Пространственные структуры и синхронные кластеры в многомерных решетках связанных регулярных и хаотических осцилляторов

Структурообразование в нелинейных диссипативных средах является одной из фундаментальных проблем теории колебаний и нелинейной физики и играет определяющую роль в динамике взаимодействующих систем, состоящих из большого числа упорядоченных в пространстве связанных активных элементов с простой и сложной динамикой.

Такие системы в виде решеток осцилляторов с различными типами связи часто встречаются в различных задачах и приложениях в электронике, биологии, нейрофизике, экологии, экономике и т. д. Например, это связанные электронные элементы типа подсистем с джозефсоновскими контактами, ансамбли связанных нейронов в мозге, решетки связанных лазеров, сети синхронизованных генераторов, компьютерные сети, взаимодействующие популяции. Кроме того, такие дискретные пространственные системы часто используются для моделирования непрерывных неравновесных сред, в частности распределенной турбулентной среды.

Определяющими режимами в пространственно-временной динамике ансамблей связанных систем с простым динамическим поведением (например, бистабильные подсистемы) являются пространственные диссипативные структуры и автоволны. Пространственные структуры представляют собой всевозможные устойчивые комбинации состояний равновесий индивидуальных мультистабильных систем. Такие стационарные пространственные решения часто называют мозаичными пространственными распределениями, или просто, мозаиками, которые могут быть как простыми (регулярными), так и неупорядоченными. В больших ансамблях взаимодействующих систем в последнем случае часто наблюдается пространственный беспорядок (в предельном случае, пространственный хаос), который может быть определен пространственной энтропией, мерой числа устойчивых мозаичных структур.

В случае, когда индивидуальные подсистемы являются нелинейными осцилляторами и обладают собственной хаотической динамикой, пространственно — временное поведение связанной системы становится существенно более сложным. Однако, в случае, когда индивидуальные взаимодействующие осцилляторы, составляющие ансамбль, являются идентичными или почти идентичными, общая связанная система обладает пространственными симметриями. При этом в системе наблюдаются пространственно — временные когерентные структуры, в частности, полная и кластерная синхронизация.

Характерная особенность динамического поведения связанных систем в этом случае состоит в том, что элементы синхронизованных структур (кластеров) имеют одну и ту же идентичную временную динамику, которая может быть как регулярной, так и хаотической. Например, в режиме полной хаотической синхронизации, все осцилляторы связанной системы, которые 1 могут иметь различные начальные условия, приобретают идентичное хаотическое поведение при достижении порогового значения коэффициента связи. Это важное свойство идентичных или почти идентичных хаотических систем приходить в состояние устойчивой синхронизации при сохранении индивидуального хаотического поведение было впервые обнаружено около двадцати лет назад и с тех пор стало основой отдельного научного направления. Действительно, пространственно-временная синхронизация хаотических систем наблюдается во многих связанных системах различной природы. Например, синхронизация хаотических осцилляторов имеет важное значение в биофизике, где часто встречаются системы связанных клеток (нейронов), демонстрирующие сложное нелинейное поведение так, что наличие или отсутствие синхронизации между клетками играет принципиальное значение для функционирования всей биологической системы. Например, дисфункция центральной нервной системы человека, проявляющаяся в эпилепсии, связана с состоянием мозга, при котором синхронизуется слишком большое количество нейронов, таким образом, что мозг более не в состоянии функционировать корректно.

Помимо своего фундаментального значения в естественных науках, образование синхронизованных структур в связанных хаотических системах имеет также множество приложений в различных областях знаний. Например, в радиоэлектронике синхронизация хаотических сигналов используется как средство передачи конфиденциальной информации.

Таким образом, исследование динамического коллективного поведения решеток и ансамблей связанных систем с простой и сложной динамикой является междисциплинарным и имеет важное значение не только для нелинейной физики и радиофизики, но и для целого комплекса наук, поскольку оно помогает выявить основные законы и особенности структурообразования и самоорганизации взаимодействующих систем.

