К теории операторных уравнений с линейными и нелинейными неразложимыми операторами

Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций с помощью линейного или нелинейного операторного уравнения вида х = А (х) + / (0.1) с оператором л (х), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. Одной из них является довольно распространенная задача о существовании у уравнения (0.1) решения х=х*, обладающего свойством неотрицательности: х>в. Такого рода задачи, вообще говоря, присущи задачам экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения. Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры — конуса AT, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов х, уеЕ определено отношение х>у, если являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: х>у. От свойств конуса в пространстве Е и от вида оператора А, действующего в этом пространстве, зависит существование решения х* у уравнения (0.1), а также способы, с помощью которых можно построить приближения к этому решению.

Основной интерес в работе приобретают уравнения с так называемыми неразложимыми операторами. Отметим, что неразложимые операторы впервые были введены в работах В. Я. Стеценко ([83], [77], [75], [71]) в плане развития и обобщения результатов М. А. Красносельского, посвященных уравнениям с и0 -положительными операторами [44]. Уравнения с и0-положительными операторами обладают рядом важных свойств, в частности, для них было установлено существование и единственность положительного решения, сходимость метода последовательных приближений к этому решению и т. д. Впоследствии в работах В. Я. Стеценко было замечено, что многие свойства и0 -положительных операторов имеют место и для существенно более широкого класса операторов, получивших название неразложимых. Поводом для выделения неразложимых операторов также послужила теория неразложимых матриц, построенная в работах Фробениуса, которую развил М. А. Красносельского на случай абстрактных уравнений.

После построения теории неразложимых операторов, естественным представляется следующий шаг — попытка распространения основных свойств неразложимых операторов на более широкий класс операторов, который в данной диссертации получил название и0 -неразложимых операторов. Класс и0 -неразложимых операторов содержит, в качестве правильной части, неразложимые операторы и обладает основными свойствами таких операторов.

Исходя из ранних работ П. С. Урысона [89] по нелинейным интегральным операторам и теории линейных щположительных операторов, М.А.

Красносельский и его ученики (JI.A. Ладыженский, И. А. Бахтин и другие) построили содержательную теорию для некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве. Особенно глубоко была развита теория и0 -вогнутых операторов ([2], [44], [45]). Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов, которые не относятся к классу нелинейных и0 -вогнутых операторов, но которые тем не менее обладают основными свойствами этих операторов.

В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.

Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуется лишь некоторая их часть. Например, такие вопросы, как: обобщение известного понятия неразложимости на более широкий класс операторов (м0-неразложимые, неразложимые нелинейные операторы), оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов, построение приближений к решению операторного уравнения (0.1) в случае, когда спектральный радиус оператора, А не обязательно меньше единицы, и др.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. Для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. В диссертации для целостности изложения приведен ряд известных результатов, которые сопровождаются ссылками.

1. Бахвалов Н., Жидков Н, Кобельков Г. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний. — 2000 — 624с.

2. Бахтин И. А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Ленинград, 1967. 320с.

3. Бахтин И. А., Есаян А. Р. Об оценке точечного спектра// Доклады АН Тадж. ССР.- 1965 -т.8. № 5.

4. Бахтин И. А., Красносельский М. А. К теории уравнений с вогнутыми операторами// Доклады АН СССР. 1958. — т.123. № 1.

5. Бахтин И. А., Красносельский М. А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами// Сиб. мат. журн. — 1961. — т.2. № 3.

6. Бахтин И. А., Красносельский М. А., Стеценко В. Я. О непрерывности линейных положительных операторов// Сиб. мат. журн. 1962. — Т.З. № 1. -С. 157−160.

7. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968.-270с.

8. Боголюбов Н. Н., Крейн С. Г. О позитивных вполне непрерывных операторах// Труды института математики АН СССР. — 1948 — Т.9, № 1 -С.3−95.

9. Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. — 266с.Ю.Вулих Б. З.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. — 399с.

