Прямые методы решения слабосингулярных интегральных уравнений

Многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, физики, химии и техники приводят к необходимости решения различных классов интегральных уравнений первого и второго родов с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора (см., напр., работы [8, 10, 28, 32, 35, 40, 47, 61, 65, 67, 68, 70, 82, 83, 97] и библиографию в них). Теория таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана (см., напр., [10, 29, 46, 60, 65−67, 72, 73, 83, 87, 94] и библиографию в них). Из нее следует, что указанные уравнения точно (т.е. в замкнутом виде) решаются лишь в очень редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо уметь вычислять различные регулярные, сингулярные и слабосингулярные интегралы со сложными плотностями. Поэтому как для теории, так и в особенности для приложений первостепенное значение приобретает проблема разработки приближенных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

В последние 20 — 25 лет в решении указанной проблемы достигнут значительный прогресс в основном благодаря работам отечественных математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторовдостаточно полную информацию о достигнутых в этой области результатах можно найти, например, в монографиях [7, 10, 21, 22, 28, 35, 40, 47, 61, 65, 68, 70, 97], работах обзорного характера [17, 23−25, 27, 30, 84−86, 90, 93, 96], а также в диссертациях [1, 3, 6, 31, 32, 36, 37, 64, 76, 83].

Следует отметить также, что систематическому целенаправленному исследованию приближенных методов решения различных класов слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов посвящено большое число результатов группы казанских математиков под руководством Б. Г. Габдулхаева (см., напр., работы, в том числе диссертации, [1, 2, 3, 6, 15, 17−27, 31, 36, 37, 64, 76] и библиографию в них). Однако, несмотря на сделанное, в данной области все еще остается много нерешенных задач. Данная диссертационная работа призвана в некоторой степени восполнить этот пробел.

Работа посвящена прямым и проекционным методам решения слабосингулярных интегральных уравнений видов ч л У In т — tх (т) dr «V hit, т) х (т) dr Кх = x (t) + Л / -г-!—¦ -. д + ?1 / 1 =.

1 (1 — т) а (1 + ТУ 1 (! — + TY y (t), -l< а, /?<1- (0.1).

1 +1 1 +1 Кх = — J^ р (т) In |r — -tx® dr H— J p®h (t, т) х (т) dr = y (t),.

1 < i < 1, (0.2).

1 T p® или р (т).

1 + T (0.2').

1 — т.

1 + т здесь Ли// — произвольные параметры, такие что Л2 + ц2 ф 0, х{&euro-) — искомая функция, у{Ь) и /г (£, г) — данные функции, причем слабосингулярные интегралы в (0.1) и (0.2) понимаются как несобственные как в пространстве непрерывных функций, так и в весовом пространстве квадратично суммируемых по Лебегу функций. При этом основное внимание уделяется теоретическому обоснованию приближенных методов, под которым, следуя Л. В. Канторовичу [44], гл. 14, понимается следующий круг вопросов: а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравненийб) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимостив) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных..

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных уравненийпри этом мы полностью следуем методике исследований аппроксимативных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов, специально разработанной в монографиях [20 — 22] и в работах [11 — 18] Б. Г. Габдулхаева..

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач физики, химии, механики и математической физики, сводящихся к указанным уравнениям..

Диссертация состоит из трех глав и списка цитированной литературы, насчитывающего 104 наименования..

Первая глава (§§ 1−7) диссертации носит в основном вспомогательный характер. В параграфах 1−4 приведены некоторые необходимые для дальнейшего изложения результаты из теории функций и приближений. В § 5 строится интерполяционная квадратурная формула для т.н. логарифмического интеграла 1.

Щ = / р (т) 1п т — гх (т) <*т, р (т) = (1 — т) а (1 + т)*, -1.

-1<*<1, —1 < ск,/3, (0.3) здесь в основном изложены с некоторыми видоизменениями и дополнениями принадлежащие З. Т. Назарчуку [61, 62] результаты по квадратурной формуле п.

