Обратные задачи вариационного исчисления для дифференциально-разностных операторов с частными производными

Диссертация посвящена исследованию существования и построению решений обратных задач вариационного исчисления (ОЗВИ) для дифференциально-разностных операторов. Вопросы, рассматриваемые в данной работе, тесно связаны со следующей постановкой ОЗВИ, обобщающей ее классическую формулировку. Дан произвольный оператор N с отклоняющимися аргументами. Требуется найти функционал, множество стационарных точек которого совпадает с множеством решений задачи И (и) = 0.

Под задачей построения итегральных вариационных принципов для системы уравнений в общем случае имеют ввиду построение таких функционалов, множество критических точек которых совпадает с множеством решений исходной системы. Широкоераспространение и систематическое использование вариационных принципов обусловлено рядом замечательных последствий вариационных формулировок:

— в теоретических исследованиях экстремальные вариационные принципы позволяют установить существование решений исходных уравнений;

— в приложениях важной является возможность получения устойчивых приближений решений рассматриваемых уравнений так называемыми вариационными методами;

— на основе вариационных формулировок возможно получение интегралов эволюционных уравнений, в том числе законов сохранения.

Однако, все эти преимущества вариационных принципов в течение длительного времени удавалось использовать лишь для узкого класса потенциальных операторов.

Существует потребность в получении вариационных принципов для новых классов линейных несимметричных операторов и нелинейных непотенциальных операторов. Это требует построения функционаловрешений обратных задач вариационного исчисления — и исследования соответствующих экстремальных вариационных задач. Вместе с тем, даже для основных операторов математической физикипараболических, гиперболических и широких классов эллиптических в известных классах функционалов Эйлера-Лагранжа не существует ограниченных сверху или снизу решений ОЗВИ [78].

Прямой вариационный метод исследования дифференциальных операторов с частными производными получил, начиная с работ Д. Гильберта [89], дальнейшее развитие и глубокое теоретическое обоснование в работах С. Л. Соболева [72], С. М. Никольского [45], Л. Д. Кудрявцева [36] и других. Большое значение для распространения вариационных методов в приложениях имели работы М. М. Вайнберга [9], С. Г. Михлина [41], К. Ректориса [102]. Однако разработанный прямой вариационный метод распространялся, в основном, только на линейные самосопряженные, положительные операторы или на нелинейные потенциальные операторы.

В работах А. Е. Мартынюка [40], В. В. Петришина [101], В. М. Шалова [80], В. М. Филиппова [75, 78], Э. Тонти [107], В. М. Савчииа [59, 78, 105] были предложены некоторые общие подходы построения и исследования экстремальных вариационных задач для непотенциальных операторов.

К ОЗВИ привела, в частности, разработка вариационных методов решения линейных уравнений с В-симметрическими и В-положительными операторами и их обобщения на нелинейные уравнения с непотенциальными операторами. Наряду с другими результатами, исследования в этой области показали необходимость изучения классов функционалов, не являющихся функционалами Эйлера-Лагранжа.

В исследованиях по классической ОЗВИ можно выделить две ветви, которые на протяжение длительного периода развивались независимо. Первая из них связана с именем Г. Гельмгольца [90], который нашел необходимые условия представления обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка в виде уравнений Эйлера-Лагранжа. Достаточность этих условий была независимо доказана А. Майером [100] и Г. К. Сусловым [73]. Данные условия и некоторые другие эквивалентные формы этих условий в современной литературе принято называть условиями потенциальности Гельмголъца. В случае их невыполнения было предложено рассматривать задачу об отыскании вариационных интегрирующих множителей, с помощью которых можно построить эквивалентные уравнения, допускающие представление в виде уравнений Лагранжа.

Аналогичная задача рассматривалась и для дифференциальных операторов с частными производными. В этом направлении Е. Т. Копсон [87] доказал, что для линейного дифференциального оператора с частными производными параболического типа не существует искомого вариационного интегрирующего множителя, зависящего лишь от независимых переменных. Следует подчеркнуть, что поиск решений соответствующих ОЗВИ велся только в рамках классов функционалов Эйлера-Лагранжа.

Начало второй ветви было положено В. Вольтерра [109] и в дальнейшем составило основу теории потенциальных операторов.

В настоящее время известны различные подходы к исследованию операторов на потенциальность, основанные на алгебраических и геометрических методах (см., например, [6], [10], [41]).

