Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках

Диссертация: Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Недавно было показано, что идея Р. П. Федоренко допускает вторую алгоритмическую реализацию, которая получила название «Универсальная1 Многосеточная Технология» (УмТ). В отличие от КэдМ, УуТ основана на адаптации краевой задачи к алгоритму. Таким образом, УэдТ состоит из двух частей: 'В соответствии с, универсальными, будут называться высокоформализо-ванные алгоритмы, которые эффективны при… Читать ещё >

Содержание

  • Условные обозначения
  • 1. Обзор методов решения сеточных уравнений
  • 2. Универсальная многосеточная технология
    • 2. 1. Многосеточная структура
    • 2. 2. Описание технологии
    • 2. 3. Преимущества многосеточной технологии
    • 2. 4. Вычисление интегралов
    • 2. 5. Оценка общих вычислительных усилий
    • 2. 6. Оценка максимального проигрыша в эффективности
    • 2. 7. Вычислительные эксперименты
      • 2. 7. 1. Блочный вариант метода Зейделя
      • 2. 7. 2. Точечный вариант метода Зейделя
    • 2. 8. Системы линейных дифференциальных уравнений
    • 2. 9. Способы адаптации краевых задач
    • 2. 10. Программное обеспечение
    • 2. 11. Общая схема многосеточной технологии
  • 3. Оценка внутреннего параллелизма
    • 3. 1. Архитектура многопроцессорного компьютера
    • 3. 2. Статический цикл
    • 3. 3. Динамический цикл
  • 4. Адаптация уравнений Навье-Стокса к численным методам 89 4.1 Модификация уравнений Навье-Стокса для несжимаемых течений
    • 4. 2. Аппроксимация граничных условий на твердой стенке
    • 4. 3. Проблемно-зависимая модификация уравнений Навье-Стокса
    • 4. 4. Замечания о точности вычислений
    • 4. 5. Вычислительный эксперимент
  • 5. Моделирование отдельных режимов кипения
    • 5. 1. Математическая модель вынужденной однофазной конвекции
    • 5. 2. Математическая модель теплообмена при кипении в каналах
    • 5. 3. Модифицированная форма (К — е)-модели турбулентности
      • 5. 3. 1. Построение функции особенностей
      • 5. 3. 2. Построение функции особенностей
      • 5. 3. 3. Построение функции особенностей 4fuv
      • 5. 3. 4. Определение функции
      • 5. 3. 5. Построение модифицированной формы (К—е)-модели турбулентности
      • 5. 3. 6. Тестирование (К — е)-модели
    • 5. 4. Результаты моделирования отдельных режимов кипения
      • 5. 4. 1. Моделирование пузырькового режима кипения
      • 5. 4. 2. Моделирование пленочного режима кипения
  • Выводы

Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность работы. Бурное развитие вычислительной техники привело к значительному повышению роли вычислительного эксперимента в научных исследованиях и инженерных приложениях. В настоящее время имеется четкая тенденция к разработке стандартизированного программного обеспечения для решения многих прикладных задач. Для подобного обеспечения наибольший интерес представляют вычислительные алгоритмы, которые являются эффективными при решении широкого класса задач и позволяют эффективно распараллеливать вычисления.

В наиболее эффективных вычислительных алгоритмах используется идея Р. П. Федоренко об аппроксимации длинноволновой части погрешности численного решения на грубых сетках [1], [2]. Первая алгоритмическая реализация идеи Р. П. Федоренко, получившая название «Классические Многосеточные Методы» (КэдМ), была основана на адаптации компонент алгоритма к решаемой краевой задаче. При оптимальной адаптации К^М позволяют решать задачи, выполняя O (N) арифметических операций. Данная привлекательная особенность КэдМ послужила причиной обширных исследований для дальнейшего совершенствования проблемно-зависимых компонент алгоритма [3]. Однако, несмотря на многочисленные усилия, КодМ не могут быть представлены в виде фиксированной схемы [4].

