Математическое моделирование волн на поверхности двухфазной среды

Диссертация посвящена исследованию распространения волн на свободной поверхности двухфазной среды.

Многофазные и, в частности, двухфазные среды широко распространены в природе, встречаются в технологических процессах. Они характеризуются наличием макроскопических (по отношению к молекулярным масштабам) включений. Самыми простыми являются дисперсные смеси, которые состоят из двух фаз. Математическое описание таких сред по сравнению с однофазными осложнено в связи с необходимостью учета структуры фаз, эффектов межфазного взаимодействия. В результате увеличивается число параметров, которые следует учесть для получения представления о движении многофазной системы. Поэтому основной проблемой моделирования смесей является получение замкнутой системы уравнений. К числу первых работ в этой области относятся [44], [48], [22], [55]. В статье X. А. Рахматулина [44] впервые была получена замкнутая модель движения многофазной среды. В качестве замыкающего условия было принято предположение о равенстве давлений в фазах, широко применяемое в дальнейшем. С данной целью также часто используются эмпирические соотношения. Так, в работе [23] предложена двухжидкостная модель одномерного пузырькового потока, использующая для замыкания системы уравнений соотношение Зубера — Финдлея.

Моделирование межфазного взаимодействия требует изучения процессов, происходящих вблизи отдельных частиц, анализа закономерностей их движения, столкновений, деформации. Этот вопрос рассмотрен во многих работах, например, [51], [46], [42], [43], [39], [40].

Описание движения многофазной смеси производится с помощью многоскоростных или диффузионных моделей. При многоскоростном описании каждой фазе соответствуют свои макроскопические параметры (давление, плотность, скорость и т. д.), определенные во всей области, занимаемой смесью. Затем, исходя из этих величин, определяются параметры, характеризующие смесь в целом. При этом вводится понятие объемной концентрации — доли объема, занимаемой отдельной фазой [39]. Уравнения динамики многофазной среды обыкновенно получают путем записи физических законов сохранения массы, импульса и энергии применительно к каждой фазе (феноменологический метод) [39], [40], [45], [46], либо путем последовательного осреднения уравнений, описывающих процессы в микромасштабе [48], [40]. Наиболее полно эти вопросы рассмотрены в монографиях Р. И. Нигматулина [39], [40]. Также ведется разработка новых методов. Например, в работе [24] изложены основные принципы построения уравнений для двухфазной смеси на базе общих законов механики и теории обобщенных функций. Уравнения механики многофазных сред рассмотрены и в ряде других публикаций, например, [21], [31], [50], [26], [27] и др.

Эффекты неоднофазности, существенно осложняющие изучение смесей, наиболее полно проявляются при распространении волн. Если ударные и звуковые волны в многофазных и особенно в двухфазных смесях изучены достаточно полно [26], [40], [37] и др., то исследования волн, распространяющихся по поверхности таких сред, почти не представлены в научной литературе.

В динамике однофазных жидкостей изучение задачи о распространении поверхностных волн началось еще в XIX веке. С точки зрения математики задачи теории волн представляют собой нелинейные краевые задачи математической физики, граничные условия в которых формулируются на заранее неизвестных поверхностях. Поэтому были разработаны приближенные методы решения волновых задач. Среди первых работ в этой области основными являются исследования Стокса, который предложил два метода решения задачи о распространении гравитационных волн по свободной поверхности тяжелой жидкости. Первый метод [60] позволяет получить решение в виде рядов по малому амплитудному параметру. В дальнейшем методы малого параметра получили широкое применение при решении различных прикладных задач. Значительный вклад в их разработку и обоснование внесли Рэлей, Пуанкаре, Лайтхилл и др. Наиболее полное изложение данного вопроса можно найти в работах Ван.

