Порядковые аппроксимации в свободных конструкциях

Данная работа посвящена изучению вопроса о том, в элементы каких порядков можно перевести заданное множество элементов некоторой группы при гомоморфизме в конечную группу. Например, в работе изучается вопрос о том, может ли порядок образа элемента и некоторой группы быть больше чем порядок образа некоторого другого элемента при гомоморфизме в конечную группу. Изучение данного свойства было начато в [1], где было показано, что оно справедливо для свободных групп. В [2] было показано что данное свойство, переносится на свободные произведения. Данный результат нашел применение при изучении автоморфизмов гиперболических групп [13]. Подобные свойства изучаются в работе для свободных конструкций: свободных произведений с объединенными подгруппами, ЕШМ расширений. Также в работе рассматриваются конечные множества элементов группы, состоящие более чем из двух элементов, и изучаются вопросы, связанные с соотношением величии порядков образов элементов при гомоморфизме к конечную группу. Например, показывается, что порядки образов элементов из произвольного конечного множества свободной группы, могут быть попарно различны при гомоморфизме в конечную группу за исключением вырожденных случаев. Также изучен вопрос о существовании гомоморфизма из группы в конечную группу, при котором порядок образа одного элемента является произвольным кратным некоторой константы, а 'порядки образов некоторых других элементов постоянны. Данное свойство тесно связано с омнипотентностью, которая применяется при изучении финитной отделимости относительно вхождения в конечно порожденные подгруппы, например в работе [16]. При изучении порядковой отделимости свободных произведений свободных групп с объединенной циклической подгруппой доказывается утверждение, обобщающее понятие регулярного фактора свободной группы, которое использовалось в [18] для изучения финитной отделимости относительно вхождения в конечно порожденные подгруппы для НКЫ расширений свободной группы с циклическими связанными подгруппами. В главе 3 изучается вопрос о том каким числам может быть равен порядок образа элемента свободного произведенйя при гомоморфизме в конечную группу. Например, данный порядок может быть любым натуральным числом, если элемент принадлежит Декартовой подгруппе свободного произведения финитно аппроксимируемых групп. Также в третьей главе изучается мало изученный вопрос о квазипотентности НКМ-расширений.

В последней главе работы изучается вопрос о наличии нормальных подгрупп в относительном копредставлении группы без кручения и о монолитичности такой подгруппы.

Изучение порядковых аппроксимаций было начато в середине прошлого века. Одним из первых результатов в этой области было доказательство того, что свободная группа является квазипотептной. В старых работах группы, обладающие данным свойством, назывались группами с регулярными факторами, при этом рассматривались лишь элементы бесконечного порядка. Говорят, что группа (7 обладает регулярными факторами, если для любого ее элемента д бесконечного порядка существует натуральное к, такое что для любого натурального п существует гомоморфизм из С в конечную группу, такой что порядок образа д равен кп. Позже, было показано, что, если группа содержит подгруппу конечного индекса, обладающую регулярными факторами, то и вся группа обладает этим свойством. Примерно в это же время было доказано, что, если группа (7 содержит потентную подгруппу Н конечного индекса, то для группы каждый элемент Н из Н является потентным. То есть из существования гомоморфизма группы Н в конечную группу, переводящего к в элемент произвольного порядка следует существование аналогичного гомоморфизма и для группы.

Имеется несколько работ малазийского математика, профессора Вонг Пенг Чуна, посвященных свойству потентности. Например, в [6] доказано, что, для потентной группы С без кручения и ее подгруппы /Г, такой что С финитно отделима относительно вхождения в К, потентной будет также группа где щ: С С/ — изоморфизм,.

Кх = ср1{К), фго = (р3 о ¡-р-1.

Отметим еще несколько известных результатов о порядковых аппроксимациях. Несложно доказать, что группы, аппроксимируемые конечными р-группами для любого простого р, потентны [9]. Там же найдены различные достаточные условия для того, чтобы свободные произведения, НЫК-расширения и расширения групп являлись квазипотентными. В [8] показано, что конечно порожденная метабелева группа (7, будет 2-порядково отделимой тогда и только тогда, когда для любых 6 С, таких что и не сопряжен с г¹, нормальные замыкания в группе и элементов и и г> различны.