0.4) к=1 где = (к = 1, п) — корни полинома Якоби степени п 6 N для весовой функции р (т) = (1 — т) а (1 + т)^, —1 < а,/? < 1, а.

1 / ч ак®- = а*,&bdquo-(*) = / р (т)1к (т) с*т, 1к (т) = 7 (0.5) где шп{Ь) = (? — tl){t — ?2) • • • (^ — В частности, значительное внимание уделено конструктивным методам вычисления коэффициентов (0.5) квадратурной формулы (0.4) с помощью теории ортогональных многочленов Якоби [63, 73, 75]..

Следует отметить, что первые результаты по исследованию квадратурной формулы (0.3) — (0.5) принадлежат также З. Т. Назарчуку [61,.

62]- он доказал ее сходимость и установил скорость сходимости для достаточно гладких плотностей. В связи с этим §§ 6 и 7 диссертации, написанные автором самостоятельно, посвящены обоснованию квадратурной формулы (0.3) — (0.5) в классе непрерывных функций. Таким способом нам удалось получить достаточно общий результат, из которого и теории приближения функций следуют также указанные выше результаты З. Т. Назарчука [61, 62]. В частности, в § 6 доказана следующая.

Теорема 6.1. Квадратурная формула (0.3) — (0.5) сходится равномерно для любой непрерывной функции х (Ь) Е С[—1,1]. При этом для остаточного члена Лп (ж-?) квадратурной формулы (0.3) — (0.5) справедлива оценка.

Д"(а—*)|| < 2Ау/В (1 + а, 1 + Р) Еп.1(х)с, п Е N. (0.6) где постоянная, А определяется из неравенства 1 шах 11 р (т) 1п2 |г — Ц Лт 1−1 А < оо..

0.7).

Здесь и далее В (у, есть бета-функция Эйлера, Ет (х)с — наилучшее равномерное приближение функции х (Ь) € С[—1,1] алгебраическими многочленами степени не выше ш (ш + 1бК)..

Кроме того, через С = С[—1,1] и = Ь2, р[—1,1] будем обозначать пространства соответственно непрерывных и квадратично суммируемых по Лебегу с весом р = р{£) функций на сегменте [—1,1] и с обычными нормами:.

Г+1 х.

I Р (Фт2 л -1.

½ х е ь.

2 р.

В частных случаях результаты §§ 5, 6 конкретизируются и несколько усиливаются. В связи с этим в § 7 рассматриваются соответствующие результаты для наиболее часто встречаемых на практике весовых функций: т. е. при, а = (3 = л/1 — ?2, т. е. при, а = (3 = т. е. при, а = —?3 = т. е. при, а = —?3 — —I.

0.8).

1—" г ~ 2'.

Следует также отметить, что результаты по различным приближенным методам вычисления интегралов вида (0.3), основанные как на полиномиальной, так и на сплайновой аппроксимации плотности х (г), имеются также в цитированных ниже работах Б. Г. Габдулхаева и в работе В. Н. Шепеленко [88], посвященных данному циклу исследований..

Вторая глава (§§ 1−9) диссертации посвящена прямым и проекционным методам решения слабосингулярного интегрального уравнения (0.1). Следует отметить, что к уравнению вида (0.1) и ему аналогичным приводят многочисленные теоретические и прикладные задачи. В частности, такие уравнения возникают в задачах математической физики, теплопроводности, электрохимии и химии полимеров, выращивания кристалов, в теории линейной вязкоупругости, при исследовании спектра тормозного излучения горячей плазмы, при моделировании процесса распространения эпидемий, в задачах теплои массопереноса и агротехнике (см., напр., работы [1−3, 7, 9, 17, 19, 23−25, 27, 29, 31, 36, 37, 45, 54−56, 58−61, 69, 79, 87, 89, 90, 92, 93, 95−99])..