Недавно было показано, что идея Р. П. Федоренко допускает вторую алгоритмическую реализацию, которая получила название «Универсальная1 Многосеточная Технология» (УмТ) [5]. В отличие от КэдМ, УуТ основана на адаптации краевой задачи к алгоритму. Таким образом, УэдТ состоит из двух частей: 'В соответствии с [5], универсальными, будут называться высокоформализо-ванные алгоритмы, которые эффективны при решении широкого класса задач. То есть термин «универсальный» понимается в более широком смысле, чем общепринятый термин «robust» [3]. аналитической (адаптация краевых задач) и вычислительной (численное решение адаптированных задач при помощи оригинального многосеточного метода). Именно априорная адаптация краевых задач, а также ряд новых конструктивных решений, позволили формализовать вычислительную часть технологии при сохранении скорости сходимости, близкой к оптимальной. Основные достоинства УэдТ (высокая скорость сходимости, высокая формализация вычислительной части и высокий уровень внутреннего параллелизма) позволят использовать разработанную технологию в стандартизированных программных продуктах, предназначенных для решения широкого класса задач.

Целью работы является разработка вычислительной технологии для численного решения краевых задач на структурированных сетках, которая обладает высокой степенью формализации и распараллеливания, а также скоростью сходимости, близкой к оптимальной.

Практическая ценность. Разработанная У^Т предназначена для решения тех же задач гидрои газодинамики, теплообмена, теплопередачи и т. д., что и К^М, но при этом не требует подгонки компонент вычислительной части для конкретного приложения с целью достижения высокой скорости сходимости. Программное обеспечение для решения двухи трехмерных задач, написанное на алгоритмическом языке FORTRAN, полностью разработано, тщательно протестировано и оптимизировано с целью сокращения объема вычислений.

Научная новизна. УэдТ является принципиально новой алгоритмической реализацией идеи Р. П. Федоренко. Все компоненты У^Т (априорная адаптация краевых задач, многосеточная структура, проблемно-независимые операторы переходов, многосеточный цикл и т. д.) не имеют аналогов в КэдМ. И наоборот, все компоненты КэдМ не применимы в У^Т.

Диссертационная работа состоит из пяти глав:

В первой главе представлен критический анализ основных тенденций развития методов решения разностных задач.

Во второй главе представлены основные компоненты У^Т, дано описание технологии и показаны преимущества над КмМ. Приводятся оценки вычислительных усилий и результаты вычислительных экспериментов, полученные при решении разнообразных модельных задач. Рассмотрено применение УэдТ к численному решению систем дифференциальных уравнений в частных производных. Обсуждаются различные способы адаптации краевых задач к У^Т.

Кроме того, показано, что модульное исполнение проблемно-независимых компонент У^Т и унифицированная формулировка дискретных задач на многосеточной структуре позволяют приблизить сложность программирования УуТ к сложности программирования односеточного варианта метода Зейделя. Устранена зависимость программной реализации от особенностей того или иного алгоритмического языка. Приводится структура прикладных программ (многосеточные оболочки), выполненная в виде упорядоченного набора специализированных подпрограмм.

В третьей главе получена оценка внутреннего параллелизма УмТ. Показано, что наибольшая эффективность распараллеливания достигается при взаимной адаптации архитектуры многопроцессорного компьютера и многосеточного цикла. Адаптация архитектуры к Уц (Г позволяет заранее определить необходимое число процессоров, минимизировать число межпроцессорных связей и получить наилучшую балансировку задачи. Адаптация многосеточного цикла позволяет сократить обмены данными между процессорами.

В четвертой главе рассматривается новый подход к численному решению уравнений Навье-Стокса. Показано, что уравнение для вычисления давления может быть получено при помощи невырожденной замены переменных и линейных преобразований без дополнительного дифференцирования уравнений движения. Для сокращения объема вычислений предложена формальная декомпозиция давления и привлечение интегральных форм уравнения неразрывности в качестве дополнительных условий. Приводятся результаты расчета течения на начальном участке круглой трубы. Установлен закон изменения давления в ядре потока.

