Неравновесные фазовые переходы и стохастический резонанс в квазидвумерном электронном газе

В настоящей диссертации речь идет о квазидвумерных сверхрешетках (2СР) (латеральные CP, динамически двумерные системы [1]). 2СР — системы электронов (дырок), движение которых в пространстве свободно только в двух направлениях, а в третьем — движению соответствует дискретный энергетический спектр. Следует подчеркнуть, что эти системы не являются двумерными в прямом смысле слова, поскольку и волновые функции зависят от трех координат, и электромагнитные волны распространяются в трех направлениях.

Отметим, что указанные системы относятся к активно изучаемым в настоящее время низкоразмерным структурам. Интерес к этой области связан как с принципиально новыми фундаментальными научными проблемами и физическими явлениями, так и с перспективами создания на основе уже открытых явлений совершенно новых устройств и систем с широкими функциональными возможностями для оптои наноэлектроники, измерительной техники, информационных технологий нового поколения, средств связи и пр. Результатом исследований низкоразмерных систем стало открытие принципиально новых, а теперь уже широко известных явлений, таких как целочисленный и дробный квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе, вигнеровская кристаллизация квазидвумерных электронов и дырок, новые квазичастицы и электронные возбуждения с дробными зарядами, высокочастотные блоховские осцилляции и др. Не на последнем месте стоят и неравновесные фазовые переходы (НФП) в низкоразмерных структурах.

НФП в полупроводниках вызывают в настоящее время значительный интерес. В монографии [2] рассматриваются НФП в полупроводниках, обусловленные генерационно-рекомбинационнами (ГР) процессами.

Неустойчивости в полупроводниках и диэлектриках сравнительно недавно стали рассматривать как ФП в сильно неравновесной физической системе. Так, в конце 60-х годов А. Ф. Волков и Ш. М. Коган [3] указали на аналогию между перегревной неустойчивостью электронного газа и НФП. Примерно в это же время Е. Питт и X. Томас [4] провели подобную аналогию в случае ганновской неустойчивости скорости дрейфа электронов. Как в экспериментальных наблюдениях, так и в теоретическом осмыслении ФП, вызванных ГР процессами, за последние десятилетия лет был достигнут большой прогресс, установлено существование множества новых явлений и разработаны математические модели. Указанные НФП лежат в основе работы ряда важных полупроводниковых приборов, используемых в современной техникетакже полупроводники представляют собой наиболее подходящие модельные системы для изучения нелинейной динамики [2]. (В настоящей работе исследуются НФП, обусловленные внутризонными процессами).

Для количественной характеристики изменения структуры тела при прохождении через точку фазового перехода можно ввести величину, называемую параметром порядка [5, 6], определяемую таким образом, чтобы она пробегала отличные от нуля (положительные или отрицательные) значения в несимметричной фазе и была равна нулю в симметричной фазе.

Параметр порядка определяется неустойчивыми модами, а устойчивые — адиабатически подстраиваются под изменения неустойчивых. Это дает возможность при анализе фазового перехода резко сократить число переменных по сравнению со стандартными методами статистической физики (оставив только те, которые отвечают за фазовый переход), а также обойти трудности, связанные с наличием скачков физических величин в точке фазового перехода.

Типичными примерами параметров порядка являются: плотность (для перехода жидкость — газ) — намагниченность (для перехода в ферромагнитное состояние) — поляризация (для перехода в сегнетоэлектрическое состояние) — волновая функция бозонных пар (для перехода в сверхпроводящее состояние) и т. д. По своему физическому смыслу параметр порядка — это корреляционная функция, определяющая степень дальнего порядка в системе. В [6] также показано, что параметр порядка появляется благодаря флуктуациям, возникающим при критическом переходе. И этот параметр диктует поведение упорядоченного состояния после фазового перехода.

