Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций
Диссертация
Основные результаты диссертации опубликованы в работах-, и докладывались на международной конференции «Системы компьютерной математики и лингвистики» (Смоленск, 2000 г.), на V Казанской международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2001 г.), на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2001 г… Читать ещё >
Содержание
- ВВЕДЕНИЕ
- ГЛАВА. Г. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ, И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
- 1. 1. Основные обозначения и понятия
- 1. 2. Некоторые вспомогательные краевые задачи типа Римана и типа Гильберта в классах аналитических и бианалитических функций
- 1. 3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций
- ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ
- 2. 1. Точная постановка первой основной трехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций
- 2. 2. Решение задачи GRu в общем случае
- 2. 3. Решение задачи GRu в вырожденном случае
- 2. 4. Решение задачи GR2 в полувырожденном случае
- 2. 5. Решение второй основной трехэлементной краевой задачи типа Римана
- ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
- 3. 1. Решение задачи GjRi2 в общем случае
- 3. 2. Об одном частном случае, когда задача GR% решается эффективно
- 3. 3. Решение задачи GRyi в вырожденном случае
- 3. 4. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в общем случае
Список литературы
- Основные понятия и обозначения
- Всюду в дальнейшем класс бианалитических в области Т функции будем обозначать через А<2(Т), а через А (Т) класс аналитических (голоморфных) в Т функций.
- Во всех рассуждениях, где значения показателей Гелъдера ц и v не играет роли, вместо H^{L) и H{™j (L х L) будем писать H{L),
- H^mL) и H^mL х L) соответственно.
- Пусть функция ip (z) является аналитической в некоторой области Т~, содержащей бесконечно удаленную точку.
- Определение 1.1. Число га будем называть порядком функции p (z) в точке z — оо и обозначать ZT{(/?, oo}, если разложение в ряд функции ip (z) в окрестности этой точки имеет вид11
- Cm— + 0^!-^ + ., Ст ф 0. (1.2)о а/
- Как известно 8., [33], [50], всякую однозначную бианалитическую в области Т+ функцию F+(z) можно представить в виде1. F+(z)=^(z)+z>pt (^ (1.3)где z = х — iy, a (г = 0, 1) однозначные аналитические функции в Т+.
- Аналогично всякая бианалитическая в Т функция представима в виде
- F-(z)=2.
- При этом кусочно-бианалитическую функцию F (z) будем называть исчезающей на бесконечности, если > 1.
- F+(t) = Gi (t) • F~(t) + G2{t) ¦ F4t) + g (t), t e L, (1.6)где G (t), G2(t), g (t) заданные на L функции класса H{L), причем Gi{t) uaL.
- Ниже приводятся формулировки основных результатов 51., которые будут использованы при исследовании основных краевых задач типа Римана для бианалитических функций.
- F~(t)+ JN{t1T)F-(T)dT = Q (t) + X-{t)PIB-l{t), teL, Lx-it)2т{т!{а))'1. Г a1. G2(t) G2(t) X±® X+(t1. G2(t)1т — tr-t f-t1. X+(t2Gi (t2m 'L Х+(т) r — f {Х+(.г), Х~(.г)} каноническая функция задачи Римана вида:1. F+(t)=G1(t)F~(t).
- При выполнении этих условий общее решение задачи (1.6) определяется по формулам: т — z1. F+(z) =1. X+(z) fG2(T)F-(T)+g{r) dr2m1. Х+(т)т —1. X+(z)P^.где F (t) находится по формуле:
- F~(t) = Q{t) + /7(f, T) Q®dr + F0~(t), zeT~, (1.9) г e T+, (1.10)1.11)здесь 7(i, т) обобщенная резольвента ядра уравнения (1.8), a F0 (t) — общее решение интегрального уравнения
- F~(t)+ J N{t, r) F-{r)dr = X-^P^t). (1.12)L
- Общее решение задачи (1.6) при эе > О линейно зависит от / = 2se + и — г+ произвольных действительных постоянных v > г+).
- Если же ге < 0 (см., например, 51.), то для разрешимости краевой задачи (1.6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия вида:
- Re J Q (t)cjj{t)dt = 0, j = l, 2,., z/, (1.13)Lгде u>i (t),., ujv (t) полная система линейно независимых (над полем R) решений однородного уравнения, союзного с (1.8), и совместности системы алгебраических, уравнений вида: V
- Y, Bjkh mj, j = 1,., -ж, (1.14)iгде Bjk, rrij числа, определенным образом выражающиеся через заданные функции G{t), G-i{t), gt).
