О многообразиях алгебраических систем с условиями конечности

Изучение многообразий алгебраических систем с теми или иными условиями конечности составляет самостоятельное и развивающееся направление алгебраических исследований. В 1890 г. Д. Гильберт доказал, что в кольце многочленов от конечного числа переменных любой идеал порождается конечным числом элементов (имеет конечный базис). Затем, этот результат был перенесен на конечно порожденные алгебры над нетеровыми кольцами и нашел широкое применение в коммутативной алгебре. В дальнейшем это направление исследований получило развитие в работах многих авторов (А. И. Мальцев [13], [14], [15], [16]- А. И. Ширшов [19]- В. Н. Латышев [10]- И. В. Львов [11], [12]- Е. И. Зельманов [5], А. И. Костри-кин [7]- К. Прочези [22]- Ж. Левин [21]- В. Т. Марков [17]- С. И. Кубла-новский [8], [9]).

Говорят, что алгебра M над кольцом Л является конечной, если она является конечно порожденным (к.п.) модулем над Л. Говорят, что алгебра, А — финитно аппроксимируема (ф.а.) если для любого ненулевого элемента, а А существуют конечная алгебра M и гомоморфизм ip: A M такой, что <�р (а) = 0. В 1958 г. А. И. Мальцев [15] доказал, что конечно порожденная коммутативная алгебра над полем финитно аппроксимируема, и вывел отсюда разрешимость ряда алгоритмических проблем. Эта работа А. И. Мальцева оказала существенное влияние на ход всех дальнейших алгебраических исследований в этой области.

Алгебра называется локально нетеровой (слева, справа), если она удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей двусторонних (левых, правых) идеалов. Говорят, что в многообразии алгебр локально выполнено некоторое условие, если оно выполнено для каждой конечно порожденной алгебры этого многообразия.

В 1966 г. В. Н. Латышев [10] описал локально слабо нетеровы (л.с.н.) слева многообразия над полем характеристики 0. В 1969 г. И. В. Львов доказал [11], что многообразие алгебр над полем характеристики 0 будет л.с.н. тогда и только тогда, когда в нем выполнено некоторое тождество вида: хупг = щхуп*гУ1,.

ГЦ <71 где щ, Уг — некоторые слова.

В 1978 г. В. Т. Марков доказал, что многообразие алгебр с единицей над бесконечным полем будет л.с.н. слева тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет тождеству Энгеля, т. е. тождеству вида Х1 уп ~ которое можно описать по индукции: х>Ук+ = 2- [х, у]2 = [я, 2/] = ху ух.

В 1997 г. С. И. Кублановский в работе [9] вводит понятие нормальной характеристики. Коммутативное кольцо с единицей, А называется кольцом Джекобсона, если каждый простой идеал этого кольца является пересечением некоторого семейства максимальных идеалов. Любое поле, конечно порожденнное коммутативное кольцо, кольцо полиномов над кольцом Джекобсона являются также кольцами Джекобсона. Известно, что класс колец Джекобсона замкнут относительно гомоморфных образов. Пусть / - некоторый полином от некоммуттирующих переменных над кольцом А. Два одночлена будем считать подобными, если один моном можно получить из другого перестановкой внутренних переменных (т.е. не затрагивая крайние слева и справа переменные). Путем приведения подобных членов такого типа из данного многочлена / может быть получен многочлен вида: = где? Л, — семейство неподобных в указанном смысле одночленов. Идеал в кольце Л, порожденный семейством обозначается и называется нормальной характеристикой многочлена /. Если этот идеал совпадает с Л, говорят, что нормальная характеристика мнгочлена / равна 1. Нормальной характеристикой многообразия V алгебр над кольцом Л, заданного совокупностью тождеств {/¿-|г Е /}, называется сумма нормальных характеристик многочленов (/г)ге/- она обозначается через Таким образом.

I'{V) = ^(/г) — Можно показать, что нормальная характеристика многообразия определяется этим многообразием однозначно, так как не зависит от выбора базиса тождеств. Аналогично можно определить левую и правую характеристику тождеств и многообразий, они обозначаются г// и иг соответственно.

С. И. Кублановский в работе [9] доказал, что многообразие алгебр над нетеровым кольцом Джекобсона будет локально слабо нете-рово тогда и только тогда, когда его нормальная характеристика равна 1. В этой же работе установлена эквивалентность локальной слабой нетеровости и других классических условий конечности, таких как: финитная аппроксимируемость, локальная представимость и другие.

