Синтез линейной следящей системы методом гарантированной точности

Решение любой технической задачи никогда не бывает единственным. Одной и той же цели можно достичь различными путями, одну и ту же функцию могут выполнять различные устройства. При этом сами технические задачи становятся в условиях современной научно-технической революции все масштабней и сложнее, а решение их требует все больших средств. Проектирование, изготовление и эксплуатация современных мощных и сложных машин и аппаратов связаны с огромными и все возрастающими затратами материальных и трудовых ресурсов. В этих условиях становится всё более важным из всех возможных вариантов решения выбрать наилучший, наиболее эффективный и выгодный, другими словами, оптимальный вариант. Сделать такой выбор совсем не просто даже и в том случае, когда имеется исчерпывающее описание всех вариантов и сформирован достаточно информативный критерий качества, позволяющий сравнивать варианты между собой. Однако именно сравнение вариантов, их оценка, часто вызывает наибольшие трудности. Любую техническую систему всегда можно оценивать с разных точек зрения, и среди них всегда присутствуют противоречащие друг другу критерии — эффективность и стоимость.

При проектировании САУ, как и при любом проектировании, также приходится иметь дело с большим количеством противоречивых показателей качества. Не затрагивая весьма важные стоимостные, массогабаритные, эксплуатационные и прочие показатели, остановимся исключительно на показателях, связанных с эффективностью. По большому счёту к САУ предъявляется только одно требование, чтобы выходной сигнал соответствовал назначению системы, был таким, каким требуется. Наиболее простой, хотя и достаточно богатый пример представляют в этом отношении следящие системы, которые должны обеспечить сигнал на выходе по возможности похожий на сигнал на входе.

Добиться эффективности любой системы можно, по меньшей мере, двумя диаметрально противоположными путями — интенсивным и экстенсивным. Применительно к системам управления эти пути означают: первый — применение более точных элементов, более мощных и быстродействующих исполнительных устройств, второй — использование более совершенных алгоритмов и законов управления, позволяющих «выжать» из несовершенных элементов максимум того, на что они способны. Понятны преимущества второго пути, особенно в условиях современной России. Понятна также актуальность проблемы создания теоретических методов и вычислительных алгоритмов, позволяющих обеспечить наибольшую эффективность разрабатываемых или модернизируемых систем управления. По большому счёту именной этой цели и служит вся теория автоматического управления. Однако проблема далеко не исчерпана.

Остановимся ещё раз на вопросе эффективности системы автоматического управления (САУ). Здесь естественно выделить два аспекта— точность и быстродействие, соответствующие двум режимам работы САУ — переходному и установившемуся. В конкретных случаях могут выдвигаться различные дополнительные требования (гладкость, отсутствие перерегулирования, энергосбережение и т. д.), но два основных критерия, быстродействие и точность, сохраняют своё значение практически всегда.

Под быстродействием естественно понимать то время, за которое гарантированно закончится переходный режим и начнётся режим слежения (установившийся режим). Именно гарантированное время окончания переходного режима может служить количественной мерой (оценкой) быстродействия. Таким образом оценка быстродействия системы может выполняться по ясному достаточно просто вычисляемому критерию. Оптимизация же быстродействия — достаточно хорошо изученная задача, которой посвящена обширная литература (см. [6−8, 13−15, 20, 26−28, 53, 56, 65, 67]), содержащая много конструктивных результатов, касающихся как условий оптимальности, так и синтеза оптимального закона управления. Для линейных объектов управления задача оптимального быстродействия может считаться полностью решённой, немало результатов получено и для различных классов нелинейных объектов управления.

Несколько меньше повезло точности слежения. Хотя вопросы оценки, повышения или обеспечения точности систем автоматического управления так или иначе затрагиваются в огромном количестве публикаций, которые просто невозможно перечислить (например, [10−12, 16−17, 19, 44−45, 57−58, 62−64, 68]), вопрос о точности нельзя считать закрытым. Представляется естественным оценивать точность по величине ошибки, то есть, разности между реальным значением выходного сигнала системы и его требуемым, идеальным значением. Для следящей системы, которая может считаться достаточно общим случаем САУ, это будет разность входного и выходного сигнала, то есть функция времени. Часто (напр. [12, 21, 46, 58]) в качестве оценки точности используются некоторые преобразованные значения (функционалы) ошибки, причём наибольшей популярностью пользуется средний квадрат (СКО, среднеквадратичное отклонение, дисперсия, мощность). Однако в ряде случаев такая интегральная оценка может оказаться недостаточной. Это относится в первую очередь к тем системам, для которых важно мгновенное значение ошибки. Сюда можно отнести системы наведения и сопровождения, управления технологическими процессами. В таких системах даже кратковременное превышение ошибкой некоторого критического уровня может вызвать необратимые последствия — срыв слежения, потерю цели, технологический брак. В этом случае разумным представляется принять за оценку точности максимальную величину модуля ошибки по всему процессу.