- При выполнении этих условий общее решение задачи (1.6) задается формулами (1.9)—(1.10), где F~ (t) определяется по формуле:
- F-{t) = Q{t)+ J7(t, T) Q®dr + F’i (t), (1.15)Lгде 7(t, т) обобщенная резольвента ядра уравнения (1.8), a Ff (t) -общее pemeHPie однородного уравнения
- F~(t) + J N (t, r) F~®dT = 0. (1.16)L
- Ait, г), B (t, r), D (t, r), E (t, т) G H*(L x L).
- Пусть ае = IndGit) < 0. Тогда решение задачи (1.17) будем искать в виде (см., например, 50., с. 42):г) =-L/ifilldT, г 6 Т+, (1.18)all j т ~ z1 / l-L (T) dr ^ /2тп JL &-{т) т — zгде fi (t) пока неизвестная комплекснозначная функция, n (t) G Н (Ь).
- Нетрудно проверить, что ядра Ki (t, r), K-2(t, r) принадлежат H,{L x ?).
- Наоборот, если ju (t) решение интегрального уравнения (1.20), то пара функций cp+(z) и cp~(z), определяемая через fi (t) по формулам (1.18)—(1.19), образует решение задачи (1.17). Введем в рассмотрение однородное уравнение:
- К’фЩ = ф (1) + / A"i (r, ?)'0®
- K/z)(f) = //(0 + J Ki (t, r) ft{r)dr + J K-2(t. t) fi®dT = 0. (1.23)1. Z L
- Тогда, как известно (см., например, 40., с. 372), для разрешимости неоднородного уравнения (1.20) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
- Re J Q (t)ipj (t)dt — 0, j — 1,. z/q, (1.24)Lгде ф (£),., ipUo{t) полная система линейно независимых (над полем R) решений союзного уравнения (1.22).
- А- = 1, о) произвольные действительные постоянные.
- Заметим, что при эе < 0 число щ линейно независимых (над полем R) решений однородного уравнения (1.23), вообще говоря, не совпадает с числом I линейно независимых (над R) решений однородной задачи (1.17). Из формулы (1.21) видно, что / = z/0 2|зэ.
- Наконец, подставляя в (1.18)-(1.19) вместо /j (t) ее выражение, найденное по формуле (1.25), с учетом сделанного выше замечания получим:
- Итак, справедлива следующая теорема.
- Рассмотрим подробно случай, когда зе > 0. В этом случае решение задачи (1.17) будем искать в виде (см., например, 50., с. 42):
- P+(z) /dT +? ckzk, z е Т+, (1.28)2тгг т-z к=0-(1 / dT r-rp- /т oml/где n{t) пока неизвестная комплекснозначная функция, ск — произвольные комплексные постоянные.
- Наоборот, если /z (0 решение уравнения (1.30) (при некоторыхзначениях параметров ai,., cv2ae) i то пара функций ^(z) и определяемая по формулам (1.28)—(1.29), дает решение задачи (1.17).
- Согласно теории интегральных уравнений типа Фредгольма (см., например, 40.), уравнение (1.30) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняются условия:
- ReJQ (f) Е = 0, j = l,., z/0, (1.32)где (?),.,^2/(0 полная система линейно независимых над полем R решений уравнения (1.22).
- Условия (1.32) можно переписать в виде:2эе
- Ajkak = Bj, j = l,., z/0, (1.33)i=lгде Ajk = ReJ qk (t)ij>j{t)dt, Bk = Re J Q (t)^j (t)dt.1.L
- Пусть r = rank\Ajk\, причем 0 < r < min (z/o, 2se). Известно 28., что система (1.33) совместна тогда и только тогда, когда г = г, где f ранг расширенной матрицы. А это равенство, в свою очередь, означает:
- Re J Q{t)j>j{t)dt ± 0, j = l,.,.z/0−7v (1.34)Lгдеj (i) (j — 1, Щ — т) ~ некоторые линейно независимые решения уравнения (1.22).
- Заметим, что при ае > 0 число гп = 2as-f l>o — г линейно независимых (над полем R) решений уравнения (1.30) совпадает с числом I линейно независимых (над R) решений однородной задачи (1.17) {Q{t) = 0), т. е. I = 2ае + щ — г.
- Следовательно, общее решение задачи (1.17) будет задаваться формулами (1.2б)-(1.27), где / = 2as + щ — г.
- Таким образом, в этом случае справедлива следующая теорема.
- Далее рассматривается следующая краевая задача.