С тождеством Энгеля связана известная проблема (проблема Эн-геля): если алгебра (кольцо) удовлетворяет тождеству Энгеля, то будет ли она локально Лиево нильпотентна? Проблема Энгеля представляет собой проблему Бернсайдовского типа. Впервые она была рассмотрена для групп и алгебр Ли. Работы А. И. Кострикина [7] оказали существенное влияние на ход исследований в этой области. Положительное решение этой проблемы для колец Ли было найдено в известной работе Е. И. Зельманова [5]. Следует отметить, что для конечно порожденных ассоциативных алгебр над полем ненулевой характеристики положительное решение этой проблемы следует из теоремы А. И. Ширшова о высоте [19]. Для алгебр над полем характеристики 0 положительное решение данной проблемы было найдено А. Р. Кемером [6] в 1980 г. Положительное решение для ассоциативных алгебр над кольцом Джекобсона было найдено С. И. Кубланов-ским [9] в 1997 г.

Среди различных условий конечности естественным образом выделяется так называемая конечность типа для тождеств и многообразий. Многообразие алгебраических систем называется многообразием конечного типа, если любая конечно порожденная относительно свободная система данного многообразия является конечно определенной. Соответственно, тождество (система тождеств) называется тождеством (системой тождеств) конечного типа тогда и только тогда, когда таково многообразие алгебраических систем, заданное этим тождеством (системой тождеств).

В 1972 г. К. Прочези [22] и Л. Смолл [23] поставили проблему: будет ли многообразие алгебр, порожденное матричной алгеброй, многообразием конечного типа? В 1978 г. В. Т. Марков [17] изучил конечность типа многообразий алгебр с единицей над бесконечным полем. Он доказал, что конечность типа для такого многообразия эквивалентна локальной левой нетеровости многообразия, а также выполнимости тождества Энгеля. Также из результатов Маркова вытекает отрицательное решение проблемы К. Прочези и Л. Смолла для многообразий алгебр с единицей над бесконечным полем. Однако, данный результат не дает алгоритмического описания таких многообразий. Кроме того, методы и результаты данной работы не удается распространить на общий случай многообразий алгебр без единицы.

В 1997 г. С. И. Кублановский [9] нашел условия для конечности типа многообразий алгебр (без единицы) с нормальной характеристикой, равной единице, над нетеровыми кольцами Джекобсона. Однако, результаты данной работы не переносятся на более общий случай многообразий алгебр произвольной нормальной характеристики.

Проблема описания многообразий конечного типа в наибольшей общности, т. е. для любых алгебраических систем (для групп, колец, алгебр и т. д.), была отмечена в 1995 г. в обзоре О. Г. Харлампович и М. В. Сапира [20].

Целью данной работы является изучение тождеств и многообразий алгебр над полем (коммутативным кольцом) конечного типа, а также их структурных свойств. Главный акцент делается на возможность алгоритмической проверки исследуемых свойств.

Краткое содержание работы. Мы опишем структуру данной диссертации и приведем ее основные результаты. Настоящая работа разделена на две главы. В первой главе устанавливаются общие свойства многообразий конечного типа. Она разбита на 5 параграфов.

В § 1 приводятся некоторые известные факты о многообразиях алгебр и тождествах, даются общие определения и обозначения. Принципиальным моментом здесь является обобщение автором определения нормальной характеристики тождеств и многообразий. Пусть задан некоторый алфавит X = {х,., жп,.}, через Х+ обозначим множество слов над ним. Рассмотрим полином т.

1 Я’п) к=1 с коэффициентами из кольца Л, где ик (х1,., хп) — слова над алфавитом {х1,., хп}. Если задано некоторое отношение эквивалентности 7 на каком-либо подмножестве Х+, то 7-характеристикой полинома /(х 1,., жте) будем называть идеал кольца Л, порожденный элементами.

Н = лг|1<7<�т l.

В § 2 приводятся и обсуждаются теоремы В. Т. Маркова и С. И. Кублановского, связанные с описанием многообразий конечного т*ипа. Опираясь на теорему С. И. Кублановского [9], в этом же параграфе доказывается критерий конечности типа:.

Теорема 1. Пусть V — многообразие нормальной характеристики 1 над нетеровым кольцом Джекобсона, А с 1. Тогда V является многообразием конечного типа тогда и только тогда, когда щ{У) + ь>г{У) = 1, т. е. сумма левой и правой нормальной характеристики V совпадает с А..