10. Вулих Б. З.

Введение

в функциональный анализ. М.: Наука, 1967 — 415с.

11. Вулих Б. З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах: Учебное пособие. Калинин: Издательство калининского университета, 1978. — 84с.

12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М: Наука, 1966. — 576с.Н.Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М: Гостехиздат, М. 1950.

13. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: И.Л., 1962.-895с.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. — М.: И.Л., 1966. 1064с.

15. Денисенко Т. И., Стеценко В. Я. Элементы математической экономики. -Ставрополь, СГУ, 2000. 170с.

16. Дудкин Л. М., Ершов Э. Б. Межотраслевой баланс и материальные балансы отдельных продуктов// Плановое хозяйство. 1965. — № 5. — С. 59−63.

17. Есаян А. Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1964. 104с.

18. Есаян А. Р., Мухтаров С. Н., Стеценко В. Я. О положительных решениях уравнений второго рода с подлинейным оператором// Доклады АН Тадж. ССР.-1965. т.8, № 1.

19. Есаян А. Р., Сабиров Т. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности// Доклады АН Тадж. ССР. 1963. — Т.6, № 4. — С.8−12.

20. Есаян А. Р., Сабиров Т. Об ограниченных сверху и ограниченных снизу линейных положительных операторах// Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж, 1963. — Вып.7.

21. Есаян А. Р., Стеценко В. Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц// Доклады АН СССР. 1964. — т. 157, № 2.

22. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. — 742с.

23. Канторович Л. В., Вулих Б. З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. — 684с.

24. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949, -708с.

25. Колатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-447с.

26. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М.: Наука, 1968. — 503с.

27. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. — 543с.

28. Костенко Т. А. Несовместные неравенства/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь, 1998. 19с. -Деп. в ВИНИТИ 23.01.98 № 166-В98.

29. Костенко Т. А. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами// «Университетская наукарегиону». Материалы XLIII научно-методической конференции. -Ставрополь: СГУ, 1998. С.111−122.

30. Костенко Т. А. Об одном новом способе оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора АН «Университетская наукарегиону». Материалы XLII научно-методической конференции. — Ставрополь: СГУ, 1997. -С.52−54.

31. Костенко Т. А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтенияIX. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1998.-С. 107.

32. Костенко Т. А. Стеценко В.Я. Априорные оценки решения операторного уравнения второго рода по известной невязке// «Университетская наукарегиону». Материалы XLIII научно-методической конференции — Ставрополь: СГУ, 1998. С. 111−134.

33. Костенко Т. А., Стеценко В. Я. Новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтенияVIII. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1997. — С.78.

34. Костенко Т. А., Стеценко В. Я. Об одном новом способе оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора, А / Ставропольский государственный университет, Ставрополь — 1997. — 24с. — Деп. в ВИНИТИ 21.03.97 № 854-В97.

35. Костенко Т. А., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений второго рода// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. — т.42, № 6. — С.780−783.

36. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962. 394с.

37. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейныхинтегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.-372с.

38. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.-456 с.

39. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. 511с.

40. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные нелинейные системы: Метод положительных операторов. — М.: Наука, 1985.-256 с.

41. Красносельский М. А., Стеценко В. Я. Замечания о методе Зейделя// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1969. — т.9, № 1. — С.177−182.

42. Крейн М. Г., Рутман М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха// УМН. 1948. — № 3. Вып.1. -С.3−95.

43. Куркалова Л. А. Неразложимые модели Неймана и Леонтьева: Дис. канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 1990. — 131с.

44. Лифшиц Е. А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств// Функциональный анализ и его приложения. 1969. — Т. З, № 1. — С.91−92.

45. Лифшиц Е. А. Об использовании спектрального радиуса// Динамика неоднородных систем. Материалы семинара. М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1983. — С.252−254.

46. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.-520с.

47. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232с.

48. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. — 179с.