В [16] было показано, что свободная группа является омнипотентной, то есть для любого набора элементов и1,., ип, не лежащих попарно в сопряженных циклических подгруппах, существует натуральное число к, такое что для любого упорядоченного набора натуральных чисел существует гомоморфизм (р из свободной группы в конечную, такой что порядок (р (иг) равен Шг. Таким образом порядок образа одного элемента может быть больше чем, например, произведение порядков образов остальных элементов. Ниже данная теорема обобщается для случая свободных произведений, когда рассматривается конечные множества элементов свободного произведения финитно аппроксимируемых групп, не лежащих в группах, сопряженных со свободными множителями.

В [18] для изучения финитной отделимости конечно порожденных подгрупп^ШЫ расширения Н свободной группы Н со связанными циклическими подгруппами {и}, (у) было использовано обобщение давно известного понятия регулярного фактора, когда рассматривается более одного элемента группы. В этой работе было показано, что Н финитно отделимо относительно вхождения в конечно порожденные подгруппы тогда и только тогда, когда Н имеет регулярный фактор в паре {у/и}. Группа имеет регулярный фактор в паре элементов { и, у}, если существует натуральное г, такое что для каждого натурального п существует гомоморфизм из Н в конечную группу, такой что порядок образов и и у равен гп. Ниже приводится обобщение данного понятия на случай любого конечного множества элементов свободной группы, которое применяется при изучении порядковых отделимостей свободных произведений свободных групп с объединенными подгруппами и ЬШМ расширений свободных групп.

1. Klyachko A. A. Equations over groups, quasivarieties, and a residual property of a free group // J. Group Theory. 1999. 2. 319−327.

2. Линдон P., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

3. Едынак В. В. Отделимость относительно порядка // Вестник МГУ, 2006, 3, 56−58.

4. Allenby R. В. J. Т., Tang С. Y. The residual finiteness of some one-relator groups with torsion. 11 J. Algebra 71 (1981), 1. 132−140.

5. P. Stebe. Conjugacy separability of certain free products with amalgamation. Trans. Amer. Math. Soc. 156 (1971). 119−129.

6. Wong P. С., Koay H. L. Generalized free products of isomorphic potent groups. The Bulletin of the MalaysiantMathematical Society 11 35−38 (ISI-Cited Publication) 2.

7. Каргаполов M. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.

8. Ge’rard Endimioni. Elements with the SameNormal Closure in a Metabelian Group // The Quarterly Journal of Mathematics. 2006.

9. J. Burillo, A. Martino. Quasi-potency and cyclic subgroup separability. Journal of Algebra, Volume 298, Issue 1, Pages 188−207.

10. Романовский H. С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения // Изв. АН СССР.' Сер. матем., 1969, 33, 1324−1329.

11. Клячко А. А. Гипотеза Кервери-Лауденбаха и копредставления простых групп. // Алгебра и логика, 44', 4 (2005), 399−437.

12. Howie J., The solution of length three equations over groups, // Proc. Edinb. Math. Soc., 2. Ser., 26 (1983), 89−96.

13. D: Osin, A. Minasyan. // Normal automorphisms of relatively hyperbolic groups. Trans, of the AMS, to appear. arXiv:0809.2408.

14. Логинова E. Д. 1 Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, 2, 395−407.

15. Логинова E. Д. Финитная отделимость циклических подгрупп свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Вести. Ивановского гос. ун-та, 3, (2000), 47−53.

16. Wise, Daniel Т. Subgroup separability of graphs of free groups with cyclic edge groups. Q. J. Math. 51, No. l, 107−129 (2000). ISSN 0033−5606- ISSN 14 643 847.

17. Henry Wilton. Virtual retractions, conjugacy separability and omnipotence. J. Algebra 323 (2010), pp. 323−335.

18. Graham A. Niblo. H.N.N, extensions of a free group by z which are subgroup separable. Proc. London Math. Soc. (3), 61(1): 18−32, 1990.

19. P. C. Wong, С. K. Tang and H. W. Gan. Weak Potency of Fundamental Groups of Graphs of Groups. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (2) 33(2) (2010), 243Ц-251.

20. Benny Evans. Cyclic amalgamations of residually finite groups. Pacific Journal of Mathematics. Vol. 55, No. 2, 1974, 371−379.

21. Marshall Hall, Jr. Coset representations in free groups. Trans. Amer. Math. Soc., 67:421−432, 1948.

22. Yedynak, V. V. Multielement order separability in free products of groups. Communications in Algebra 38(3): 3448 Ц- 3455, 2010.

23. Едынак, В. В. Тезисы международной алгебраической конференции памяти А. Г. Куроша. г. Москва, 2008, стр. 89 Ц- 89.