В плане дифференциально-разностных операторов ОЗВИ почти не рассматривались, хотя прямые задачи вариационного исчисления с одним аргументом ставились еще Л. Э. Эльсгольцем [82] - [85] и получили дальнейшее развитие в работах Г. А. Каменского [15] -[17], [93, 94], А. Л. Скубачевского [70, 71, 106] и др. В этом направлении анализировались различные разделы теории обыкновенных дифференциальных операторов, выясняя, в какой форме соответствующие результаты переносятся на теорию дифференциальных операторов с отклоняющимися аргументами, какие принципиально новые свойства возникают при таком перенесении.

Под обыкновенным дифференциально-разностным уравнением понимается [3] уравнение относительно неизвестной функции и ее производной, вычисленное при некоторых значениях аргумента, отличающихся на постоянные. Например, и" ^) — и (г — 1) + и (г) = 0.

Общее обыкновенное дифференциально-разностное уравнение имеет вид.

— Шх), — шт), и (г), и{Ь — о^),., и{1 — - ал), — ит)] = 0, где .Р -^заданная функция от 1 +(т + 1)(п + 1) переменных.

В обширной литературе, посвященной данному вопросу, различные подклассы уравнений такого типа называют также функционально-дифференциальными уравнениями, уравнениями с отклоняющимися аргументами, уравнениями с последействием.

Линейные дифференциально-разностные уравнения первого порядка делятся на три вида [82]:

1) уравнения с запаздывающим аргументом;

2) уравнения нейтрального типа;

3) уравнения опережающего типа.

В приложениях наиболее часто встречаются уравнения с запаздывающим аргументом, реже — уравнения нейтрального типа. Прикладных задач, сводящихся к уравнениям опережающего типа известно пока совсем немного. Это обусловлено тем, что методы решения для уравнений с запаздывающим аргументом или нейтрального типа не подходят для таких уравнений. Например, метод шагов, он так же применим к уравнениям опережающего типа, но вообще говоря, эти уравнения теряют запас гладкости, который имела начальная функция, и через некоторое число шагов решение может даже не существовать. Метод преобразования Лапласа (метод последовательного интегрирования, экспоненциальные оценки) непригоден для уравнений опережающего типа. В общем случае, решения не имеют экспоненциального порядка роста, и поэтому интегралы Лапласа будут расходящимися.

В ряде случаев предположение о том, что отклонение постоянно, хорошо отражает действительные явления, например, когда запаздывание связано с передачей звукового сигнала, с гидравлическим ударом или другим волновым процессом. Следует отметить, что подстановка = —? превращает уравнение запаздывающего типа по t в уравнение опережающего типа по и обратно и превращает уравнение нейтрального типа в другое уравнение нейтрального типа. Уравнения запаздывающего тина в некоторых отношениях проще' уравнений нейтрального или опережающего типа.

В самых разнообразных областях науки часто встречаются системы с запаздывающими связями, динамические процессы, которые описываются дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами.

Как известно, дифференциально-разностные уравнения возникают в теории колебаний, при изучении процессов в реактивных двигателях, при решении ряда проблем теоретической физики, некоторых задач экономики, биологии и экологии. Например, клапан в двигателе Дизеля поднимается под действием давления газа, сжимаемого поршнем. Легче описать движение клапана, введя запаздывание по времени в уравнение движения клапана, чем пытаться решить полностью задачу о движении клапана и течении газа в цилиндре [48].

Уравнение у" (г) + 2гу'{Ь) + + - 1) = еу12(г — 1), где г, д, ш, е — постоянные и е мало, исследовал Минорский Н. в связи с теорией самовозбуждающихся колебаний в системах стабилизации судов.

Ранее Горелик Г. С. вывел подобное уравнение при изучении влияния времени пролета электронов в электронных лампах. Своеобразный класс экологических задач порождает теория эпидемий.

Введение

запаздывания в дифференциальные уравнения, описывающие какойлибо биологический процесс, является естественным математическим приемом [40]. Для модели с запаздыванием х' = Ъх{1—Ь)у{1—К) — сх, у' = сх — Ъху, г' — Ь[ху — х (Ь — К) у{Ь — Н)} с условием х + у + г = 1 и г интегральным ограничением х+у = —а — Ь / хуйв^а > 0 выражающим г наличие инкубационного периода, показано, что решение при ^ —оо стремится к постоянной.

Параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают в теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью [69]. Квазилинейныепараболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при математическом описании нелинейных оптических систем с преобразованием поля в двумерной обратной связи. Такие системы используются при генерировании лазерных пучков и применяются в современной компьютерной технологии.