Широкое исследование явлений синхронизации и образования структур в ансамблях связанных систем различной природы проводится как в России (Анищенко B.C., Афраймович B.C., Безручко Б. П., Белых В. Н., Блехман И. И., Веричев Н. Н., Гапонов-Грехов А.В., Дмитриев А. С., Капранов М. В.,.

Кащенко С.А., Кузнецов С. П., Ланда П. С., Леонов Г. А., Неймарк Ю. И., Некоркин В. И., Пиковский А. С., Пономаренко В. П., Рабинович М. И., Тру-бецков Д.И., Фрадков А. Л., Шалфеев В. Д., Шахгильдян В. В., Шильников Л. П. и др.), так и за рубежом (Н. Abarbanel, P. Ashwin, L.A. Bunimovich, S. Chow, L.O. Chua, M. Ding, H. Fujisaka, V. Ebeling, B. Fiedler, G.B. Ermentrout, L. Glass, M. Golubitsky, H. Haken, J.K. Hale, M. Hasler, K. Kaneko, N. Kopell, Y. Kuramoto, J. Kurths, J. Mallet-Paret, E. Mosekilde, H. Nijmeijer, U. Par' litz, L.M. Pecora, I. Prigogine, K. Schneider, Ya. Sinai, S.H. Strogatz, I. Stewart, E. Ott, M.J. Velarde, C. Wu и др). Стремительный рост числа публикаций в отечественной и зарубежной литературе также подтверждает важность и актуальность исследования образования пространственно-временных структур в нелинейных дискретных диссипативных средах.

Большой класс возможных нелинейных индивидуальных систем с простой и сложной динамикой, различные типы связи и потенциальные приложения привели к целому ряду постановок задач и к большому числу интересных теоретических и численных результатов исследования конкретных систем.

Важными проблемами в изучении пространственно-временной динамики связанных систем являются вопросы существования и устойчивости различных стационарных пространственных структур и кластеров синхронных колебаний. В частности, следующие вопросы представляют особый интерес. Как число и размер кластеров в многомерных решетках связанных хаотических систем зависят от размера решеток, типа связи и граничных условий? Как устойчивость синхронных структур зависит от силы связи между элементами и числа осцилляторов в решетке и как зависит пороговое значения связи, необходимое для образования синхронных кластеров, от динамических свойств индивидуальных осцилляторов? Сохраняются ли устойчивые структуры, обусловленные симметриями связанной системы с идентичными осцилляторами, при введении расстройки параметров между парциальными подсистемами? Подробному рассмотрению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Работа организована следующим образом.

В первой главе приводятся результаты исследования пространственных структур в решетках осцилляторов связанных как локальной так и расширенной локальной связью (когда элемент связан со своим соседним и следующим за ним элементом). В первой части главы приводятся результаты исследования решетки простейших бистабильных систем. Показано, что такая система является градиентной, приведены условия при которых в решетке существуют все возможные состояния равновесия. Приводятся результаты численного исследования системы за границами этой области.

Вторая глава посвящена исследованию явления кластерной синхронизации в двумерных решетках произвольных динамических систем. В первой части главы рассматривается вопрос о существовании кластерных многообразий синхронизации и приводятся примеры многообразий. Рассматривается вопрос об условиях устойчивости кластерных многообразий. Во второй части главы приводятся результаты исследования явлений кластерной синхронизации в двумерных решетках произвольных динамических систем, связанных расширенной локальной связью. Так же приводятся примеры кластерных многообразий в цепочке и решетке произвольных динамических систем связанных расширенной локальной связью.

Третья глава посвящена исследованию явления кластерной синхронизации в трехмерных решетках произвольных динамических систем. В первой части главы рассматривается вопрос о существовании кластерных многообразий синхронизации в трехмерных решетках и приводятся примеры многообразий. Далее приводятся примеры кластерных режимов синхронизации в трехмерных решетках состоящих из элементов со сложным хаотическим поведением.

В четвертой главе исследуется явление кластерной синхронизации в решетках локально связанных неидентичных систем. Первая часть главы посвящена вопросу существования кластерных многообразий синхронизации в случае неидентичности элементов решетки. Во второй части главы приводятся результаты численного исследования двух и трехмерных решеток локально связанных неидентичных систем.