В пятой главе представлена упрощенная математическая модель кипения в обогреваемых каналах. Рассматриваются некоторые аспекты применения У^Т к численному решению уравнений модели и проводятся результаты моделирования отдельных режимов кипения.

Публикации: Основные результаты диссертационной работы изложены в 17 печатных работах.

Диссертация содержит 153 страниц текста, 38 рисунков, 21 таблицу и библиографию из 79 наименований.

Выводы.

1. Разработана многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках. Показано, что априорная адаптация краевых задач к УмТ, а также ряд новых конструктивных решений позволили предельно упростить вычислительную часть технологии. Удалось избавиться от ряда проблемно-зависимых компонент (интерполяция, предварительное сглаживание, построение грубых сеток и т. д.), зафиксировать многосеточный цикл и существенно снизить требования, предъявляемые к сглаживаемой процедуре. Проведенный анализ вычислительных усилий показал, что скорость сходимости У^Т близка к оптимальной, максимальный проигрыш в эффективности возникает при решении простейших задач и составляет приблизительно.

2n +1 N 2^-llgN'.

Незначительный проигрыш в эффективности является неизбежным следствием высокой формализации вычислительной части У^Т. Возможности У^Т демонстрировались при решении ряда стандартных модельных задач, причем, в отличие от КмМ, не требовалось внесения каких-либо изменений в вычислительную часть. Рассмотрены различные способы адаптации краевых задач к УдоТ (?-, Пи е-модификации).

На примере модельной задачи рассмотрены все возможные алгоритмы численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что многосеточный сегрегированный алгоритм является конкурентоспособным по скорости сходимости с совместным, но в то же время существенно более просто реализуемым. Ускорение многосеточного сегрегированного алгоритма возникает вследствие близости численных решений, полученных на соседних уровнях многосеточной структуры.

Полностью разработано программное обеспечения для Yj^T. Проблемно-независимые компоненты УмТ выполнены в виде унифицированных подпрограмм, что позволило приблизить сложность программирования УдоТ к сложности программирования односеточного варианта метода Зейделя.

2. Получена оценка внутреннего параллелизма У^Т. Показано, при взаимной адаптации архитектуры многопроцессорного компьютера и многосеточного цикла ускорение и эффективность для случая p = 3N лежат в пределах >лг q*L+ +1 jy pf q*L+ +1 N p ' № + < lm.

3. Предложена новая форма записи уравнений Навье-Стокса, которая содержит уравнение для вычисления давления. Данная форма записи получена при помощи оригинальной замены переменных и линейных преобразований без дополнительного дифференцирования уравнений движения. Подобным образом могут быть модифицированы двухи трехмерные, стационарные и нестационарные уравнения Навье-Стокса для сжимаемых и несжимаемых сред в произвольной системе координат. Показано, что в случае структурированных сеток и применения блочного варианта метода Зейделя возможно уменьшения объема вычислений, связанное с оригинальной декомпозицией давления и использованием интегральных форм уравнения неразрывности.