49. Мухтаров С. Н., Стеценко В. Я. О некоторых свойствах уравнений с неразложимыми линейными операторами// Доклады АН Тадж. ССР. — 1965. — т.8, № 2.

50. Мухтаров С. Н., Стеценко В. Я. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности// Доклады АН Тадж. ССР. 1963. — Т.6, № 4. — С.8−12.

51. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. — М.: Мир, 1972.-518с.

52. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение. -М.: И.Л., 1960. 170с.

53. Романовский В. И. Дискретные цепи Маркова. — М.: Гостехиздат, 1948.

54. Семилетов В. А. и0-неразложимые операторы// Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. -Воронеж: ВГУ, 2003. С.225−226.

55. Семилетов В. А. Новые оценки спектрального радиуса положительного оператора// Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Труды участников. Ростов-на-Дону. 5−11.09.2002.С.154−155.

56. Семилетов В. А. О некоторых методах решения уравнения второго рода вида x = Ax+f с оператором А, у которого собственные значения по модулю больше, чем 1// Вестник Ставропольского института им. Чурсина.- 2002. вып. 1. — С. 144−151.

57. Семилетов В. А. О неразложимых матрицах и неразложимых интегральных операторах// Теоретические и прикладные проблемы современной физики. Материалы региональной научной конференции. Ставрополь, 2002. -С.273−280.

58. Стеценко В. Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. -307с.

59. Стеценко В. Я. О щ положительности линейного оператора// Доклады АН Тадж. ССР. -т.5, № 4. — 1962.

60. Стеценко В. Я. О банаховых пространствах с двумя конусами: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ленинград, 1962. — 109с.

61. Стеценко В. Я. О свойстве избирательной монотонности решения модели Леонтьева-Форда// Известия АН Тадж. ССР, № 3. 1990. — С.3−8.

62. Стеценко В. Я. О спектральных свойствах неразложимых операторов// Доклады АН СССР, 1968. Т. 178, № 3. — С.552 -554.

63. Стеценко В. Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов// Доклады АН СССР. 1968. — Т. 178, № 3. — С. 1021−1024.

64. Стеценко В. Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора// УМН. 1967. — Т.22, Вып.3(135). — С.242−244.

65. Стеценко В. Я. Об одном способе оценки спектра линейного оператора// УМН. 1964. — Т. 19, Вып.2, С. 199−200.

66. Стеценко В. Я. Об оценке спектра некоторых классов линейных операторов// Доклады АН СССР. 1964. -Т.157, № 5. — С.1054−1057.

67. Стеценко В. Я., Галкина В. А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. 168с.

68. Стеценко В. Я., Костенко Т. А. Квалифицированные двусторонние оценки для спектрального радиуса линейного положительного оператора/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 1997. — 13с. -Деп. в ВИНИТИ 14.11.97 № 3321 -В97.

69. Стеценко В. Я., Мухтаров С. Н. Несовместные неравенства для неразложимых операторов// Доклады АН. Тадж. ССР. 1965. — т.8, № 4.

70. Стеценко В. Я., Семилетов В. А. Неразложимые нелинейные операторы// Вестник Ставропольского государственного университета. Ставрополь, 2003. -№ 34. — С. 12−16.

71. Стеценко В. Я., Семилетов В. А. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов// Ученые записки физико-математическогофакультета Ставропольского государственного университета. — Ставрополь: СГУ, 2002. С.90−96.

72. Стеценко В. Я., Срожиддинов Х. М., Есаян А. Р. Сравнение спектральных радиусов двух операторов// Доклады АН Тадж. ССР. 1976. — т. XIX, № 11. -С.10−13.

73. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564с.

74. Урысон П. С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений// Труды по топологии и другим областям математики. — M.-JL: Гостехиздат, 1951.т.1. — С.45−77.

75. Фадцеев Д. К., Фадцеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Физматгиз, 1960. 656с.

76. Хатсон В. К., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. -М: Мир, 1983.-431с.