Приближенным методам их решения посвящено большое число исследований, в частности, работы [1−3, 17, 23−25, 27, 30−32, 36, 37, 45, 58, 61, 76, 89, 93, 96] (см. также библиографию в них). Здесь более подробно остановимся лишь на работе [17] ввиду того, что в ней получены, на наш взгляд, наиболее общие и в то же время наиболее характерные для этой области результаты..

Рассматривается линейное интегральное уравнение вида.

Кх ЕЕ Хх (г) + I к 1 т) х (т) йт = у (¿-), о < * < 1, (0.9) о где, А — произвольный числовой параметр, функция а (Ь) принимает два значения: 1 (случай уравнения Фредгольма) и Ь (случай уравнения Вольтерра) — /?(?, т) и у{&euro-) — известные непрерывные функции в областях 0.

Далее весьма интересные результаты для уравнений вида (0.9) получены также П. Н. Душковым [36], С. М. Ахметовым [3], В. Е. Горловым [31], Ю. Р. Агачевым [1], Л. А. Апайчевой [2] (полиномиальные и сплай-новые методы и их оптимизация) и Г. М. Вайникко, А. Педасом, П. Убой [7] (сплайновые методы), а также другими авторами..

Результаты главы II следует рассматривать как продолжение и дальнейшее развитие указанных выше результатов Б. Г. Габдулхаева. Остановимся на их краткой характеристике..

В § 2 приводятся три вычислительные схемы метода механических квадратур для уравнения (0.1), одна из которых ранее была предложена (без теоретического обоснования) З. Т. Назарчуком [61]..

Здесь приведем лишь одну из таких схем. Приближенное решение уравнения (0.1) ищется в виде многочлена.

П QJ (f) xn (t) =? /Щ*), т = Ди-, v (0.10) fc=i t — ч) и'п{гк) а неизвестные коэффициенты /?1,/?25 • • • определяются из СЛАУ п п ft' + AE ак (Ъ)рк + 1? Akh (thth)pk = y{tj), j = 1, n, (0.11).

А=1 к=1 где Ак и tk — коэффициенты и узлы квадратурной формулы Гаусса для весовой функции Якоби р = p (t) = (1 — ¿-)~а (1 + а функции ak (t) определены в (0.5) (способам их вычисления, как уже заметили выше, посвящена значительная часть § 5)..

С целью теоретического обоснования этой и других схем прямых и проекционных методов в § 3 исследованы структурные свойства оператора Н: 1−2Р —> 1<2р и оператора Н: С —>• С, где 1.

Я (г- *) = / р (т) 1п |т — ?| х (т) ¿-т, р (т) = (1 — г) а (1 + г)^,.

-1 а также аппроксимативные свойства оператора Лагранжа Сп по узлам ?1, ?2> • ¦ • 5 ¿-п? являющимся корнями полинома Якоби степени п Е N с весом /?(т)..

Параграфы 4−7 этой главы посвящены теоретическому обоснованию метода квадратур в универсальных терминах теории приближения функций. При этом в основу исследований нами положена предложенная Б. Г. Габдулхаевым (см., напр., [13−15]) схема исследования этого метода, основанная на его сходимости и оценке погрешности в среднем и в узлах. Так, в § 4 докзана сходимость метода механических квадратур в пространстве Ь2Р для непрерывных функций у (£) и т), а также установлена скорость сходимости метода в зависимости от структурных свойств исходных данных..

В § 5 доказана сходимость метода квадратур (0.1), (0.10), (0.11) в узлах квадратурной формулы Гаусса и установлены оценки погрешности метода для непрерывных функций /г (£, т) и у (£), а также установлена скорость сходимости метода..

Параграф 6 посвящен равномерной сходимости метода квадратур (0.1), (0.10), (0.11), а также в том случае, когда приближенное решение определяется по формуле п п.

М*) = !/(*) — А Е 0>к (Ш % тк)(Зк, (0.12) к=1 к=1 где —чРп — решение СЛАУ (0.11)..

В § 7 рассмотрены конкретизации результатов по методу квадратур для наиболее часто встречающихся на практике весовых функций р (т), определенных в (0.8)..