В данном параграфе приведен пример, показывающий, что существуют многообразия конечного типа, нормальная характеристика которых отлична от 1. Одним из основных результатов главы 1 является теорема 2, доказанная в § 3:.

Теорема 2. Пусть V — многообразие нормальной характеристики О над кольцом А, где, А — нетерово кольцо Джекобсона с 1. Если в многообразии V выполнено хотя бы одно тождество вида га— 1 аЪш[х, у]с =? чаЬЧх, у]сЬт-* о и хотя бы одно тождество вида п-1 ф, у]Ьпс = ^ №пЧах, уУс, где а, Ъ, с, х, у — буквы, а а*элементы А), тогда V — многообразие конечного типа..

Теорема 2 дает новую серию многообразий алгебр конечного типа, нормальная характеристика которых равна нулю. До сих пор все известные примеры многообразий конечного типа имели нормальную характеристику, равную единице..

Через Ass обозначим многообразие всех алгебр над каким-либо заданным кольцом. В § 4 приведен ряд необходимых условий конечности типа многообразий. Центральным среди них является:.

Предложение 3. Если V — многообразие конечного типа над кольцом А, отличное от Ass, тогда в многообразии V выполняется тождество вида S 1 где A G Л {0}, а щ (х, у) — мономы, неподобные хтпуп..

В качестве следствия этого критерия полученно следующее утверждение, представляющее самостоятельный интерес..

Следствие 4. Многообразие, порожденное алгеброй матриц Мп (А) над бесконечной областью целостности, А с 1, не является многообразием конечного типа..

Это следствие дает ответ на вопрос К. Прочези и JL Смолла..

Если задано кольцо А, то через Fqq обозначим счетно порожденную свободную алгебру над кольцом А. Пусть V — многообразие алгебр над кольцом А, через Id (V) обозначим его идеал тождеств, его можно рассматривать как как идеал алгебры Fqq. Основываясь на предложении 3 в этом параграфе устанавливается.

Предложение 4. Пусть V — многообразие конечного типа над кольцом А, отличное от .Ass. Обозначим через К со [-^осм-^оо] коммутаторную алгебру. Если идеал тождеств Id (V) содержится в К^, тогда V не является многообразием конечного типа..

В качестве следствия предложения 4 получается, что стандартное тождество.

Яп (х 1,., яп) = ^ 8ъдп (о)ха (1). ха (п) а степени выше двух не является тождеством конечного типа..

В § 5 установлен ряд структурных свойств для многообразий алгебр конечного типа. В том числе, доказана замкнутость класса многообразий алгебр конечного типа относительно переселения и его незамкнутость относительно обьединения — соответственно предложения 6 и 10. В предложении 8 показано, что в классе многообразий алгебр без единицы существуют два многообразия конечного типа, между которыми есть многообразие не конечного типа. Предложение 9 показывает, что возможна и симметричная ситуация: есть два многообразия не конечного типа, между которыми находится многообразие конечного типа..

Глава 2 посвящена вопросам алгоритмического распознавания многообразий алгебр конечного типа. Для решения этой задачи автором определяется новая арифметическая характеристика тождеств и многообразий (§ 1). Пусть X — счетный алфавит, п — натуральное числоопределим бинарное отношение (тц, п на множестве. Если? Х+, то Ш7?)Пг> тогда и только тогда, когда п-е буквы данных слов совпадают, а подслова, стоящие слева и справа от этой буквы соответственно, равны с точностью до перестановки. Очевидно, что это бинарное отношение является отношением эквивалентности на множестве слов длины не менее п. В соответствии с обобщенным определением нормальной характеристики будем говорить о сг/,^-характеристике тождеств и многообразий. Бинормальной характеристикой многообразия (тождества) V будем называть сумму^{-характеристик} этого многообразия (тождества) по всем натуральным п и обозначать Далее, приведем пример подсчета бинормальной характеристики тождества. Рассмотрим тождество над некоторым кольцом Л: f (x, у) = Xix[x, у]у + 2у[х, у]х = = Aiх2у2 — \xyxy + Л2ухух — А2у2×2, г где Ai, Л2 G А. Отношение gl, 1 разбивает множество мономов на два класса: {Aiх2у2, —Aiхуху} и {2ухух, —2у2×2}. Поскольку сумма коэффициентов мономов каждого класса равна нулю, то сг?, д (/) = (0) — нулевой идеал. Все классы эквивалентности отношения сть, 2 на множестве мономов f (x, y) являются одноэлементными, и в качестве сумм коэффициентов мономов этих классов мы получим элементы: Ai,—Ai, A2,—А2, следовательно 4 отношение (ть, т не порождает ни одного класса эквивалентности на множестве мономов /. Итак, по определению Дс,(/) = (Ai, A2)..

