О геометрии наилучших диофантовых приближений и относительных минимумов решеток

Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к геометрии чисел.

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена исследованию двух классических многомерных обобщений понятия наилучших приближений действительного числа рациональными: наилучших приближений линейных форм и полиэдров Клейна.

Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к Г. Минковскому, Г. Ф. Вороному, Ф. Клейну, К. Якоби, и другим классикам. Ими занимались такие известные математики, как Л. Я. Хинчин, К. Л. Роджерс, В. И. Арнольд, А. Д. Брюно, М. Л. Концевич, Дж. Касселс, Г. Суиннертон-Даер.

Исследованию многомерных обобщений понятий цепной дроби и наилучшего приближения числа посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях Дж. Касселса [1], [2], М. Грубера и К. Г. Леккеркеркера [3], П. Эрдеша, М. Грубера и Дж. Хаммера [4], Ж. Лашо [5] и других.

Наилучшие совместные приближения и наилучшие приближения линейных форм тесно связаны, по сути являясь двойственными объектами. Это отражается, например, в различных теоремах переноса (см. [2]). В настоящей диссертации получен ряд новых фактов о наилучших приближениях линейных форм, аналогичных известным утверждениям о наилучших совместных приближениях, полученным К. А. Роджерсом [G], [7], Н. Г. Мощевитиным [8], В. Т. Сош и Г. Секерешем [9].

В диссертации также исследуется одно из классических многомерных обобщений цепных дробей: так называемые полиэдры Клейна. Теория полиэдров Клейна берет начало в работе [10], опубликованной еще в конце 19-го века, однако, первые содержательные многомерные результаты были получены почти столетие спустя В. И. Арнольдом [11], [12], X. Цушихаши [13], Ж. Лашо [14], [5], Е. Коркиной [15], [16], [17], А. Д. Брюно и В. И. Парусниковым [18] и посвящены полиэдрам Клейна, соответствующим алгебраическим решеткам. Отметим также недавнюю работу М. Л. Концевича и Ю. М. Сухова [19], в которой получен ряд статистических результатов о полиэдрах Клейна. В настоящей диссертации мы уточняем результат Ж.-О. Муссафира [20], а также доказываем многомерный аналог теоремы о плохо приближаемых числах, позволяющий переформулировать гипотезу Оппенгейма в терминах свойств полиэдров Клейна.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

Доказано существование для любого асимптотически допустимого множества Q на сфере такого континуального набора линейных форм, что для любой формы из этого набора множество всех асимптотических направлений для односторонних наилучших приближений этой формы совпадает с П.

Доказана равносильность положительности норменного минимума п-мерной иррациональной решетки, А и равномерной ограниченности сверху определителей граней каждого из 2п парусов, порожденных решеткой А.

Приведен критерий в размерности п = 3,4 того, что точки решетки А, лежащие в приведенном парусе этой решетки, образуют базис Гильберта полугруппы точек, А с неотрицательными координатами.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии чисел, теории выпуклых многогранников, теории двойственных многогранников, теории подрешеток простого индекса, а также результаты о распределении простых чисел.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полиэдров Клейна, теории относительных минимумов решеток, теории наилучших приближений линейных форм, а также при исследовании решеток с положительными норменными минимумами.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар, но теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,.

2. «Арифметика и геометрия» под руководством Н. Г. Мощевитина, А. М. Рай городского,.

3. «Дискретная геометрия и геометрия чисел» под руководством С. С. Рыш-кова,.

4. «Дискретная геометрия и геометрия чисел» под руководством Н. П. Дол-билина, Н. Г. Мощевитина,.

5. 'Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,.

G. 'Теория функций и се приложения" под руководством С. В. Конягина, а также на международных конференциях.

Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19−24. X. 2003),.

XXIII-rd Journde Arithmdtiques" (Graz, Austria, G-12. VII. 2003),.

Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск, 24−30. VIII. 2003).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [21], [22], [23], [24] и [25].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 74 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 42 наименования.

1. КасселсДою. В. С.

Введение

в геометрию чисел // Москва, «Мир», 1965.

2. КассслсДж. В. С.

Введение

в теорию Диофантовых приближений // Москва, изд-во иностр. лит., 19G1.

3. GruberM., Lckkerkcrker С. G. Geometry of Numbers // Amsterdam, 1987.

4. ErdosP., GruberM., Hammer J. Lattice Points // Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 39. Longman Scientific & Technical, Harlowcopublished in the US with John Wiley Sz Sons, Inc., NY, 1989.

