных работ Н. М. Крылова [79, 81,82,84]. В сообщении Н.М. Крылова[80] МР применен к уравнению Т. Кармана и указан способ оценки погрешности этого метода в равномерной норме. В работе М.В. Келдыша[55] дано доказательство сходимости МБГ в линейных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений четного порядка и для уравнений в частных производных эллиптического типа с младшими членами.

С.Г. Михлин[127] распространил результаты М. В. Келдыша на общий случай линейного операторного уравнения с несамосопряженным оператором, обобщающего широкий класс краевых задач для уравнений эллиптического типа. В работе М.А. Красносельского[76] установлены общие теоремы о сходимости МБР для нелинейных операторных уравнений и приведена оценка погрешности данного метода через погрешность наилучшего приближения искомого элемента линейными комбинациями координатных элементов.

В работах А.Д. Ляшко[119−121], А.Е. Мартынюка[123,124], для линейных уравнений с несамосопряженным оператором предложена конструкция квадратичного функционала, аналогичного функционалу метода Ритца для самосопряженных задач, и обоснована сходимость соответствующего вариационного метода. В работах А.Д. Ляшко[118] и М.Х.

Nashed[200] эти результаты распространены на случай нелинейного уравнения с не потенциальным оператором.

В отличие от МР, МБГ может быть эффективно использован при решении не только стационарных (краевых задач для уравнений эллиптического типа), но и эволюционных задач (начально-краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типа). Распространено мнение, что впервые к исследованию нестационарных задач МБГ применил в 1949 г. S. Faedo[182], в связи с чем в зарубежной математической литературе получил распространение термин «метод Фаедо-Галеркина». Однако, еще в 1931 г. в работе Н. М. Крылова и Н.М. Боголюбова[83] МБГ был использован при исследовании задачи Коши-Дирихле для гиперболического уравнения второго порядка, причем схема использования данного метода в указанной работе весьма близка к современной.

Таким образом, представление о приоритете S. Faedo в области применения МБГ к эволюционным задачам не соответствует действительности, поэтому мы считаем, что работа[182] является одной из первых по данной теме, но не основополагающей.

Из ранних работ в этом направлении укажем публикации J.W. Gre-епа[193] и Е. Hopfa[194], в которых МБГ использован соответственно для линейных параболических уравнений и для нелинейных уравнений Навье-Стокса.

Уровень развития и использования МР и МБГ в нелинейных задачах теории пластин и оболочек на 1956 г. достаточно отражен в монографии A.C. Вольмира[18] и Х. М. Муштари, К.З. Галимова[134], где указанные методы применяются в первом и втором приближениях.

Последующее развитие вычислительной техники способствовало применению МР и МБР в высших приближениях. Отметим некоторые работы в этом направлении: в монографии М. С. Корнишина [71] приводятся результаты по исследованию больших прогибов прямоугольных в плане оболочек в третьем приближенииБ.Я. Кантор[53] использовал МР для решения задач теории осесимметричных пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей (отмечается практическая достаточность, в основном, четвертого либо пятого приближения) — в обзоре ИМ. Воровича и М.И. Минаковой[28] приводится литература по исследованию МБГ в высших приближенияхв работах В. А. Амельченко и В А. Крысько[2], В.А. Крысько[85], A.JI. Поташа[146] в представлении решения удерживается до 36 варьируемых параметров.

Результаты применения МР и МБР в задачах устойчивости теории оболочек представлены в монографии Э. И. Григолюка и В.В. Кабанова[35], где при описании форм потери устойчивости с большой неоднородностью указывается на необходимость удерживать большое число членов ряда либо, используя априорную информацию, производить выборку определенного числа базисных функций.

Подробно изложение МБГ для динамических геометрически нелинейных задач теории пластин и оболочек дано в монографиях A.C. Воль-мира[19] (там же приводится библиография, отражающая историю вопроса на 1972 г.) и [17], где исследуется динамическая устойчивость конструкций, находящихся во взаимодействии с жидкостью и газом.

Большой класс задач пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей, а также задачи циклического нагружения (в частности, исследование влияния типа поперечных импульсных нагрузок на устойчивость оболочек, влияния демпфирования на величину динамических критических нагрузок и т. д.) решен с помощью МБГ в высших приближениях в монографии В.А. Крысько[85], где отмечается целесообразность использования МБГ в сравнении с конечно-разностным методом по затратам машинного времени.

Эта монография подитожила в этой области результаты научной школы в области нелинейной теории пластин и оболочек, созданной В. В. Петровым. В другое направление исследования сформировалась идея построения математических моделей деформирования и разрушения различных материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными эксплуатационными средами. Серьезные исследования по применению математических моделей коррозионного износа и их численной реализации посвящены исследования И. Г. Овчинникова. Им совместно с его научным руководителем опубликован ряд монографий и статей[139Д40,144].