Следящие системы чаще всего не проектируются для отработки какого-то заранее точно известного сигнала. Конкретная форма входного сигнала обычно не известна заранее не только на стадии проектирования, но и при эксплуатации. Однако практически всегда более или менее известен класс входных сигналов, который может быть описан тем или иным способом. Представляется логичным, оценивая точность системы, говорить именно о точности отработки сигналов из некоторого заранее предопределенного класса.

Приведённые рассуждения приводят к использованию в качестве количественной оценки точности следящей системы максимального значения модуля ошибки в установившемся режиме при отработке произвольных сигналов из заданного класса. Такой критерий, названный гарантированной точностью следящей системы, впервые сформулирован в работе [ 35 ].

Рассмотрим, в какой степени распространённые методы анализа и синтеза линейных систем учитывают точность слежения в том понимании, что сформулировано выше. Условно можно поделить все методы на корневые, частотные и методы пространства состояний. Фактически все они могут формулироваться как некоторые оптимизационные задачи, целевые функционалы которых основаны на расположении корней характеристического полинома в первом случае, форме частотных характеристик во втором и некоторых операторах от фазовых траекторий и управлений в третьем. Первые две группы методов в принципе пригодны лишь для линейных систем, методы пространства состояний в принципе могут применяться и в нелинейном случае.

До сих пор наиболее распространённый из частотных методов — метод желаемых частотных характеристик [16, 45, 64]. Он включает два основных этапа — формирование требований к амплитудно-частотной характеристике (формирование желаемой амплитудно-частотной характеристики, ЖЛАХ) разомкнутой системы и формирование корректирующего устройства, обеспечивающего максимальную близость реальной частотной характеристики к ЖЛАХ. Многие его модификации не позволяют ни полностью сформировать ЖЛАХ, ни однозначно рассчитать корректирующее устройство. Они требуют постоянного творческого участия квалифицированного и опытного человека-разработчика, поэтому плохо автоматизируются и ориентированы на ручное применение.

Другую группу методов, основанных на частотных характеристиках, составляют оптимизационные методы, использующие функционал качества, вычисленный по частотным характеристикам. Например, метод динамического синтеза [17].

Использование частотных характеристик, всё равно — в форме ЖЛАХ или в форме интегрального функционала, позволяет оценить устойчивость, точность воспроизведения гармонических (в том числе статических) сигналов, приближённо оценить качество регулирования (время регулирования, перерегулирование и колебательность). Надо отметить, что частотные методы учитывают свойства входных сигналов проектируемой системы как в форме «диапазона рабочих частот», так и в форме «запретных областей» ЖЛАХ или весовых функций. Однако и сам класс сигналов оказывается достаточно размытым, и предельная ошибка отработки сигналов из этого класса может быть оценена лишь весьма грубо. Это не удивительно, поскольку целью здесь всегда является достижение некоторых свойств частотных характеристик, которые лишь косвенно связаны с точностью слежения.

Корневые методы синтеза основаны на идее таким образом выбрать параметры регулятора, чтобы полюса (иногда — также и нули) замкнутой передаточной функции оказались размещены наперёд заданным образом (см [2, 3, 32, 34, 44, 64]). Достаточно характерный представитель этой группы — метод модального управления [32]. Однако, каким образом расположение корней связано с точностью слежения за различными входными сигналами — отдельный и достаточно сложный вопрос, не нашедший отражения в рамках метода. Не рассматривается в рамках этого метода и вопрос об описании класса входных сигналов.

Не лучше обстоит дело и с методами пространства состояний. Достаточно типичным представителем семейства методов пространства состояний является метод АКОР (аналитическое конструирование оптимальных регуляторов [29, 46, 68]), для развития которого в нашей стране много сделал A.M. Лётов [34]. Оптимальным тут называют регулятор, обеспечивающий (при любых начальных условиях) минимум квадратичного функционала от переменных состояния и управляющего сигнала. Известно, что эта задача при очень широких предположениях разрешима и приводит к уравнению Риккатти. Мало отличается от АКОР развиваемый школой A.A. Красовского метод, основанный на критерии обобщенной работы, которая также является квадратичным функционалом.