5. Rogers C. A. The signatures of the errors of simultaneous Diophantine approximations // Proc. London Math. Soc. Ser.2. 1951. Vol.52. p. l8G-190.

6. МощевитииH. Г. Наилучшие совместные приближения: нормы, сигнатуры и асимптотические направления // Матем. заметки. 2000. T. G7. Вып.5. с.730−737.

7. Sos V. Т, Szekeres G. Rational approximation vectors // Acta Arith. 1988. Vol.49. No.3. p.255−261.

8. Klein F. Uber cine geometrische Auffassung der gewohnlichen Ketten-bruchentwichlung // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 3, p. 357−359, 1895.

9. Arnold V. I. A-graded algebras and continued fractions // Comm. on Pure and Appl. Math., 1989, v. 42, p. 993−1000.

10. Arnold V. I. Higher dimensional continued fractions // Regular and Chaotic Dynamics, v. 3, JY* 3, 1998.

11. Tsuehihashi H. Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities // Tolioku Math. Journal, 35,1983, p. 607−639.

12. Laehaud G. Sails and Klein Polyhedra // Contemporary Mathematics, Volume 210, 1998, p. 373−385.

13. KorkinaE. Classification of A-graded algebras with 3 generators // Indag. Mathem., NS, 3, (1), 1992, p.27−40.10} KorkinaE. La pdriodecitd des fractions continues multidimensionnelles // C. R. Acad. Sci. Paris, t. 319, 1994, Sdrie I, p. 777−780.

14. КоркинаЕ. И. Двумерные цепные дроби // Самые простые примеры. Труды МИРАН, 1995. Т. 209.

15. БрюноА.Д., Парусников В. И. Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта // Матем. заметки. 1994, т. 5G, вып. 4, с. 9−27.

16. KontscvichM. L., Suhov Yu. М. Statistics of Klein Polyhedra and Multidimensional Continued Fractions // Amer. Math. Soc. Transl. (2) vol. 197, 1999.

17. МуссафирЖ.-О. Паруса и базисы Гильберта // Функ. анализ и его приложения. 2000, т. 34, вып. 2, с. 43−49.

18. Герман О. Н. Асимптотические направления для наилучших приближений п-мерной линейной формы // Матем. заметки. 2004. Т.75. Выи.1. с.55−70.

19. Герман О. Н. Паруса и базисы Гильберта. // Труды МИРАН, 2002, Т. 239, с. 98−105.

20. German О. N. Sails and norm minima of lattices. // The Proceedings of the Institute of Mathematics NAN Belarus. 2005, v. 13, p. 98−105.

21. Герман О. H. Паруса и базисы Гильберта. // Тезисы докл. V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Тула, 2003, с. 75.

22. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в трех томах // Киев, изд-во АН УССР, т.1, 1952.

23. Minkowski Н. Generalisation de la thdorie des fractions continues // Ann. Sci. de l’Ecole Normale Supdrieure, vol.13, -Y"2, p. 41-GO.

24. Быковский В. А. Локальные минимумы решеток и вершины многогранников Клейна // Функ. анализ и его приложения, (в печати).

25. CassclsJ. IV. S., Swinncrion-DyerH. P. F. On the product of three homogeneous linear forms and indefinite ternary quadratic forms // Phil. Trans. Royal Soc. London, 1955, vol. A 248, p. 73−9G.

26. СкубепкоБ. Ф. Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени n ^ 3 // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 112, 1981 г.

27. Акрамов У. А. Теорема изоляции для форм, отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 185, 1990 г.

28. Скубепко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 168, 1988 г.

29. Скубепко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при n ^ 3 // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 183, 1990 г.

30. Болтянский В. Г., ГохбергИ. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии // Наука. 1965 г.

31. МощевитинН. Г. О наилучших совместных приближениях // Успехи мат. наук. 199G. 51. No. G (312). С.213−214.

32. D. R. Heath-Brown, C. Jia The distribution of ар modulo one // Proc. London Math. Soc. Ser.3. 2002. Vol.84, p.79−101.

33. Glyn Harman Simultaneous Diophantine approximations with primes // J. London Math. Soc. (2) 1989. Vol.39, p.405−413.

34. Виноградов И. M. Особые варианты метода тригонометрических сумм // М. Наука. 1970 г.

35. Moussafir J.-O. Convex hulls of integral points // Зап. научных семинаров ПОМП, т. 25G, 2000 г.

36. БоревичЗ. П., ШафаревичИ. Р. Теория чисел // Москва, «Наука», 19G4.

37. White G. К. Lattice tetrahedra // Canadian J. of Math. 16(1964), p. 389 396.