Монография[140] посвящена вопросам расчета и разработки принципов и методов оптимального проектирования конструкций, подверженных коррозионному разрушению, в ней намечены некоторые пути снижения материалоемкости конструкций, предназначенных для эксплуатации в агрессивных средах. Рассмотрена применимость многокритериального подхода при оптимизации тонкостенных элементов конструкций с учетом коррозионного износа. В этом же направлении исследований отметим работы Сеницкого и его учеников[151−155].

Применению МБГ для расчета динамических задач теории оболочек как в рамках модели Кирхгофа-Лява, так и в рамках модели типа Тимошенко посвящена кандидатская диссертация А.Н. Куцемако[102]. Расчет динамической потери устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения при полосовой нагрузке на основе МБГ проведен в работе A.A. Коломойца и А.Н. Куцемако[61].

В статье В. Ф. Кириченко, В. А. Крысько и H.A. Хаметовой[57] МБГ применен к исследованию на динамическую устойчивость пологой оболочки, жестко защемленной по контуру как с учетом, так и без учета связанно-стей полей температуры и деформаций.

Различные вопросы численной реализации МБГ для задач теории оболочек представлены в работах И.В. Свирского[150], JI.B. Кротко-вой[78], Ц.Д. Бацинова[7], Н.З. Якушева[175], A.M. Черняка[170], М. Muk-hopadhyay[199], A. Pielorz’a, W. Nadolski и J.B. Haddow[198], L.-W. Chen’a и J.-R. Hwand’a[178], R. Gelos’a, H. Domingues’a и P. Laura[192] и других авторов.

Метод Бубнова-Галеркина, возникший первоначально как численный метод, в настоящее время является мощным средством исследования проблем разрешимости широкого класса задач математической физики, как стационарных, так и эволюционных, а также линейных и нелинейных.

Возникновение математически строгих схем доказательства существования решения с использованием МБГ, базирующихся на фундаментальных теоремах функционального анализа, стало возможным в результате открытия C.JI. Соболевым[158] обобщенных производных измеримых функций класса Лебега и формирования, на этой основе, концепции обобщенного решения задач математической физики.

Исследованию сходимости MP и МБГ в линейных задачах, в том числе теории пластин и оболочек, и доказательству разрешимости указанных задач в пространствах Соболева посвящены работы С.Г. Михли-на[125,129,130] и O.A. Ладыженской[110], где имеется историческая справка по данному вопросу.

Принципиальные результаты по математическому обоснованию различных приближенных методов, в том числе МБГ, содержатся в монографиях М. А. Красносельского, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я.Б. Рутицко-го и В.Я. Стеценко[77], Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса[116]. Широкий обзор приемов исследования сходимости МБГ в нелинейных задачах дан в монографии Ж.-Л. Лионса[115], где приводится библиография работ зарубежных авторов.

Что же касается исследования разрешимости нелинейных задач теории пластин и оболочек, то здесь в первую очередь следует отметить выдающиеся работы И.И. Воровича[23−26], методика которых лежит в основе подавляющего числа работ по данной тематике. Фундаментальные результаты в этом же направлении были получены Н. Ф. Морозовым в работах[131,132] о разрешимости нелинейных задач теории тонких пластин. Заметим, что в работе [133], а также в работе[131] о колебаниях призматического стержня, Р. Ф. Морозову удалось, используя специфику задачи и теоремы вложения Соболева, установить не только существование, но и единственность решения.

Исследованию вопроса о разрешимости различных задач механики тонкостенных конструкций с использованием МБГ посвящены работы И. И. Воровича и Л.П. Лебедева[26], Л.П. Лебедева[112], И.В. Скрып-ника[157] и других авторов. Исчерпывающее обоснование МБГ и МР в статических задачах нелинейной теории пологих оболочек содержится в монографии И.И. Воровича[21].

Вопросы существования и единственности решения линейных и нелинейных связанных задач термоупругости пластин и оболочек в рамках кинематических моделей Кирхгофа-Лява и типа Тимошенко с трехмерным параболическим уравнением теплопроводности широко исследованы в работе В. Ф. Кириченко и В.А. Крысько[56]. Разрешимость задач установлена в пространствах Соболева на основе МБГ.

В статье Н.~и. Уепк’а[206] рассмотрена нелинейная связанная задача термоупругости для пластин в предположении о линейном законе распределения температуры по толщине пластины. В качестве граничных условий приняты субдифференциальные включения, приводящие к обобщенной постановке задачи в виде вариационных неравенств. Для поставленной задачи с использованием МБГ установлены теоремы о существовании, единственности, регулярности и непрерывной зависимости решения от данных.

А. Chrzeszczyk’om [179] получены результаты о единственности и гладкости решения задачи, разрешимость которой установлена ранее в упомянутой выше работе[56].