В параграфе 8, следуя Б. Г. Габдулхаеву (см., напр., [17, 18, 20]), предложены схемы двух общих полиномиальных проекционных методов решения уравнения (0.1). Первая из схем порождается полиномиальными операторами, ограниченными по норме в совокупности в пространстве Ь2Р[—1,1]. Вторая схема порождена полиномиальными операторами, неограниченными в пространстве ½Р, но ограниченными как операторы из пространства С[—1,1] в пространство Ь2Р. Дано теоретическое обоснование обеих схем на основе общей теории приближенных методов анализа и теории приближения функций..

Параграф 9 посвящен сплайновым проекционным методам решения уравнения (0.1). Предложены вычислительные схемы метода сплайн-коллокаций нулевого порядка, а на его основе метода Боголюбова-Крылова (см., напр., в [45]) и дано их теоретическое обоснование в пространстве ограниченных функций..

Третья глава (§§ 1−8) посвящена исследованию прямых и проекционных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений (0.2) с указанными в (0.2') весовыми функциями. Уравнения такого вида встречаются в задачах теории дифракции и акустики, электродинамике и электротехнике, теории упругости и аэрогидромеханике, теории конформных отображений и в ряде других разделов физики, механики и математической физики (см., напр., работы [8, 10, 21, 22, 28, 29, 35, 40, 47, 61, 65−70] и библиографию в них). Особенности решения таких уравнений и итоги достигнутых в этой области результатов подробно изложены, например, в монографиях и работах обзорного характера [10, 21, 22, 28, 29, 35, 40, 46, 47, 60, 61, 65, 68−72, 87, 91−94, 97] и в диссертациях [6, 37, 58, 64, 67, 76, 82, 83] (см. также библиографию в них). Однако анализ полученных результатов показывает, что приближенные методы решения уравнения (0.2) рассмотрены в основном для весовой функции = (1 — ?2)-½ и лишь частично для веса р (£) = (1 — ?2)1//2. В то же время для практического применения представляет также интерес (см., напр., [61, 62]) уравнение (0.2) с весовыми функциями (0.2'). Глава III диссертации посвящена решению этой задачи..

Основная трудность решения уравнений (0.2), (0.2') связана в первую очередь с их некорректностью [43, 51, 57, 80]. Однако, следуя специально разработаной в монографиях [21, 22] методике исследований, эту трудность нам удалось преодолеть благодаря подходящему выбору пространства искомых элементов X = {х} в зависимости от пространства правых частей У = {?/}. В данном случае, выбирая X = Ь2Р[— 1,1] = Ь2Р и У = Ил219[—1,1] = И^ с соответствующими нормами, где т =.

1 т * м г? (0−13> задачу решения уравнения (0.2) можно сделать корректно поставленной. Рассмотрению этих вопросов посвящены § 2 и п.п. 8.1 § 8..

В § 3 предложено теоретическое обоснование (в указанном выше смысле) метода наименьших квадратов, в § 4 — метода ортогональных многочленов, в § 5 — метода коллокаций, в § 6 — метода последовательных приближений..

В § 7 предлагается вычислительная схема метода механических квадратур для уравнения (0.2), (0.2'), основанная на интерполяционной квадратурной формуле (0.4) — (0.5) для весового логарифмического интеграла (0.3) и на квадратурной формуле Гаусса [4, 33, 63] для регулярного интеграла из (0.2). Приведем основной результат этого параграфа..

Приближенное решение уравнения (0.2), (0.2') ищется в виде многочлена п = Е ne N, (0.14) fc=i где lk (t) — фундаментальные многочлены Лагранжа по узлам ¿-ъ hi • • •, tn G [—1,1]. Неизвестные коэффициенты а^, а>2,., ап определяются из СЛАУ п п.

Y, o-jkoik + 2 Akh (tj, tk) ak = y (tj), j = 1, n, (0.15) k=l fc=1 где Ak и tk (k = 1, n) — коэффициенты и узлы квадратурной формулы Гаусса для весовой функции p (t) из (0.13), а.