4. Разработана упрощенная математическая модель теплообмена при кипении в условиях вынужденного течения в каналах. В процессе моделирования наиболее характерных режимов кипения, таких как переход от вынужденной однофазной конвекции недогретой жидкости к развитому пузырьковому кипению и переход от пленочного кипения к вынужденной конвекции в перегретом паре, показана адекватность модели по температуре стенки канала и коэффициенту теплоотдачи. Получено удовлетворительное совпадение с известными эмпирическими зависимостями и опытными данными автора, для получения которых была разработана экспериментальная установка и проведен теплофизический эксперимент.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и М. ю 1961. — Т 1, № 5. — С.922−927.
  2. Р.П. Скорость сходимости одного итерационного метода // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. — Т 4. — № 3. — С.227−235.
  3. Wesseling P. An Introduction to Multigrid Methods Chichester: Wiley, 1991.- P.284.
  4. Hackbusch W. Robust multi-grid methods, the frequency decomposition multi-grid algorithm // Proc. 4th GAMM-seminar. Kiel, 1988. — P.96−104.
  5. С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках // Вычислительные методы и программирование. 2000. — Т.1, раздел 1. — С.85−104.
  6. А.А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с.
  7. Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы: Уч. пос. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 600 с.
  8. Н.Н. Численные методы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978.- 512 с.
  9. Г. И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 608 с.
  10. А.А. Теория разностных схем. 2-е изд. — М.: Наука, 1983. — 614 с.
  11. JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. — 448с.
  12. Hestenes М. R., Stiefel Е. I. Methods of conjugate gradients for solving linear systems // Nat. Bur. Std. J. Res. 1952. — V. 49. — P.409−436.
  13. Hestenes M. R. The conjugate-gradient method for solving linear systems // Numerical Analysis (J. Curtiss, ed.). New York: McGraw-Hill, 1956. — V.6. — P.456−466.
  14. Vinsome R. K. W. ORTHOMIN, an iterative method for solving sparse sets of simultaneous linear equations, // Symp. Numer. Simulation of Reservoir Perfojmance of SPE of AIME, 4th: paper SPE 5739 Los Angeles (California), 1976. — P. 19−20.
  15. Young D. M., Jea К. C. Conjugate gradient acceleration of iterative methods: Part 2, The Nonsymmetrizable Case // Center for Numerical Analysis, Univ. of Texas at Austin. 1980. — Rep. CNA-163. — P.37.
  16. Young D. M., Jea К. C. Generalized conjugate gradient acceleration of nonsymmetrizable iterative methods // Linear Algebra and Appl. 1980. -V. 34. — P. 159−194.
  17. Paige C., Saunders M. LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares // ACM Trans. Math. Soft. 1982. — V. 8. — P.43−71.
  18. Bjorck A., Elfving T. Accelerated projection methods for computing pseudo-inverse solutions of systems of linear equations // BIT. 1979. — V. 19. — P. 145 163.
  19. Faber V., Manteuffel T. Necessary and sufficient conditions for the existence of a conjugate gradient method // SIAM J. Numer. Anal. 1984. — V. 21. -P.315 339.
  20. Voevodin V. The problem of non-self-adjoint generalization of the conjugate gradient method is closed // Comput. Math, and Math. Phus. 1983. — V. 23.- P. 143−144.
  21. Sonneveld P. CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1989. — V. 10. — P.36−52.
  22. H. van der Vorst, Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1992. — V. 13. — P.631−644.
  23. Gutknecht M. H. Variants of Bi-CGSTAB for matrices with complex spectrum // Tech. Report, IPS ETH (Zurich). № 91−14. — 1991. — P.64.
  24. Sleijpen G. L. G., Fokkema D. R. Bi-CGSTAB (/) for linear equations involving unsymmetric matrices with complex spectrum // Tech. Report, Univ. of Utrecht, Depart, of Math. Utrecht (The Netherlands). — 1993. — № 772 — P.23.
  25. Hackbusch W. Ein iteratives Verfahren zur schnellen Auflosung elliptischer Randwertprobleme // Report Universitat Koln, 1976. — S.76−12.