В обширном цикле работ Т. Kowalski, А. Piskorek’a[197], J. Gaw-inecki[185−190], Т. Kowalski, К. Litevsk’oy и А. Piskorek’a[196], J. Gawinecki, Т. Kowalski, и К. Litevsk’oy[191] с применением МБГ установлены теоремы о существовании, единственности и регулярности решений ряда линейных пространственных задач теории температурных напряжений и связанной термоупругости как для изотропных, так и для анизотропных тел, с уравнением теплопроводности параболического и гиперболического типа.

В большинстве перечисленных работ сходимость МБГ и МР возникает как побочный продукт конструктивного доказательства существования решения рассматриваемой задачи, при этом стандартным результатом (при произвольном выборе базиса) является, как правило, сходимость в энергетической норме для статических задач и слабая сходимость в соответствующих «энергетических» пространствах для задач динамики. При рациональном выборе базисной системы указанные результаты о сходимости могут быть усилены и, кроме этого, могут быть установлены эффективные оценки скорости этой сходимости.

Основополагающей в этом направлении считается работа С.Г. Мих-лина[128], в которой введено понятие сходных операторов и установлен результат о сходимости невязки МР к нулю, если в качестве базиса используется система собственных элементов некоторого вспомогательного оператора, сходного с оператором рассматриваемого уравнения. В работе [130] указанный результат уточнен, при этом исходный и вспомогательный операторы подчинены дополнительному условию в форме неравенства острого угла.

Принципиальные результаты о сходных операторах, удовлетворяющих неравенству острого угла, получены в работах П.Е. Собо-левского[160] и O.A. Ладыженской[110]. На основании этих результатов С.Г. Михлин[130] для ряда случаев конкретно указал специальные базисы, обеспечивающие сходимость невязки МР к нулю.

К.О. Богарян[8] распространил результаты С. Г. Михлина о сходимости невязки на случай МБГ. В публикации A.B. Джишкариани[41] для линейных задач получены априорные оценки погрешности МР в энергетической норме, в записи которых существенно используются собственные значения вспомогательного оператора, сходного с оператором исходной задачи.

В идейно близких работах Г. М. Вайникко[14] и A.B. Джишка-риани[42] аналогичные результаты установлены для МБГ. В работе Г. М. Вайникко[15] получены оценки погрешности МБГ для стационарных задач в ситуации, когда спектр вспомогательного оператора не является чисто точечным. В статье A.B. Джишкариани[43] оценки погрешности МР распространены на случай квазилинейного уравнения, содержащего в качестве нелинейного оператора типа младших членов непрерывный потенциальный оператор, имеющий положительный дифференциал Фреше.

В работе А.Г. Зарубина[47] установлены весьма общие оценки скорости сходимости метода Галеркина-Петрова для линейных и квазилинейных стационарных задач, из которых, в частности, вытекают оценки погрешности МБГ при выборе в качестве базиса системы собственных элементов самосопряженного оператора, сходного и образующего острый угол с оператором главной части исходной задачи. Широкий обзор работ по теории погрешностей численных методов, в том числе МБГ для стационарных задач, содержится в монографии С.Г. Михлина[126].

Из работ по исследованию сходимости МБГ для эволюционных задач прежде всего отметим публикацию П.Е. Соболевского[159], где для квазилинейного параболического уравнения при произвольном выборе базиса установлены теоремы о сильной сходимости приближенных решений к точному и невязок к нулю. А. Г. Зарубин и М.Ф. Тиунчик[51] применили МБГ к параболическому уравнению с нелинейным оператором типа младших членов, удовлетворяющих введенному в этой работе условию дисси-пативности. В качестве базиса использовалась система собственных элементов вспомогательного оператора, удовлетворяющего неравенству острого угла. Установлены результаты о сходимости невязок МБГ к нулю и о сильной сходимости последовательности приближенных решений к точному.

В серии работ А.Г. Зарубина[48−50] в терминах собственных значений оператора, сходного и образующего острый угол с исходным самосопряженным оператором, участвующим в записи задачи, установлены различные варианты априорных оценок погрешности МБГ для параболических уравнений с подчиненным оператором типа младших членов.

Что касается исследования скорости сходимости МБГ для гиперболических уравнений и для связанных систем типа уравнений термоупругости, то здесь следует отметить работы В. А. Крысько, В. Ф. Кириченко и С.Е. Железовского[45,46].

Анализ современного состояния вопроса о решении задач теории пластин и оболочек и исследовании сходимости МБГ показал следующее: МБГ является одним из наиболее эффективных и широко используемых численных методов решения как статических, так и динамических задач теории пластин и оболочек. Современная вычислительная техника и накопленные математические знания о МБГ позволяют использовать его для решения сложных задач теории неоднородных пологих оболочек при конечных прогибах.

Настоящая работа, не претендующая на полноту и завершенность исследования названной выше проблемы, представляет собой еще одну попытку продемонстрировать простоту реализации и эффективность применения МБГ в задачах такого класса.