Полученные методом АКОР системы оказываются устойчивыми, имеют неплохой переходный процесс. Школе A.A. Красовского [29] удалось получить связи между коэффициентами квадратичного функционала и качеством регулирования целевой системы. Однако критерий качества в этих методах при любых весовых коэффициентах никак не связан с точностью слежения за каким-либо сигналом, нет также способа учесть класс входных сигналов, для которых рассчитывается система. С точки зрения оценки или обеспечения точности эти методы ничего не могут дать.

Итак, распространённые методы синтеза линейных регуляторов, которым посвящено огромное количество публикаций, как перечисленных выше, так и других, в лучшем случае используют лишь косвенные или приближённые оценки точности синтезированной системы. Практически не рассмотрен в них также вопрос о конструктивном описании класса входных сигналов, если не принимать во внимание такие группы типовых сигналов, как ступенчатые, линейно нарастающие и гармонические, не столь уж часто встречающиеся в реальной жизни. Можно утверждать, что ни один из известных методов не позволяет ни обеспечить, ни даже оценить максимальную ошибку при отработке произвольных входных сигналов из заданного (достаточно богатого) класса. Следует оговориться, что принципиальная возможность такой оценки существует всегда, поскольку, например, частотные характеристики несут полную информацию о линейной системе, и с их помощью, в принципе, возможно получить конкретный отклик на конкретный сигнал. Однако как описать и обработать целый класс сигналов — такие вопросы решения пока не имеют.

Отдельно надо упомянуть группу методов, рассматривающих управление как дифференциальную игру ([31, 69]). Однако по ряду причин они едва ли могут удовлетворить разработчика следящих систем. С одной стороны, в них решается задача более сложная, чем простая оценка точности слежения для класса сигналов, хотя эта последняя по своей сути также является игровой. С другой стороны, игровая постановка вряд ли может привести к желаемой или хотя бы легко реализуемой структуре закона управления.

Ещё одну группу методов оценки точности образуют методы статистической динамики ([12, 16, 68]). Здесь заслуживает внимания достаточно детальное описание класса входных сигналов с помощью понятия стохастического процесса. Действительно, если задана спектральная плотность входного сигнала, это фактически означает, что определён целый класс входных функций — возможных реализаций соответствующего случайного сигнала. Однако методы статистической динамики имеют дело обычно с мощностью ошибки, а не с мгновенными её значениями, и поэтому проблему оценки точности решить не в состоянии.

Сказанного достаточно, чтобы утверждать, что распространённые методы расчёта регулятора не только не позволяют гарантировать заданную точность слежения за входными сигналами из заданного класса, но и не в силах предсказать значения ошибки слежения. Таким образом, задача оценки и оптимизации точности отработки следящей системой произвольных входных сигналов из заданного класса остаётся на настоящий момент нерешённой, причём потребность в её решении для практики проектирования систем управления ощущается достаточно остро.

Это позволяет констатировать наличие актуальной нерешённой научной задачи. Её основными составными частями являются задача описания класса входных сигналов, задача вычисления и оптимизации гарантированной точности, понимаемой как максимум модуля (мгновенной) ошибки системы при отработке в установившемся режиме произвольных сигналов из заданного класса.

Одним из крайне немногочисленных, если не единственным, подходом, ориентированным на изучение ошибки воспроизведения произвольных входных сигналов, является рассматриваемый в данной работе метод гарантированной точности [35−43], созданный на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета. В отличие от остальных, этот метод использует не некий косвенный критерий, а непосредственно ошибку слежения.

Основу метода гарантированной точности составляют, во-первых, понятие гарантированной точности САУ, то есть максимальной ошибки слежения, которая может возникнуть при отработке сигналов из заданного класса, и, во-вторых, способ описания класса сигналов, заключающийся в использовании некоторой вспомогательной линейной САУ, называемой задающим устройством (ЗУ). Именно, все возможные выходные сигналы ЗУ при произвольных ограниченных по модулю входных сигналах и образуют указанный класс.

Для применения метода гарантированной точности необходимо иметь способ формировать задающее устройство, наилучшим образом отражающее имеющуюся информацию о входных сигналах, а также иметь эффективный способ вычисления значения гарантированной точности. Решение этих двух задач и составило существенную часть настоящей работы.

