В теории квазиконформных отображений областей на плоскости и в вещественных многомерных пространствах вагшое место занимает теория устойчивости конформных отображений, развитая (в основном) в работах [1−22] М. А. Лаврентьева,…Белинского и Ю. Г. Решетняка. Суть исследований, определяющих построение последней теории, состоит в следующем. Пусть ^ -квазиконформное отображение, локально близкое в каком-либо смысле к конформным отображениям. Нельзя ли утверждать, что близко к ним и глобально (в этом же смысле или в каком-нибудь ином)?
Для наших целей особое значение имеет теория устойчивости плоских конформных отображений 2, 4, ь, центральным утверждением которой является следующая.
ТЕОРЕМА А. Существует универсальная функция такая, что при сО и для каждого топологического отображения В В замыкания с? В круга В — В на себя, удовлетворяющего условию: сужение у/8 отображения У на 1фуг В является решением некоторой системы Бельтрами г — ^/г = ° ' «М.1> где ЧЪИео —? < 1, и условиям нормиров ^ б л ки о и при 2 6СС&выполняется неравенство.
Замечание 0.1.1. Для функции можно цредьявить явное значение (см, [4, д]).
Используя свойства решений системы Бельтрами, из теоремы, А можно получить, в свою очередь, следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 0.1.1. Существует неотрицательная функция двух вещественных переменных, оцределенная в квадрате обладающая свойствами:
1) цри 3>6(0У1) 0^(00 у когда О .
2) если: Л — непрерывное отображение области Д, удовлетворяющее некоторой системе Бельтрами (ОЛ Л) с II<�р1ео =) 5? < 1 то для каждого числа и каждого круга В (в^Ъ^^Д существует голоморфное отображение: такое, что цри.
I ^ ^ ^ ф | ^ (е, з>) ¿-¿-ал*. ^ О).
Эту теорему естественным образом дополняет.
ТЕОРЕМА 0.1.2. Существует неотрицательная функция двух вещественных переменных, оцределенная на множестве {С^У)?)1?го<�У><�±, 04е<1Ср)<�± } и обладающая следующими свойствами:
1) функция В положительна и < 1 цри.
1) и? 6 Г С?)) ;
2) для каждого 6 1) ^^Р) — О цри «.
3) если отображение .
Замечание 0.1.2. Ради цростоты формулщювок мы в теоремах 0.1.1 и 0.1.2 рассматриваем гладкие отображения. Ниже (§ 1.2) мы откажемся от этого ограничения.
Замечание 0.1.3. Так как в теореме 0.1*2 дается характеристика асимптотического поведения функции цри О, конфетное значение функции В, участвующей в построении области определения функции, для нас несущественно" Ее выбор диктуется лишь необходимостью обеспечить наличие у функции вспомогательного свойства I).
Теоремы 0.1.1 и 0.1.2 можно рассматривать в определенном отношении как взаимно обратные. Они выражают следующие два фактаI) плоские голоморфные отображения устойчивы, т. е. близость локальная к этим отображениям влечет глобальную близость к ним- 2) класс отображений, близких к голоморфным, совпадает с классом решений тех систем Бельтрами (0.1.1), у которых параметр II ^ //^ достаточно мал.
Подобные факты лежат и в основе теории устойчивости конформных отображений областей в вещественных многомерных цро-странствах. Роль отображений, близких к конформным, играют в этом случае отображения, коэффициенты квазиконформности которых близки к 1. Подробное обсуждение этого мы цроведем во втором параграфе первой главы.
Главной целью настоящей диссертации является построение основ теории устойчивости голоморфных отображений областей в многомерных комплексных пространствах, подобной обсуждавшимся выше в случае плоских голоморфных отображений и в случае конформных отображений в многомерных вещественных пространствах. Цри этом оказывается, что как новая теория, так и црежние могут быть рассмотрены на основе единой концепции.
Диссертация состоит из введения и пяти глав. Каждая глава делится на параграфы. Все утверждения нумеруются тремя числами, первое из которых — номер главы, второе — номер параграфа и третье — номер утверждения. Таким же способом нумеруются формулы, определения и замечания, причем ради единообразия эту же нумерацию мы используем и во введении, полагая первое число номера равным нулю, а второе — / • Для удобства читателя в конце диссертации помещен список основных из используемых. в ней обозначений и изложены некоторые вспомогательные сведения*.
1. Лаврентьев M.A./SW иит d& ^yoiL^YitodijMA OQrdiYVJUZAМат. сб., 1935, т. 42, с. 407−423.
2. Лаврентьев М. А. Квазиконформные отображения. В кн.: Труды 3-го Всесоюзного математического съезда. Т. З. Обзорные доклады. М., Изд-во АН СССР, 1958, с. 198−208.
3. Лаврентьев М. А. Об устойчивости в теореме Лиувилля. -Докл. АН СССР, 1954, т. 95, № 5, с. 925−926.
4. Белинский П. П. Об искажении цри квазиконформных отображениях. Докл. АН СССР, 1953, т. 91, № 5, с. 997−998.
5. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. — 98 с.
