Решение уравнений с одной переменной (Pascal)

4. Метод итераций

Функция находит корень уравнения x = F (x) методом простой итерации с относительной погрешностью e. По i-му приближению корня xi находится следующие приближение по формуле xi+1 = F (xi), i = 0, 1, 2, …. Процесс продолжается до тех пор, пока относительная точность для двух последовательных приближений не станет меньше e: |(xi+1 -xi)/xi | < e. Процесс итерации сходится на [a, b], если |F'(x)| < 1 при всех x на (a, b).

Рисунок 4. Алгоритм метода итераций

Описание алгоритма метода итераций

Шаг 1. Ввод a, b,ε. x1=a, x2=b.

Шаг 2. x:=f (x)

Шаг 3. Выполнять шаг 2, пока abs (f (x)-x)>eps

Шаг 4. Вывод результата x, числа итераций — i.

5. Метод Ньютона

Действительный корень x' уравнения F (x) = 0 вычисляется методом Ньютона по итерационному уравнению:

xk+1 = xkF (xk)/F'(xk)

Процесс сходится к точному значению корня, если начальное приближение x1 выбрано так, что

|F (x1)F''(x1)| < |F'(x1)| 2

Оценка погрешности k-го приближения производится по приближенной формуле

|F (xk)F'(xk)| < e

Рисунок 5. Алгоритм метода Ньютона

Описание алгоритма метода Ньютона

Шаг 1. Ввод a, b,ε.

Шаг 2. x=a; f:=f (x)/df (x)

Шаг 3. Если abs (f)>e, то х=x-f; f=f (x)/df (x) преход к шагу 3

Шаг 4. Вывод результата x.

6. Комбинированный метод

Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, можно заменить ее вычисление оценкой: F'(x)= (F (x+h)-F (x))/h.

Рисунок 6. Алгоритм комбинированного метода

Описание алгоритма комбинированного метода

Шаг 1. Ввод a, b,ε, h.

Шаг 2. x=a; y:=f (x)*h/f (x+h)

Шаг 3. Если abs (y)>e, то х=x-y; f=f (x)*h/(f (x+h)-y) преход к шагу 3

Шаг 4. Вывод результата x.