- Требуется найти все кусочно-аналитические функцииo (z) = {
- J A (t, r)
- B{t:T)^p-(T)dr + J D{t, T)'^)dT + Q (t), (1.36)l lгде Gk{t) (k = 1, 2), Q (t) заданные на контуре L функции класса Гельдера, причем G{t) ф 0 на L- функции A (t, r), B{t, r), D (t, r), E (t, T) — заданные фредгольмовы ядра. т. е.
- A (t, r), B (t, r), D{t, r). Et, r) 6 x L).
- Перепишем краевое условие (1.36) в виде: р+(*) + J A (t, T) v+{r)dr + jE (t, T) v4yjdT = G (t)ip-(t)+1.L
- J B{t1T)if'{r)dr + J + (1.37)1.Lгде
- Q1(t) = Q (t)+G2(t)^{t). (1.38)
- Временно считая Q{t) известной функцией, равенство (1.37) можно рассматривать как краевое условие вспомогательной задачи вида (1.47).
- Re /(Q (t) + G2{t)9-(t))4>j{t)dt = 0, j = 1 ,., i/0, (1.41а-Lгде 4'j (t) (j = полная система линейно независимых (над
- R) решений однородного уравнения вида (1.22).
- Если же sei > 0. то при выполнении щ — г условий вида:
- Re J (Q{t) + G2(t)J{t)dt = 0, j = 1, г/Q — г, (1.416)Lобщее решение задачи (1−37) также задается формулами (1.39)—(1.40), где /о = 2eei 4- щ — г.
- Mv~){t) =
- M^r) = -J^(t, T) G2(ry} r'2(a) G2(t) G2(f)?^2тггr ff t1. Ri (t, T) G2®
- Q'2{t) = -f / ~zdT + / Ri (t, r) Q{r)dr + J R2(t, r) Q®dr.1.T L L
- Нетрудно проверить, что Mi (t, r), M2(t, r) фредгольмовы ядра. Следовательно, уравнение (1−43) представляет собой интегральное уравнение типа Фредгольма (см., например, 40.). Таким образом, справедлива следующая лемма.
- Введем в рассмотрение однородное уравнение: (MVi)"(f) =^i (f)+ /Mi (r, t)0i®dr + J М2{т^)щ (т)с1т = Q, (1.44)1.Lсоюзное с уравнением1. MvO (t)=0. (1.45)
- Известно (см., например, 40., с. 272), что для разрешимости неоднородного уравнения (1−43) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
- Re J (Q2(t) +? 5kdk{tmu (t)dt =.0, j = (1.46)1.k=lгде ibij (t) (j = l,., i/i) полная система линейно независимых (над R) решений уравнения (1.44).
- Перепишем условия (1.46) в виде: о
- J2 $kCkj = Dj, j = l,., z/b (1.47k= 1где C’kj = Re J Dj = ~Re J Q2{^ij (t)dt.1.L
- Пусть aei > 0 и r+ = rank\Ckj\, причем 0 < r+ < min (/o,^i). Известно 28., что система (1.47) совместна тогда и только тогда, когда г+ = г~ЛГ, где г^Г ранг расширенной матрицы. В свою очередь, равенство r+ = г^Г означает:
- Re J Q2(t)^lj (t)dt = 0, j = 1,., z/. — r+, (1.48)Lгде 4'ij{t) ~ некоторые линейно независимые (над R) решения уравнения (1.44).
- Если система (1.47) совместна, то общее решение интегрального уравнения (1.43) находится по формуле: i?-t) = Q2{t)+hl (t, T) Q2(T)dT+ 72 (t, r) Q2®dr+? PtftW, 1. L *=11.49)lo +Vl-r+где E РкФк^) ~ общее решение интегрального уравнения вида: *=iк=1
- Подставляя вместо (p~(t) ее выражение из (1.49) в левую часть (1.41Ь), получим систему алгебраических уравнений относительно параметров /Зк:
- Е Alj/3- = B*, j = l,., v0-r, (1.50)к= iгде A*kj, Bj определенные числа, выражающиеся через заданные функции.
- Заметим, что часть из этих уравнений будут удовлетворены за счет выбора произвольных постоянных (Зк.
- Далее, подставляя найденную функцию
- Замечание 1.2. Отметим, что в случае, когда
- Рассмотрим краевые условия, полученные из (1.52)—(1.53) переходом к комплексно сопряженным значениям: d$-(t) y^-jTv d$-(t)1. Gi (t) —r^ + Qiit). (1.54дх дхd$~(t) т^ттт^Ф ~(t)1. G2(t)~^-iQ2(t). (1.55)ду dyдФ-it)
- Исключая —-- из (1.52) и (1.54), а из (1.53) и (1.55) функциюдФ-it), получим равенства: ду
- IGiWI2) ^^ = + Q{t), (1.56)1 G2(t)2) = +
- Для полного исследования рассмотрим три различных случая: Случай 1. Пусть хотя бы для одного значения параметра к (к — 1, 2) выполняется условие Gk{t) = 1, но Gk{t)Qk{t) + Qk (t) Ф О, teL. Тогда задача (1.52)—(1.53) не разрешима.