Дайка [17] и Найфэ [35], [36]. В современной постановке первый метод Стокса разработан Ю. 3. Алешковым [1], применительно к магнитогидродинамическим волнам использовался в работах [4], [15]. Метод разложения по малому амплитудному параметру используется и в данной работе. Сущность второго метода Стокса [61 ] состоит в использовании потенциала скорости и функции тока в качестве независимых переменных, что позволяет сделать область, в которой ищется решение задачи, фиксированной. Дальнейшее развитие теория нелинейных поверхностных волн получила в работах А. И. Некрасова, Леви-Чивита, Н. Е. Кочина, Я. И. Секерж-Зеньковича, JI. Н. Сретенского [38], [57], [47]. Последние разработки в данной области касаются волн, распространяющихся по поверхности неоднородных жидкостей [41], [2], [3], [18], [19], [15], [33]. Значительное внимание уделяется корректности постановок краевых задач, а также вопросам устойчивости [20].

В настоящее время теория поверхностных волн для однофазных жидкостей хорошо разработана, но вопрос о распространении волн по поверхности многофазных сред почти не изучен. Однако исследование этого вопроса представляет как практический, так и теоретический интерес. Полученные результаты могут быть использованы при изучении влияния примесей на волновые параметры. Так, в работе [59] указывается на существенное влияние взвешенных примесей на распространение прибрежных волн Атлантического океана в районе Нормандии. Чтобы ответить на вопрос о том, как влияет наличие в жидкости взвешенных частиц или пузырьков на распространение поверхностных волн, необходимо найти зависимости фазовой скорости, частоты, декремента затухания волны, а также формы свободной поверхности от концентрации дисперсной фазы и характеристик межфазного взаимодействия. Близкая к этой задача была рассмотрена в статье [30]. В этой работе в линейном приближении были исследованы стоячие монохроматические волны на поверхности раздела слоев жидкости и смеси этой жидкости с твердыми частицами, численно проанализирована устойчивость этой поверхности. Однако выше указанных зависимостей получено не было. В работе [52] задача гидродинамики для слоя многофазной жидкости при колебании ограждающих конструкций сводится к задаче для однофазной среды с переменной по глубине плотностью. Однако, этот метод не позволяет определить изменение концентрации примесей при волновом движении смеси. В работе [32] рассмотрены бегущие волны на поверхности газожидкостной среды в рамках односкоростной равновесной по давлениям в фазах модели. В статье [58] рассмотрены гравитационные волны в жидкости, содержащей пузырьки газа, однако акцент делается на изучение влияния прохождения волны на траекторию пузырька.

В связи с тем, что многофазные среды широко распространены в природе и технике, а волны на поверхности таких сред практически не изучены, исследование данного вопроса является актуальным. Цель работы состоит в построении математической модели распространения волн по свободной поверхности двухфазной среды с однородной и неоднородной концентрацией дисперсной фазыисследовании влияния примесей на параметры волны и форму свободной поверхности, а также изменения концентрации частиц за счет распространения волны. Для решения краевых задач в диссертации использован метод возмущения по параметру [35].

Первая глава диссертации посвящена построению математической модели распространения поверхностных волн по слою дисперсной смеси. Приводятся уравнения, описывающие движения двухфазной среды. Выведены граничные условия на свободной поверхности слоя. Поставлена нелинейная краевая задача о волновом движении среды.

Во второй главе рассматривается линейная задача о плоских волнах на поверхности среды с равномерным распределением дисперсной фазы в покоящемся слое. Найдено ее решение в виде затухающих прогрессивных волн. Получено дисперсионное соотношение, связывающее частоту волны с волновым числом и прочими параметрами среды. Исследована зависимость фазовой скорости и декремента затухания волны от характеристик среды. Найдены траектории частиц несущей и дисперсной фаз.

В третьей главе рассматривается нелинейная задача о плоских волнах. Задача решена с точностью до второго приближения по малому амплитудному параметру. Определено возмущение концентрации, являющееся величиной более низкого порядка по сравнению с остальными волновыми возмущениями.