Еще одна особенность НФП состоит в том, что система может обладать несколькими параметрами порядка и они могут взаимодействовать друг с другом, порождая новые структуры. В [7] отмечено, что НФП намного богаче равновесных ФП, так как они включают в себя возникновение предельных циклов, движение на торах, хаос и др. НФП изучались многими авторами, в частности, [8, 9, 10, 11] и др. Обратим также внимание на работу.

12], в которой показано, что особенности вольт-амперной характеристики (ВАХ) р-Ge находятся в согласии с теорией ФП Ландау.

Существуют два основных типа НФП [13] - первого и второго рода. В противоположность фазовым переходам первого рода, при которых состояние системы испытывает скачок, фазовые переходы второго рода являются непрерывными в том смысле, что состояние тела меняется непрерывным образом. Однако следует подчеркнуть, что симметрия в точке перехода меняется скачком, и в каждый момент можно указать к которой из двух фаз относится тело. В то время как в точке фазового перехода первого рода находятся в равновесии тела в двух различных состояниях, в точке перехода второго рода состояния обеих фаз совпадают. Отметим также, что существуют НФП, относящиеся к промежуточной области [13]. Введенное в.

13] понятие НФП аналогично понятию «катастрофа» в теории катастроф, которую предложил Том [14]. Но более близким к содержанию данной диссертации является то применение теории, которое изложено, например, в работах Хакена, Эбелинга [15,16].

Помимо указанных выше причин важности изучения ФП, необходимо отметить также, что в окрестности ФП поведение системы оказывается чувствительным к небольшим внешним воздействиям, например, слабым полям, что существенно с точки зрения технических приложений.

В настоящей работе речь идет об открытых системах [13], причем в качестве внешнего источника энергии выступает протекающий в образце электрический ток. Фундаментальное изучение открытых систем связано с именем И. Р. Пригожина и его сотрудников [8, 10, 16], отметим также [17, 9, 11, 18] и др. Ряд примеров и результатов, касающихся открытых систем, приведен в сборнике статей [19]. При этом важно отметить, что в теории открытых систем в неравновесных стационарных состояниях свободная энергия не обязательно имеет минимум, а энтропия — максимум. В теории открытых систем найдена функция, которая помогает отличить устойчивые неравновесные состояния от других состояний. Для нахождения этой функции был сформулирован принцип минимального производства энтропии или минимального убывания свободной энергии. В данной работе мы будем называть эту функцию синергетическим потенциалом.

Нелинейные эффекты, возникающие в проводниках с непараболическим законом дисперсии носителей (в том числе в CP) под действием сильных полей, изучались многими авторами [22 — 27]. Учет конечности ширины зоны проводимости 2СР приводит и к возникновению спонтанной поперечной (по отношению к протекающему в образце току) ЭДС. Данное явление влияет на разного рода кинетические эффекты в 2СР: вид ВАХ, поведение квазидвумерного газа в магнитном поле, релаксационно-диффузионные межфазные процессы [28] и др. В данной диссертации показано, в том числе, что спонтанное возникновение поперечного поля возможно и в модели 2СР с «параболическим» законом дисперсии [29, 30].

В диссертации также идет речь и о стохастическом резонансе (СтР) в 2СР. Явление СтР заключается в том, что при одновременном воздействии на бистабильную систему слабого периодического сигнала и шума обнаруживается, что с ростом шума некоторые интегральные характеристики системы (например, коэффициент усиления по мощности, отношение сигнал/шум) ведут себя аномально (увеличиваются, достигают максимума и затем спадают).

Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию НФП первого и второго рода в квазидвумерном электронном газе с «косинусоидальной» и «параболической» минизонами проводимости, а также изучению возможности стохастического резонанса в таких (бистабильных) системах.

Актуальность темы

Одна из причин, по которым низкоразмерные полупроводниковые структуры (квантовые ямы, проволоки, кольца, точки, CP и др.) в настоящее время привлекают значительное внимание, состоит в том, что такие системы начинают проявлять нелинейные и неравновесные свойства в сравнительно слабых полях, и, что весьма важно, эти свойства можно задавать и контролировать с помощью «зонной инженерии» .