- Случай 2. Пусть выполняются условия |G'fc (t)| ф 1 (к = 1, 2), t € L. Тогда равенства (1.56)—(1.57) можно переписать в виде: дФ~{*. =qi (t), teL, (1.58)дхдф-Ш дуiq2(t), teL, (1.59)
- Учитывая (1.4), а также соотношения (0.8), равенствам (1.58) и (1.59) можно придать вид: fM + t-M + yr (t) = gi (t), teL. at at1.60)at at
- Вычитая из (1.60) равенство (1.61), будем иметь: teL. (1.62)где1. Фг 0) = (1.62а)
- Если выполняется условие (1.63), то решение задачи (1.62) можно представить в следующем виде:1. Ф-Ы = -L / mdT. (L64)2ттг JL т — ~
- Учитывая обозначения (Г!62а), найдем функцию (г):
- Далее, подставив вместо r (t)/dt)-rt (t). (1.66а)
- Для разрешимости задачи (1.66) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:1. JJ
- При выполнении условия (1−67) общее решение задачи (1.66) дается формулой:1.
- Учитывая обозначения (1.66а), из формулы (1.68) можно найти функцию d (pQ (z)/dz:zer. (i.69)az 2ттг J т — z1.
- И, наконец, из равенства (1.69) с учетом Ф~(со) = 0 интегрированием по г найдем функцию1. Уо (г) = У dz dz>где Г~ произвольная гладкая кривая, соединяющая точки ^ и оо.
- Тогда если выполняются оба условия (1.63) и (1.67), задача (1.52)-(1.53) имеет единственное решение, которое определяется по формуле:
- Если же хотя бы одно из’условий (1.63) или (1−67) не выполнено, то задача (1.5*2)—(1.53) не разрешима.
- Случай 3. Рассмотрим наиболее важный случай, когда выполняются следующие условия:
- Gk (t) = 1 и Gk{t)Qk (t) + Qk (t) = 0, teL, к = 1, 2. (1.71)
- В дальнейшем числа = IndGk (t) (к = 1, 2) будем называть частичными индексами задачи (1.52)-(1.53). Известно 33., что nppi выполнении равенства (1.71) числа ззк четные, т. е. эе^. = 2тк.
- Учитывая (1.4), а также соотношения (0.8), перепишем краевые условия (1.52)—(1.53) в следующем виде:1.72)cvo («)+1 vnt)=Gi{t) Щй+шп. ^ -+Qs (t).dt dt
- Введем обозначения: -d (fi (t)dt1. Qo{t) = ~itdtв^Щр- + tGi (t)ifi (t) + tQ^t).dt1. V^o M = G0(t) =dztG^t)1.74)
- Тогда краевое условие (1.72) примет вид:
- Pt{t) = G0(t)w (t) + Q0(t). (1.75)
- Покажем, что при выполнении условий (1.71) верны тождества:
- GQ (t) = l и G0{t)Q0{t) + Q0{t) = 0, tel. Действительно, учитывая обозначение (1.74), будем иметь:1. Go (t) =tG{t)1*1|G!(0l = i-tGi{t)
- Временно считая Qo (t) известной функцией, равенство (1.75) можно рассматривать как краевое условие обычной задачи Гильберта относительно аналитической в области Т~ функции исчезающей на бесконечности.
- Мро)(t) = -Mt) + I M (t, T) w (T)dT = гъ, (1.77)i 1 Ао Кг) яг, ч 1/1 т’Ца M (t, т) =2тп т — t т — t Если же ski > 0, то в формуле (1.76) следует положить1. Зо = А = =Й12 = 0.
- В этом случае задача (1.52)—(1.53) имеет единственное решение при выполнении сё. -Ь 1 действительных условий разрешимости:1. Ь = ImL у -= 0, L
- Re j nQ®Tj-ldr = 0, (1.78)l'1. j! л0(т)т' Чт = 0, j = 1, ., тпьгде yjQ (t) общее решение союзного уравнения (MVo)(0 = 0.
- Подставляя вместо fio (t) ее значение из (1.79) в равенство (1.76), получим:1. Щ (-) =zmiXo{z) f Q0{r) dr2m1. Ruiz, г1. Qo{1.76')где