В § 1 устанавливаются основные свойства этой характеристики..

Теорема 3. Пусть V — многообразие алгебр над коммутативным кольцом, А с 1. В многообразие V выполняется тождество вида к.

АЛ/П = ]Г> (*,</), МО г-1 тогда и только тогда, когда бинормальная характеристика V отлична от нуля..

Теорема 4. Пусть V — многообразие алгебр над коммутативным кольцом, А с 1, и система тождеств {/?(Х)|г € /} образует базис тождеств многообразия V, где X некоторый алфавит. Тогда /х¿-(V) = ге/.

Эти теоремы, в частности, позволяют алгоритмически устанавливать остутствие конечности типа по базису тождеств многообразия..

К числу основных результатов диссертации отностится теорема, доказанная в § 2..

Теорема 5. Пусть V — многообразие алгебр с 1 над бесконечным полем Ртогда эквивалентны следующие условия:.

1) многообразие V — конечного типа-.

2) бинормальная левая характеристика V отлична от нуля-.

3) в многообразии V выполнено тождество Энгеля: [х, у]п = 0..

Эта теорема дает возможность для многообразий алгебр с единицей над бесконечным рекурсивным полем определить по его базису тождеств, является ли оно многообразием конечного типа. В качестве следствия из этой теоремы мы получаем возможность определить, является ли многообразие Энгелевым и локально Лиево нильпотентным — это в точности те многообразия, у которых бинормальная характеристика отлична от нуля..

Многообразие называется многообразием наследственно конечного типа, если оно и всякое его подмногообразие являются многообразиями конечного типа. Из теоремы Маркова [17] следует, что для многообразий алгебр с 1 над бесконечным полем все многообразия конечного типа являются наследственными. Однако, как следует из результатов § 5 главы 1, наследственная конечность типа не имеет места для всех многообразий алгебр без единицы конечного типа. Описанию многообразий наследственно конечного типа посвящен § 3, в котором доказана следующая теорема..

Теорема 6. Многообразие алгебр V над нетеровым коммутативным кольцом Джекобсона, А с 1 является многообразием наследственно конечного типа тогда и только тогда, когда щ (У) + г/г (У) = 1..

Этот критерий естественным образом легко проверяется алгоритмически..

Рассмотрим некоторый алфавит X и построим бинарное отношение р на множестве Х+: если и, V Е то иру тогда и только тогда, когда и совпадает с гс точностью до перестановки. По аналогии с определением бинормальной характеристики, данное бинарное отношение порождает р-характеристику тождеств тождеств и многообразий алгебр, которую мы назовем однородной характеристикой..

Если задано некоторое кольцо Л, то через ^ обозначим абсолютно свободную счетно порожденную алгебру над этим кольцом. Через Ык{У) обозначим идеал всех тождеств многообразия V от к переменных. Многообразие алгебр V над кольцом, А называется Р1-многообразием, если в нем выполняется тождество вида.

1,. .. , = ^^. .. , ге/ где А* € Л, щ — попарно неподобные мономы и семейство порождает Л..

Многообразие алгебр V будем называть многообразием лево-(право-)конечного типа, если для всякого натурального к идеал тождеств Ык (У) как левый (правый) модуль над алгеброй ^ является конечно порожденным. В § 4 описаны Р1-многообразия алгебр над нетеровым коммутативным кольцом с 1, удовлетворяющие условию односторонней конечности типа..

Теорема 7. Пусть V — Р1-многообразие алгебр над коммутативным нетеровым кольцом, А с 1. Тогда следующие условия эквивалентны:.

1) многообразие V — лево-конечного типа-.

2) многообразие V — право-конечного типа-.

3) в многообразии V выполняется тождество вида {Хг, где идеал, порожденный всеми А{, совпадает с А-.

4) однородная характеристика многообразия V совпадает с А..

Этот критерий может быть легко проверен алгоритмически по конечному базису тождеств многообразия (для рекурсивного кольца)..