Информация о входных сигналах, в частности, может быть представлена известными предельными значениями самого сигнала и, возможно, его производных. Возможно и более детальное описание класса сигналов в виде области достижимости в фазовом пространстве. Может иметься, наконец, достаточно представительный набор осциллограмм возможных входных сигналов. В любом из этих случаев логичным представляется использовать в качестве ЗУ простейшие линейные звенья, обладающие теми же характеристиками (предельные значения сигнала и его производных, область достижимости). Для этого получены аналитические выражения упомянутых предельных значений, а также формулы, позволяющие строить области достижимости для простейших линейных звеньев.

Не менее часто все знания о входных сигналах сводятся к известной их спектральной плотности. При известных допущениях и в этом случае можно сформировать задающее устройство, адекватно отражающее такой класс.

— 13 сигналов (точнее говоря — случайный сигнал) и подсчитать предельную ошибку его воспроизведения. Это позволяет предлагаемый ниже способ моделирования случайных сигналов и основанный на нём способ формирования ЗУ применить в рамках метода гарантированной точности.

Оптимизация системы по какому-либо критерию обычно предполагает многократное вычисление критерия качества, для чего необходимо иметь эффективный (быстрый и точный) метод такого вычисления. В настоящей работе предлагается весьма эффективный метод вычисления гарантированной точности и реализующие его алгоритм и программа.

Предложенные методы и алгоритмы применены для решения задачи синтеза регулятора следящего электропривода вертикального канала наведения самоходного зенитного комплекса.

Результаты исследования следящего электропривода позволяют сделать вывод об эффективности разработанных в диссертации методов, алгоритмов и программ.

8.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Целью настоящей работы являлось развитие теоретического, алгоритмического и программного обеспечения метода гарантированной точности и разработка методик его применения для синтеза и анализа линейных систем автоматического управления. В работе проанализировано место метода гарантированной точности среди известных методов анализа и синтеза систем управления и определены критические задачи, которые должны быть решены для его эффективного применения. Такими задачами были определены разработка эффективных методов и алгоритмов вычисления и оптимизации гарантированной точности следящей системы и создание аппарата рационального формирования и описания классов входных сигналов на основе различной априорной информации.

В рамках метода гарантированной точности класс входных сигналов определяется некоторой вспомогательной линейной системой — задающим устройством. В случае, когда информация о классе входных сигналов позволяет построить его область достижимости в фазовом пространстве (сам сигнал и его производные), за задающее устройство естественно принять простейшее линейное звено, обладающее такой же или близкой областью, достижимости. В работе развиты способы построения таких звеньев. С этой целью получены аналитические выражения для предельных отклонений выходных сигналов и их производных линейных звеньев второго порядка. Получены также аналитические выражения для границ областей достижимости таких звеньев. Показано, что использование полученных выражений позволяет формировать задающее устройство.

Для случая, когда входной сигнал является стохастическим с известной спектральной плотностью, предложен метод формирования задающего устройства, ему соответствующего. Получены формулы для задающих устройств, соответствующих ряду типовых стохастических сигналов. Предложен метод приближённой реализации задающего устройства с близкой в смысле средне квадратичного отклонения спектральной плотностью. Предложен алгоритм и разработана программа, позволяющие по-новому моделировать динамику системы со случайным сигналом на входе.

Перечисленные результаты создают достаточный математический и алгоритмический аппарат для эффективного формирования задающего устройства в рамках метода гарантированной точности.

Для оптимизации системы по критерию гарантированной точности необходимо многократное её вычисление. Для этой цели в работе предложен метод, основанный на использовании формулы Коши, и создана соответствующая его программная реализация. Метод показал высокую эффективность, обеспечив повышение быстродействия в десятки раз по сравнению с численным интегрированием. Его применение позволило использовать при оптимизации случайный поиск, который, несмотря на трудоёмкость, наиболее надёжно позволяет минимизировать функции качества со сложным рельефам при сложных ограничениях. В работе предложена также программа, этот метод реализующая. Таким образом, можно считать, что разработано алгоритмическое и программное обеспечение метода гарантированной точности.

Разработанные методы и программы были применены для решения задачи синтеза закона управления электроприводом вертикального канала наведения самоходного зенитного комплекса. Закон управления был получен в двух вариантах — для работы с места и в движении. В первом случае класс входных сигналов определялся возможными манёврами цели, а во втором рассматривался как случайный сигнал компенсации качки носителя. Для обоих случаев были сформированы задающие устройства, найдены оптимальные параметры регулятора и выполнено моделирование синтезированной системы как по упрощённой линейной, так и по полной нелинейной модели. Синтезированный регулятор обеспечил в обоих режимах.

— 112высокую точность слежения. Моделирование показало хорошее совпадение полученных ошибок слежение с теоретическими результатами.