  26. Dendy Jr. J. E. Black box multigrid // J. Comput. Phys. 1982. — V. 48. -P.366−386.
  27. Dendy Jr. J. E. Black box multigrid for systems // Appl. Math. Сотр. 1986.- V. 19. P.57−74.
  28. Chang Q., Wong Y.S., Li Z. New interpolation formulas of using assumptions in the algebraic multigrid method // Appl. Math. Сотр. 1992. — V. 50. -P.223−233.
  29. Alcouffe R.E., Brandt A., Dendy Jr. J. E., Painter J. W. The multigrid method for diffusion equations with strongly discontinuous coefficients // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1981. — V. 34. — P.113−146.
  30. Kettler R., Meijerink J. A. A multigrid method and a combined multigrid-conjugate gradient method for elliptic problems with strongly discontinuouscoefficients in general domains // KSEPL: Shell Publ. 604. Rijswijk (The Netherlands) — 1981. — P.35.
  31. Kettler R. Analysis and comparison of relaxation schemes in robust multigrid and conjugate gradient methods // Multigrid Methods, Berlin, 1982. P.502−534.
  32. Oertel K. D., Sttiben K. Multigrid with ILU-smoothing: systematic tests and improvements // Robust Multigrid Methods: Proc. 4th GAMM-seminar., Vieweg. 1989. P. 188−199.
  33. Wittum G. Linear iterations as smoothers in multigrid methods: theory with applications to incomplete decompositions // Impact Comput. Sci. Eng. 1989. — V. 1. — P.180−215.
  34. Mulder W. A. A new multigrid approach to convection problems // J. Comput. Phys. 1989. — V. 83. — P.303−323.
  35. Dendy Jr. J. E., Hyman J. M. Multi-grid and ICCG for problems with interfaces // Elliptic problem solvers. New York: Academic, 1981. P.247−253.
  36. Stiiben K., Mierendorf H., Thole C. A., Thomas O. Industrial parallel computing with real codes // Parallel Computing. 1996. — V. 22. — P.725−737.
  37. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования / А. А. Самарский, И. М. Макаров, В. Г. Афанасьев и др. М.: Наука, 1988. — 176 с.
  38. К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. — 744 с.
  39. Kariman S.M.H. and Schneider G.E. Pressure-based computational method for compressible and incompressible flows // Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 1994. — V. 8, No. 2. — P.267−274.
  40. Chorin A.J. A Numerical Method for Solving Incompressible Viscous Flow Problems // J. Сотр. Phys. 1967. — V. 2. — P. 12−26.
  41. Temam R. Penalty functions // Bull. Soc. Math. (Fr.) 1968. — V. 96. — P.115−152.
  42. O.M., Гущин B.A., Щенников B.B. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ. 1975. — Т. 15, № 1. — С.197−207.
  43. Hackbusch W. Multi-grid methods and applications, Berlin, Springer. 1985. -P.445.
  44. Brandt A. Multi-level adaptive solutions to boundary value problems // Math. Comput. 1977. — V. 31. — P.333t-390.
  45. Patankar S. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow New York: Hemisphere, 1080. — P.284.
  46. Vanka S.P., Leaf G.K., An efficient finite-difference calculation procedure for multi-dimensional fluid flows // AIAA Paper, 1984. № 1244. — p.12.
  47. Harlow F.M. and Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Physics of Fluid. 1965. — V. 8, No. 12. — P.2182−2189.
  48. Anderson D.A., Tannehill J.C., Pletcher R.H. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer New York: Hemisphere, 1984. — P.587.
  49. Demirzic R.I., Issa R.I., Lilek Z. Solution method for viscous fiows at all speeds in complex domains // Proc. 8th GAMM Conference on Numerical Methods in Fluid Mechanics, Vieweg, 1990. P.89−98.
  50. Koren B. Defect correction and multigrid for an efficient and accurate computation of airfoil flows // J. Comput. Phys. 1988. — V. 77. — P.183−206.
  51. Wessiling P. Linear multigrid methods // Multigrid Methods 1987. — p.31−56.52. Yessiling P. Cell-centred multigrid for interface problem //J. Comput. Phys. 1988. -V. 79.-P.85−91.
  52. Launder В., Sharma В. Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. — V. 1. — P.131−138.
  53. С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных // Вычислительные методы и программирование. 2001. — Т.1, раздел 1. -С.1−11.