Теоретическая и практическая значимость результатов. В работе исследованы свойства и устойчивость режимов полной и частичной (кластерной) синхронизации в решетке локально и почти локально диффузионно связанных динамических систем общего вида, а также конкретных систем, обладающих различными типами хаотических аттракторов. В работе также рассмотрен вопрос о сохранении режимов кластерной синхронизации при введении неидентичности в систему связанных осцилляторов. В работе даны ответы на ряд общих вопросов теории хаотической синхронизации. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании конкретных связанных динамических систем.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математики ВГАВТ, семинаре кафедры теории колебаний ННГУсеминаре физического факультета Датского Технического Университета, итоговой научной конференции ННГУ (1997 г.) — 3-ей, 4-ой и 5-ой сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1998 г., 1999 г.;

Саров, 2000), «Нелинейные колебания механических систем «(Нижний Новгород, 1999) — Научно-технической конференции профессорско — преподавательского состава ВГАВТ (Нижний Новгород, 1999) — Научно-практическом семинаре «Высокопроизводительные Параллельные Вычисления на Кластерных Системах» (Нижний Новгород, 2001) — международных конференциях: 5th Int. School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS'98) (Saratov, 1998) — Int. Workshop «Dynamic Days» (Nizhny Novgorod, 1998) — Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'2001), (Japan, 2001) — Int. Conference «Progress in Nonlinear Science «dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov (Nizhny Novgorod, 2001) — Int. Workshop «Nonlinear Dynamics of Electronic Systems» (NDES-2001) (Delft, The Netherlands, 2001) — Int. Workshop on Control, Communication, and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems (Dresden, Germany, 2001) — Int. Workshop on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Biology and Medicine (SYNCHRO-2002) (Saratov, 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |31]-[44].

4.3 Выводы четвертой главы.

В главе был проведен систематический анализ устойчивости кластерных режимов синхронизации в решетке связанных неидентичных хаотических осцилляторов. Показана глобальная устойчивость кластерных режимов 5 — синхронизации и получена достаточно хорошая оценка ошибки синхронизации 5ге1. С помощью численных расчетов показано, что кластерные режимы синхронизации сохраняются вплоть до 10 — 15% рассинхронизации значений параметров решетки. Даже в случае большого рассогласования между параметрами решетки знание режимов кластерной синхронизации в случае идентичных параметров решетки может служить основой для изучения возможных режимов фазовой синхронизации и сдвиговой синхронизации в различных решетках диффузионно связанных систем.

Заключение

.

В диссертационной работе проведено исследование явлений полной, частичной и противофазной синхронизации в решетке диффузионно связанных систем общего вида и конкретных систем, имеющих различные бифуркационные механизмы перехода от регулярных колебаний к хаотическим (от простых предельных множеств к странным аттракторам). К наиболее важным и интересным можно отнести следующие результаты.

1. Для общего класса диффузионно связанных систем обнаружены вложенные инвариантные многообразия, определяющие иерархическую природу порядка частичной синфазной и противофазной синхронизации. Исследована их устойчивость и изучена зависимость динамических свойств от числа элементов цепочки. В частности установлено, что порядок частичной синхронизации существенно зависит от числа элементов цепочки.

2. Для общего случая диффузионно связанных динамических систем получены условия, при которых глобальная синхронизация элементов невозможна ни при какой сколь угодно большой связи. Это свойство обусловлено активностью среды, допускающей локальную синхронизацию, но препятствующей глобальной синхронизации.

3. С помощью качественно-численного исследования выявлены особенности динамики связанных конкретных систем с различными сценариями перехода к хаотическим колебаниям, существенно дополняющие полученные общие теоретические выводы. Это диффузионно связанные системы Ресслера и связанные системы лоренцевского типа.

4. Доказана устойчивость режима взаимной синхронизации для цепочки связанных неавтономных маятников и цепочки связанных систем типа ротатор-осциллятор. Обнаружены различные типы синхронизации, такие как хаотическая, квазипериодическая, периодическая. Результаты аналитического исследования для каждой из перечисленной систем дополнены компьютерным экспериментом.