Развитие направлений науки, техники и технологий, связанных с созданием, исследованиями и использованием объектов с низкоразмерными элементами, во многом определяет кардинальные изменения в материаловедении, электронике, медицине, связи и др. В развитых странах осознание ключевой роли, которую играют результаты работ по нанотехнологиям, привело к созданию крупномасштабных программ по их развитию на основе государственной поддержки. Такие программы приняты Европейским союзом, США, Японией, Китаем и рядом других стран. В.

России к настоящему времени разработаны несколько программ данного направления. Настоящая диссертация выполнена в соответствии с Российской государственной программой «Физика твердотельных наноструктур», а также — «Перечня приоритетных направлений фундаментальных исследований РАН» .

Сказанное определяет актуальность задач, теоретически решаемых в настоящей диссертации. Основное внимание в ней уделено полупроводникам с 2СР, а также — с одномерной CP (1СР), находящихся в постоянном электрическом поле и (при исследовании СтР) слабом переменном электрическом поле. В принципе, предсказываемые эффекты (НФП, СтР и др.) возможны не только в 2СР, но и в «обычных» объемных материалах, однако в CP эти эффекты требуют для своего существования значительно меньших величин напряженностей электрических полей. Конкретно решались следующие основные задачи:

• вывод и анализ формул для спонтанной поперечной («квазихолловской») ЭДС как функции тянущего поля, температуры и толщины 2СР;

• решение кинетического уравнения Больцмана (с интегралом столкновений Батнагара-Гросса-Крука) для функции распределения электронов в 1СР с «параболической» минизоной;

• решение стационарного уравнения Фоккера — Планка для функции распределения поперечного поля как случайной величины;

• расчет интегральных характеристик СтР в проводниках с узкой зоной проводимости и 2СР.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые: 1. Показано, что неравновесный электронный газ в разомкнутой в поперечном (по отношению к протекающему в образце току) направлении 2СР может вести себя как сегнетоэлектрик.

2. Предложен учитывающий особенности продольной вольтамперной характеристики 2СР вариант наблюдения поперечной спонтанной ЭДС.

3. Найдена функция распределения невырожденных электронов в «параболической» минизоне 1СР для произвольных температур, (квазиклассических) электрических полей и в линейном приближении по градиенту концентрации носителей.

4. Получено включающее диффузионную составляющую выражение для плотности тока вдоль оси 1СР с «параболической» минизоной.

5. Рассчитаны частота Крамерса, коэффициент усиления и отношение сигнал/шум в полупроводниковых 2СР с учетом толщины образца.

6. Обнаружен двойной СтР в проводниках с узкой зоной проводимости и разомкнутой в поперечном току направлении 2СР.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Учет толщины 2СР приводит к появлению НФП, в которых управляющими параметрами, кроме приложенного тянущего поля, выступают температура образца и его толщина.

2. В «параболических» 1СР температурная зависимость плотности тока и коэффициента диффузии существенно отличается от соответствующей для 1СР с «косинусоидальным» законом дисперсии минизоны. Зависимость положения максимума продольного тока от температуры совпадает с экспериментальными данными [31]: с ростом температуры максимум тока смещается в сторону меньших полей.

3. В полупроводниковых 2СР с «параболической» минизоной возможны НФП второго рода (НФП2), заключающиеся в спонтанном возникновении поперечной ЭДС. При этом положение точки бифуркации зависит от температуры образца.

4. В неравновесном квазидвумерном электронном газе с «параболическим» законом дисперсии возможны НФП нового типа: с ростом температуры возникает спонтанное поперечное электрическое поле (при фиксированном значении тянущего поля).

5. При учете конечности ширины зоны проводимости частота Крамерса как функция температуры имеет максимум. Это приводит к существованию двойного СтР.