  54. С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии: строительные блоки и диагностические инструменты // Вычислительные методы и программирование. 2001. — Т.4, раздел 1. — С. 1−6.
  55. Issa R.I. Numerical Methods for Two- and Three-Dimensional Recirculating Flows // Computational Methods for Turbulence, Transonic and Viscous Flows, New York, 1983. P.183−211.
  56. Briley W.R. Numerical method for predicting three-dimensional steady viscous flow in ducts-// J. Сотр. Phys. 1974. — V. 14. — P.8−28.
  57. С.И. Оценка внутреннего параллелизма многосеточной технологии // Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века: Тез. докл. Всеросс. конф. молодых ученых.- М., 2000. С.42−43.
  58. С.И. Адаптация уравнений Навье-Стокса к численным методам // Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века: Тез. докл. Всеросс. конф. молодых ученых.- М., 2000. С. 43.
  59. Экспериментальные исследования и математическое моделирование теплообмена при кипении криогенных жидкостей в трубных каналах: НТО / ЦИ
  60. AM Рук. темы Мартыненко С. И. Гр № 90 178 139, инв. № 300−1885. М., 1994. — 65с.
  61. Кунбутаев J1.M., Мартыненко С. И. Упрощенная двумерная математическая модель сопряженного теплообмена при кипении криогенных жидкостей в электрически обогреваемых трубных каналах // Вестник МЭИ. 1998. -Вып. 5. — С.16−21.
  62. Расчет показателей теплофизических свойств азота, кислорода, атмосферного воздуха, параводорода, метана и гелия при помощи специализированных программ на языке FORTRAN-4: НТО / ЦИАМ Рук. темы Митин Б. М. Гр № 86 732 678, инв. № 10 961. М., 1989. — 83с.
  63. Akai М., Inoue A. Co-current Stratified Air-Mercury Flow with Wavy Interface // Int. J. Multiphase Flow. 1980. — V. 6. — P.173−190.
  64. Ю.В., Стрелец M.X. Внутренние течения газовых смесей. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 368 с.
  65. Lam C.K.G., Bremhorst К.А. A Modified form of the (K — ?)-mode Predicting Wall Turbulence // J. Fluids Eng. 1981. — V. 103. — P.456−460.
  66. Jones W.R., Launder B.E. The Prediction of Laminarization with a Two-Equation Model of Turbulence // Int. J. Heat Mass Transfer. 1972. — V. 15. -P.301−314.
  67. Launder B.E., Sharma B.I. Application of the Energy Dissipation Model of Turbulence to the Calculation of Flow near a Spinning Disc // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. — V.7 — P. 131−138.
  68. Chien K.-Y. Prediction of Channel and Boundary Layer Flows with a Low-Reynolds-number Turbulence Model // AIAA J. 1982. — V.20., N1. — P.33−38.
  69. Coles D., A Model for Flow in the Viscous Sublayer // Proceeding of the workshop on coherent structure of turbulent boundary layers Bethlehem: Lehigh University, 1978. — P.56−67.
  70. Schubauer G.B., Turbulent Processes as Observed in Boundary Layer and Pipe 11 J. Appl. Phys. 1954. — V.25. — P.188−196.
  71. В.К., Роди В., Шойерер Г., Модели турбулентности для течений в пристеночной области с малыми числами Рейнольдса // Аэрокосмическая техника. 1986. — № 2. — С.183−197.
  72. Cebeci Т., Bradshaw P., Physical and Conputational Aspects of Convective Heat Transfer, New York: Springer-Verlag, 1984. P.477.
  73. Laufer J. The Structure of Turbulence in Fully Developed pipe Flow // NACA Tech. Report. 1954. — № 1174 — P.56.
  74. Barbin A.R., Jones J.B. Turbulent Flow in the Inlet Region of a Smooth Pipe // J. Basic Engng. 1963. — V. 85(1), N 29. — P. 29−34.
  75. Hinze J.O. Turbulence New York: McGRAW-HILL, 1959. — P.743.
  76. Расчетно-экспериментальное исследование процессов кипения криогенной жидкости с целью создания эффективных ТВТ-испарителей: НТО / ЦИАМ Рук. темы Мартыненко С. И. Гр № 91 238 900, инв. № 300−1896. М., 1994. -54с.
  77. JI.M., Мартыненко С. И., Матлин Г. Г. Численное моделирование вынужденной двухфазной конвекции криогенных жидкостей в трубных каналах // Вестник МЭИ. 1998. — Вып. 4. — С.77−88.
  78. Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: Пер. с англ. М: Мир, 1991. — 367 с.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?