Структура работы и ее краткое содержание.

Работа содержит семь глав. Суммарно состоит из введения, семи глав, выводов, списка литературы и приложения.

Во введении анализируется современное состояние вопроса о решении задач теории пластин и оболочек и исследовании сходимости методом Бубнова-Галеркина (МБГ).

В главе 1 приводятся необходимые соотношения и допущения. Получены разрешающие уравнения в смешанной форме для гибких пологих неоднородных оболочек.

В главе 2 излагается алгоритм расчета, основанный на процедуре Бубнова-Галеркина в высших приближениях, на статическую устойчивость гибких неоднородных оболочек. Исследуется зависимость критической нагрузки от различных параметров неоднородности прямоугольной в плане оболочки.

В главе 3 исследуются колебания прямоугольной пластинки и оболочки. Сначала исследуются линейные колебания. В случае неоднородных оболочек для каждой моды колебаний вводится Кс[ -коэффициент дина-мичности (отношение частоты гармоники неоднородной оболочки к соответствующей частоте однородной). Число исследуемых мод в расчетах ограничено 9. Исследовано влияние параметров неоднородности оболочки на коэффициент динамичности мод и построены соответствующие формы колебаний. Во второй части главы на основе предложенного метода излагается алгоритм получения и построены амплитудно-частотные характеристики свободных нелинейных колебаний пластинки и оболочки.

В главе 4 исследуется динамическая потеря устойчивости гибких неоднородных прямоугольных оболочек.

В главе 5 исследуется потеря устойчивости в статической и динамической постановках замкнутой цилиндрической оболочки при при неосе-симметричной деформации.

В главе 6 применяемая методика учета неоднородности оболочки по плану адаптируется на случай неоднородности по толщине оболочки. Исследуется слоистая оболочка.

В главе 7 исследуется поведение пластинок и оболочек, находящихся под воздействием «подвижной нагрузки». Решены различные задачи взаимодействия груза с направляющей поверхностью (пластинка или оболочка): оболочка при поперечном ударе твердым телом с учетом и без учета отрыва груза от направляющей поверхностиоболочка при подвижной нагрузке, когда груз движется вдоль координатной оси с постоянной и переменной скоростью (равноускоренно и равнозамедленно).

Положения, которые выносятся на защиту:

1. Алгоритм решения методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях уравнений смешанного типа, с единых методологических позиций рассматривающий оболочки как со ступенчато изменяющейся толщиной, так и с участками, выполненными из материалов с различным модулем упругости и плотности;

2. Алгоритм получения собственных частот и форм линейных колебаний неоднородных пластин и оболочек;

3. Метод и алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик свободных колебаний пластин и оболочек;

4. Результаты исследования на статическую и динамическую устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек при неосесимметричном деформировании;

5. Адаптация используемого способа учета неоднородности оболочки к расчету слоистой оболочки;

6. Алгоритм расчета системы «оболочкадвижущийся груз» при односторонней и двусторонней связи, наложенной на движущуюся массу.

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ х, у, г-декартовы координаты прямоугольной в плане оболочкидля цилиндрической оболочки — продольная, дуговая и координата по нормали к срединной поверхности, смещения точек поверхности в направлении координат х, у, г, а, Ь,2Иразмеры в плане и по толщине прямоугольной оболочки, Я, Ь, 2крадиус, длина и толщина круговой цилиндрической оболочки, кх=±, ку=± -кривизны оболочки ПОЛ и у соответственно, К.

Е,/л, О-модуль Юнга, коэффициент Пуассона и модуль сдвига материла, р — плотность материала, g — ускорение силы тяжести, 8 — коэффициент демпфирования среды, t — время, п, е12, е22 — компоненты мембранной деформации срединной поверхности, Тп, т22, т12 — погонные нормальные и сдвигающее усилия, Р — функция усилий, с] - внешнее давление,.

Кпотенциальная и кинетическая энергии оболочки,.

Уукоэффициент жесткости/ участка неоднородной оболочки,.

Уу — коэффициент плотности у участка неоднородной оболочки, / - отношение критических нагрузок неоднородной и однородной обо лочек,.

Е] / ?0 — отношение модулей Юнга у-го и основного слоя слоистой обо' лочки,.

Ка — коэффициент динамичности / моды, а, р, т — параметры неоднородности нагрузки, М-масса груза, ух — горизонтальная составляющая скорости груза, ув — вертикальная составляющая скорости груза, со — ускорение груза,.

7] - координата горизонтального перемещения груза, а — безразмерный параметр уравнения груза, Р — реакция взаимодействия оболочки и груза.

Г л ав, а 1.

1. Вайнберг Д. В., Ройтфарб И. З. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами //Расчет пространственных конструкций.-М.:Стройиздат, 1965.Вып. X.-С.39−80.