В четвертой главе решена нелинейная краевая задача о пространственных волнах на слое дисперсной среды с однородной концентрацией примесей в покоящемся слое. С точностью до второго приближения по малому амплитудному параметру найдены скорости волнового движения, давления и концентрации фаз, а также форма свободной поверхности. Исследуется зависимость полученного решения от длины волны и параметров среды.

Пятая глава посвящена исследованию поверхностных волн на слое двухфазной среды с неоднородной концентрацией дисперсной фазы в покоящемся слое. Получено асимптотическое решение линейной краевой задачи. Найдены скорости волнового движения, давления, концентрации фаз, форма свободной поверхности. Получены аналитические выражения для фазовой скорости и декремента затухания волны, исследована их зависимость от параметров среды, проведено сравнение с решением задачи с однородной концентрацией.

В диссертации принята тройная нумерация формул. Первая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа, третья — номер формулы.

Основные результаты и выводы диссертации.

1. Построена математическая модель распространения поверхностных волн малой амплитуды по слою дисперсной смеси конечной глубины.

2. В нелинейной постановке исследованы плоские и пространственные волны на свободной поверхности смеси с однородным распределением частиц в покоящемся слое. С точностью до второго приближения по малому амплитудному параметру найдены поле скоростей, давления и концентрации фаз, форма свободной поверхности. Получены аналитические выражения для фазовой скорости и декремента затухания волны. Исследована зависимость решения от длины волны и параметров среды.

3. Наличие в жидкости дисперсной фазы приводит к затуханию поверхностной волны за счет межфазного трения. Волны на свободной поверхности смеси, содержащей легкие, по сравнению с несущей жидкостью, примеси гаснут быстрее, чем на поверхности смеси жидкости с более тяжелыми частицами.

4. Наличие дисперсной фазы оказывает двоякое влияние на фазовую скорость волны. С одной стороны оно приводит к увеличению значения фазовой скорости по сравнению со скоростью гравитационной волны в чистой жидкости, а с другой стороны к ее уменьшению за счет межфазного трения.

5. Учет силы присоединенных масс приводит к увеличению значения декремента затухания и общему снижению фазовой скорости волны по сравнению со значениями, полученными только с учетом силы трения Стокса.

6. Возмущение концентрации дисперсной фазы является величиной более низкого порядка по сравнению с остальными волновыми возмущениями.

7. Траектории частиц несущей и дисперсной фазы в линейном приближении являются разомкнутыми, что объясняется затуханием волны. При малом влиянии сил трения траектории практически являются эллипсами, что соответствует классическим результатам. Дисперсные частицы с меньшей, по сравнению с несущей жидкостью, плотностью (р2 <р°) движутся по траекториям большего размера, чем при р^ > р°.

8. В линейном приближении по малому амплитудному параметру исследовано распространение плоских поверхностных волн на слое двухфазной смеси в случае неоднородной концентрации примесей. Получено асимптотическое решение соответствующей краевой задачи в виде рядов по малому параметру, характеризующему неоднородность распределения дисперсной фазы. Найдено условие применимости предложенной математической модели.

9. Учет неоднородности распределения примесей по глубине приводит к снижению фазовой скорости по сравнению с фазовой скоростью волны, распространяющейся по свободной поверхности среды с равномерным распределением примесей в покоящемся слое.

10. Возмущение концентрации дисперсной фазы, как и в случае равномерного распределения примесей в отсутствие волны, является малой величиной по сравнению с остальными волновыми возмущениями, но отлично от нуля уже в линейном приближении по амплитудному параметру.

11. Для поверхностных волн на слое двухфазной среды справедливы классические результаты теории волн. Поправка к значению фазовой скорости во втором приближении по малому амплитудному параметру равна нулю. Для волновой поверхности имеет место нелинейный эффект Стокса: гребень нелинейной волны уже, а впадина шире.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.