6. Белинский П. П. О нецрерывности цространственных квазиконформных отображений и о теореме Лиувилля. Докл. АН СССР, 1962, т. 147, № 5, с. 1003−1004.
7. Белинский П. П. Компактность теоремы Лиувилля о конформном, отображении цространства размерности. В кн.: Международный конгресс математиков. Тезисы 1фатких научных сообщений. Секция 4. Классический анализ. М., 1966, с. 35″.
8. Белинский П. П. Устойчивость в теореме Лиувилля о цространст венных квазиконформных отображениях. В кн.: Некоторые цроблемы математики и механики. Ленинград, Наука, 1970, с. 88−102.
9. Решетняк Ю. Г. Об устойчивости конформных отображений в многомерных цространствах. Сиб. мат. журн., 1967, т. 8, «I, с. 91−114.
10. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением. В кн.: Всесоюзный симпозиум по геометрии в целом, 2-й. Тез. докл. Петрозаводск, 1967, с. 54−56.
11. Решетняк Ю. Г, Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением, Сиб. мат. журн., 1968, т. 9, № 3, с, 667−684.
12. Решетняк Ю. Г. Оценки устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях в пространстве. В кн.: Всесоюзный симпозиум по геометрии в целом, 3-й. Тез. докл. Петрозаводск, 1969, с. 57.
13. Решетняк Ю. Г. Об оценке устойчивости в теореме Лиувилляо конформных отображениях многомерных цространств, Сиб, мат, журн, 1970, т. II, № 5, с, II2I-II39.
14. Решетняк Ю, Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях цространства для областей с негладкой границей, Сиб. мат. журн., 1976, т. 17, № 2, с. 361 369,.
15. Копылов А. П. Об устранимости шара для цространственных отображений, близких к конформным. Докл. АН СССР, 1977, т. 234, № 3, с. 525−527.
16. Копылов А. П. Об аппроксимации цространственных квазикон— формных отображений, близких к конформным, гладкими квазиконформными отображениями. Сиб. мат. журн., 1972, т. 13, № I, с. 94−106.
17. Копылов А. П. Интегральные усреднения и квазиконформные отображения. Докл. АН СССР, 1976, т. 231, № 2, с.289−291.
18. Безрукова О. Л. Устойчивость класса решений системы Мои-сила-Теодореско. Новосибирск, 1983. — 50 с. (Прецринт/ Ин-т математики СО АН СССР: 46).
19. Хаусдорф Ф" Теория множеств. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1937. -304 с.
20. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: физмат г из, 1959. — 628 с.
21. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. -М.: Мрф, 1966. 351 с.
22. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Сиб. мат. журн., 1967, т. 8, № 3,с. 629−658.
23. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограничен-ныл искажением. Новосибирск: Наука, 1982. — 288 с.
24. Решетняк Ю. Г. Теорема Лиувилля о конформных отображениях при минимальных предположениях регулярности. Сиб. мат. журн., 1967, т. 8, № 4, с. 835−840.
25. Гольдщтейн В. М. 0 поведении отображений с ограниченнымискажением цри коэффициенте искажения, близком к единице.- Сиб. мат. журн, 197I, т. 12, № 6, с. 1250−1258.
26. Шварц Л, Комплексные аналитические многообразия. Эллиптические уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 212 с.
27. Абросимов А. В. Система Бельтрами с несколькими независимыми комплексными переменными. Докл. АН СССР, 1977, т. 236, № 6, с. 1289−1292.
28. Айзенберг JI.A., Южаков А. П. Интегральные цредставления и вычеты в многомершм комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. — 368 с.
29. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, — 254 с.
30. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. — 344 с.
31. Соболев С Д. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1950. — 256 с.
32. Кытманов A.M., Айзенберг Л, А, 0 голоморфности нецрерыв-ных функций, цредставимых интегралом Мартинелли-Бохнера.- Изв. АН Арм.ССР. Сер. мат, 1978, т. 13, № 2, с.158−169.
33. Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. М.- Изд-во иностр. лит., I960. 536 с.
34. Решетняк Ю. Г., Шабат Б"В. О квазиконформных отображениях в пространстве. В кн.: Труды 1У Всесоюзного математического съезда. Т. П. Секционные доклады. Л: Изд-во «Наука», 1964, с. 672−680.
35. Белинский П. П. О нормальности семейств квазиконформных отображений. Докл. АН СССР, 1959, т. 128, № 4, с. 651 652.
36. Шварц Л. Анализ. Т.Н. М.: Мир, 1972. — 528 с.
37. Ладыженская О. А", Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М, i Наука, 1973. -576 с. 65. Le&io 0. ЯшллЛсъ оуъ НеoUninrcdcn&-i ф CjMAsUo&yd^YwoJL YYLOJfbfUsKfyb-Агиг. AccloL., P&wi, А, I, 1965, № 371,р. 1−8.
38. Ca? oUn#vt А.P.)iy^monoL A. OnUtt euUyte, ia. ce, of catt&lnbCyifruJasi НаЖ.1952, V. 88, p. 85−139.
39. Gehniruj, KWl TU hp-LideyiaJk&ty JflQJvUaX oUAlbf-Ac&k. MoMl.? 1973, гг. 130, p. 265−277..