2. Вайникко Г. М. Некоторые оценки погрешности метода Бубнова-Галеркина//Уч. зап. Тартуск. ун-та,-1969. Вып. 150.-С.188−215.

3. Вайникко Г. М. О сходных операторах //Докл. АН СССР.-1968.-Т.179, № 5.-С. 1029−1031.

4. Вайникко Г. М., Оя П. Э. О сходимости и быстроте сходимости метода Галеркина для абстрактных эволюционных уравнений //Диф. уравнения,-1975.-T.il, № 7.-С. 1269−1277.

5. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупруго-сти.-М. :Наука, 1976 .-416с.

6. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки.-М.:Гостехиздат, 1956,-420с.

7. Ворович И. И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек //Докл.АН СССР.-1955.-Т.105, № 1.-С.42−45.

8. Ворович И. И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек //Докл. АН СССР.-1957.-Т.117, № 2.-С.203−206.б.Ворович И. И., Лебедев Л. П. О существовании решений в нелинейной теории пологих оболочек //ПММ.-1972.-Т.36, № 4.-С.691−704.

9. Ворович И. И., Лебедев Л. П., Щлафман Ш. М. О некоторых прямых методах и существовании решения в нелинейной теории упругих непологих оболочек вращения //ПММ.-1974.-Т.38, № 2.-С.339−348.

10. Ворович И. И., Минакова Н. И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки и техн.-ВИНИТИ,-Сер. мех. деформир. тв. тела.-М.-1973.-Т.7.-С.5−86.

11. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек.-М.:Наука, 1978.-360с.З.Дедюкин И. Ю., Крысько В. А. К вопросу о динамической потере устойчивости оболочек //Прочность конструкций в экстремальных условиях,-Саратов:СПИ,-1992.-С.51−53.

12. Дедюкин И. Ю., Крысько В. А. О критериях динамической потери устойчивости оболочек//Прикл. мех.-Киев.-1994.-30,№ 10.-С.56−60.

13. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики,-М. :Наука, 1966.-664с.

14. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его применение.-М. :Мир, 1971 .Вып.1.-324с.

15. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его применение.-М.:Мир, 1972.Вып.П.-356с.

16. Джишкариани A.B. О быстроте сходимости метода Бубнова-Галеркина //Ж. вычисл. матем. и матем.физ.-1964.-Т.4, № 2.-С.343−348.

17. Джишкариани A.B. О быстроте сходимости приближенного метода Ритца//Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1963.-Т, 3, № 4.-С.654−663.

18. Джишкариани A.B. О приближенном методе Ритца для одного нелинейного уравнения //Тр. Тбилисск. мат. ин-та АН ГССР.-1970.-Т.36.-С.29−46.

19. Дмитриев A.C., Кислов В. Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. -М. :Наука, 1989. -278с.

20. Железовская Л. А., Железовский С. Е., Кириченко В. Ф., Крысько В. А. О скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для гиперболических уравнений//Диф. уравнения.-1990.-Т.26. № 2.-С.323−333.

21. Железовский С. Е., Кириченко В. Ф., Крысько В. А. О скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для одной неклассической системы дифференциальных уравнений //Диф. ур-ния.-1987.-Т.23. № 8.-С.1407−1416.

22. Зарубин А. Г. Исследование проекционной процедуры Галеркина-Петрова методом дробных степеней //Докл. АН СССР.-1987.-Т.297,№ 4,-С.780−784.

23. Зарубин А. Г. О быстроте сходимости проекционных методов для линейных уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1979.-Т.15, № 4,-С.1048−1053.

24. Зарубин А. Г., Тиунчик М. Ф. О приближенных решениях одного класса нелинейных нестационарных уравнений //Диф. уравнения.-1973.-Т.9, № 11.-С. 1966;1974.2.3оммерфельд А. Механика.-М., Изд-во иностр. лит., 1947;392с.

25. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболо-чек.-Киев:Наук. думка, 1971 .-134с.

26. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Физматгиз, 1962.-708с.

27. Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Динамическая и статическая устойчивость гибкой цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении //Проблемы машиностроения и автоматизации.-1993, № 1−2,-С.49−53.

28. Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Динамическая и статическая устойчивость несовершенной гибкой цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении//Современные проблемы механики и математической физики.-Воронеж, ВГУ, 1994.-С. 55.

29. Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Динамическая потеря устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления //Вопросы оптимального проектирования пластин и оболочек: Сб. ст.-Саратов.-1981.-С.54−56.

30. Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Нелинейные колебания и динамическая потеря устойчивости цилиндрической оболочки при действии произвольного внешнего давления //Температурные задачи и устойчивость пластин и оболочек.-Саратов:СПИ, 1988.-С.72−76.

31. Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Нелинейные свободные колебания замкнутой цилиндрической оболочки //Прочность конструкций в экстремальных условиях.-Саратов:СПИ, 1992.-С. 115−119.

32. Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек при действии локальных нагрузок//Труды н-т.конф. Молодые ученые и специалисты производству области.-Саратов, 1980.-С.36−38.

33. Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при действии полосовых нагрузок//Тезисы докл. н-т. конф. Теоретические и экспериментальные методы анализа надежности конструкций ЭВП.-Саратов, НИИ-Волна, 1980.-С. 12.

34. Кохманюк С. С., Филиппов А. П. Колебание многопролетных балок на упругих опорах при подвижной нагрузке.-Строит. Механика и расчет сооружений, 1965,№ 6.-С.32−36.

35. Красносельский М. А. Сходимость метода Галеркина для нелинейных уравнений //Докл. АН СССР.-1950.-Т.23. № 6.-С.1121−1124.

36. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений.-М.:Наука, 1969.-456с.

37. Кроткова Л. В. Колебания эллиптических пластин из нелинейных почти упругих материалов//Изв. вузов.-Сер. стр-во и арх.-1970.-№ 4.-С62−65.

38. Крылов Н. М. Об учете ошибки, допущенной при применении метода Ритца для приближенного интегрирования дифференциальных уравнений //Крылов Н.М.-Избр.труды. В трех томах.-Киев.~1961.-Т1.-С.257−258.

39. Крылов Н. М., Боголюбов H.H. О некоторых теоремах, касающихся существования интегралов дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа //Изв. АН СССР.-Отд. мат. и естеств. наук.-1931.-№ 3.-С.323−344.

40. Крылов Н. М., Тамаркин Я. Д. О методе Ритца для приближенного решения задач математической физики //Крылов Н.М.-Избр. труды. В трех томах.-Киев.-1961.-Т1.-С. 132−145.

41. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек.-Саратов:Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1976.-214с.

42. Крысько В. А., Козырев А. П., Куцемако А. Н. Динамическая устойчивость многосвязных прямоугольных в плане гибких физически нелинейных оболочек.-Саратов, СПИ.-Деп. ВИНИТИ № 6336-В87.-91с.

43. Крысько В. А., Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Нелинейное деформирование и устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при произвольном внешнем давлении.-Саратов, СПИ. Деп. ВИНИТИ 1711−85.-12с.

44. Крысько В. А., Коломоец A.A., Куцемако А. Н. Нелинейное деформирование замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения при действии неравномерного внешнего давления.-Саратов, СПИ. Деп. ВИНИТИ 2159−83.-8с.

45. Крысько В. А., Куцемако А. Н. Колебания прямоугольных оболочек и пластин с отверстиями.-Саратов:Сарат. гос.техн. ун-т. 1994. Деп. ВИНИТИ N 3073-В94.-48с.

46. Крысько В. А., Куцемако А. Н. Нелинейные колебания прямоугольных оболочек на базе обобщенной модели С. П. Тимошенко.//Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1975,11.-С.360−363.

47. Крысько В. А., Куцемако А. Н. О сходимости метода Канторовича-Власова при исследовании нелинейных колебаний прямоугольных пластин и оболочек//Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1975, 11.-С.279−288.

48. Крысько В. А., Куцемако А. Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек.-Саратов.Изд-во Сарат. гос.техн. ун-та, 1999.-202с.

49. Крысько В. А., Куцемако А. Н., Коперник Г. Р. Собственные, вынужденные и параметрические нелинейные колебания пологих оболочек прямоугольных в плане с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения.-Киев:Наук.думка, 1974.-С.108.

50. Куцемако А. Н. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении//Труды XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин.-Саратов://Изд-во Сарат. техн. ун-та. 1997, Т.1.-С.139−144.

51. Куцемако А. Н., Куцемако H.H. Движение груза по гибкой оболочке из нелинейно-упругого материала.//Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций.-Саратов, 1989.-С.92−95.

52. Лаврентьев М. А., Ишлинский А. Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем //ДАН СССР.-1949.-Т.64,№ 6.-С.779−789.

53. Лебедев Л. П. О равновесии свободной нелинейной пластинки //ПММ,-1980.-Т.44, № 1.-С. 161−165.

54. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости //Лейбензон Л. С. Собрание трудов.-М.:Изд-во АН СССР.-1951.-Т.1,-С. 177−463.

55. Лейбензон Л. С. О применении начала возможных перемещений к приближенному определению упругого равновесия //Лейбензон Л. С. Собрание трудов.-М.:Изд-во АН СССР.-1951.-Т.1.-С. 39−49.

56. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М. .Мир, 1972.-587с.

57. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их при-ложения.-М. :Мир, 1971 .-372с.

58. Ляв А. Математическая теория упругости.-ОНТИ.-1935.-355с.