1 +1 азк = ~ I Р (т) In |r — tjh® dr. (0.16).

7 Г Д.

Для вычислительной схемы (0.2), (0.13) — (0.16) справедлива следующая.

Теорема 7.1. Пусть выполнены условия: а) y (t) G С (1)[-1,1], h (t, г) G C[-l, I]2, h[(t, г) G C[-l, I]2- б) интегральное уравнение (0.2) имеет единственное решение x*{t) G L2p[—1,1] при любой правой части y (t) G H^J—1,1]..

Тогда для всехп G N, начиная с некоторого, СЛАУ (0.15) — (0.16) имеет единственное решение а|,., а*. Приближенные решения п t) = Y, alh (t), t G [—1,1], (0.14*) k=1 сходятся к точному решению х*{£) в пространстве ½Р со скоростью — <\ь2р = О {Еп (у')с + К (К)с + К (К)с + Е1(Ь)с}, (0.17) где Е^^с (соответственно Е^((р)с) — частное наилучшее равномерное приближение функции т) Е С[—1,1]2 алгебраическими многочленами степени не выше т по переменной? 6 [—1,1] (по переменной т Е [—1,1],) равномерно относительно т Е [—1,1] (относительно.

Заметим, что в § 7 предложено два доказательства этой теоремы с помощью теории приближения функций и общей теории приближенных методов функционального анализа..

В заключительном, восьмом параграфе гл. З решаются вопросы точных и приближенных методов решения т.н. регуляризованных уравнений, построенных для уравнения (0.2) и для соответствующего ему характеристического уравнения..

Сформулируем основные результаты диссертации, выносящиеся на защиту:.

1. Доказана сходимость и установлена эффективная оценка погрешности интерполяционной квадратурной формулы для весового логарифмического интеграла в пространстве непрерывных функций..

2. Предложено теоретическое обоснование метода механических квадратур и полиномиальных проекционных методов решения интегрального уравнения второго рода с разностным логарифмическим ядром в главной части интегрального оператора и с весовой функций Якоби..

3. Для указанного уравнения установлено теоретическое обоснование метода сплайн-коллокаций нулевого порядка, а на его основе — метода Боголюбова-Крылова..

4. Разработаны полиномиальные прямые и проекционные методы решения слабосингулярного интегрального уравнения первого рода с разностным логарифмическим ядром с соответствующим теоретическим обоснованием..

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского университета за 19 941 998 г. г.- на Всероссийской Школе-конференции «Теория функций и ее приложения» (г.Казань, КГУ, июнь 1995 г.) — на Международной конференции, посвященной 100-летию профессора Б. М. Гагаева (г.Казань,.

КГУ, июнь 1997 г.) — на Международной конференции «Теория приближений и гармонический анализ» (г.Тула, Тул. ГУ, май 1998 г.) — кроме того, результаты диссертации, по мере их получения, неоднократно докладывались на городском научном семинаре «Теория аппроксимации и ее приложения в вычислительных методах» при Казанском университете..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [100— 107], причем из совместных работ в диссертацию включены только те результаты, которые получены диссертантом самостоятельно..

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Габдулхаеву Билсуру Габдулхаевичу за постановки задач и постоянное внимание к работе..

1. Агачев Ю. Р. Сплайновые методы решения интегральных и дифференциальных уравнений: Дисс.канд.физ.-мат.наук. — Казань, 1987. 144с..

2. Апайчева Л. А. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1986. — 119с..

3. Ахметов С. М. О прямых методах решения регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1974. 128 с..

4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.- М.: Наука, 1987. 600с..

5. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. — 254с..

6. Валеева Р. Т. Аппроксимативные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1995. 108 с..

7. Вайникко Г. М., Педас А., Уба П. Методы решения слабосингулярных интегральных уравнений. — Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1984. 94 с..

8. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. — М.: Радио и связь, 1987. 272 с..

9. Верлань А. Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук. думка, 1986. — 543 с..

10. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Классические смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. 455 с..

11. Габдулхаев Б. Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур// Докл. АН СССР. -1968. Т.179, N 2. — С. 260−263..

12. Габдулхаев Б. Г. Об одном общем квадратурном процессе и его применении к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений// Докл. АН СССР. 1968. — Т. 179, N 3. — С. 515 — 517..

13. Габдулхаев Б. Г. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений// Труды Междун. конф. по конструктивной теории функций. Варна, 1970. София: Изд-во Болг. АН, 1972. -С. 35 — 49..

14. Габдулхаев Б. Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур// Изв.вузов. Матем. 1972. -N 12. — С. 21 — 39..

15. Габдулхаев Б. Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I-IV// Изв. вузов. Матем. 1971, N 11, С. 33 — 44- -1971, N 12, С. 28 — 38- - 1972, N 4, С. 32 — 43- - 1974, N 3, С. 18 — 31..

16. Габдулхаев Б. Г. Аппроксимация в^{-пространствах} и приложения// Докл. АН СССР. 1975. — Т. 223, N 6. — С. 1293 — 1296..

17. Габдулхаев Б. Г. Аппроксимация полиномами и сплайнами решений слабо сингулярных интегральных уравнений// Труды Междун. конф. по теории приближения функций. Калуга, 1975. М.: Наука, 1977. — С. 89 — 93..

18. Габдулхаев Б. Г. Полиномиальные аппроксимации по В. К. Дзядыку решений сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений// Изв. вузов. Матем. 1978, N 6. — С. 51 — 62..

19. Габдулхаев Б. Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений// Итоги науки и техники. Матем. анализ М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1980. Вып. 18. — С. 251 — 307..

20. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. — 232 с..

21. Габдулхаев Б. Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений 1-рода. Казань: Изд-во КГУ, 1994. — 288 с..

22. Габдулхаев Б. Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. Казань: Изд-во КГУ, 1995. — 230 с..

23. Габдулхаев Б. Г., Ахметов С. М. О методе сплайн-коллокаций для интегральных уравнений// Приложения функционального анализа к приближенным вычислениям. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1974. С. 7 — 14..

24. Габдулхаев Б. Г., Горлов В. Е. О сходимости полигонального метода решения слабо сингулярных интегральных уравнений// Функциональный анализ и его приложения. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. С. 60 — 72..

25. Габдулхаев Б. Г., Душков П. Н. О полигональном методе решения интегральных уравнений со слабой особенностью// Приложения функционального анализа к приближенным вычислениям. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1974. — С. 37 — 57..

26. Габдулхаев Б. Г., Ермолаева Л. Б. Интерполяционные полиномы Ла-гранжа в пространствах Соболева// Изв. вузов. Математика. -1997. N 5. — С. 7 — 19..

27. Габдулхаев Б. Г., Жечев Й. И. Полигональный метод решения линейных уравнений// Научни трудове Висш. пед. ин-т, г. Пловдив. -1971. N 1. — С. 9 — 26..

28. Галишникова Т. Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987. — 208 с..

29. Г ахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. — 638 с..

30. Головач Г. П., Кал айда А. Ф. Приближенные методы решения интегральных уравнений со слабой особенностью/ Киевск. ун-т. — Киев, 1982. 91 с. — Деп. в ВИНИТИ 31.05.82, N 2912 — 82 Деп..

31. Горлов В. Е. О прямых методах решения линейных и нелинейных интегральных уравнений: Дисс.канд. физ.-мат. наук. Казань: 1977. — 132 с..

32. Гребенников А. И. Сплайн-аппроксимационный метод и его приложения: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1988. — 283 с..

33. Даугавет И. К.

Введение

в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. — 184 с..

34. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. — 490 с..

35. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987. — 167 с..

36. Душков П. Н. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1973. — 160 с..

37. Ермолаева Л. Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро-дифферинциальных уравнений методом подобластей: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1987. — 154 с..

38. Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. — 448 с..

39. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. — 352 с..

40. Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. — 184 с..

41. Золотаревский В. А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. -Кишинев: Штиинца, 1991. 134 с..

42. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наук, думка, 1968. — 288 с..

43. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. — 206 с..

44. Канторович JI.B., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. — 684 с..

45. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. — 708 с..

46. Килбас A.A. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическими ядрами// Научные труды Юбил. семинара по краевым задачам, посвящ. 75-летию акад. АН БССР Ф. Д. Гахова. Минск: Изд-во АН БССР, 1985. — С. 54 — 64..

47. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. — 311 с..

48. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения М.: Наука, 1984. -352 с..

49. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. — 424 с..

50. Красносельский М. А., Забрейко П. П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. -500 с..

51. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. — 286 с..

52. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус», 1995. — 520 с..

53. Лучка А. Ю., Лучка Т. Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев: Наук, думка, 1985. — 240 с..

54. Михлин С. Г. Сингулярные интегральные уравнения// УМН. 1948. -Т. 3, N 3. — С. 29 — 112..

55. Михлин С. Г. Интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1949. -286 с..

56. Михлин С. Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. -575 с..

57. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректных задач. -М.: Изд-во МГУ, 1987. 239 с..

58. Мохаммед Н. М. Методы ортогональных многочленов приближенного решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Дисс. канд. физ. мат. наук. Одесса, 1988. — 108 с..

59. Мусаев Б. И. Конструктивные методы в теории сингулярных интегральных уравнений: Дисс— д-ра физ.-мат. наук. Тбилиси: 1989. -339 с..

60. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. — 512 с..

61. Назарчук З. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. Киев: Наук, думка, 1989. — 256 с..

62. Назарчук З. Т. К вычислению одного класса интегралов с логарифмической особенностью// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. -1986. Т. 26, N 5. — С. 789 — 790..

63. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.: Гостехиздат, 1949. — 688 с..

64. Ожегова A.B. Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1996. — 92 с..

65. Панасюк В. В., Саврук М. Т., Назарчук З. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук, думка, 1984. — 344 с..

66. Плещинский Н. Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. — 158 с..

67. Плещинский Н. Б. Сингулярные интегральные уравнения со сложной особенностью в ядре, алгоритмы их численного решения и приложения: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1997. — 230 с..

68. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. — 344с..

69. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения// Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. — С. 5 — 130..

70. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. -Киев: Наук, думка, 1981. 323 с..

71. Самко С. Г. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическим ядром// Методы отображений. Грозный, 1976. — С. 41 — 69..

72. Самко С. Г. Одномерные и многомерные интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью в ядре// Науч. тр. Юбил. семинара по краевым задачам, посвящ. 75-летию акад. АН БССР Ф. Д. Гахова. Минск: Изд-во АН БССР, 1985. — С. 103 — 115..

73. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. — 500 с..

74. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. — 248 с..

75. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. — 328 с..

76. Сурай Л. А. Прямые методы решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1994. — 131 с..

77. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. — 624 с..

78. Тихоненко Н. Я. Методы решения задач теории аналитических функций. Киев: УМК ВО УССР, 1988. — 88 с..

79. Тихоненко Н. Я. Приближенное решение краевых задач теории аналитических функций и их приложения: Дисс—д-ра физ.-мат. наук. Киев, 1994. — 327 с..

80. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. — 286 с..

81. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. В двух частях. Минск: Изд-во «Высшая школа». — Часть 1, 1968, 328 е.- часть 2, 1977, 256 с..

82. Хапаев М. М. (мл.) О численном обращении интегральных операторов I рода типа потенциала простого слоя// Дифф. уравнения. -1982. Т. 18, N3.-0. 498 — 505..

83. Цецохо В. А. Численное решение задач дифракции методом потенциалов: Дисс. д-ра физ.-мат. наук в форме научн. докл. Новосибирск, 1987. — 38 с..

84. Цецохо В. А. Некоторые вопросы обоснования численных методов решения интегральных уравнений 1-го рода со слабыми особенностями/ / Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1983. — С. 137 — 142..