На основании предыдущих результатов в § 5 приводится классификация многообразий алгебр над полем с точки зрения конечности типа на языке идеалов тождеств. Пусть V — многообразие алгебр над некоторым полем Р, тогда возможны следующие варианты..

1) Идеал тождеств Ы (у) не содержится в пересечении идеалов РооКоо и К ж Рос, тогда V конечного типа..

2) Идеал тождеств 1<1{У) содержится в пересечении идеалов Р^Коо и Коо Роо 1 но не содержится в Роо Роо} тогда V не конечного типа..

3) Идеал тождеств /?(V) содержится в ^оо^схз^оо и.

3.1) Идеал тождеств 1с1(У) содержится в К^, тогда V не конечного типа..

3.2) Идеал тождеств Ы (У) не содержится в К^: показано, что существуют как многообразия конечного типа, так и многообразия не конечного типа, подпадающие под данный случай..

Отметим, что в случае, когда поле рекурсивно и многообразие задано конечной системой тождеств, все условия данной классификации могут быть проверены алгоритмически..

1. Бурбаки Н. Многочлены и поляупорядоченные группы / Наука. М., 1966..

2. Васильев С. К. О тождествах и многообразиях ассоциативных алгебр конечного типа //Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2003. Т. 10, № 305, С. 18−43..

3. Васильев С. К. Многообразия алгебр конечного типа и бинормальная характеристика. Вестник С.-Петербургского университета, — С.-Петербург 2004. — 56 с. — Деп. в ВИНИТИ 19.04.2004 № 635-В2004..

4. Джекобсон Н. Строение колец / Пер. с англ. М.: ИЛ, 1961..

5. Зельманов Е. И. Решение ограниченной проблемы Бернсайда для групп четной экспоненты //Изв. Акад. Наук СССР., Сер. Мат. 1990. Т. 54(1), С. 42−59..

6. Кемер А. Р. О нематричных многообразиях //Алгебра и логика. 1980. Т 9, С. 283−285..

7. Кострикин А. И. Проблема Берсайнда //Акад. Наук СССР., Сер. Мат. 1959. Т. 23, С. 3−34..

8. Кублановский С. И. Локально финитно аппроксимируемые и локально представимые многообразия ассоциативных колец и алгебр. Ленингр. гос. пед. ин-т., — Л., 1982. — 78 с. деп. в ВИНИТИ 21.11.1982, № 6143−82..

9. Кублановский С. И. О многообразиях ассоциативных алгебр с локальными условиями конечности //Алгебра и Логика. 1997. Т 9, № 4, С. 119−174..

10. Латышев В. Н. Обобщение теоремы Гильберта о конечности базисов //Сиб. мат. журн. 1996. Т. 7, № 6, С. 1422−1424..

11. Львов И. В. Условия максимальности в алгебрах с тождественными соотношениями //Алгебра и Логика. 1969. Т. 8, № 4..

12. Львов И. В. Локально слабо нетеровые многообразия алгебр над нетеровыми кольцами //В сб.: III Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр, модулей. Тарту, Изд-во ТГУ, 1976..

13. Мальцев А. И. О представлениях бесконечных алгебр //Матем. сб. 1943. Т. 13, № 55..

14. Мальцев А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями //Матем. сб. 1950. Т. 26, № 1, С. 19−33..

15. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы //Учен, зап. Ивановского пед. института. 1958. Т. 18, С. 49−60..

16. Мальцев А. И. Избранные труды / Т. 1. М.: «Наука», 1976..

17. Марков В. Т. О системах образующих Т-идеалов конечно-порожденных свободных алгебр //Алгебра и Логика 1979. Т. 18, № 5, С. 587−598..

18. Херстейн И. Некоммутативные кольца / Пер. с англ. Мир, 1972..

19. Ширшов А. И. О кольцах с тождественными соотношениями //Матем. сб. 1957. Т. 43, № 2..

20. Kharlampovich О. G., Sapir М. V. Algorithmic problems in varieties //Internat. J. Algebra Comput. 1995. Vol. 5, N. 4−5, P. 379−602..

21. Levin J. A Matrix representations for associative algebras //Trans. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 188, Iss. 2, P. 293−317..

22. Procezi C. Rings with polynomial identity //Marcel Dekker, New-York, 1973. MR 51 #3214..

23. Small L. W. Ideals in finitely generated Pi-algebras //Ring theory, ed. R. Gordon, Acad. Press, New-York-London, 1972, P. 347−351..