Оптимизация с использованием модели транспортной задачи

В настоящее время задачи, стоящие в народном хозяйстве  планирование производства, обслуживания, транспортных перевозок и т. п., являются очень сложными и объемными. Каждая такая задача имеет множество параметров, от которых зависит эффективность тех или иных операций. Если еще в начале двадцатого века задачи производственного планирования можно было решить методом перебора вариантов, то сейчас это невозможно. Поэтому и возникла дисциплина, получившая название «Системный анализ и исследование операций».

Под исследованием операций понимается применение количественных математических методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Исследование операций начинается в том случае, когда для принятия количественного решения применяются математические методы.

В настоящей работе производится решение комплекса типовых оптимизационных задач, стоящих перед руководителем предприятия или его подразделения. Это задача о наиболее выгодном распределении ресурсов, выпуске и транспортировке продукции, задача о назначениях, задача линейного программирования и задача с использованием системы массового обслуживания.

1 Оптимизация с использованием модели транспортной задачи.

1.1 Математическая модель задачи.

Математическая модель задачи представляет собой следующее. Необходимо доставить от заводов i некоторый однородный товар в объеме Аi единиц потребителям j с минимальными транспортными издержками. Потребность каждого потребителя в товаре составляет Вj единиц. Известны также сij — величины стоимости перевозки единицы груза от i — того завода к j — потребителю.

Т.к., то мы имеем транспортную задачу открытого типа.

Введем переменные xij=Аij, обозначающие количество единиц груза, перевозимого от i-го завода j-му потребителю. Такие переменные должны удовлетворять следующим условиям:

1. ограничение по запасам: j=1n xij = Ai; (1.1.1).

2. ограничение по потребностям: i=1m xij = Bj; (1.1.2).

3. условия неотрицательности: xij0(i=1.m; j=1.n). (1.1.3).

Суммарные транспортные затраты на перевозки определяются следующей формулой:

L =i=1m j=1n cijxij (1.1.4).

Таким образом, математически транспортная задача представляется так. Найти m. n переменных xij, удовлетворяющих системам уравнений (1.1.1) и (1.1.2), и условиям неотрицательности (1.1.3), для которых целевая функция (1.1.4) принимает минимальное значение.