Научная и практическая ценность работы. Представленные новые результаты могут быть полезными и для изучения других бистабильных систем, в частности, сегнетоэлектриков и ферромагнетиков. Обнаруженные эффекты, в принципе, должны учитываться и при исследованиях иных кинетических явлений, например, эффекта Холла в низкоразмерных структурах. Кроме этого, результаты работы могут быть использованы при конструировании различного рода устройств: переключатели, усилители слабых периодических сигналов, а также фильтрующие элементы.

Личный вклад автора. Постановка задач, обобщение полученных данных, интерпретация и обсуждение результатов осуществлены диссертантом совместно с научным руководителем и соавторами публикаций. Проведение ряда аналитических и всех численных расчетов, графическое представление результатов было выполнено, диссертантом самостоятельно.

Структура и объем. Диссертационная работа состоит из предисловия, трех глав, включающих обзорные параграфы, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц, включая 72 рисунка.

Список литературы

содержит 135 наименований.

В предисловии обоснована актуальность решаемых в работе задач, сформулированы цель и задачи исследования, представлено краткое содержание диссертации.

В первой главе изучается спонтанная поперечная ЭДС в 2СР с «косинусоидальной» моделью минизоны проводимости. Рассматривается квадратная 2СР, оси ОХ и OY направлены под углом 45° по отношению к ее главным осям. В отличие от предшествующих работ здесь мы учитываем.

6 7 толщину 2СР (а), предполагая ее порядка 10″ -40″ см (именно такие значения имеют изготавливаемые 2СР). Соответственно в третьем направлении имеет место квантовый размерный эффект (КРЭ), влияние которого на НФП здесь исследуется. В данной главе также представлены результаты исследования указанной системы при учете замкнутости образца на некоторое сопротивление. Проанализировано влияние второго уровня размерного квантования. Выясняется, что такое влияние не приводит к принципиальным изменениям в характере НФП в 2СР, но существенно меняет величину продольного тока. Отмечено, что применительно к рассматриваемым системам теорема Пригожина о минимальности производства энтропии выполняется для любых состояний, в том числе для состояний, далеких от равновесия.

Во второй главе рассматриваются CP с «параболической» минизоной проводимости. В настоящее время становится технологически решаемой задача конструирования энергетического спектра электронов в низкоразмерных структурах, поэтому имеет смысл исследовать НФП для иного («некосинусоидального») спектра, что и делается в данной главе для «параболической» минизоны. Рассчитываются функция распределения электронов и плотность тока в 1СР с «параболической» минизоной в случае конечных температур.

Третья глава посвящена электрическим флуктуациям и СтР в 2СР. Рассчитана токовая корреляционная функция (ТКФ) в 1СР с «параболической» минизоной для невырожденных носителей. Найдено решение стационарного уравнения Фоккера — Планка для функции распределения поперечного поля как случайной величины. С помощью этого решения вычислен средний квадрат поперечного поля, и, тем самым, построена флуктуационная теория НФП. Показано, что роль тепловых флуктуаций при приближении к критической точке (точке бифуркации) усиливается. Спонтанное поперечное поле влияет на вид вольтамперной характеристики сверхрешетки. При этом имеет место следующее существенное обстоятельство. При детерминистическом описании поперечного поля ВАХ имеет излом в точке, соответствующей максимуму ВАХ, в то время как в рамках флуктуационной теории этот излом исчезает, в этом, в частности, проявляется роль электрических флуктуаций в формировании ВАХ. Кроме того, с возрастанием уровня шумов (т.е. с увеличением температуры) максимум ВАХ понижается. С помощы-о функции распределения поперечного поля как случайной величины определяется средняя частота перехода бистабильной системы из одного устойчивого состояния в другое — частота Крамерса, зная которую можно рассчитать коэффициент усиления по мощности и отношение сигнал/шум.

В заключение диссертации сформулированы основные результаты исследования.

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-11 (Екатеринбург, 2005), Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков BKC-XVII (Пенза, 2005), Международной научно-технической школы-конференции «Молодые ученые 2005» (Москва, 2005), IX межвузовской конференции студентов и молодых ученых Волгограда и Волгоградской области (Волгоград, 2004), II Международной конференции по физике электронных материалов (Калуга, 2005), Всероссийской научнопрактической конференции «Актуальные проблемы прикладной физики и методики преподавания физики в ВУЗе и школе» (Борисоглебск, 2005), Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2005),.

Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-12 (Новосибирск, 2006), Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2006), VIII Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы» (Ульяновск, 2006).

Результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, в том числе в 7 статьях, 4 из которых опубликованы в журналах, включенных в список ВАК, и в 8 тезисах докладов [60−62], [70−71], [89−90], [93−94], [113], [120], [132−135].

Заключение

.

Приведем основные результаты исследования:

1. Получено аналитическое выражение для спонтанного поперечного электрического поля (Еу) в разомкнутой в OY-направлении 2СР с косинусоидальным" законом дисперсии электронов. Принципиальным здесь является учет толщины образца (а). При этом поле еу оказывается зависящим не только от тянущего поля (Ех), но и температуры (Т), и а. Эти зависимости, а также соответствующее поведение синергетического потенциала, характерны для НФП2. В случае, когда управляющим параметром является Т (Ex, a = fix), Еу~±Л[ТСТ — это есть точная аналогия температурной зависимости поляризации сегнетоэлектрика с той лишь разницей, что в нашем случае «температура Кюри» Тс определяется значениями Ех и а. «Сегнетоэлектрическое» поведение неравновесного электронного газа связано с зависимостью времени релаксации от температуры при взаимодействии электронов с акустическими фононами.

При Ex, T = fix спонтанное поле Еу~±д/а-ас, где точка бифуркации ас =ас (Ех, Т).

2. Установлено, что в случае, когда время релаксации не зависит от Т (рассеяние на примесях), межподзонное туннелирование электронов в электрическом поле также может приводить к «сегнетоэлектрическому» поведению 2СР.

3. Показано, что при подключении к образцу в поперечном направлении в качестве нагрузки полупроводниковой 1СР (OY — ось этой CP), продольная ВАХ 2СР может содержать ветвь с положительной дифференциальной проводимостью в области существования спонтанного поперечного поля. Данный результат определяет дополнительную возможность экспериментального наблюдения спонтанной поперечной ЭДС.

4. Найдено точное решение кинетического уравнения Больцмана для функции распределения электронов в 1СР с «параболической» минизоной в случае произвольных температур. При этом определена плотность тока, максимум которой смещается в сторону меньших полей при увеличении температуры.

5. Установлена возможность НФП2 в 2СР с «параболической» минизоной: Еу — параметр порядка, Ех и Т — управляющие параметры. Положение точки бифуркации зависит от температуры, когда управляющим параметром является Ех.

6. Решено кинетическое уравнение Больцмана с интегралом столкновений Батнагара — Гросса — Крука и получено аналитическое выражение для коэффициента диффузии в 1СР с «параболической» минизоной.

7. Найдено решение стационарного уравнения Фоккера — Планка для функции распределения поперечного поля (еу) как случайной величины и рассчитан средний квадрат флуктуаций е*. Тем самым построена флуктуационная теория НФП2 в квазидвумерном электронном газе с учетом а.

8. Рассчитаны интегральные характеристики (коэффициент усиления сигнала и отношение сигнал/шум) стохастического резонанса в 2СР с учетом ее толщины, а также в сегнетоэлектриках-полупроводниках.

9. Выявлены условия существования двойного стохастического резонанса в проводниках с ОЦК решеткой и конечной шириной зоны проводимости, а также в 2СР.

БЛАГОДАРНОСТИ.

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, заслуженному деятелю науки Российской Федерации Шмелеву Геннадию Михайловичу за постановку задач, постоянное внимание к работе и плодотворные научные консультации. Кроме того, автор хотел бы выразить свою признательность соавторам публикаций Э. М. Эпштейну, И. И. Маглеванному за полезное обсуждение содержания диссертации. Также автор выражает благодарность сотрудникам кафедры теоретической физики и всему физическому факультету Волгоградского государственного педагогического университета за внимание к работе.