С помощью дифференциально-разностных уравнений можно рассмотреть задачу о распространении тепла в системе материальных точек с термальными связями [16]. Также данные уравнения описывают нестационарное течение идеальной жидкости со свободной поверхностью [81]. В частности, путем прямого численного моделирования было рассмотрено возникновение интересного (и сложного) океанологического явления «волны-убийцы». «Волны-убийцы» могут возникать в следствии нелинейных эффектов в уравнениях, описывающих течение идеальной жидкости со свободной поверхностью.

В 1996 г. в докладе [96] на II Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины) было предложено следующее определение: Смешанным ФДУ (СДУ) называется ФДУ, для функции более чем одного непрерывного аргумента, в котором (уравнении) производная от нее берется только по одному из этих аргументов.

Таким образом, «смешанность» уравнения состоит в противопоставлении одного из аргументов, играющего роль времени и как бы отвечающего за эволюцию, остальным аргументам, которые естественно трактовать как пространственные. При этом оператор, действующий по пространственным аргументам, — ограниченный (разностный, интегральный и т. п.). Это делает класс СДУ в некотором смысле промежуточным между обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) и уравнениями математической физики.

Среди основных направлений и исследований дифференциально-разностных уравнений следует отметить:

1) прямые вариационные задачи;

2) теорию линейных уравнений;

3) теоремы существования и приближенные методы;

4) теорию устойчивости;

5) исследование периодических решений и др.

При решении задач вариационными методами возникает необходимость построения функционалов, критические точки которых совпадают с решениями исходных уравнений. Исследование проблемы построения искомых функционалов начинается с проверки выполнения условий потенциальности соответствующих операторов. Для обыкновенных дифференциальных уравнений имеются эффективные методы, позволяющие проверять потенциальность соответствующих операторов [78].

Для уравнений с непотенциальиыми операторами поиск функционалов соответствующих вариационных принципов является актуальной и нетривиальной проблемой. Несмотря на значительное количество работ в этом направлении, имеется ряд проблем, в основном, в области конструктивного построения решений обратных задач вариационного исчисления для таких операторов.

Актуальными являются задачи решения ОЗВИ для дифференциально-разностных операторов с частными производными. Такая задача была впервые сформулирована в работе [63].

Попов A.M. [50] получил условия потенциальности дифференциально-разностных операторов второго порядка нейтрального типа. Для систем дифференциально-разностных уравнений n-го порядка нейтрального типа в работе [51] получены необходимые и достаточные условия потенциальности относительно классической билинейной формы. Полученные результаты • применяются к квазилинейным системам первого порядка.

Исследования в области дифференциально-разностных операторов, в настоящее время привлекает к себе все большее внимание (см., например, работы [1], [7], [11], [18],[52], [65], [71], [79], [86], [97]).

Решение задач с дифференциально-разностными операторами представляет специфические трудности, так как сами постановки задач отличаются от соответствующих постановок задач для обыкновенных дифференциальных операторов.

Значительный интерес представляет распространение результатов, полученных по ОЗВИ для обыкновенных дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с частными производными на дифференциально-разностные операторы с частными производными.

Основная цель диссертационной работы состоит в разработке методов построения решений ОЗВИ — вариационных принциповдля различных классов дифференциально-разностных операторов с частными производнымиполучении условий потенциальности для дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно различных билинейных формразработке алгоритмов построения симметрий дифференциально-разностных уравнений с частными производными.

Диссертация носит теоретический характер. Вместе с тем ряд установленных фактов и их следствий представляют определенный интерес для приложений. Результаты диссертации могут быть использованы для изучения потенциальных и непотенциальных взаимодействий различной физической природы, описываемых дифференциальными и дифференциально-разностными операторами с частными производными.

По теме диссертации опубликовано 16 работ автора.

В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах В. М. Филиппову и В. М. Савчину принадлежат постановки задач, другим соавторам — решения ряда технических вопросов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка литературы, состоящего из 109 наименований.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты диссертации и выводы.

1. Получена достаточно общая классификация линейных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка, допускающих решения ОЗВИ в различных постановках.

2. Установлено несуществование вариационного множителя достаточно общего вида для заданного класса ультрапараболических операторов.

3. Даны конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для непараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами.

4. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности заданных нелинейных дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно классической билинейной формы и билинейной формы со сверткой.

5. Получена система дифференциальных уравнений с частными производными для нахождения вариационных множителей.

6. На дифференциально-разностные уравнения с частными производными распространен метод построения симметрий, основанный на операторе рекурсии.

7. Найдены условия, при выполнении которых система дифференциально-разностных уравнений с частными производными 2-го порядка допускает группу симметрий.

8. Получены необходимые и достаточные условия вариационности операторного эволюционного дифференциально-разностного уравнения.