85. Цецохо В. А. Обусловленность коллокационных аппроксимаций одного класса интегральных уравнений первого рода// Условно корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1992. — С. 227 — 249..

86. Чибрикова Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во КГУ, 1977. — 302 с..

87. Шепеленко В. Н. Использование сплайнов для приближенного вычисления интегралов с особенностью и решения трансцендентныхуравнений. Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск, 1973. — Т. 4, N 5. — С. 125 — 133..

88. Шешко М. А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с помощью вычетов: Автореф. диссд-ра физ.-мат. наук. М.: 1992. — 33 с..

89. Antes Н. Splinefunctionen bei der Losung von Integraleichungen// Numer. Math., 1972. V. 19. — S. 119 — 126..

90. Arnold D. A spline-trigonometric Galerkin method and an exponentially convergent boundary integral method// Math. Comput. 1983. -V. 41, N 164. — P. 383 — 397..

91. Arnold D., Wendland W.L. On the asymptotic convergence of collocation methods// Math. Comput. 1983. — V. 41, N 164. — P. 349 — 381..

92. Atkinson K. The numerical solution of Fredgolm integral equations of the second kind// SIAM J. Numer. Anal. 1967. — V. 4., N 3. — P. 337 -348..

93. Estrada R., Kanwal P. Integral equations with logarithmic kernels// IMA J. Appl. Math. 1989. — V. 53., N 2. — P. 133 — 155..

94. Fenyo S., Stolle H. Theorie und Praxis der linearen Integral-gleichungen. Bd.4. Berlin: VEB Deutsche Verlag der Wissenschaften, 1984. — 708 s..

95. Filipps J. The use of collocation as a projection method for solving linear operator equations// SIAM J. Numer. Anal. 1972. — V. 9., N 1. — P. 14 — 28..

96. Harrington R.F. Field computation by moment methods. New York: Macmillan, 1968. — 240 p..

97. Michlin S.G., Prossdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin: Akademie-Verlag, 1980. — 514 s..

98. Prossdorf S., Silbermann В. Numerical analysis for integral and related operator equations. Berlin: Akademie-Verlag, 1991. — 544 p..

99. Еникеева С. Р. Прямые методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода// Теория функций и ее приложения. Тез. докладов школы-конференции (15 22 июня 1995 г., г. Казань): Изд-во Казанский фонд «Математика». — С. 31..

100. Еникеева С. Р. Прямые методы решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений// Казан, ун-т. Казань, 1995. -23 с. — Деп. в ВИНИТИ 03.11.95, N 2912 — 1395..

101. Еникеева С. Р., Ермолаева Л. Б. Об одном интегральном уравнении// Алгебра и анализ: Материалы конференции, посвященной 100-летию Б. М. Гагаева. Казань, 1997. Изд-во Казанского математического общества, 1997. — С. 88 — 89..

102. Еникеева С. Р., Ермолаева Л. Б. Обоснование квадратурного метода решения слабо сингулярного интегрального уравнения.// КГАСАКазань, 1997. 18 с. — Деп. в ВИНИТИ 31.10.97, 3210 — В97..

103. Габдулхаев Б. Г., Еникеева С. Р. Наилучшие приближения решений операторных уравнений// Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции. Тула: Тул-ГУ, 1998. — 304 с. — С. 73 — 74..

104. Еникеева С. Р. О методах решения одного класса слабосингулярных интегральных уравнений// Казан, ун-т. Казань, 1999. — 11 с. -Деп. в ВИНИТИ 17.03.99, N 797 — В99..

105. Еникеева С. Р. Полиномиальные проекционные методы решения слабосингулярного интегрального уравнения второго рода// Казан, унт. Казань, 1999. — 8 с. — Деп. в ВИНИТИ 17.03.99, N 798 — В99..

106. Еникеева С. Р. Решение одного класса интегральных уравнений методом механических квадратур (принята к печати)..