59. Ляшко А. Д. О вариационном методе для нелинейных операторных уравнений //Уч. зап. Казанск. ун-та.-1966.-Т.125, кн.2.-С.95−101.

60. Ляшко А. Д. О методе Галеркина-Петрова //Уч. зап. Казанск. ун-та. -1957.-Т.117, кн.2.-С.42−44.

61. Ляшко А. Д. О некоторых вариантах метода Галеркина-Крылова //Докл. АН СССР.-1959.-Т.128, № 3.-С.468−470.

62. Ляшко А. Д. О сходимости метода Галеркина //Докл. АН СССР.-1958,-Т.120, № 2.-С.242−242.

63. Марсден ДЖ., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее при-ложения.-М.:Мир, 1980.-368с.

64. Мартынюк А. Е. О методе Галеркина-моментов //Уч. зап. Казанск. ун-та.-1957.-Т. 117, кн.2.-С.70−74.

65. Мартынюк А. Е. О некотором обобщении вариационного метода //Докл. АНСССР.-1957.-Т.117, № 2.-С.374−377.

66. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.-М. :Наука, 1970.-512с.

67. Михлин С. Г. Некоторые вопросы теории погрешностей.-Л.:Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1988.-335с.

68. Михлин С. Г. О сходимости метода Галеркина //Докл. АН СССР.-1948,-Т.61, № 2.-С.197−199.

69. Михлин С. Г. По поводу метода Ритца //Докл. АН СССР.-1956.-Т.106,3.-С.391−394.

70. Михлин С. Г. Проблемы минимума квадратичного функционала.-М.- Л. .Гостехиздат, 1952. -216с.

71. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. -М. .Наука, 1966.-432с.

72. Морозов Н. Ф. Исследование колебаний призматического стержня под действием поперечной нагрузки //Изв. вузов.-Сер. мат.-1965.-№ 3.-С.121−125.

73. Морозов Н. Ф. Нелинейные задачи тонких пластин //Вестник Ленинград. ун-та.-1958.-№ 19, вып.4.-С. 100−124.

74. Морозов Н. Ф. О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения //Докл. АН СССР.-1967.-Т.176, № 3.-С.522−525.

75. Муштари Х. М., Галимов К. З. Нелинейная теория упругих тонких обо-лочек.-Казань:Таткнигиздат, 1957 .-432с.

76. Назаров А. Г. Импульсные функции в приложении к задачам строительной механики.//Исследования по теории сооружений,-М.:Л.:Гостехиздат, 1949. Вып. 1У.-С.216−226.

77. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных ко-лебаний.-М.:Наука, 1972.-472с.

78. Новицкий В. В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике //Расчет пространственных конструкций.-М.:Госстройиздат, 1962.Вып. У1П.-С.207−244.

79. Новожилов В. В. Теория упругости.-М.:Судпромгиз, 1958.-370с.

80. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. -Л.:Судпромгиз, 1941.-Т.2.

81. Папкович П. Ф. Труды по строительной механике корабля.-Л.:Суд-промгиз, 1962.-Т.З.-527с.

82. Петров В. В., Овчинников И. Г., Шихов Ю. М. Расчет элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами.-Саратов:Изд-во Сарат. ун-та, 1987.-288с.

83. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения.-М.:Мир, 1980.-273с.

84. Поташ A.JI. Сходимость метода Бубнова-Галеркина в задачах поперечного изгиба трехслойных пластин //Изв. вузов.Сер. стр-во и архит.-1982, № 3.-С.42−45.

85. Преображенский И. Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями.-М. -.Машиностроение, 1981.-191 с.

86. Радциг Ю. А. Зеркальные функции и их применение в вопросах строительной механики.//Труды Казан, авиац. ин-та.-Казань: Татгосиздат, 1948, XX. -С.47−68.

87. Рыжов С. А. Динамическая потеря устойчивости цилиндрической оболочки при действии импульса неравномерного внешнего давления. //Температурные задачи и устойчивость пластин и оболочек. Изд-во Сарат. ун-та, 1988.-С48−50.

88. Свирский И. В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательностьприближений.-М. .Наука, 1968.-198с.

89. Сеницкий Ю. Э., Лычев С. А. Динамика трехслойных сферических оболочек несимметричной структуры//Труды XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин.-Саратов:Сарат. гос. техн. ун-т, 1997.4.1.-С.47−53.

90. Серазутдинов М. Н. О некоторых исследованиях динамики тонкостенных конструкций, взаимодействующих с движущимися объекта-ми.//Статика и динамика оболочек, вып. XII. Казань, 1979.-С5−30.

91. Скрыпник И. В. Нелинейные эллиптические уравнения высокого порядка. -Киев .Наукова думка, 1973. -220с.

92. Соболевский П. Е. Об уравнениях с операторами, образующими острый угол //Докл. АН СССР.-1957.-Т.116, № 5.-С.752−757.

93. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек,-М.:Наука, 1967.-808с.

94. Томпсон Дж.М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике.-М. :Мир, 1985 .-255с.

95. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.-М. Машиностроение, 1976.-390с.

96. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.-734с.

97. Филиппов А. П., Кохманюк С. С. Динамическое воздействие подвижных нагрузок на стержни.-Киев: Наукова думка, 1968.-132с.

98. Филиппов А. П., Кохманюк С. С., Воробьев Ю. С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций. -Киев:Наукова думка, 1974.-С87−137.

99. Филиппов А. П., Кохманюк С. С., Янютин Е. Г. Деформирование элементов конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. Киев: Наукова думка, 1978.-184с.

100. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина.-М.:Мир, 1988.-352с.

101. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций.-М.:Мир, 1971,-192с.

102. Якушев Н. З. Динамика деформируемых систем под воздействием движущихся нагрузок.//Исследования по теории пластин и оболочек, вып.18. Казань. Изд-во Казанского ун-та, 1985.-СЗ-56.

103. Якушев Н. З. Динамика деформируемых систем под воздействием движущихся нагрузок.//Исследования по теории пластин и оболочек, вып.19. Казань. Изд-во Казанского ун-та, 1985.-С158−171.

104. Якушев Н. З. Нелинейные колебания пластин и оболочек //Исслед. по теории пластин и оболочек.-Казань.-1978, № 13.-С.203−216.

105. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Kutsemako A.N. Oscillations of non-uniform shells //J. Sound and Vibr.-1999.-Vol.l0,№ 3.-P.l 16−141.

106. Budiansky B. Theory of buckling and post-buckling behaviour of elastic structures //Advances in Applied Mechanics. -New York:-Academic Press.-1974.-Vol. 14.

107. Chen L.-W., Hwang J.-R. Axisymmetric dynamic stability of transversely isotropic Mindlin circular plates //J. Sound and Vibr.-1988.-Vol. 121,№ 2,-P.307−315.

108. Chrzeszczyk A. On the regularity, uniqueness and continuos dependence for generalized solutions of some coupled problems in nonlinear theory of ther-moelastic shells //Anch. mech. strosow. -1986.-Vol.38,№l-2.-P.97−102.

109. Gawinecki J. Existence, uniqueness and regularity of the first boundaryinitial value for thermal stresses equations of classical and generalized ther-momechanics//J. Tech. Phys.-1983.-Vol.24,№ 4.-P.467−479.

110. Gawinecki J. Istnienie i jednoznacznosc slabych raswiazan zagadnien brze-gowo-poczatkonych uogolnioneje theorii naprezen cieplnych //Bikl. WAT. J. Dabrowskiego .-1985. Vol. 3 4 ,№ 8. -P. 71 -84.

111. Gawinecki J. Metoda FaedoGalerkina w klasyczney teorii naprezeen cieplnych//Biul. WaT. J. Dabrowskiego.-1984.-Vol.33,№ 2.-P. 17−34.

112. Gawinecki J. On the first initial-boundary value problem for the equations of thermal stresses //Bull.Acad. pol. sci. Ser. sci. tehchn.-1981.-Vol.29,№ 7−8,-P.400−404.

113. Gawinecki J. On the first initial-boundary value problem for thermal stresses equations of generalized thermomechanics //Bull. Acad. pol. sic. Ser. sci. techn.-l 981 .-Vol.29. № 7−8.-P.405−411.

114. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen //Math. Nachr.-1951.-M.4.-S.213−231.

115. Koiter W.T. Over de stabiliteit van het elastisch evenwicht. Doct. Thesis. Amsterdam, 1945.

116. Kowalski T., Litewska K., Piskorek A. Uniqueness and regularity of the solution of the first initial-boundary value problem in linear thermoelasticity //Bull. Acad. pol. sei. techn.-1982.-Vol.30,№ 3−4.-P.171−175.

117. Kowalski T., Piskorek A. Existrenz der Losung einer Anfangsrandwertaufgabe in der linearen Thermoelastizitatstheorie HZ. angew. Math, und Mech.-1981.-Bd.61.-H.5.-S.250−252.

118. Mioduchowsky A., Pielorz A., Nadolski W., Haddow J.B., Finite oscillation of viscoelastic cantilever strip //Acta mech.-1983.-Vol.50, №l-2.-P.39−48.

119. Mukhopadhyay M. The vibration of rectangular plates with edges having different degrees of rotational restraint //J. Sound and Vibr.-1979.-Vol.69,№ 4.-P.459−468.

120. Zeeman E.C. Catastrophe Theory: Selected Papers 1972;1977, — London: Addison Wesley.-1977.

121. Рязанова М. Я. Про коливання балки тд д1ею вантажу, що рухаеться вздовж не1.-Допов. АН УРСР, 1958,№ 2.-С.157−161.